ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN-GTNN và giải phương trình

ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN

Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình PHẦN MỞ ĐẦU Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói chương trình tốn bậc trung học phổ thơng th ì phần kiến thức bất đẳng thức khó Nói bất đẳng thức có nhiều bất đẳng thức nhà Toán học tiếng tìm chứng minh Đối với phần kiến thức có hai dạng tập chứng minh bất đẳng thức v vận dụng bất đẳng thức để giải tốn có liên quan Là sinh viên ngành tốn tơi khơng ph ủ nhận khó bất đẳng thức v muốn tìm hiểu thêm úng dụng bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng dạy toán sau Do tơi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giải phương trình” để tìm hiểu thêm Khi vận dụng bất đẳng thức để giải tốn dạng có nhiều bất đẳng thức để vận dụng Ở giới hạn ba bất đẳng thức l bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski bất đẳng thức vectơ Trong đề tài tơi trình bày cách v ận dụng ba bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ v giải phương trình để rèn luyện khả vận dụng bất đẳng thức để giải tốn v qua tích lũy kinh nghiệm giải toán để giảng dạy sau n ày II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu đề tài tổng hợp toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giải phương trình bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng thức nói Qua tơi hi vọng đưa đầy đủ dạng vận bất đẳng thức nói III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng đề tài ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v bất đẳng thức vectơ với tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương trình Đề tài chủ yếu xoay quanh ba đối t ượng bên cạnh tơi giới thiệu v chứng minh số bất đẳng thức thông d ụng khác IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phạm vi đề tài xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức nêu để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giải phương trình VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích tập giải minh họa, tham khảo ý kiến cán hướng dẫn Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình PHẦN NỘI DUNG Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số thực a, b bất kỳ, ta định nghĩa: a b a b 1.2 Tính chất bất đẳng thức a b a c b c a c b c a b a b c a c b a b c d a c e b e f a b m ma a b m ma a b c d ac bd an bn a b a b d f mb mb n 1.3 Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối a b a b dấu “=” xảy a b ab a b a1 a2 an a1 a2 an 1.3.2 Bất đẳng thức Cơsi Cho hai số dương a, b ta có: a b ab Dấu “=” xảy a b Tổng quát: cho n số không âm a1 , a2 , , an n a1 a2 an n n a1.a2 an n Dấu “=” xảy a1 a2 an Mở rộng: Cho n số dương a1 , a2 , , an n có: n Thì: a1 a2 an n 1a1 Dấu “=” xảy a1 a2 a an 2 Trang a n n , ta ln có: n số , , , n dương Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 1.3.3 Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai số a, b c, d ta có: ac bd a2 b2 c2 d a b Dấu “=” xảy c d Tổng quát: Cho n số a1 , a2 , , an b1, b2 , , bn tùy ý ta có: a1b1 a2b2 anbn a12 a1 b1 Dấu “=” xảy a2 b2 2 2 a2 an b12 b2 bn an bn Mở rộng: Cho m số, gồm n số không âm: , b i , c i Khi ta có: a1a2 am a1m b1b2 bm c1c cm m b1m c1m a2 m m m m b2 c2 am Dấu “=” xảy a1 : b1 : : c1 a2 : b2 : : c2 1.3.4 Bất đẳng thức Bernuolli Cho a r N : n Nếu n a u.v n na u v u v u v u v u v u w v u v w Trang u v w m m bm cm an : bn : : cn na dấu “=” xảy Nếu a n a 1.3.5 Bất đẳng thức vectơ i 1, 2, , m a n Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2.1.1 Định nghĩa Cho biểu thức P( x1, x2 , , xn ) ( hàm số f ( x1, x2 , , x n ) ), xác định D ( x1, x2 , , xn ) D - Nếu P( x1, x2 , , x n ) M (hoặc f ( x1, x2 , , xn ) M ) ( x1, x2 , , x n ) D cho: P( x1, x2 , , xn ) M M gọi giá trị lớn P( x1, x2 , , xn ) (hoặc f ( x1, x2 , , x n ) ) Kí hiệu maxP Pmax ( max f ( x1, x2 , , x n) f ( x1, x2 , , x n )max ) - Nếu P( x1, x2 , , x n ) m ( f ( x1, x2 , , x n ) m ) m gọi giá trị nhỏ P( x1 , x2 , , xn ) ( hàm số f ( x1, x2 , , x n ) ) Kí hiệu minP Pmin (min f ( x1, x2 , , x n ) f ( x1 , x2 , , x n )min ) 2.1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức (h àm số) phương pháp vận dụng bất đẳng thức Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (hàm số) kể đến phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá thông thường phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trong ph ương pháp nêu phương pháp sử dụng bất đẳng thức coi phương pháp thông dụng hiệu để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức hàm số Đối với phương pháp này, ta sử dụng bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số f ( x1, x2 , , x n ) ), từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cần t ìm Phương pháp này, tên g ọi nó, dựa trực tiếp v định nghĩa giá trị lớn nhỏ biểu thức hàm số Lược đồ chung phương pháp miêu tả sau: - Trước hết chứng minh bất đẳng thức có dạng P ( x1 , x2 , , xn ) D với tốn tìm giá trị nhỏ (hoặc P ( x1 , x2 , , xn ) D tốn tìm giá trị lớn nhất), P biểu thức hàm số xác định D - Sau phần tử ( x01 , x02 , , x0 n ) D cho P( x01 , x02 , , x0 n ) Tùy theo dạng toán cụ thể mà ta chọn bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá trị nhỏ lớn Do phạm vi đề tài, giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng thức là: Côsi, Bunhiacopski phương pháp b ất đẳng thức vectơ ( x 0) x3 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) x Giải: Ta có: f ( x) x x x x3 Trang x3 5 x 3 x6 5 ( BĐT Côsi) 27 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x Dấu “ =” xảy Vậy Min f x = 5 x 27 x3 x5 x 3 2.2 BÀI TẬP 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cơsi Lưu ý: Để biết tốn sử dụng bất đẳng Côsi ta cần ý đến thành phần hàm số biểu thức Nếu có dạng tích l tổng hai phần không âm đặc biệt sau vận dụng bất đẳng thức Cơsi th ì xuất biểu thức giả thiết ban đầu đưa số ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a b c P 1 b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a b a b b c Suy b c a b c 1 b c a abc abc c a c a P Hay Dấu “=” xảy a b c Vậy Pmin Bài 2: Cho ba số thực a, b, c thỏa 1 1 a b c Tìm giá trị lớn biểu thức M abc Giải: Ta có: 1 1 a b c 1 a 1 b 1 a 1 b c 1 c a Trang b c b c Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta được: b c b c bc b c bc b c a (1) Tương tự, ta có: 1 b 1 c ac a c (2) ab a b (3) Từ (1) , (2) (3) nhân vế với vế ta được: 1 1 a b c a b c Suy ra: M a 2b c 2 a b c abc a b c abc Dấu “=” xảy 1 a b c a b c Vậy M max a b c (thỏa điều kiện ban đầu) Cách khác: Từ giả thiết ta có: b c a b c a c a b 21 a b c ab bc ac a b c (1) 2abc ab bc ac Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 2abc ab bc ac 4 2a 3b 3c Từ (1) (2) ta được: 4 2a3b3c3 (2) 8abc hay M Dấu “=” xảy 2abc ab bc ac Trang 8 abc a b c Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Vậy M max = a b c Bài toán tổng quát: Cho a1 , a2 , , an 1 n thỏa mãn : i Tìm giá trị lớn biểu thức M xác định D x2 4 x a1.a2 an n a1 Lập luận ta M max Bài 3: Cho hàm số f ( x) n a2 an n 1 x R : x Tìm giá trị lớn f ( x) D x Giải: Áp dụng bất thức Cơsi ta có: x2 x x x x (1) x x 1 x (2) x x 1 x (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược: f ( x) 1 x x (4) x D Nhận thấy (4) xảy (1), (2) (3) đồng thời xảy x Lại áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: x x 1 x x Từ (5), (6) đưa đến: 1 x (5) 1 x (6) x x 1 x x (7) Dấu “=” (7) xảy (5) (6) đồng thời xảy x Từ (4) (7) suy f ( x) x D Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Ta lại có f (0) 3, D Do đó: max f ( x) = Bài 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số thực sau: 1 x x f ( x) với x Giải: Ta có: f ( x) 1 x x x x x x x 1 x x x x x x x x x Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: x x x x 2 x x x x f ( x) Dấu “=” xảy Vậy f ( x) x x x x x x 2 Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c a b c b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P c a a b Giải: Đặt: x b c, a b c y c a, z a b x y z Và y z x , a b z x y , c x y z (*) Từ ta có: P y z x 2x y x z x y 2y x y x y z 2z z x z y x z y z x y z Trang 10 z x y x y z Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Vậy nghiệm phương trình x x2 Bài 6: Giải phương trình sau: Giải: x2 4x x2 4x x 2 4x x x2 4x x Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số d ương, ta có: Điều kiện: x2 x2 4x x2 4x x Dấu “=” xảy ra, đó: x2 x4 2x2 4x 2 R x x 81 81 4x 2.3 x 2x Vậy nghiệm phương trình cho là: x x2 Bài 7: Giải phương trình sau: x x 3 Giải: x2 Điều kiện: x 0 x x Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm, ta có: x2 x x x x 3 x x x 3 x 3 x x x x Vậy phương trình cho có nghiệm là: Bài 8: Giải phương trình sau: 25 x x Giải: Điều kiện: x x 3 Trang 31 x 4x x x 3 x Do vậy: x 3 3 x 3 x Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Ta có: 25 x x x 4x2 4x 25 x x 3.3 25 x x 5x 5x 2x2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số d ương: x ; x ; x có: (*) x x 2 x 3.3 25 x x Dấu “=” đẳng thức (*) xảy v khi: 5x 2x 3x x2 x Thử lại: x nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài 9: Giải phương trình x 11x x2 25 x 12 6x Giải: Ta có: x 11x 2 7x x Điều kiện: x x 7x x2 25 x 12 x x x 6x 6x 0 (vì x x x 2 11 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: x 4; x x 7x x2 x x 7x x x x 11x 2 x có: x 25 x 12 Dấu “=” xảy khi: x x x x 8x x (thỏa điều kiện) x Thử lại: x 1; x nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 1; x 3.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski t hì phương trình phải có dạng tích hai biểu thức tổng biểu thức m chúng tích hai thừa số Và sau áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski th ì phải có phần đưa Trang 32 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình biểu thức giả thiết ban đầu v đưa số Sau vận dụng điều kiện bất đẳng thức Bunhiacopski đưa nghiệm phương trình 2 x Bài 1: Giải phương trình: x x Giải: Điều kiện: x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: x có: 2 ; x ; x x 2 x 2 x x x x x x (1) x x x Dấu “=” (1) xảy v khi: 2 2 x 2 x x x x x x x x x 1 (thỏa điều kiện) 8x x x x x x Vậy phương trình có nghiệm x x Bài 2: Giải phương trình: 13 x x x2 2x x 12 x 33 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho cặp số sau: 2; x x 6; x 2 x ta có: 2 32 x x x2 2x x 3x Dấu “=” xảy khi: x 3x x 2 x Trang 33 x2 2x x 12 x 33 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x2 5x x x Vậy phương trình cho có nghiệm x 1; x Bài 3: Giải phương trình sau tập số N: x y 28 17 x y 14 y 49 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 x y 28 x y 2 42 x y2 17 x y 14 y 49 Dấu đẳng thức xảy v : 4x2 y 2x y 2x y Vì x, y N nên x y 2x y x Ta có: 2x y y Vậy phương trình cho có nghiệm x, y 2;3 x2 Bài 4: Giải phương trình sau: 2x 3x 2x 4x Giải: x2 2x Điều kiện: x x 3x x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: x x 2 x x x 2x x2 12 x x 3x 2x 3x Dấu đẳng thức (1) xảy v khi: x x 2 x 2x2 x x x x 5 Trang 34 4x x2 x (1) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Kết hợp điều kiện ban đầu ta có nghiệm l x x2 4x Vậy nghiệm phương trình cho x Bài 5: Giải phương trình 2x Giải: Điều kiện: x x x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: x x x x 4x x2 4x x2 4x 2x Dấu đẳng thức xảy (2) x2 x x 2 5 x 20 x 16 (2) 4x x Bài 6: Giải phương trình sau: 13 x x 16 x Giải: Điều kiện: x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 13 x x 13 13 x 13 27 x 13 27 13 x 13 x 40 16 x 10 10 16 x 10 10 16 x 10 16 x (Bất đẳng thức Côsi) Đẳng thức xảy khi: 27 13 x 13 13 x (thỏa điều kiện) x 10 16 x 10 Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài 7: Giải phương trình sau: x x Giải: Trang 35 x x Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x 0 x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Bunhiacopski mở rộng ta có: x 1 x 1 x x Điều kiện: 1.4 x 1.4 x 1 1 1 x x x 41 x x x 48 Dấu “=” đẳng thức xảy v khi: x x (thỏa điều kiện) x 4 x x Vậy nghiệm phương trình cho x 3x Bài 8: Giải phương trình sau: x2 x x2 x 2 7x2 Giải: Điều kiện: x 3x x2 x (*) x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng ta có: x 1 x x x x x 1 3x x 3x x2 x Dấu “=” xảy x2 x x x2 x 3x x2 x x2 3x x x x x2 5x 1 x x Do (*) nên x x Áp dụng bất thức Cơsi ta có: 1 7x2 x 5x x x 2 2 2 x x x 2 2 7x2 x x x x 2 2 Dấu “=” xảy 5x x x 2 3x x Trang 36 x (1) x Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x x Từ (1) (2) ta có nghiệm phương trình là: x Vậy nghiệm phương trình cho x (2) 3.3 Vận dụng bất đẳng thức vect Lưu ý: Để áp dụng bất đẳng thức vectơ vào việc giải phương trình địi hỏi phương trình có chứa bậc hai hai tổng b ình phương để ta phân tích thành độ lớn vectơ, chứa tổng hai tích cho thấy phân tích tích vơ hướng hai vectơ Từ ta áp dụng bất đẳng thức vect biết để ước lượng vận dụng điều kiện xảy dấu “=” để t ìm nghiệm phương trình Bài 1: Giải phương trình sau: x2 x2 2x x 10 Giải: Điều kiện: x R 2 Ta viết lại phương trình: x x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn vectơ có tọa độ sau: u x 1,2 ; v x 3,1 w u v u v 2,1 w x Do (*) nên: u v Nên: x (*) v , dấu “=” xảy u k v với k >0 u x (điều kiện: x ) x x 2x x (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x Bài 2: Giải phương trình sau: x2 2x 10 x2 6x 13 41 Giải: Điều kiện: x R 2 Ta viết lại phương trình: x x 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn vectơ có tọa độ sau: u x 1,3 v x, u v x x Trang 37 (*) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình u v 4,5 u v 41 Kết hợp với (*) nên: u v Do đó: x x u u kv 3x 2x v x 7 Vậy nghiệm phương trình x Bài 3: Giải phương trình: x x 40 34 x 10 x 2x x3 (1) Giải: Điều kiện: x (1) x x 2x x (2) 4 x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn vectơ có tọa độ sau: u x,1 u v x 1, x u.v x u v Vì (2) nên: v x x u.v x x 2x 40 34 x 10 x x u v u kv x3 (k>0) x (điều kiện: x ; x 1) x 2x x 17 x 49 x 46 x (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x = Do đó: Bài 4: Giải phương trình sau: x2 x 816 x 10 x 267 Giải: Điều kiện: x R Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn u x,20 u v x,11 v u v 9,31 x2 x 10 x 267 81 2.312 u v Theo đề ta có: u v x 816 u v Trang 38 2003 2003 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x x 20 11 31x 56 Dấu “=” xảy 44 11x 100 20 x 56 31 56 31 x Vậy nghiệm phương trình là: x Bài 5: Giải phương trình sau: x x2 x x 11 Giải: Điều kiện: x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u 1,1 v u x 2, x u v 2, u.v x v x x Nhận thấy: x 2 x x 2 dấu “=” xảy x 11 x x Do dấu “=” xảy 2 x Vậy nghiệm phương trình là: x x x x Bài 6: Giải phương trình sau: 2x 2x 2x 2x 2x 2x Giải: 1 Diều kiện: x 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u v 1,1 u 2x , 2x u.v 2x u v v 2 Mà: u.v u v Nhận thấy: 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x Trang 39 2x 2x 2x 2x (BĐT Côsi) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 2x 2x Dấu “=” xảy 2x 2x 2x 2x 2x 2x Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài 7: Giải phương trình sau: x x x x x Giải: Điều kiện: x Ta viết lại phương trình dạng sau: 2 x + x = (*) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u v x 1,0 u x ,0 v u v 1,0 Mà: u v u v x x u v Theo (*) dấu “=” xảy x x x 1 x x 2 x x x Vậy nghiệm phương trình là: x Bài 8: Giải phương trình sau: R x x Giải: Điều kiện: x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Trang 40 2 2 2x với 2x R Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình u x 1, x v 1,1 u x x u v 2x Ta có: u.v 2x u v x 1 x x x Dấu “=” xảy x x x x x 10 x x x Vậy nghiệm phương trình x = 3.4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải phương trình sau: 1) x 2x x x 3) x 4 4) x 2x 5) x2 x4 x x x4 x3 4x 6) x 3 x x 40 2x 7) x 8) x2 2x 9) x x 10) x 3x 2x x3 4x 84 x 50 x 12 x2 2x 2 x x 4x x2 2 x 10 x2 x x2 2) 2 x u.v v x 29 Trang 41 6x Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình KẾT LUẬN Các dạng toán liên quan đến bất đẳng thức thường khơng dễ nên dạng tốn thường sử dụng để tuyển chọn học sinh giỏi Ban đầu, biết dạng chứng minh bất đẳng thức tr ên sở bất đẳng thức thơng dụng, sau dạng tốn đời sở bất đẳng thức thông dụng đ ã biết như: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải ph ương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình Trong đề tài tơi nghiên cứu hai dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giải phương trình dựa ba bất đẳng thức là: Côsi, Bunhiacopski bất đẳng thức vectơ Qua trình thực tơi rút điều sau: - Đế áp dụng bất đẳng thức để giải tốn địi hỏi kỹ nhận xét người giải phải nhạy bén, kỹ biến đổi tương đương biểu thức phải linh hoạt để đưa dạng bất đẳng thức cần áp dụng - Mặc dù dạng toán bất đẳng thức khó, khó đưa dạng bất đẳng thức cần vận dụng ta biết sử dụng thành thạo bất đẳng thức tuân thủ nguyên tắc biến đổi đẳng thức nhận xét nhạy bén để đ ưa dạng bất đẳng thức cần ứng dụng th ì tốn trở nên khơng khó Qua đề tài tơi học nhiều kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức thấy mối liên hệ bất đẳng thức với Trang 42 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS: Giá trị lớn nhỏ hàm số, NXB Giáo Dục, năm 2008 2) Tủ sách Toán học & tuổi trẻ, Các b ài thi Olympic Toán THPT (1990 – 2000) 3) Võ Giang Giai, Chuyên đề Bất Đẳng Thức, NXB ĐHQG H Nội, năm 2002 4) Nguyễn Thế Hùng, Bất đẳng thức bất phương trình đại số, NXB ĐHQG T.P Hồ Chí Minh, năm 2003 5) Hà Văn Chương, Tuyển tập 700 toán bất đẳng thức luyện thi v trường ĐH – CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi PTTH, NXB Trẻ, năm 1993 6) Nguyễn Đức Tuấn, Nguyễn Anh Ho àng, Trần Văn Hạnh, Nguyễn Đo àn Vũ, Giải phương trình – bất phương trình – hệ phương trình – hệ bất phương trình bất đẳng thức, NXB ĐHQG T.P Hồ Chí Minh, năm 2006 7) Trần Đình Thì, Dùng hình học giải tích để giải phương trình – bất phương trình – hệ phương trình – bất đẳng thức ,NXB ĐHQG H Nội, năm 2008 8) Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 toán bất đẳng thức giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất, NXB T.P Hồ Chí Minh, năm 2002 Trang 43 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình PHỤ LỤC Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đề thi đại học gần (Khối A năm 2006) Cho hai số thực x 0, y thay đổi thoả mãn điều kiện: 1 x y xy x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức A x y3 (Khối B năm 2006) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 x y2 x y2 y A (Khối A năm 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện: xyz Tìm x2 y z y2 z x z2 x y giá trị nhỏ biểu thức P = y y 2z z z z 2x x x x y y (Khối B năm 2007) Cho x, y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z y z yz zx xy (Khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x y Tìm giá trị lớn x xy giá trị nhỏ biểu thức P xy y (Khối D năm 2008) Cho x, y hai số thực không âm thay đổi T ìm giá trị lớn giá trị nhỏ x y xy biểu thức P 2 x y P x Trang 44 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU PHẦN NỘI DUNG Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức 1.2 Tính chất bất đẳng thức 1.3 Một số bất đẳng thức Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức (h àm số) phương pháp vận dụng bất đẳng thức 2.2 BÀI TẬP 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức Côsi 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhi acopski 15 2.3 Sử dụng bất đẳng thức vect 20 2.4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 26 Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP 28 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 28 3.1 Vận dụng bất đẳng thức Côsi 28 3.2 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 32 3.3 Vận dụng bất đẳng thức vect 37 3.4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 41 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 PHỤ LỤC 44 MỤC LỤC 45 Trang 45 ... giải phương trình Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Nói phương trình có nhiều loại phương trình phương rình bậc hai, bậc ba… ,phương trình vơ tỉ, phương trình mũ, phương. .. phương trình logarit….Mỗi phương trình có nhiều phương pháp giải khác mẫu mực hay không mẫu mực Trong số phương pháp giải phương trình phương pháp sử dụng bất đẳng thức coi l phương pháp độc đáo sáng... số) phương pháp vận dụng bất đẳng thức Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (hàm số) kể đến phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá thông thường phương