Đề tài thảo luận Khắc phục hiện tương phương sai của sai số thay đổi A, LÝ THUYẾT I Các lý thuyết liên quan đến khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi 1 1 Định nghĩa phương sai của sai số.
Đề tài thảo luận : Khắc phục tương phương sai sai số thay đổi A, LÝ THUYẾT I Các lý thuyết liên quan đến khắc phục tượng phương sai sai số thay đổi I.1 Định nghĩa phương sai sai số thay đổi Khi nghiên cứu mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển, đưa giả thiết rằng: phương sai nhiễu ngẫu nhiên Ui điều kiện giá trị cho biến giải thích Xi khơng đổi, nghĩa là: Var ( U i / X i ) =E ( U i )2=σ 2(i=1 ´, n) Ngược lại với trường hợp trường hợp: phương sai có điều kiện Y ithay đổi X i thay đổi, nghĩa là: E ( U i )2 =σ i2 I.2 Nguyên nhân Phương sai thay đổi số nguyên nhân sau: - Do chất mối quan hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế chứa đựng tượng Chẳng hạn mối quan hệ thu nhập tiêt kiệm, thông thường thu nhập tăng mức độ biến động tiết kiệm tăng - Do kỹ thuật thu thập số liệu đươc cải tiến, σ dường giảm Kỹ thuật thu thập số liệu cải tiến sai lầm phạm phải - Do người học hành vi khứ.Chẳng hạn, lỗi người đánh máy thời gian thực hành tăng… - Phương sai sai số thay đổi xuất có quan sát ngoại lai.Quan sát ngoại lai quan sát khác biệt nhiều (quá nhỏ lớn) với quan sát khác mẫu.Việc đưa vào hay loại bỏ quan sát ảnh hưởng lớn đến phân tích hồi quy - Một ngun nhân khác mơ hình định dạng sai Có thể bỏ sót biến thích hợp dạng giải tích hàm sai I.3 Hậu β j (OLS) ước lượng tuyến Các ước lượng bình phương nhỏ ^ tính, khơng chệch khơng cịn hiệu Khơng chệch: E ( β^j )=β j Khơng cịn hiệu quả: Các ước lượng bình phương nhỏ khơng cịn ước lượng có phương sai nhỏ β j - Các ước lượng phương sai ước lượng chệch, thống kê t F khơng cịn có ý nghĩa Do khoảng tin cậy kiểm định dựa thống kê t F khơng cịn đáng tin cậy - { H : β =0 + Kiểm định : H : β j ≠0 j + TCKĐ: T= ^ βj T (n−k ) Se ( ^ β j) n−k + Miền bác bỏ: W α : t tn :|t tn|>t α2 { } Var ¿ thay đổi, giả sử Var ( ^ β j ) tăng lên → Se ( ^ β j )tăng lên → Khoảng tin cậy t F rộng khơng đáng tin cậy ý nghĩa thực tế I.4 Cách khắc phục I.4.1 Phương pháp định tính - Dựa vào chất vấn đề nghiên cứu Thường chất vấn đề xem xét gợi ý cho ta phương sai thay đổi có khả xảy hay khơng ? Ví dụ, tiếp tục nghiên cứu cơng trình tiên phong Prais Houthakker ngân sách gia đình, họ tìm phương sai phần dư xung quanh hồi quy tiêu dùng thu nhập tăng theo thu nhập, người ta giả thiết tổng quát điều tra tương tự ta kỳ vọng phương sai không yếu tố nhiễu Trên thực tế, số liệu chéo liên quan tới đơn vị không đồng nhất, phương sai thay đổi quy luật khơng phải trường hợp ngoại lệ Như vậy, phân tích số liệu chéo liên quan tới chi đầu tư quan hệ với doanh thu, mức lãi suất, … phương sai thay đổi thường xảy công ty quy mô nhỏ, vừa lớn đưa vào mẫu - Phương pháp đồ thị Vì phần dư e i hàm hồi qui mẫu ước lượng sai số ngẫu nhiên U i nên dựa vào đồ thị phần dư ( bình phương phần dư) biến giải thích X ta có kết luận : Nếu độ rộng phần dư e (hay e 2) tăng hay giảm X tăng nghi ngờ phương sai sai số thay đổi Trong trường hợp nhiều biến giải thích, dung đồ thị e ( e 2) Y^i - Ví dụ: I.4.2 Phương pháp định lượng Kiểm định Goldfield – Quant ( G – Q ) - Bước 1: Sắp xếp giá trị quan sát theo chiều tăng biến X j - Bước 2: Bỏ c quan sát theo qui tắc: Nếu n=30 : lấy c=4 c=6 Nếu n=60 lấy c=10 Các quan sát lại chia nhóm, nhóm có ( n−c ) quan sát - Bước 3: Ước lượng mơ hình với ( n−c ) quan sát đầu cuối thu RSS1 RSS2 tương ứng với bậc tự là: d= n−c −k - Bước 4: Xây dựng TCKĐ: F= RSS RSS / d d Nếu giả thuyết H 0: phương sai sai số ngẫu nhiên khơng đổi thỏa mãn F F ( d , d ) Miền bác bỏ: W α ={ f tn : f tn > f α ( d ,d ) } Kiểm định Park Park đưa giả thiết: β V σ i2 = σ X i e i ln σ i2=ln σ + β ln X i +v i Trong α : xác định, β j : cố định, e i: thỏa mãn giả thiết MHHQ cố điển, vi : nhiễu ngẫu nhiên Vì thường σ i2 chưa biết nên thay ước lượng làe i2 ln e i2=lnσ 2+ β2 ln X i + v i Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc để thu phần dư e i Bước 2: Ước lượng hồi quy ln e i2=β 1+ β2 ln X i + v i Nếu có nhiều biến giải thích ước lượng hồi quy với biến giải thích với Y^i Bước 3: Kiểm định giả thuyết H : β 2=0 Nếu H bị bác bỏ kết luận có phương sai sai số thay đổi Kiểm định Glejser |e i|= β1 + β X i+ v i |e i|= β1 + β √ X i + v i |e i|= β1 + β X |e i|= β1 + β +v i i + vi √ Xi Nếu giả thuyết H : β 2=0 bị bác bỏ kết luận có phương sai sai số thay đổi Kiểm định White Kiểm định White đề nghị thủ tục khơng địi hỏi U có phân phối chuẩn Xét mơ hình : Y i=β + β X 2+ β X +U i Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc để thu phần dư e i Bước 2: Ước lượng mơ hình: e i2=α 1+ α X +α X 3+ α X 22+ α X 32 +α X X 3+ v i (1) R2 hệ số xác định bội từ (1) Bước 3: Xây dựng TCKĐ: χ 2=n R Bước 4: Xây dựng toán kiểm định: H :α 2=α 3=…=α 6=0 - Nếu H χ χ ( df )2 - Nếu n R2 vượt χ ( df )2 H 0bị bác bỏ từ kết luận có phương sai sai số thay đổi II Khắc phục tượng phương sai sai số thay đổi II.1 σ i2đã biết Khắc phục tượng phương sai sai số thay đổi σ i2đã biết phương pháp bình phương nhỏ có trọng số Xét mơ hình hồi quy mẫu biến : Y i=β + β X i+ ei Giả sử phương sai sai số σ i2đã biết, chia hai vế mơ hình cho σ i(σ i> ¿ ta được: Yi Xi ei = β1 β2 + + σi σi σi σi ( ) ( ) Y i¿ =β 1¿ + β 2¿ X 2¿ + e i¿ Để thu ước lượng bình phương nhỏ ta cực tiểu hàm: n n β 2¿ X i¿ ) ∑ ei =∑ ( Y i¿− β^1¿ − ^ ¿2 i=1 i=1 Hay : e i2 n ¿ β2 Xi) ∑ σ =∑ ( Y i− β^1¿ − ^ i=1 i=1 i n Đặt W i = σ ta quay dạng n i n i=1 i=1 ∑ W i e 2i =∑ W i ¿ ¿ ¿ Nên ta viết ước lượng : ^ β 1¿=Y´ ¿- ^ β 2¿ X´ ¿ n n (∑ )(∑ i=1 ^ β 2¿=¿ Wi i =1 n n n ) (∑ )(∑ ) W i XiY i − n i=1 Wi Xi i=1 Wi Yi n (∑ )(∑ ) (∑ ) i=1 Wi i =1 i WiX − i=1 W i Xi n (∑ ) i=1 ¿ Var ( β^ )=¿ Wi n n n (∑ )(∑ ) (∑ ) i=1 Wi i =1 i WiX − i=1 W i Xi Ước lượng OLS β 1và β tính theo cách gọi ước lượng bình phương bé có trọng số (WLS); quan sát Y X chia cho trọng số (độ lệch chuẩn) riêng σ i II.2 σ i2chưa biết Xét mơ hình hồi quy gốc: Yi = β1 + β2 X2 + Ui Giả sử mơ hình thỏa mãn giả thiết MHHQ tuyến tính cổ điển trừ giả thiết phương sai sai số không đổi Xét số giả thiết sau phương sai sai số : Giả thiết 1: Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương biến giải thích E(Ui2) = σ2 Xi2 Chia vế mơ hình gốc cho X i ( X i ≠ 0) : Y i β1 Ui = + β + = β1 + β +v i (2) Xi Xi Xi Xi Ui ( vi = X số hạng nhiễu biến đổi) i 2 Và rõ ràng E ( v i) =σ , E ( v i) 2=E Ui σ X i2 = E ( U i )2= =σ 2 Xi Xi Xi ( ) Tất giả thiết MHHQTT cổ điển thỏa mãn với (2), ta áp dụng phương pháp bình phương nhỏ cho phương trình biến đổi (1) Hồi Yi quy X theo X Chú ý mơ hình hồi quy biến đổi β 1: số hạng i i chặn mơ hình hồi quy gốc, β 2: hệ số góc mơ hình hồi quy gốc Do để trở lại mơ hình hồi quy gốc ta phải nhân vế (1) với biến giải thích X Giả thiết : Phương sai sai số tỉ lệ với biến giải thích X Nếu sau ước lượng hồi quy phương pháp bình phương nhỏ nhất, vẽ đồ thị phần dư biến giải thích X quan sát thấy tượng phương sai sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích cách tin tưởng mơ hình gốc biến đổi sau : Với I chia vế phương trình gốc cho √ X i (với X i >0 ) Yi β U = + β2 √ X i + i =β + β √ X +v √ xi √ xi √Xi √ Xi i i ¿¿ Giả thiết : Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương giá trị kì vọng Y 2 E ( U i ) =σ ( E ( Y i ) ) Khi thực phép biến đổi sau : Yi β1 β U 1 = + β2 X +V + X i + i = β1 E(Y i ) E(Y i) E(Y i ) E(Y i ) E (Y i) E(Y i ) i i Ui ( vi = X thấy E ( v 1) =σ 2) √ i β X i ước lượng E ( Y i ) Ta có : Y^i= β^1+ ^ Bước : Ước lượng hồi quy ban đầu phương pháp bình phương bé thơng thường, thu Y^i , sau biến đổi mơ hình gốc thành dạng sau: Yi X U = β1 + β 2 + vi ( 3) v i= i Y^i Y^i Y^i Y^i ( ) ( ) ( ) Bước : Ước lượng hồi quy (3) dù Y^i khơng xác E ( Y i ) chúng ước lượng vững nghĩa cỡ mẫu tăng lên vơ hạn chúng hội tụ đến E ( Y i ) , phép biến đổi (3) sửa dụng thực hành cỡ mẫu tương đối lớn Giả thiết : Hạng hàm sai Đôi thay cho việc dự đoán σ i2 người ta định dạng lại mơ hình Chẳng hạn thay cho việc ước lượng hồi quy gốc ước lượng hồi quy: ln Y i= β1 + β ln X i+ U i Việc ước lượng hồi quy làm giảm phương sai sai số thay đổi tác động phép biến đổi loga Lưu ý: Khi nghiên cứu mơ hình có nhiều biến giải thích việc chọn biến để biến đổi cần phải xem xét cẩn thận Phép biến đổi logarit không dùng giá trị biến âm Khi σ i2chưa biết, ước lượng từ cách biến đổi Các kiểm định t, F mà sử dụng đáng tin cậy cỡ mẫu lớn, phải cẩn thận giải thích kết dựa phép biến đổi khác mẫu nhỏ III BÀI TOÁN Bộ số liệu sử dụng sản lượng, diện tích suất lúa mùa tỉnh Lạng Sơn năm 1995 – 2009 ( Nguồn: Tổng cục thống kê) Bộ số liệu gồm biến Sản lượng (Y), Diện tích (X) suất (Z) với mẫu 15 Trong kí hiệu: Y : sản lượng lúa (nghìn tấn) – Là biến phụ thuộc X : diện tích lúa ( nghìn ha) – Là biến giải thích Z : Năng suất lúa (tạ/ha) – Là biến giải thích Năm 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 X 10.4 10.2 10.6 10.1 10.6 12.7 13.8 13.9 15 17.6 18.4 17.7 19.1 20.7 20.2 Z 23.8 26.2 28.7 29.4 28.8 25.4 31.7 33 35.2 34.1 35.8 34.9 37.8 34.9 34.2 Y 82.3 92.5 101 100 97.6 86.5 109.8 113.5 120.2 117 121.8 118.7 128 118.9 116.5 Y^i=3,912384−0,119380 X+ 3,359319 Z Tính phần dư e i Tại cửa sổ Equation chọn Forcs →Make Residual Series….→ lưu e i Ước lượng giá trị Y^ Tại cửa sổ Equation, chọn Forecast→Forecast name gtY Tạo biến e i2 Tại cửa sổ Workfile chọn Object→Generate Series… Gõ vào ô Enter Equation: ei2 = ei^2 3.1.1 Kiểm định Park Ta sử dụng eviews hồi quy lne 2i theo lnY^ Trên eviews, ta thực vùng gõ lệnh: LS LOG(EI2) C LOG(GTY), bảng kết sau: Với mức ý nghĩa α = 5%, ta kiểm định giả thiết sau: { H : Kh ng c ó ph ươ ng sai sai s ố thay đổ i H : β 2=0 H :C ó phươ ng sai sai s ố thay đổ i H : β2≠ { ^ β2 −β¿ Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định : T= ^ se ( β 2) Nếu H T ~ T (n-k) (n−k) Với α =5%, ta tìm phân vị t α2 = t (15−2) 0,025 = 2.160 cho (n−k) P (│T│> t α2 )= α { (n−k) Ta có miền bác bỏ: W α = t tn :|t tn|> t α2 } Dựa theo kết eviews, ta tìm |t tn|=2.358199 Nhận thấy |t tn|=2.358199 > t (15−2) 0,025 = 2.160 nên t tn ∈W α → Bác bỏ H , chấp nhận H Kết luận, với mức ý nghĩa α = 5%, ta khẳng định có tượng phương sai sai số thay đổi Hoặc từ bảng eviews ta tìm giá trị P-value = 0.0347 Nhận thấy α= 0.05 > P-value = 0.0347 nên ta đủ sở để bác bỏ H 0, chấp nhận H Kết luận, với mức ý nghĩa α = 5%, ta khẳng định có tượng phương sai sai số thay đổi 3.1.2 Kiểm định Glejser β1 +^ β 2.Y^ T thực hồi quy |e^i|=¿ ^ Tại vùng gõ lệnh ta gõ : LS ABS(EI) C GTY, ta kết sau Từ kiểm định Glejser trên, ta nhận hàm hồi quy: |e^i|=¿3.893900 – 0.028420.Y^ Với mức ý nghĩa α = 5%, ta kiểm định giả thiết sau: { H : Kh ô ng c ó ph ươ ng sai sai s ố thay đổ i H : β 2=0 H :C ó phươ ng sai sai s ố thay đổ i H : β2≠ { ^ β2 −β¿ Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định : T= ^ se ( β 2) Nếu H T ~ T (n-k) (n−k) Với α =5%, ta tìm phân vị t α2 = t (15−2) 0,025 = 2.160 cho ¿¿ P (│T│> t α2 ) = α { (n−k) Ta có miền bác bỏ: W α = t tn :|t tn|> t α2 } Dựa theo kết eviews, ta tìm |t tn|=2.667835 Nhận thấy |t tn|=2.667835 > t (15−2) 0,025 = 2.160 nên t tn ∈W α → Bác bỏ H , chấp nhận H Kết luận, với mức ý nghĩa α = 5%, ta khẳng định có tượng phương sai sai số thay đổi Hoặc từ bảng eviews ta tìm giá trị P-value = 0.0193 Nhận thấy α= 0.05 > P-value = 0.0193 nên ta đủ sở để bác bỏ H 0, chấp nhận H Kết luận, với mức ý nghĩa α = 5%, ta khẳng định có tượng phương sai sai số thay đổi 3.2Khắc phục tượng phương sai sai số thay đổi Ta dùng giả thiết thứ 3: Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương giá trị kỳ vọng Y Tạo biến Tại cửa sổ workfile, chọn Object→Generate Series… Gõ vào ô Enter Equation công thức sau Y1= Y/GTY C1= 1/GTY X1= X/GTY Z1= Z/GTY Lập hàm hồi quy mẫu Y^1= β^1 C 1+ ^ β2 X + ^ β3 Z1 Sử dụng phương pháp OLS, ta gõ vào vùng lệnh LS Y1 C1 X1 Z1 β 1=3.340528, ^ β 2= -0,150454 , ^ β 3= 3.392018 Ta bảng kết eviews sau với ^ Vậy hàm quy mẫu là: Y^1=3.340528 C1−0,150454 X 1+3.392018 Z Tìm phần dư e i hàm hồi quy Tại cửa sổ Equation chọn Forcs →Make Residual Series….→ lưu e i hồi Ước lượng giá trị Y^1 Tại cửa sổ Equation, chọn Forecast→Forecast name gtY1, ta bảng sau