SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 1 2 2 a) Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn ab bc ca ab bc ca a b c 1 A 2 2 2 ab bc ca Tính giá trị biểu thức b) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Chứng minh Câu (2,5 điểm) a b ab 2 1 a 1 b a b2 a) Giải phương trình : 3x 1 2x x x 1 1 3y y y y x 1 x b) Giải hệ phương trình Câu (1,5 điểm) A n2 3n n a) Tìm số nguyên n để b) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn 12 Tìm số dư chia a cho 16 số phương a b b c c d d a a 2022 2023 O O' Câu (2,5 điểm) Cho hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A O' B Trên tia đối tia AB lấy điểm M , kẻ tiếp tuyến ME , MF với đường tròn , O' ,F E , F thuộc đường trịn nằm đường tròn (O) Hai đường thẳng AE O AF cắt đường tròn P Q (P, Q khác A) Tia EF cắt PQ K a) Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BFA b) Gọi I J giao điểm AB với OO ' EF Chứng minh IJE IFM c) Chứng minh PQ OA OK Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3abc 2 P 1 a 2bc b 2ac c 2ab Tìm giá trị lớn biểu thức : Câu (0,5 điểm) Lớp 9A có 34 học sinh, học sinh lớp tham gia số câu lạc trường Mỗi học sinh lớp tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh lớp ln có học sinh thâm gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh lớp 9A tham gia ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 1 2 2 c) Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn ab bc ca ab bc ca a b c 1 A 2 2 2 ab bc ca Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1 2 2 2 2 ab bc ca ab c abc a bc Ta có ab bc ca ab bc ca 1 a 2b2 c 2 2 2 4 2 ab bc ca a 2b c a 2b c Vậy A d) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Chứng minh a b ab 2 1 a 1 b a b2 a b ab a b ab ab 2 2 1 a 1 b a b a2 b2 a b2 a b 1 a 1 b 2 a b a b a 2b2 a b2 4ab a 2b 2 a b ab 1 2 (đúng a b ab), (dfcm) Câu (2,5 điểm) 3x 1 c) Giải phương trình : 2x x x ;x Điều kiện Phương trình cho tương đương x x x x x 3x 3x x x x x x x x 1(tm) 2 x x x0 29 x (tm) 4 x x 29 S 1; Vậy x 1 1 3y y y y x 1 x d) Giải hệ phương trình Điều kiện x 1 Đặt t x 1, t Thay vào hệ phương trình cho, ta có : t y 3ty t y y t y 3ty 2 2 y ty t t y ty y y t t x (tm) y t 3t t y 33 3 t y t y x 1 33 18 (tm) y t 9t 3t t 33 y Vậy tập nghiệm Câu (1,5 điểm) 33 33 ; 18 x; y 0;1 ; A n2 3n n c) Tìm số nguyên n để A n 2 n 1 1 số phương Ta có Xét n n 2, ta có A số phương Xét n n 2, để A số phương n 1 a a ¥ n 1 a 1 n a n a 1 Do đó, ta có Ta có trường hợp : n a 1 n a g n 2 (tm); g n 1(tm) n a n a 1 Vậy n 2 n 1 A số phương 2022 d) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b b c c d d a a 2023 12 Tìm số dư chia a cho 16 Ta có x x 2x x 0, x x x x M2 x 0, với số nguyên x Ta có a b bc cd d a a b a b b c b c c d c d d a d a M2 a, b, c, d ¢ Do a b b c c d d a a 2022 2023 chia hết cho 2022 Suy a lẻ, a lẻ, nên a chia dư a Suy Vậy a12 a 1 M2 a 1 a 1 chia cho 16 dư 1 M 6 Câu (2,5 điểm) Cho hai đường tròn O O ' cắt hai điểm phân biệt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm M , kẻ tiếp tuyến ME , MF với đường tròn O ' , thẳng AE K E , F thuộc đường tròn O ' , F nằm đường tròn (O) Hai đường O Q AF P EF cắt đường tròn (P, Q khác A) Tia d) Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BFA Ta có BPQ BAQ (góc nội tiếp chắn PQ) cắt PQ BAQ BEK (góc nội tiếp chắn BF ) BPQ BEK tứ giác BKPE nội tiếp Do AEBF & BKPE tứ giác nội tiếp nên AFB BKP (cùng bù với AEB) BKP ∽ BFA(dfcm) e) Gọi I J giao điểm AB với OO ' EF Chứng minh IJE IFM Do O ' IM O ' FM O ' EM 90 nên điểm O ', I , F , M , E nằm đường trịn đường kính O ' M Suy IEJ IMF (góc nội tiếp chắn IF ) Và EIJ JIF (góc nội tiếp chắn hai cung ME MF nhau) IJE ∽ IFM , từ suy IJE IFM (dfcm) 2 f) Chứng minh PQ OA OK Ta có BAE BQP (vì tứ giác ABQP nội tiếp) AEB ∽ QKB AB AE 2 BQ QK Và AEB BKQ (vì tứ giác BKPE nội tiếp), suy Ta có QBP QAP EBF EBF EFM (góc nội tiếp chắn EF ) Mặt khác, ta có : EFM EIM EIA (vì tứ giác EIFM nội tiếp) Suy QBP EIA 3 Từ (1) (3), ta có : IAE ∽ BQP AI AE AB AE 4 BQ QP BQ QP AE AE 2QK QP K QK QP Từ (2) (4), ta có trung điểm QP OKQ vng K PQ QK OQ OK OQ OK PQ OA2 OK (dfcm) Vậy, ta có Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3abc P 1 a 2bc b 2ac c 2ab Tìm giá trị lớn biểu thức : Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có 3abc a b c abc abc a b c 3abc 1 3 ab bc ca Mặt khác, ta có Áp dụng bất đẳng thức Co – si , ta có: a 2bc a 2bc 2 a 2bc 1 a 2bc bc Tương tự, ta có : a bc bc 1 1 1 1 1 1 1 3 bc bc bc bc 16 1 1 ; 3 b 2ac 16 ac c 2ab 16 ab 1 1 P 9 16 ab bc ca ; Đẳng thức xảy a b c Suy Câu (0,5 điểm) Lớp 9A có 34 học sinh, học sinh lớp tham gia số câu lạc trường Mỗi học sinh lớp tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh lớp ln có học sinh thâm gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh lớp 9A tham gia Giả sử câu lạc khơng có q học sinh lớp 9A tham gia Gọi N số câu lạc có học sinh lớp 9A Nếu N từ số câu lạc này, ta chọn câu lạc học sinh lớp 9A, 10 học sinh khơng thỏa mãn tốn - Nếu N tổng số học sinh lớp 9A tham gia câu lạc không 3.8 24, nghĩa cịn có 34 24 10 học sinh lớp 9A, học sinh tham gia câu lạc mà câu lậc có học sinh lớp 9A Chọn 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện tốn - Nếu N số học sinh lớp 9A tham gia câu lạc không 4.8 32 , nghĩa cịn có học sinh lớp 9A, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc có học sinh lớp 9A Chọn học sinh số học sinh lại câu lạc câu lạc chọn học sinh lớp 9A, 10 học sinh lớp 9A chọn không thỏa mãn điều kiện Vậy điều giả sử sai, nghĩa tồn câu lạc có học sinh lớp 9A tham gia