UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Mơn : Tốn (Đề chun) Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức x 2 x 0; x 1 x 3 9 x A : x 3 2 x x x 6 x x 3 x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất giá trị x để A 2 Câu II (2,0 điểm) Cho đường thẳng d có phương trình y m x 2m (với m tham số) điểm A 1;2 Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn 2 2 x y 1 x y 1 x y x y Giải hệ phương trình x y x 2x Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC có góc nhọn nội tiếp đường trịn O; R Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn O; R điểm M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C) Chứng minh EF / / PN Chứng minh diện tích tứ giác AEOF Tính giá trị biểu thức EF R AM BN CP AK BE CF Gọi S Q chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường thẳng QS cắt BC G, đường thẳng GA cắt đường tròn O; R điểm J (J khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng Câu IV (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x3 18 x y 32 x y 20 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b2 c ab 2bc 2ca a b2 c c2 ab Chứng minh : 3 2 a b a b c a b ĐÁP ÁN Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức 3) A x 2 x 0; x 1 x 3 9 x A : x 3 2 x x x 6 x x 3 x Rút gọn biểu thức A x 0; x 1 x 2 x 3 9 x : x 3 2 x x x 6 x x 3 x x 3 x 3 x x x x 3 x 2 x x x x x 1 x x x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x x x x x 2 x 2 4) Tìm tất giá trị x để A 2 A 2 x x 2 x x 3 x x 0, x 4; x 1 x 2 / x 0, x 4; x Câu II (2,0 điểm) Cho đường thẳng d có phương trình y m x 2m (với m tham số) điểm A 1;2 Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn Gọi M x0 ; y0 điểm cố định nằm đường thẳng d yo m x0 2m có nghiệm với m m x0 x0 y0 m x0 x0 2 M 2;3 2 x0 y0 y0 Gọi H hình chiếu A d AH AM Khoảng cách AH lớn AM H M AM d Phương trình đường thẳng AM : y x AM d m 1 1 m 2 2 x y 1 x y 1 x y x y 1 Giải hệ phương trình x y x 2x 2 x 6 y 3 ĐK: x y 1 x y 1 x y x y x y x y x y y x 2(do x y 0) Thay y x vào phương trình (2) ta : x x x x x 1 x x x2 2x x3 x3 x 3 x 1 x6 3 x 1 1 x 3 x 1 x 1 x6 3 1 x x 0, x 1 x6 3 x 1 x 3 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC có góc nhọn nội tiếp đường trịn O; R Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn O; R điểm M , N , P (M khác A, N khác B, P khác C) x; y 3;1 N A E F P H B O C K M Chứng minh EF / / PN BEC BFC 90 tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC CBE CFE (góc nội tiếp chắn cung EC ) Mà CBE CPN (góc nội tiếp chắn cung CN ) CFE CPN EF / / PN Chứng minh diện tích tứ giác AEOF EF R ABN ACP (cùng phụ với BAC ) AN AP ON OP R A, O nằm đường trung trực PN AO PN , mà EF / / PN AO EF S AEOF Tính giá trị biểu thức EF R AM BN CP AK BE CF BAM BCM (góc nội tiếp chắn cung BM ) BAM BCF (cùng phụ với ABC ) BCF BCM MCH có CK vừa đường phân giác vừa đường cao MCH cân C K trung điểm MH AM BN CP AK KM BE EN CF FP AK BE CF AK BE CF KM EN FP KM KH S ABH 3 AK BE CF AK AK S ABC Chứng minh tương tự : S AM BN CP BHC AK BE CF EN S AHC FP S AHB ; BE S ABC CF S ABC S AHC S AHB 1 S ABC Gọi S Q chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường thẳng QS cắt BC G, đường thẳng GA cắt đường tròn O; R điểm J (J khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng *Hình vẽ phục vụ A Q O L J C S G B K I D ASK AQK 90 90 180 nên ASQK tứ giác nội tiếp ASQ AKQ AKQ BCQ (cùng phụ với CKQ ) Do ASQ BCQ BSQC tứ giác nội tiếp GBS GQC GBS ∽ GQC ( g.g ) GB GS GB.GC GS GQ 1 GQ GC Vì ASKQ tứ giác nội tiếp nên GQK BAK mà BAK GKS (cùng phụ với SBK ) Mà BAK GKS (cùng phụ với SBK ) nên GQK GKS GQK ∽ GKS ( g g ) GQ GK GK GS GQ GK GS Từ (1) (2) suy GK GB.GC , GJB GCA GJB ∽ GCA GK GJ GA GJ GB GJ GA GB.GC GC GA GK GJ GKJ ∽ GAK GA GK GJK GKA 90 AJ JK JK cắt (O) D (D khác K) AD đường kính O Gọi I trung điểm KD, L trung điểm QC Khi OI đường trung bình AKD OI / / AK OI BC Mà OB OC nên OI trung trực BC 3 Vì KQ / / DC (cùng vng góc với AC ) nên KQCD hình thang IL đường trung bình hình thang KQCD IL / / KQ IL QC IL trung trực QC Từ (3) (4) suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC Vậy I , K , J thẳng hàng Câu IV (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x3 18 x y 32 x y 20 x x3 18 x y 32 x y 20 x x3 18 x 32 x 24 y y x 2 x2 2x 6 y 2 2 Với y x Với y , ta có y 22 x 2 số phương khác nên x x số phương Đặt x x m2 m * x 1 m2 x m x m 5 y x m x y 1 x m 1 m y 11 x m x 1 y 7 x m 5 m Vậy x; y nguyên thỏa yêu cầu toán 2; , 3;5 , 3; 1 , 1;11 , 1; 7 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b2 c ab 2bc 2ca Chứng minh : a b2 c c2 ab 3 2 a b a b c a b a b2 c c2 ab c2 c2 ab 2 2 2 2 a b a b a b c a b a b c a b a c b c Đặt x , y x, y a b c ab 2bc 2ca x2 y xy x y x y 1 xy x y Do : Áp dụng bất đẳng thức Co si, ta có xy x y 1 P x y 4 3 x y x y x y c2 c2 ab 2 a b a b c a b xy xy 1 1 2 x y x y 1 x y x y xy x y xy 1 2 2 xy xy x y x y x y xy x y P 2 2 2 2.2 Dấu xảy x y a b c