BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình dáng điệu tiệm cận số luồng thủy khí tồn trục thời gian cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Các kết luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố công trình nghiên cứu Các nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ theo quy định Hà Nội, ngày 08 tháng 01 năm 2022 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy Lê Thế Sắc i LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Thầy không nhà khoa học mà người vô mẫu mực công việc sống Thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Trường Xuân, người hướng dẫn, đồng hành tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận án Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ thầy cô mơn Tốn Cơ bản, thầy Viện Tốn Ứng dụng Tin học Đặc biệt, tơi nhận đóng góp, chia sẻ, động viên thành viên nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên nhóm seminar Nhân dịp này, tơi bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phịng, Ban liên quan, Khoa Cơng nghệ thơng tin Bộ mơn Tốn học thuộc trường Đại học Thủy lợi tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống, giúp vững tâm học tập nghiên cứu Nghiên cứu sinh ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án 10 Cấu trúc luận án 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 13 Nửa nhóm 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.1.2 Nửa nhóm giải tích 15 Không gian hàm, không gian nội suy số lớp hàm 16 1.2.1 Không gian nội suy thực 17 1.2.2 Không gian Lorentz 19 1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt 21 1.2.4 Không gian Besov 22 1.2.5 Hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 23 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 27 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 2.2 30 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 31 2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 31 2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37 Tính chất nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40 2.2.1 Sự tồn số lớp nghiệm 40 2.2.2 Tính ổn định nghiệm 42 iii 2.3 Một số ứng dụng 46 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi 47 2.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 48 2.3.3 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 50 2.3.4 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 52 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIERSTOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG MUCKENHOUPT 3.1 56 Các đánh giá Lp −Lq khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.2 Phương trình tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.3 58 60 Phương trình nửa tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 62 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN 4.1 4.2 Dạng ma trận hệ phương trình Boussinesq đánh giá Lp − Lq 71 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 72 4.2.1 Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hoàn hầu tự đồng hình 72 4.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hồn tựa hầu tự đồng hình có trọng 4.3 69 79 Sự tồn tính ổn định nghiệm phương trình nửa tuyến tính 81 4.3.1 Sự tồn 81 4.3.2 Tính ổn định 83 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90 Những kết đạt 90 Đề xuất số hướng nghiên cứu 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 iv MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp số tự nhiên R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực không âm X : Không gian Banach L(X) : Không gian ánh xạ tuyến tính bị chặn X AP (R, X) : Không gian hàm hầu tuần hồn từ R → X AA(R, X) : Khơng gian hàm hầu tự đồng hình từ R → X S p AA(R, X) : Không gian hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X Rn+ := {x = (x0 , xn ) ∈ Rn : xn > 0} ( Z Lp (Ω) ku(x)kp dx u : Ω → X : kukp = := ) 1/p < ∞, ≤ p < ∞ Ω L∞ (Ω) := {u : Ω → X : kuk∞ = ess sup |u(x)| < ∞} Lploc (Ω) Z 1/p p := u : Ω → X : ku(x)k dx < ∞} x∈R Ω0 với Ω0 ⊂ Ω tập compact ≤ p < ∞ W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k ≤ p < ∞} p1 X với chuẩn kukk,p := kDα ukpp |α|≤k W k,∞ (Ω) := {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k} với chuẩn kukk,∞ := max kDα uk∞ |α|≤k BC(R, X) := u : R → X liên tục := u : R → X liên tục kuk∞ = sup ku(t)k < ∞ t∈R ( ) BC(R+ , X) := C(R, X) u : R+ → X liên tục kuk∞ = sup ku(t)k < ∞ t∈R+ U U∞ P AA0 (R, ρ) := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương} Zr ρ(x)dx = ∞ := ρ ∈ U : lim r→∞ −r Zr := φ ∈ BC(R, X) : lim kφ(s)kX ρ(s)ds = r→∞ m(r, ρ) −r W P AP (R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AP (R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) W P AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AA(R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) W S p AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ S p AA(R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) K(t, x) (X0 , X1 )θ,q (X0 , X1 )θ,∞ := inf {kx0 kX0 + tkx1 kX1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,q < ∞, với < θ < ≤ q < ∞ ∞ 1q Z dt với kxk(X0 ,X1 )θ,q := [t−θ K(t, x)]q t := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,∞ < ∞, với < θ < với kxk(X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x) t∈(0,∞) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = t→0 t→∞ C ∞ (Ω) : Không gian hàm khả vi cấp vô hạn Ω C0∞ (Ω) : Không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω ∞ C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = Ω} := u ∈ L1loc (Ω) : kukp,q < ∞, với < p < ∞ ≤ q < ∞ 1/q ∞ Z q ds với kukp,q = sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s := u ∈ L1loc (Ω) : kukp,∞ < ∞, với < p < ∞ Lp,q (Ω) Lpw (Ω) với kukp,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s>0 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn khái qt chúng phương trình tiến hóa hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm phương trình tiến hóa theo thời gian Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, số phương pháp thường sử dụng nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov [4] áp dụng cho số lớp phương trình vi phân cụ thể Các phương pháp phổ biến cho việc chứng minh tồn nghiệm tuần hồn tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thơng qua phép nhúng compact [3, 4, 5, 6] Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng miền khơng bị chặn hay phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng cịn tồn nghiệm bị chặn khó đạt Điều điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặn nghiệm khơng dễ dàng tìm Một phương pháp để giải khó khăn sử dụng nguyên lý dạng Massera, nghĩa phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hoàn Thực tế, việc kết hợp nguyên lý dạng Massera không gian nội suy sử dụng để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình học chất lỏng (các dịng thủy khí) phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7, 8] Trong cơng trình này, hàm tử nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp Ergodic [8] Đối với trường hợp dịng thủy khí, tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes phương trình dạng Navier-Stokes trở thành hướng nghiên cứu quan trọng Trong miền bị chặn, Serrin sử dụng tính ổn định nghiệm bị chặn để tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes [9] Sau đó, tồn tại, nhất, tính ổn định dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hoàn tồn khơng gian Rn , miền khơng bị chặn Rn toàn trục thời gian R mở rộng nghiên cứu cơng trình [10, 11, 12, 13] Bên cạnh có số phương pháp khác sử dụng hữu hiệu Phương pháp phải kể đến kỹ thuật “miền xâm lấn” sử dụng Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] Yudovich [17] để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn miền khơng bị chặn Ngồi ra, cách sử dụng tính chất nội suy không gian Lp yếu, Yamazaki [18] tồn tính ổn định nghiệm tuần hồn miền ngoại vi Cuối cùng, phải kể đến số kết nghiệm tuần hoàn phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi số cơng trình [19, 20, 21, 22] Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, số phương pháp phát triển Bochner, Stepanov, Besicovitch Weyl thông qua định nghĩa đưa H Bohr [23] vào năm 1925 Lớp hàm hầu tuần hoàn đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học như: Phương trình vi phân, hệ động lực giải tích điều hịa Các kiến thức hàm hầu tuần hồn trình bày đầy đủ [24, 25, 26] Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn toàn trục thời gian mở rộng nghiên cứu cho phương trình dịng thủy khí miền khơng bị chặn Nguyễn Thiệu Huy & cộng [27, 28] Farwig & Tanuichi [29] Cụ thể [28], tác giả phát triển phương pháp [8] để chứng minh nguyên lý dạng Massera tồn tại, tính ổn định nghiệm hầu tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi, phương trình NavierStokes khơng gian Besov phương trình Navier-Stokes-Oseen miền không bị chặn Trong [27], tác giả xét lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng qt đưa hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết khơng gian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau sử dụng đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối ngẫu định lý nội suy tổng quát để chứng minh tồn tại, nghiệm hầu tuần hoàn áp dụng kết cho luồng thủy khí Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ nhỏ cho lớp phương trình tiến hóa parabolic [30] Bên cạnh đó, Farwig & Tanuichi chứng minh tính toàn cục nghiệm hầu tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes [29] Khái niệm hàm hầu tuần hồn có trọng giới thiệu Zhang [31] vào năm 1994 Sau đó, Diagana [32] đưa khái niệm hàm tựa hầu tuần hồn có trọng vào năm 2008 Trong năm gần đây, loại hàm nhận