ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN-GTNN và giải phương trình

ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiếnthức về bất đẳng thức l à khá khó Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳngthức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh Đối với phần kiến thứcnày thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức

để giải các bài toán có liên quan

Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v àmuốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảngdạy toán sau này Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình” để tìm hiểu thêm Khi vận dụng bất đẳngthức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vậndụng Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ Trong đề tài này tôi trình bày cách v ận dụng

ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình đểrèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có thể tích lũyđược kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳngthức nói trên Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳngthức nói trên

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thứcvectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương trình Đềtài này chủ yếu xoay quanh ba đối t ượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu v àchứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên đểgiải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU

Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, thamkhảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn

PHẦN NỘI DUNG

a   dấu “=” xảy ra ab0

b a b

n

a a

a1 2    1  2  

1.3.2 Bất đẳng thức Côsi

Cho hai số dương a, b ta có:

ab b

a 2Dấu “=” xảy ra a b Tổng quát: cho n số không âm a a1, 2, ,a n n2, ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra

d

b c

Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì

có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giáthông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trong các ph ương pháp nêutrên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong nhữngphương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củabiểu thức và hàm số Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thôngdụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thứcvectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số f x x( ,1 2, ,x n)), từ đó suy ra giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm

Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trịlớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số Lược đồ chung của phương pháp này

có thể miêu tả như sau:

- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P ( , x x1 2, ,x n)Dvới bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc P ( , x x1 2, ,x n)Dđối với bài toán tìmgiá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D

- Sau đó chỉ ra một phần tử (x01,x02, ,x0n)Dsao cho P(x01,x02, ,x0n).Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để ápdụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳngthức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vectơ

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

3

2( )

Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các

thành phần của hàm số hoặc biểu thức Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của haiphần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểuthức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳngthức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Cho ba số thực dương a ,,b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

b b

a

111

c c

b b a

11

11

121

1

c

c b

b a c

11

111

111

1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

 b c

bc c

c b

Vậy Mmax = 1

8 tại

12

n

n a



Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ma a1 2 a n

Lập luận như trên ta được Mmax 2n tại 1 2 1

Từ (4) và (7) suy ra f x( )3  x D

Bài 5: Cho ba số thực dương a b c , ,

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c

 với mọi số thực dương a b c thỏa a, ,  b c.

Bài 6: Cho ba số thực dương a b c thỏa:, , a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức Sabc a b b c c a      

11

Vậy MinA = 6 tại a  b c 1

Bài toán tổng quát:

Vậy Pmin = 18 tại a  b c 1

Bài 11: Cho n số dương x x x1, 2, 3, ,x n n2 thỏa mãn x1x2  x n 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu

thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng củacác biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số Và sau khi áp dụng bất đẳng thứcBunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được vềhằng số

Vậy MinP = 3 7 tại a  b c 1

Bài 2: Cho các hằng số dương a b c và các số dương, , x y z thay đổi sao cho, ,

x x

Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vect ơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức

cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạn g tổng bình phương của các số hạng hoặccăn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số.

Bài 1: Cho hai số thực x, thỏa mãn y 2x3y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

23

S x  y  x  y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn

6

352

93

42

3,3

32

3.6

35

132

232

,3

2 2 2

2

2 2

x v

u y

x v

u

y x v y x v

y

33

35

9,35

13

2223

2222

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

z y x z y x

yz xy xz z

y x z y x

yz xy xz z

y x

y z x

v

b a u b a

u

  





Do đó: v  2 2

222

11

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2b2 1

Vậy Amax  2 2 khi

2

2



b a

Bài 4: Cho ba số dương x,y,z và x yz 1

2 2 2

P

z

z y

y x

x x u x x

y y v y y

z z w x

Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  uvw ta có:

2 2 2 2 2

y x z

z y

y x

8081

111

z y x z

y x z

y x z

y x

2111

y x z

y

81

2 2

81.2

13.3.9

y x

Và do (1) nên:

821

11

P  2 2  2  2  2  2 

z

z y

y x

4

16,

4

16,

4

2 2

2 2

2 2

by ax c b a w v

u

cz c w

cz c

w

by b v

by b

v

ax a u

ax a

Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin= 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a Có hai trong ba vectơ bằng vectơ 0

b Có một trong ba vectơ bằng vectơ 0

23

02

0,0

0

c b a

c b a

z y x

cz by ax

c b a

m k

mcz by

kby ax

kb a

m cz

by c b

k by

ax b a

Bài 6: Cho các số dương x,y,z thỏa xyyzzx4 Tìm giá trị bé nhất của biểu

z y x u z y x

3 x  y z  x y z

Mặt khác ta có:

zx x

z

yz z

y

xy y

x

222

2 2

2 2

2 2

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1064

28

,3

42

,

842

,2

2 2 2

v u

b b w b

w

b a v b

a v

a a u a

u

Ta có: uvw  u v  w

251064

28

23

Vậy Amin 5 2 tại a0,b2

Bài 8: Cho aR Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5213

,1

923

,2

2 2

u

a v a

v

a u a

b c ab

a

22

b b



Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

2 2

2 2

2 2

212

,1

212

,1

212

,1

a c

w a

c w

c b

v c

b v

b a

u b

a u

b a w v

Mặt khác: abbccaabc 111 1

Do đó: uvw 1, 2  uvw  3

Mà: u  v  w  uvw

3212121

B 2  2  2  2  2  2 



a c c b b a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc3

Vậy Bmin  3 khi abc3

52

5 4

x x

2 2 2

44

99

A x  y  x  y  x  y  x  y

Bài 8: Cho biết x2 y2z2 27 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

( , , )

f x y z    x y z xy yzzx

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa10010a1010

Bài 10: Cho x,y,z thỏa mãn hệ sau:

2 2

z yz y

y xy x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P xy yz zx

Bài 14: Cho ba1 số thực a, b, c bất kỳ.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1   

z y

y x

x

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy:

z y

1,1

1,11

và 1x, 1 y, 1z

Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Nói về phương trình thì có rất nhiều loại phương trình như phương rình bậchai, bậc ba…,phương trình vô tỉ, phương trình mũ, phương trình logarit….Mỗiphương trình có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau mẫu mực hay không mẫumực Trong số các ph ương pháp giải của các phương trình thì phương pháp sử dụngbất đẳng thức có thể coi l à phương pháp độc đáo và sáng tạo đòi hỏi người giải toánphải linh hoạt Sử dụng phương pháp này ta có th ể sử dụng nhiều bất đẳng thứckhác nhau, có thể vận dụng riêng lẻ hoặc kết hợp nhiều bất đẳng thức Sau đây làmột số bài toán giải phương trình bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức m à bấtđẳng thức được sử dụng chủ yếu là bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳngthức vectơ

3.1 Vận dụng bất đẳng thức Côsi

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Côsi để giải thì: một trong hai vế của

phương trình sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi phải lớn h ơn hoặc bằng (nhỏ hơnhoặc bằng) vế còn lại, hoặc sau khi áp dụng bất đẳng thức th ì được một đẳng thứcước lượng được nhỏ hơn (lớn hơn) hoặc bằng vế còn lại để áp dụng được điều kiệnxảy ra của bất đẳng thức Côsi

Bài 1: Giải phương trình:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

8

1.228

1.24

1

x x

3

2x x   x x  x   x

Ta có dấu “=” xảy ra, do đó

224

18

124

Điều kiện: 3x5

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

22

15

2

13

1.51.35

x x

x x

Mặt khác: x2 8x18x28x162x4222

Do đó: x3 5x  x2 8x182 x42 22

 42 0 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x4

Bài 3: Giải các phương trình sau:



x x

44

2

543

22132

2

2 2

x x x

x x

x x x

x

Thử lại x1 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x1

3

11

1.1

323

11

829

123

11

x

x x

x x

x x

x

Thử lại x2 và x4là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x2 và x4

Bài 4: Giải phương trình sau:

2

51

8 2  

x x Giải:

Điều kiện: x0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

x x

x x

x x

4

114

114

114

18

1

2

51.2

2.5

1

1

1

1.4

1.8

2 2 8

3 5

x x x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi v à chỉ khi:

414

1

01

.32

01

4

18

0

5 5 4

x x x x x x

x

Thử lại: x4thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là x4

Bài 5: Giải phương trình sau:

x x

010

x

x x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

11121

1.11

.11

11

x x

1

11

2

2

51

012

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:

Vậy nghiệm của phương trình là

x

x x

0520

94

094

2 2

2 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số d ương, ta có:

 9  4 2 2 81 2 81 2.3 62

94

942

949

4

2 4 2

2

2 2

2 2

x

x x x

x x

x x

x

Dấu “=” xảy ra, do đó: 0

02

02

x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x0

Bài 7: Giải phương trình sau: 9x2  3x  3x 32 3

Giải:

03

03

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

3232

33

.3

12

33

.3

12

33

3.33

13.33

13

33

x x

x x

x x x

x x

33

33

x x

x x

0



Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  x0

Bài 8: Giải phương trình sau:  

x x x

Ta có:  

x x x

.3

349225

2 2 2

x

x x

x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số d ương: 5x2; 5x2;2x29 có:

 2  3 4 2 

2 2

9225.3925

Dấu “=” đẳng thức (*) xảy ra khi v à chỉ khi:

33

9392

5x2  x2   x2   x2   xThử lại: x 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3

Bài 9: Giải phương trình 2 7x311x2 25x12  x2 6x1

7  

4

112

13

721

biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được về hằng số Sau đó vận dụng điều kiện bằngnhau của bất đẳng thức Bunhiacopski đưa ra nghiệm của phương trình.

Điều kiện: x0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số:

;2

1.11

1.221

22

x

x x

11

1.1

Dấu “=” trong (1) xảy ra khi v à chỉ khi:

x x

x

x x

x x

x

x x

11

221.1

11

221

111

718

11



x

Vậy phương trình có nghiệm là

2 2

2 2

33125723632

726

33

x x

x

x x x

x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 3 6 2 2 7

3x2 x  x2 x

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1;x4

Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số N:

.1284

2 4

4 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

x y

x

y x y

x

Dấu đẳng thức xảy ra khi v à chỉ khi :

2 2  77

2

72

y

x y

x

y x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    x,y  2;3

Bài 4: Giải phương trình sau: x22x 2x1 3x24x1

Giải:

Điều kiện:

210

143

012

022

x x

x x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

122

11

2.12

212.12 x  x  x2xx x2 x 

51

x x

Kết hợp điều kiện ban đầu ta có nghiệm l à

5314

544

141

45

.1221

2

2 2

x x x

x

x x x

Dấu đẳng thức xảy ra trong (2)  2 5x2 4x x2

5

5620

16205

02

33.271313.1319113

x x

x x

x x

x

x 10 1616

1610

33.131313

x x

(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Điều kiện: 0 1

01

.1

21

111

.1.1

x

x x x

x

4 x41x  x 1x  24 8Dấu “=” trong đẳng thức xảy ra khi v à chỉ khi:

2

11

14

x x

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

111

10

0132 2

x

x x

113.1

2 2

2 2

2 2

x

x x x x x

x  x x

x x x x

521

13Dấu “=” xảy ra khi và chỉ

11

1211

131

13

2 2

2 2

x x x

x x

x

x x x

21

22.5

.2.221

225

22

147

221

2 2

2

2 2

2 2

x

x x x

x x x x

x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

 2 3 4 02

5x2 x x2   x2 x 

x

x

(2)

Từ (1) và (2) ta có nghiệm của phương trình là: x1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1

3.3 Vận dụng bất đẳng thức vect ơ

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức vectơ vào việc giải phương trình đòi

hỏi phương trình đó có chứa căn bậc hai của hai tổng b ình phương để ta phân tíchthành độ lớn vectơ, hoặc chứa tổng của hai t ích cho thấy được sự phân tích của tích

vô hướng của hai vectơ Từ đó ta áp dụng các bất đẳng thức vect ơ đã biết để ướclượng và vận dụng điều kiện xảy ra của dấu “=” để t ìm nghiệm của phương trình

Bài 1: Giải phương trình sau: x2 2x5 x2 6x10  5

Giải:

Điều kiện: xR

Ta viết lại phương trình: x124 x32 1 5 (*)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa độ sau:

62



 x x x (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x5

Bài 2: Giải phương trình sau: x2  2x  10  x2  6x  13  41

Giải:

Điều kiện: xR

Ta viết lại phương trình: x12 9 3x2 4  41 (*)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa độ sau:

3 ,2 3  4

913

,1

2 2

x v

x u x

u

33





x x x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là

51

x u

5,1

13

1,

.13

x

25

11

464917

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

Bài 4: Giải phương trình sau: x2 8x816  x2 10x267  2003

211,5

8168

220,4

2 2

u

x x

v x

v

x x u x

u

Theo đề bài ta có: uv  u  v

Dấu “=” xảy ra x x

x

x

2010011

442

11

2205

31    

Vậy nghiệm của phương trình là:

3156

v

u u

x x

v u v

24

1Nhận thấy: x2 6x11x3222

42

x

Vậy nghiệm của phương trình là: x3

Bài 6: Giải phương trình sau:

x

x x

x x

x

21

212

1

212

121

2121

Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 0

21

212

1

21

2121

x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0

Bài 7: Giải phương trình sau: x2 x43 x4 x4 1

0,42

140

,14

2 2

u

x v

x v

x u

x u

Mà: u  v  uv

42

1

2141

2141

214

2141

42

14

x x

Vậy nghiệm của phương trình là:

2

1

21