kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy
KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY I Bất đẳng thức Cauchy , , 0x y z ta có : 2 x y xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 3 3 x y z xyz .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z + Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng 2x y xy ; 3 3x y z xyz II Các kĩ thuật sử dụng 1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Sử dụng dạng : 2 x y xy hoặc 2x y xy 3 x y z xyz hoặc 3 3x y z xyz Ví dụ 1: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng 8a b b c c a abc Giải Ta có 2a b ab . Đẳng thức xảy ra khi a b 2b c bc . Đẳng thức xảy ra khi b c 2c a ca .Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra: 8 . . 8a b b c c a ab bc ca abc Đẳng thức xảy ra khi a b c hay tan giác đó đều. Ví dụ 2: Cho 0x . Tìm GTNN của hàm số 1 y x x Giải Ta có 0x thì 1 1 2 . 2x x x x . Đẳng thức xảy ra khi 2 1 1x x x 1x vì 0x Vậy 0 Min 2 x y khi 1x Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 1 2 3 3 x x y Giải x thì 1 2 3 ,3 x x đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 2 1 2 3 3 3 2 3 .3 2 3 6 3 x x x x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 3 3 1 2 2 x x x x x Vậy Min 6 3y khi 1 2 x . Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số 2 1 2y x x với 0x Giải Ta có 3 2 2 1 1 3 . . 3y x x x x x x . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 2 1 1 1x x x x Vậy 0 Min 3 x y khi 1x Ví dụ 5: Cho o b a . Chứng minh rằng 1 3a a b b Giải Ta có 3 1 1 1 3 . 3a a b b a b b a b b a b b a b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a b b a b b 3 2 2 2 1 1 1 a b a b a b b b a b b Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không? + Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp: 1. Chứng minh BĐT dạng . 2. Trong bài toán tìm GTNN. 3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số BÀI TẬP 1. , , 0x y z . Chứng minh rằng 1 1 4 x y x y 1 1 1 9 x y z x y z 2. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 a a . Đẳng thức xảy ra khi nào? 3. Cho , , 0a b c và 1.a b c Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 8 a b c . 4. Cho , , 0a b c và a b c abc . Chứng minh rằng 3 3a b c . 5. cho ,x y thỏa mãn 4 3 2 log 3y x . Tìm GTNN của 1 2 1 4 3.4 x y y T . 6. Tìm GTNN của hàm số 2 2 sin os 4 4 x c x y . 7. Cho , 0a b và 1a b . Chứng minh rằng 1 1 1 1 9 a b . 8. Chứng minh rằng 3 3 1 1 1 1a b c abc , , 0a b c . Đẳng thức xảy ra khi nào?. 9. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 2 2 2 8a b c a b c a b c a b b c c a . 10. Cho , , 0a b c và 1a b c .Chứng minh rằng 1 1 1 8 1 1 1a b c a b c . 11. Chứng minh rằng 2 1 1 1a b ab , 0a b 12. Cho , , 0x y z thỏa mãn 1xyz và n là số nguyên dương . Chứng minh 1 1 1 3 2 2 2 n n n x y z 2. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Sử dụng dạng 2 x y xy ; 3 3 x y z xyz Ví dụ 1:Cho , , 0x y z .Chứng minh rằng xy yz zx x y z Giải Ta có 2 2 2 x y y z z x xy yz zx x y z Đẳng thức xảy ra khi x y z Ví dụ 2. Cho , , 0a b c . Chứng mnh rằng 3 3 1 1 1 1abc a b c * Giải Ta có 3 3 3 1 * 1 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 1 1 1 a b c a b c 3 3 3 1 . . 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c a b c a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi a b c Do đó 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c a b c a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi a b c Vậy 3 3 1 1 1 1abc a b c Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số 2 3 3 2y x x với 3 0 2 x Giải Ta có 2 2 3 3 2 3 2 . . 3 2 1 3 x x x y x x x x x ( Chú ý : ta có 3 3 3 3 x y z x y z xyz xyz ) Đẳng thức xảy ra khi 3 2 1x x x x Vậy 3 0; 2 1 Maxy khi 1x Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số 2 3 2y x x với 0 2x Giải Ta có 3 2 1 1 4 2 32 2 . . 4 2 3 2 2 3 x x x y x x x x x Đẳng thức xảy ra khi 4 4 2 3 x x x x Vậy 0;2 32 Max 3 y khi 4 3 x ( Tại sao ta lại phân tích 2 1 2 . . 4 2 2 x x x x x ?) Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong Chứng minh bất đẳng thức dạng Tìm GTLN BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng c a c c b c ab 0, 0.a c b c 2. Cho , , 0a b c và 1a b c . Chứng minh rằng 16abc a b . 3.Cho , ,a b c o và 1a b c . Chứng minh rằng: 8 729 abc a b b c c a . 4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng : i) 3 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b ii) 3 2 a b c a b a c b c b a c a c b 3. Kỹ thuật ghép đối xứng: Để ý : 2 x y z x y y z z x 2 2 2 x y y z z x x y z 2 2 2 x y z xy yz zx , , 0xyz xy yz zx x y z Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh rằng 1 8 p a p b p c abc Giải Trong tam giác thì , , 0p a p b p c nên ta có : 2 2 p a p b c p a p b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p a p b a b 2 a p b p c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c 2 b p c p a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a Suy ra 1 8 p a p b p c abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c hay tam giác ABC đều. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2 2 2 9 , , 0 *a b c a b c a b b c c a Giải Ta có 1 1 1 * 2 9a b c a b b c c a 1 1 1 9a b b c c a a b b c c a Phần chứng minh còn lại dành cho bạn . Ví dụ 3: Chứng minh rằng , , 0 bc ca ab a b c a b c a b c Giải Ta có 2 bc ca c a b . Đẳng thức xảy ra khi a b 2 ca ab a b c . Đẳng thức xảy ra khi b c 2 ab bc b c a . Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra 2 2 bc ca ab a b c a b c bc ca ab a b c a b c . Đẳng thức xảy ra khi a b c BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng 1 1 1 , , 0 a b c a b c bc ca ab a b c 2. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 , , 0 a b c a c b a b c b c a c b a 3. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 , , 0 a b c a b c a b c abc 4. Kỹ thuật đổi biến: Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng 6 , , 0 a b b c c a a b c c a b Giải Ta có 2 2 2 6 a b b c c a a b b c c a a c c b b a c a b c c a a b b c a b c a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất a b a b c c c bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức cần chứng minh có dạng c a b thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không? Ví dụ 1: Chứng minh rằng 3 , , 0 2 a b c a b c b c c a a b Giải Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau Đặt b c x c a y a b z và bây giờ ta tính , ,a b c theo , ,x y z . Dễ thấy 2x y z a b c . Khi đó 2 2 2 x y z x y z y z x a b c x . Tương tự ta tính được 2 z x y b , 2 x y z c . Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại 3 1 1 1 3 2 2 2 2 y z x z x y x y z y z z x x y x y z x x y y z z 6 y z z x x y x x y y z z . Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong ! Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c b c a c a b a b c Giải Đặt 2 , 0 , 0 2 , 0 2 y z a b c a x x z x c a b y y z y z a b c b a b c z z x y c . Bất đẳng thức đã cho được viết lại : 2 2 2 4 4 4 y z z x x y x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 y z z x x y yz zx xy x y z x x y y z z x y z . Đến đây không khó để chứng minh 2 2 2 2 xy yz zx x y z z x y và 2 2 2 2 2 2 2 2 2y z z x x y yz zx xy x x y y z z x y z . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x y z a b c Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau: 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 y z yz x x z x y z z x x y zx yz zx xy x y z y y x y z x y z x y xy z z Ví dụ 3: Chứng minh rằng , , 0a b c và 1abc ta có 2 2 2 1 1 1 3 2a b c b c a c a b Giải Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp. Tuy nhiên để ý số 3 2 ta có liên hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt 1 1 1 , ,a b c x y z và quy đồng biến đổi rút gọn ta được : 3 2 yz zx xy x x y y z x z x y vì bất đẳng thức này đúng với mọi , , 0x y z nên ta có thể ràng buộc thêm 1xyz để phát biểu thành bài toán mới 2 2 2 3 2 xyz yzx zxy x x y y z x z x y hay 2 2 2 1 1 1 3 2x x y y z x z x y . Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến 1 1 1 , ,a b c x y z trong đó , , 0x y z . Khi đó 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 x yz y zx z xy x y z a b c b c a c a b y z z x x y y z z x x y vì 1xyz . Cách chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1. BÀI TẬP 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 5a b c b c c a a b với , , 0a b c 2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 4 3 a b c d b c d c d a d a b a b c 3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 4. Cho , , 0a b c thỏa mãn điều kiện 1abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 1 1 1 P a b c b c a c a b 5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng : 3 a b c b c a c a b a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 16a b c P b c a c a b a b c trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 4 ab bc ca p p c p a p b trong đó p là nửa chu vi. 5. Kỹ thuật cân bằng hệ số: Ví dụ 1: Cho , , 0a b c thỏa mãn 1a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P a b c a b c Giải Ta có 1 1 1 2, 2, 2a b c a b c . Suy ra 6P . Vậy Min 6P Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi 1a b c và do đó 3a b c mâu thuẫn với giả thiết 1a b c . Cách giải đúng là : Ta có 1 9 6a a . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 a a a 1 9 6b b . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 b b b 1 9 6c c . Đẳng thức xảy ra khi 1 1 9 3 c c c Suy ra 1 1 1 1 1 1 9 18 18 8 10a b c a b c a b c a b c a b c . Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c . Vậy Min 10P khi 1 3 a b c Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có nhận xét: Vai trò của , ,a b c trong bài toán là như nhau nên dự đoán Min P xảy ra khi 1 3 a b c . Bây giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng 1 2ma m a trong đó m là số dương sao cho đẳng thức xảy ra khi 1 9 1 3 ma a m a Ví dụ 2: Cho , , 0 , 3a b c a b c . Chứng minh 4 1 4 1 4 1 3 5a b c Giải Phân tích ta sẽ sử dụng dạng: 2 x y xy . Như vậy 1 1 4 1 4 1 4 1 . 2 a m a a m m m . Vấn đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1a b c . Do đó ta sẽ tìm m sao cho 4 1a m và 1a , dễ thấy 5m là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau: Ta có 1 1 4 1 5 2 3 4 1 4 1 5 . 2 5 5 5 a a a a . Đẳng thức xảy ra khi 1a 2 3 4 1 5 b b . Đẳng thức xảy ra khi 1b 2 3 4 1 5 c c . Đẳng thức xảy ra khi 1c Suy ra 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 4 1 3 5 5 5 5 a b c a b c . Đẳng thức xảy ra khi 1a b c Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 5xy yz zx thì 2 2 2 3 3 10x y z Giải Phân tích: 2 2 2x y xy . Đẳng thức xảy ra khi x y 2 2 2x z xz . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 x z 2 2 2y z yz . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 y z Bây giờ ta cần chọn , , thỏa mãn 3 2 1 . Giải hệ này ta được 1 1; 2; 2 . Ta trình bày lại cách giải : Ta có: 2 2 2x y xy . Đẳng thức xảy ra khi x y 2 2 1 2 2 2 x z xz . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2 2 x z 2 2 1 2 2 2 y z yz . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2 2 y z Suy ra 2 2 2 3 3 2 10x y z xy xz yz . Đẳng thức xảy ra khi 1; 2x y z Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 47 12 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 4 5P x y z Giải Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 2 3 2 3x m mx trong đó 0m . Tương tự 2 4 2 4y n n y ; 2 5 2 5z p pz , 0n p . Suy ra 2 2 2 3 4 5 2 3 2 4 2 5x y z mx n y pz m n p . Đến đây ta cần tìm , ,m n p sao cho 3 4 5m n p và để ý đẳng thức xảy ra khi 2 2 2 3 4 5 47 12 m x n y p z x y z . Như thế ta tìm , ,m n p bằng cách giải hệ: 2 2 2 2 5 5 3 4 5 ; ; 5 5 5 3 4 3 1; ; 5 5 4 3 4 ; 25 25 3 4 ; ; 5 5 47 3 4 47 12 12 m n p m p n p p z m x z y x n y x z y z m n p p z x y z x y z . Khi đó 2 2 2 25 25 25 25 235 235 3 4 5 2 3. 2 4. 2 5.5 5 10 3 4 3 4 12 12 x y z x y z x y z Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!! BÀI TẬP 1. Cho , , 0 , 1x y z x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 2 3P x y z x y z 2. Tìm giá trị lớn nhất của 2 3 5 2y x x 3. Cho , , 0, 1x y z xy yz zx . Chứng minh rằng 2 2 2 10 10 4x y z 4. Cho 1, 1a b . Chứng minh rằng 1 1a b b a ab 5. Cho , , 0, 1a b c a b c . Chứng minh rằng 6a b b c c a 6. Kỹ thuật ghép nhóm: Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ thuật cân bằng hệ số . Ví dụ 1: Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c b c a Giải Ta có 2 2 a b a b . Đẳng thức xảy ra khi a b 2 2 b c b c . Đẳng thức xảy ra khi b c 2 2 c a c a . Đẳng thức xảy ra khi c a Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c b c a b c a . Đẳng thức xảy ra khi a b c Ví dụ 2: Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a Giải Ta có 3 2 1 2 . 2 2 9 3 a a a b a a b ( Hãy suy nghĩ vì sao có số 1 9 ? ) 3 2 1 2 . 2 2 9 3 b b b c b b c 3 2 1 2 2 2 9 3 c c c a c c a Suy ra 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 9 a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a 2 2 2 2 2 2 1 2 3 9 a b c a b c ab bc ca Đến đây không khó để chứng tỏ 2 2 2 a b c ab bc ca . Do đó ta có điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c Ví dụ 3: Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 a b c a b c b c a c a b a b c Giải Ta có 3 3 3 a mb n c a mna b c a . Đẳng thức xảy ra khi 3 a mb n c a b c a mà ta dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi a b c nên 3 1 2 1 4 m a ma n a a a a a n Do đó 3 1 1 3 2 4 2 a b c a a b c a 3 1 1 3 2 4 2 b c a b b c a b 3 1 1 3 2 4 2 c a b c c a b c Suy ra 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c Đẳng thức xảy ra khi a b c BÀI TẬP 1. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab 2. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a 3. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c ab bc ca b c a 4. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a . 5. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 1 4 a b c a b c b c c a a b 6. Cho , , 0a b c .Chứng minh rằng 3 3 3 1 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b