023 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hà nam

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Mơn : Tốn (Đề chun) Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức  x 2  x  0; x  1 x 3 9 x  A      :     x 3 2 x x  x 6  x  x 3 x  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất giá trị x để A  2 Câu II (2,0 điểm) Cho đường thẳng  d  có phương trình y   m   x  2m  (với m tham số) điểm A  1;2  Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  d  đạt giá trị lớn 2 2   x  y  1  x  y  1  x  y  x  y  Giải hệ phương trình    x   y   x  2x  Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  có góc nhọn nội tiếp đường trịn  O; R  Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn  O; R  điểm M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C) Chứng minh EF / / PN Chứng minh diện tích tứ giác AEOF Tính giá trị biểu thức EF R AM BN CP   AK BE CF Gọi S Q chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường thẳng QS cắt BC G, đường thẳng GA cắt đường tròn  O; R  điểm J (J khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng Câu IV (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  x3  18 x  y  32 x  y  20  Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  ab  2bc  2ca  a  b2  c c2 ab Chứng minh :   3 2 a b a  b  c a  b ĐÁP ÁN Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức 3)  A       x 2  x  0; x  1 x 3 9 x  A      :     x 3 2 x x  x 6  x  x 3 x  Rút gọn biểu thức A  x  0; x  1 x 2 x 3 9 x     :   x 3 2 x x  x 6 x  x 3 x     x  3 x  3   x x  x      x  3 x  2  x  x   x    x  x  1   x  x   x  1  x 2  x  2  x  2  x  1  x  x   x  x      x 2 x 2  4) Tìm tất giá trị x để A  2 A  2  x  x   2  x  x   3    x      x  0, x  4; x  1  x  2  / x  0, x  4; x  Câu II (2,0 điểm) Cho đường thẳng  d  có phương trình y   m   x  2m  (với m tham số) điểm A  1;2  Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  d  đạt giá trị lớn Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định nằm đường thẳng d  yo   m   x0  2m  có nghiệm với m  m  x0    x0  y0    m   x0    x0  2    M  2;3 2 x0  y0    y0  Gọi H hình chiếu A d  AH  AM Khoảng cách AH lớn AM H  M  AM  d Phương trình đường thẳng AM : y   x  AM   d    m    1  1  m  2 2   x  y  1  x  y  1  x  y  x  y  1 Giải hệ phương trình    x   y    x  2x   2  x  6  y  3 ĐK:   x  y  1  x  y  1  x  y  x  y    x  y    x  y     x  y    y  x  2(do x  y   0) Thay y  x  vào phương trình (2) ta : x   x    x  x   x  1  x    x    x2  2x   x3 x3    x  3 x  1  x6 3 x 1  1     x  3    x  1  x 1   x6 3   1    x     x   0, x  1  x6 3 x 1     x  3 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm     Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  có góc nhọn nội tiếp đường trịn  O; R  Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn  O; R  điểm M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C) x; y  3;1 N A E F P H B O C K M Chứng minh EF / / PN BEC  BFC  90  tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC  CBE  CFE (góc nội tiếp chắn cung EC ) Mà CBE  CPN (góc nội tiếp chắn cung CN )  CFE  CPN  EF / / PN Chứng minh diện tích tứ giác AEOF EF R ABN  ACP (cùng phụ với BAC )  AN  AP ON  OP  R  A, O nằm đường trung trực PN  AO  PN , mà EF / / PN  AO  EF  S AEOF  Tính giá trị biểu thức EF R AM BN CP   AK BE CF BAM  BCM (góc nội tiếp chắn cung BM )  BAM  BCF (cùng phụ với ABC )  BCF  BCM MCH có CK vừa đường phân giác vừa đường cao  MCH cân C  K trung điểm MH AM BN CP AK  KM BE  EN CF  FP      AK BE CF AK BE CF KM EN FP KM KH S ABH  3      AK BE CF AK AK S ABC Chứng minh tương tự : S AM BN CP     BHC AK BE CF EN S AHC FP S AHB  ;  BE S ABC CF S ABC  S AHC  S AHB  1  S ABC Gọi S Q chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường thẳng QS cắt BC G, đường thẳng GA cắt đường tròn  O; R  điểm J (J khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng *Hình vẽ phục vụ A Q O L J C S G B K I D ASK  AQK  90  90  180 nên ASQK tứ giác nội tiếp  ASQ  AKQ AKQ  BCQ (cùng phụ với CKQ ) Do ASQ  BCQ  BSQC tứ giác nội tiếp  GBS  GQC GBS ∽ GQC ( g.g )  GB GS   GB.GC  GS GQ 1 GQ GC Vì ASKQ tứ giác nội tiếp nên GQK  BAK mà BAK  GKS (cùng phụ với SBK ) Mà BAK  GKS (cùng phụ với SBK ) nên GQK  GKS GQK ∽ GKS ( g g )  GQ GK   GK  GS GQ   GK GS Từ (1) (2) suy GK  GB.GC , GJB  GCA  GJB ∽ GCA   GK  GJ GA  GJ GB   GJ GA  GB.GC GC GA GK GJ   GKJ ∽ GAK GA GK  GJK  GKA  90  AJ  JK JK cắt (O) D (D khác K) AD đường kính  O  Gọi I trung điểm KD, L trung điểm QC Khi OI đường trung bình AKD  OI / / AK  OI  BC Mà OB  OC nên OI trung trực BC  3 Vì KQ / / DC (cùng vng góc với AC ) nên KQCD hình thang  IL đường trung bình hình thang KQCD  IL / / KQ  IL  QC  IL trung trực QC   Từ (3) (4) suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC Vậy I , K , J thẳng hàng Câu IV (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  x3  18 x  y  32 x  y  20  x  x3  18 x  y  32 x  y  20   x  x3  18 x  32 x  24  y  y    x  2  x2  2x  6   y  2 2 Với y   x  Với y  , ta có  y  22  x  2 số phương khác nên x  x  số phương Đặt x  x   m2  m  *   x  1   m2   x   m  x   m   5   y   x   m  x     y  1   x   m  1      m      y  11  x   m   x  1    y  7   x   m  5    m     Vậy  x; y  nguyên thỏa yêu cầu toán  2;  ,  3;5 ,  3; 1 ,  1;11 ,  1; 7  Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  ab  2bc  2ca  Chứng minh : a  b2  c c2 ab   3 2 a b a  b  c a  b a  b2  c c2 ab c2 c2 ab       2 2 2 2 a b a  b a  b  c a  b a  b  c a  b a c b c Đặt x  , y   x, y    a  b  c  ab  2bc  2ca   x2  y   xy  x  y    x  y  1  xy  x  y  Do : Áp dụng bất đẳng thức Co si, ta có xy   x  y  1 P   x  y  4  3  x  y       x  y      x y  c2 c2 ab   2 a  b a  b  c a  b xy xy 1 1      2 x  y  x  y  1 x y x  y xy x  y xy   1       2     2  xy   xy x  y   x  y   x  y  xy x y P 2 2 2 2.2 Dấu xảy x  y   a  b  c