PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU LIÊN TRƯỜNG THCS ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VỊNG NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: 3 : : a) 11 11 11 11 ; 0, 1, c) 1 −3 − +1 :(− −1) 3 [( ) ( )] − b) 2 1 0, 25 11 : 2022 7 0,875 0, 2023 11 Câu (4,0 điểm) a) Tìm x biết: 3x 3x2 99 ; 1+3y 1+5y 1+7y 5x 4x ; b) Tìm x, y biết: 12 2 c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2023) 23 y Câu (4,5 điểm) a) Cho p số nguyên tố lớn 3, biết p + số nguyên tố Chứng tỏ p + chia hết cho b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó: P x 1 2x c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 Hỏi lúc đầu lớp có học sinh? Câu 4.(7,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh rằng: a) BM = CN b) BC < MN c) Đường thẳng vng góc với MN giao điểm MN BC luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB HẾT -Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm có 04 trang ) Câu Ý 4,5 đ a 1,5 Nội dung Điểm 1,5 Tính giá trị biểu thức: 3 : : 11 11 11 11 ; a) 3 4 3 3 : : ( ): 11 11 11 11 11 11 11 3 4 3 5 ( ) : ( ) : 7 11 11 11 11 11 10 11 11 b 1,5 [( ) ( )] 2 1 1 : ( 1) 1 : ( ) 3 1 : ( ) ( 2).( ) c 1,5 a 4,0 1,0 đ a) Tìm x biết: x x 2 x 99 2.3 x 2 3x (2 32 ) 99 3x.11 99 3x 9 x 2 99 0,5 0.5 0.5 0.5 ( ) 2 1 0, 25 0, 11 : 2022 1, 1 0,875 0, 2023 11 c) 1 2 2 11 2022 : 7 2023 11 10 1 1 1 11 2022 : 1 1 2023 7 11 2 2022 : 0 7 2023 3x 3x2 99 0,5 1,5 1 − −3 − +1 :(− −1) 3 b) 0,5 1,5 0,5 0,5 0.5 ; 1,0 0.25 0.25 0.5 b 1,5 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x ; b) Tìm x, y biết: Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 1,5 0,5 2y 2y => x x 12 0,5 TH1: y = 0, thay vào=> không thỏa mãn TH2: y 0 x 5x -12 x=2 1 3y y y 2 Thay x = vào ta được: 12 1 =>1+ 3y = -12y=> y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề c 1,5 0,5 2 c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2023) 23 y 1,5 2 Vì x, y số tự nhiên nên ( x 2023) , y số phương 0,5 2 nên khơng âm nên 23 y 23 7( x 2023) 23 ( x 2023) 0 ( x 2023) Do 0.5 x 2023 x 2024 + Với x = 2023 khơng có giá trị y tự nhiên thỏa mãn 0.25 + Với x =2024 y 16 y 4 a 4,5 1,5 đ b 1,5 Vậy (x;y) =(2024;4) a) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng tỏ p + chia hết cho 0.25 Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ, p + chẵn => (p + 1) ⋮ (1) 0,5 Cũng p số nguyên tố lớn nên p = 3k + p = 3k + (k N) 0,25 Nếu p = 3k + p +2 = 3k +3 = 3(k + 1) ⋮ => p + không số nguyên tố nên p = 3k + khơng xảy 0,25 Do p = 3k + => p + = 3k + = 3(k +1) ⋮ Vì (2;3) = nên từ (1) (2) ta có (p + 1) ⋮ 0,25 (2) b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn x 1 2x đó: x ( x 1) 2 P 2x 2( x 1) x 1,5 0,25 1.5 P 0.5 max x-1 Để x-1 >0 nhỏ (x nguyên) x 2 Pmax x 2 2 Pmax b 1,5 0,25 0.25 Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x 10 y z 10 ( x 10) y 85 10 5 8 15 Suy x 45, y 40, z 35 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C 45, 40, 35 học sinh Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh rằng: a) BM = CN b) BC < MN c) Đường thẳng vng góc với MN giao điểm MN BC luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC a 2,0 0.5 c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 Hỏi lúc đầu lớp có học sinh? Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C x, y, z (học sinh) * ( x, y, z N , x 10 Theo ta có x y 85 (1) x 10 y z 10 (2) 7,0 đ 0.5 1,5 0,25 0.25 0,25 6,0 Xét ∆MDB ∆NEC có: MDB NEC (900 ) BD = CE (gt) MBD NCE ( ACB) 0.5 0.25 0.75 b 2.0 c 2.0 =>∆MDB = ∆NEC (g.c.g)=> BM = CN (hai cạnh tương ứng) Ta có BC=BD+DC; DE=DC+CE, mà BD=CE(gt) => BC=DE Gọi I giao điểm MN BC ta có DE=DI+IEBC AH vừa đường cao vừa đường phân giác tam giác cân ABC 0.5 1.0 1.0 0,25 Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) OBA OCA (cặp góc tương ứng) (*) OC = OB (cặp cạnh tương ứng) (1) ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) IM = IN (cặp cạnh tương ứng) (2) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c) OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (3) Từ (1), (2) (3)=> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) OBM OCN (cặp góc tương ứng) (**) Từ (*) (**) suy OCA OCN =900, OC AC => điểm O cố định Vậy đường thẳng vng góc với MN giao điểm MN BC luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB 1,0 đ 1.0 A H B C D 300 Kẻ DH Vuông góc víi AC v× ACD 60 CDH CD Từ chứng minh CH = ⇒ CH = BC 0,5 300 ABH 150 Tam giác BCH cân C CBH Mà ABH 15 nên tam giác AHB cân H Do tam giác AHD vuông cân H 0 Vậy ADB 45 30 75 ADB = 450+300=750 Lưu ý: - Nếu học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tương ứng với phần 0,5