Mục lục Mở đầu 6 Chương 1 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15 1 1 Không gian Hilbert và không gian Banach 15 1 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 1 2 1 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và khôn[.]
Mục lục Mở đầu Chương Hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh 15 1.1 Không gian Hilbert không gian Banach 15 1.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 1.2.1 Khái niệm toán đặt chỉnh không chỉnh 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 1.2.3 22 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình tốn tử U − đơn điệu 1.3 21 27 Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3.1 Bài toán dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 1.3.2 28 28 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 35 Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 42 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải 42 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải nhiễu toán tử 48 2.3 2.4 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử tuyến tính liên tục 54 Một số kết tính tốn 65 2.4.1 Quy tắc dừng lặp kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử tuyến tính 2.4.2 65 Kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử phi tuyến 76 Chương Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 3.1 81 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 81 3.2 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 89 3.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 97 3.4 Một số kết tính tốn 99 Kết luận 106 Tài liệu tham khảo 107 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Cơng Điều Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình người khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận án Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều, người thầy tận tình hướng dẫn cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả hồn thành luận án thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo thuộc Đại học Thái Nguyên Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận án Viện Công nghệ Thông tin Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Rn Không gian Ơcơlit n-chiều X∗ Không gian liên hợp không gian Banach X A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu toán tử A : X → Y H Khơng gian Hilbert I Tốn tử đơn vị D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền ảnh toán tử A A−1 Toán tử ngược toán tử A A0 (x) Đạo hàm Fréchet toán tử A điểm x hx, yi Tích vơ hướng x y không gian Hilbert kxkX Chuẩn x không gian X ρX (x, y) Metric x y không gian X a∼b a tương đương với b C[a, b] Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] ∅ Tập rỗng xn * x Dãy xn hội tụ yếu tới x xn → x Dãy xn hội mạnh tới x θ Phần tử khơng khơng gian Banach S(x∗ , r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r khơng gian Banach N (A) Khơng gian khơng điểm tốn tử A Mở đầu Trong toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm tốn), chí cịn làm cho tốn trở lên vơ nghiệm Lớp tốn gọi lớp tốn khơng qui hay tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt chỉnh Hadamard,J [45] đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Xét tốn tìm nghiệm phương trình A(x) = f, (1) đây, A tốn tử từ khơng gian metric X vào khơng gian metric Y Theo Hadamard toán (1) gọi đặt chỉnh (chính qui) điều kiện sau thỏa mãn: Phương trình (1) có nghiệm x0 với f ∈ Y ; Nghiệm x0 xác định cách nhất; Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f Một thời gian dài người ta nghĩ toán đặt thỏa mãn ba điều kiện Nhưng thực tế ý niệm sai lầm Nhất máy tính điện tử đời, tính tốn tốn thực tế máy tính ln xảy q trình làm trịn số Chính làm trịn dẫn đến sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn (1) gọi tốn đặt khơng chỉnh Do lớp tốn đặt khơng chỉnh có tầm quan trọng ứng dụng thực tế, nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng giới V K Ivanov, M M Lavrentiev, A N Tikhonov Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh như: P K Anh, Ng Bường, Đ N Hào, Đ Đ Trọng Để giải số tốn đặt khơng chỉnh, bước Tikhonov đưa toán đặt chỉnh cách giả thiết nghiệm cần tìm nằm vào tập compact lồi M ảnh A(M ) = N , cho f xấp xỉ fδ ∈ N ta có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N Do số liệu xấp xỉ số liệu khơng xác, nên xấp xỉ fδ lại khơng nằm vào tập A(M ) Khi đó, phương trình A(x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng thường Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K (xem [51], [52]) đưa khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1) Theo Ivanov phần tử x˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A(x), f ) gọi tựa nghiệm x∈M (1) tập M , trường hợp M tập compact X, với f ∈ Y tồn tựa nghiệm Nếu f ∈ A(M ) tựa nghiệm nghiệm thông thường Tựa nghiệm nghiệm thông thường khơng Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi khơng nằm A(M ) Lavrentiev, M.M [60] nghiên cứu Tư tưởng phương pháp mà Lavrentiev đề xuất thay phương trình (1) phương trình xấp xỉ giải với vế phải nghiệm phương trình xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải Năm 1963, Tikhonov, A N (xem [75], [76], [77]) đưa hướng giải tốn (1), việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A(x), fδ ) + αψ(x), (2) ψ phiếm hàm ổn định không gian metric X, α tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) chọn cho δ → 0, ta có α(δ) → điểm cực tiểu xδα phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm toán (1) Đối với toán (1), A : H → H toán tử liên tục đóng yếu, Engl, H.W [42] xét dạng cụ thể (2) M α [x, fδ ] = kAx − fδ k2 + αkxk2 (3) chứng minh tốn (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ hội tụ nghiệm (1) fδ → f Trong trường hợp A tốn tử đơn điệu hemi liên tục từ khơng gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A(x) + αU s (x) = fδ , (4) đây, U s toán tử đối ngẫu tổng quát X, tức U s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện hU s (x), xi = kxkkU s (x)k, kU s (x)k = kxks−1 , s ≥ Trong vài năm gần đây, nhu cầu thực tế người ta xét mở rộng toán (1) cho họ hữu hạn phương trình đặt khơng chỉnh (xem [22], [39], [46]), tức tìm nghiệm x0 , cho Aj (x0 ) = fj , j = 1, 2, , N, (5) đây, Aj : X → Yj , X Yj khơng gian Hilbert Hệ phương trình (5) đưa phương trình A(x) = f, (6) đây, A : X → Y xác định A(x) = (A1 (x), A2 (x), , AN (x)), Y := Y1 × Y2 × × YN f = (f1 , f2 , , fN ) Có thể coi (6) trường hợp riêng (5) N = Tuy nhiên, (5) có lợi (6) chỗ (5) đề cập riêng rẽ tính chất (Aj , fj ), (6) cho ta tính chất chung (Aj , fj ) nghiệm (6) phải thỏa mãn tọa độ giống Năm 2007, Haltmeier,M [46] đưa phương pháp lặp cải tiến Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) fj δ δ xấp xỉ fj j , kfj j − fj k ≤ δj , j = 1, 2, , N , bao gồm phương pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) phương pháp lặp nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời ứng dụng để hiệu chỉnh cho số toán toán ngược thiết bị bán dẫn, toán chụp cắt lớp nhiệt Năm 2008, Hein,T [48] đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu dựa tốn cực tiểu phiếm hàm ổn định không âm nửa liên tục yếu δ min{J(x) : kAj (x) − fj j k ≤ δj , j = 1, , N } x∈D (7) Dựa khoảng cách Bregman D(xδ , x0 ) := J(xδ )−J(x0 )−hJ (x0 ), xδ − x0 i, Hein đưa kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xδ nghiệm x0 hệ bổ sung điều kiện nguồn lên tất toán tử Aj , j = 1, 2, , N Năm 2011, Cezaro,A.D [38] đưa phương pháp lặp cải tiến Tikhonov với toán tử Aj liên tục, khả vi Fréchet miền đóng yếu Dj , bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) phương pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK) Phương pháp xây dựng dựa sở phương pháp lặp LevenbergMarquardt-Kaczmarz [15] phương pháp lặp cải tiến Landweber Kaczmarz [46] Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng phương pháp đưa khơng gian tích thực phức tạp N lớn Cụ thể, xét hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh theo cách tiếp cận đòi hỏi phải thỏa mãn ba điều kiện đặt lên toán tử Aj , bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet giới nội lân cận nghiệm (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục điều kiện nguồn nghiệm (5) (xem [38]) Vì vậy, việc nới lỏng điều kiện lên toán tử mục tiêu luận án Cụ thể, liệu xây dựng phương pháp hiệu chỉnh khác mà hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cần dựa vào điều kiện toán tử hay không? Trong trường hợp Aj vi phân phiếm hàm lồi không gian Banach X, Buong,Ng [22] xây dựng phương pháp hiệu 10