Luận án tiến sĩ toán học chỉ số chính quy castelnuovomumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Cơng Minh Hà Nội - 2021 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh sách hình vẽ Bảng ký hiệu Bảng thuật ngữ Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 17 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 17 1.2 Vành level 18 1.3 Phức đơn hình 20 1.4 Nhóm đồng điều rút gọn 21 1.5 Công thức Takayama 22 1.6 Phức đơn hình Koszul 23 1.7 Matroid 24 1.8 Ideal Stanley-Reisner 26 Chương Tính level lũy thừa ideal StanleyReisner 2.1 27 Một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu 28 2.2 Trường hợp số mũ t ≥ 31 2.3 Trường hợp số mũ t = 35 Chương Tính level ideal đơn thức lớp Cn (α, β) 44 3.1 Một số bậc không triệt tiêu số Betti phân bậc thứ (n − 2) 45 3.2 Trường hợp (α, β) = (2, 1) 49 3.3 Trường hợp (α, β) 6= (2, 1) 55 Chương Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford ideal đơn thức lớp Cn (α, β) 68 4.1 Giá trị a1 (R/I) 69 4.2 Giá trị a2 (R/I) 83 4.3 Ideal có giải tự tuyến tính 89 Kết luận 92 Các cơng trình liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 95 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Công Minh Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Phan Thị Thủy Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn, bảo vô tận tình chu đáo PGS.TS Nguyễn Cơng Minh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Thầy dành nhiều cơng sức, hết lịng dẫn dắt tác giả thực bước vào nghiên cứu khoa học, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Làm việc hướng dẫn Thầy may mắn lớn đời tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quan tâm, giúp đỡ động viên thầy cô Bộ mơn Đại số thầy Khoa Tốn Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau Đại học Trường tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, cơng tác hồn thành luận án Sau cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới người thân gia đình Mẹ, chồng hai nhỏ tác giả ln động viên, chia khó khăn nguồn động lực to lớn để tác giả tiếp tục học tập nghiên cứu Tác giả Phan Thị Thủy Danh sách hình vẽ 2.1 Đồ thị ngũ giác 41 2.2 Đồ thị Petersen 41 2.3 Một tam giác phân không gian xạ ảnh thực P2 42 3.1 Đồ thị hai phần đầy đủ K1,3 56 3.2 Đồ thị F1 60 4.1 Đồ thị F2 72 4.2 Đồ thị F3 80 Bảng kí hiệu N tập số ngun khơng âm Z tập số nguyên K trường ∆ phức đơn hình dim ∆ chiều phức đơn hình ∆ F(∆) ∆(I) tập mặt cực đại phức đơn hình ∆ √ phức đơn hình liên kết với ideal I ∆a (I) phức bậc I ứng với bậc a Ka (I) phức đơn hình Koszul vành thương R/I bậc a st∆ (F ) phức đơn hình F ∆ lk∆ (F ) phức đơn hình link F ∆ e• (∆, K) phức dây chuyền rút gọn ∆ C e i (∆; K) nhóm đồng điều rút gọn thứ i ∆ K H I∆ ideal Stanley-Reisner phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner phức đơn hình ∆ K|X|,|Y | đồ thị hai phần đầy đủ tập đỉnh X ∪ Y R vành đa thức K[x1 , , xn ] m ideal (x1 , , xn ) R G(I) tập sinh tối tiểu ideal đơn thức I Hmi (R/I) module đối đồng điều địa phương thứ i R/I với giá m (R/I) bậc lớn không triệt tiêu Hmi (R/I) It lũy thừa thông thường thứ t ideal I I (t) lũy thừa hình thức thứ t ideal I βi (R/I) số Betti thứ i R/I βi,j (R/I) số Betti thứ i bậc j ∈ N R/I βi,a (R/I) số Betti thứ i bậc a ∈ Nn R/I reg(R/I) số quy Castelnuovo-Mumford R/I \ tập ideal R có dạng (xk | ≤ k ≤ n, k 6= i, j)wi,j , Cn (α, β) 1≤i β > dim(R/I) chiều Krull R/I Ga tập vị trí tọa độ âm vectơ a ∈ Zn supp(a) tập vị trí tọa độ khác không vectơ a ∈ Nn Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh cặp cạnh pair of edges cặp cạnh rời pair of disjoint edges cặp cạnh không liên thông disconnected pair of edges số quy regularity chu trình đồ thị đầy đủ cycle đồ thị hai phần đầy đủ complete bipartite graph giải tự phân bậc tối tiểu minimal graded free resolution ideal đơn thức liên thông monomial ideal mặt cực đại facet nhóm đồng điều rút gọn reduced homology group nón phức bậc cone phức đơn hình simplicial complex phức dây chuyền rút gọn reduced chain complex phức đơn hình Koszul lower Koszul simplicial complex tính level level property vành level level ring complete graph connected degree complex Luận án sử dụng số thuật ngữ tiếng Anh: ideal, module, level, matroid, circuit 85 (iii) Nếu đỉnh G có bậc |b| ≤ α + 2β − e (∆b (I); K) 6= Bổ đề 1.11 ∆b (I) Chứng minh Từ điều kiện H phải chứa chu trình, gọi {1, 2}, {2, 3}, , {t − 1, t}, {1, t} với t ≥ Theo Bổ đề 4.2, σi,i+1 (b) ≤ wi,i+1 − với i = 1, , t − σ1,t (b) ≤ w1,t − Do (t − 2)|b| ≤ t−1 X wi,i+1 + w1,t − t i=1 2α − tα − t = α−1+ ≤ 3α − Suy (i) t−2 t−2 chứng minh Tiếp theo để chứng minh (ii), (iii), ta xét hai trường hợp Trường hợp girth(G) 6= G chứa đỉnh bậc lớn P Nếu t = |b| ≤ t−1 i=1 wi,i+1 + w1,t − t ≤ 2α + β − Nếu t ≥ Điều dẫn đến |b| ≤ |b| ≤ tα − t 2α − 2α − =α−1+ ≤α−1+ ≤ 2α + β − t−2 t−2 Trường hợp Mọi đỉnh G có bậc Nếu t = |b| ≤ t−1 X wi,i+1 + w1,t − t ≤ α + 2β − i=1 Nếu t số chẵn lớn t t w + w − t ≤ α + β − t i,i+1 1,t i=1 2 Pt−1 Do α+β−2 α+β−2 + ≤ α + β − ≤ α + 2β − t−2 P t+1 t−1 α+ β −t Nếu t số lẻ lớn t−1 i=1 wi,i+1 +w1,t −t ≤ 2 Vì |b| ≤ |b| ≤ α + β − 3α + β − α + β − 3α + β − + ≤ + ≤ α + 2β − 2(t − 2) Từ ta suy điều phải chứng minh Bây giá trị a2 (R/I) xác định sau 86 Định lí 4.11 Cho n ≥   3α −      2α + β − a2 (R/I) =       α + 2β − I ∈ Cn (α, β) Khi ta có: girth(G) = 3; girth(G) 6= G chứa đỉnh có bậc lớn 1; đỉnh G có bậc Chứng minh Theo Bổ đề 4.8, Bổ đề 4.9 Bổ đề 4.10, ta cần chứng minh chiều ngược lại bất đẳng thức Bổ đề 4.10 Theo Bổ đề 1.15, ta cần đưa vectơ b ∈ Nn cho |b| tương ứng e (∆b (I); K) 6= (tức ∆b (I) chứa với chặn a2 (R/I) H chu trình theo Bổ đề 1.11) Thật vậy, ta có: (i) Nếu girth(G) = ta giả sử {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} ∈ G Đặt b = (α − 1)(e1 + e2 + e3 ) Khi |b| = 3α − σ1,2 (b) = σ2,3 (b) = σ1,3 (b) = α − < α Suy ∆b (I) chứa 3-chu trình (1, 2, 3) (ii) Nếu girth(G) 6= G chứa đỉnh có bậc lớn giả sử {1, 2}, {1, 3} ∈ G {2, 3} 6∈ G Đặt b = (β−1)e1 +(α−1)(e2 +e3 ) Khi |b| = 2α + β − σ1,2 (b) = σ1,3 (b) = α − 1, σ2,3 (b) = β − Do ∆b (I) chứa 3-chu trình (1, 2, 3) (iii) Nếu đỉnh G có bậc ta gọi {1, 2} ∈ G {1, 3}, {2, 3} 6∈ G Đặt b = (β − 1)(e1 + e2 ) + (α − 1)e3 Tương tự trên, |b| = α + 2β − ∆b (I) chứa 3-chu trình (1, 2, 3) Như định lí chứng minh Từ giá trị a1 (R/I) giá trị a2 (R/I), ta phát biểu kết cho số quy Castelnuovo-Mumford R/I sau 87 Định lí 4.12 Cho n ≥    3α −       2α + β −          reg(R/I) = α + 2β −            2α −       I ∈ Cn (α, β) Khi girth(G) = 3; girth(G) 6= G chứa đỉnh có bậc lớn 1; G gồm t (t ≥ 2) cạnh đôi rời α ≤ 2β , G có cạnh; G gồm t (t ≥ 2) cạnh đôi rời α > 2β Chứng minh Rõ ràng ta nhận kết luận từ Định lí 4.3, Định lí 4.4, Định lí 4.5, Định lí 4.6, Định lí 4.7 Định lí 4.11 Ta cần lưu ý trường hợp cuối định lí, tức G gồm t (t ≥ 2) cạnh đôi rời α > 2β , theo Định lí 4.3, Định lí 4.5, Định lí 4.6 Định lí 4.11, ta có a2 (R/I) + = α + 2β − < 2α − = a1 (R/I) + 1, reg(R/I) = 2α − Sau ta đưa vài ví dụ minh họa cho kết Ví dụ 4.13 Cho n = I ∈ Cn (α, β) (i) Giả sử G = {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 4}, {5, 6}} (tức girth(G) = 3) Khi \ I = (x3 , x4 , x5 , x6 )α (x1 , x4 , x5 , x6 )α \ \ \ α α (x2 , x4 , x5 , x6 ) (x2 , x3 , x5 , x6 ) (x1 , x2 , x3 , x4 )α \ \ (xr | r 6= i, r 6= j, r = 1, , 6)β {i,j}∈G / Do reg(R/I) = 3α − (ii) Giả sử G = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}} (tức girth(G) 6= G chứa đỉnh bậc lớn 1) Khi ideal 88 \ \ I = (x3 , x4 , x5 , x6 )α (x1 , x4 , x5 , x6 )α (x1 , x2 , x5 , x6 )α \ \ \ α (xr | r 6= i, r 6= j, r = 1, , 6)β (x1 , x2 , x3 , x6 ) {i,j}∈G / Do reg(R/I) = 2α + β − (iii) Giả sử G = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} (tức G bao gồm ba cạnh đôi rời nhau) Khi I = (x3 , x4 , x5 , x6 )α \ \ (x1 , x2 , x5 , x6 )α (x1 , x2 , x3 , x4 )α \ \ (xr | r 6= i, r 6= j, r = 1, , 6)β {i,j}∈G / Nếu (α, β) = (7, 4) (ứng với α < 2β ) reg(R/I) = α + 2β − = 14 Nếu (α, β) = (7, 3) (ứng với α > 2β ) reg(R/I) = 2α − = 13 (iv) Giả sử G = {{1, 2}} Khi \ \ I = (x3 , x4 , x5 , x6 )α (xr | r 6= i, r 6= j, r = 1, , 6)β {i,j}∈G / Như reg(R/I) = α + 2β − Định lí 4.12 mở rộng kết P T Thuy [43] Đồng thời, reg(I) = reg(R/I) + nên ta có trực tiếp hệ tính tuyến tính số quy Castelnuovo-Mumford lũy thừa hình thức thứ t (t ≥ 1) ideal thuộc lớp Cn (α, β) sau Mệnh đề 4.14 Cho I ∈ Cn (α, β) Khi với t ≥ 1, reg(I (t) ) = reg(I)t, I (t) lũy thừa hình thức thứ t I Chứng minh Theo [14, Bổ đề 3.1], ta có \ tw I (t) = Pi,j i,j , 1≤i