SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN HẢI PHỊNG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn gồm 04 trang Bài Đáp án Điểm 1) (1,0 điểm) x x 1 A x 1 x 1 x x 1 0,25 x 1 x x x x 1 x x 1 x 1 x x A 2 x 1 x 2 x 2 1 x 0,25 0 0,25 x 1 x 1 (TMĐK) 2) (1,0 điểm) x02 ax0 b a b x0 2a b x 2a b x bx a a b (vì a b 2a b a b l ) Có a x2 x0 x1 a , thay vào : a ab 2a a a b a b (2,0 điểm) (2,0 điểm) +TH1: a x0 , thay vào : b 1 (tm toán) 2a x a 2; b l a 8a 12 b a a 6; b tmbt +TH2: a b thay vào : 0; 1 , 6;8 Vậy có hai cặp số thỏa mãn đề 1) (1,0 điểm) 2 x 1 x x 3x x 3x x x PT ĐKXĐ: 1 1, x 1 3x x nên phương trình 3x x vơ nghiệm Với x x (TMĐKXĐ) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) x y xy x x y xy x y y xy y y xy y x y 1 x y y xy y y 1; x 3y y y 4;x x y x y Thay vào (2): 3 1 17 y2 y y x y x y Thay vào (2): x 2 Trang 1/5 2 0,5 0,25 0,25 (3,0 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm a) (1,0 điểm) 17 1 17 17 1 17 ; , ; , ; 2 3 3; 1 , · · · Có AI phân giác góc BAC BAE CAE EB EC (1) · ·ACB AEB · 180 ·ABC BAC · · · EBI CBI CBE BEI 2 2 Có cân E EB EI (2) BCI Từ (1) (2) suy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác b) (1,0 điểm) » » sđ BE » sđ EF sđ FC · · IAF DHE · · FCE#CHE EC EF EH EI EF EH EIH #EFI EHI EIF ·IAF ·AIF DHE · · EHI 90 AF FI Suy c) (1,0 điểm) OJ PFI nên OJ AF J tâm đường tròn ngoại tiếp AFI J trung điểm AI P trung điểm IH 0,25 Gọi Q điểm đối xứng với I qua E · · · · DQ.DI DM DF DB.DC MQFI Có tứ giác nội tiếp QFM QIM , mà MNE MFE · · NEQ QFE 0,25 · · EQ EI EH EF EQH #EFQ QFE HQE 0,25 · · · NEQ HQE QFE EN PQH Mà E trung điểm IQ nên EN qua trung điểm P Suy 0,25 Trang 2/5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 IH hay N , E , P thẳng hàng x P z 2x y BĐT (1,0 điểm) x 2y z z y 2z x 0,25 x y z P 3 3z x y 3x y z y z x (BĐT Côsi) x2 y2 z2 x 3z x y y 3x y z z y z x (2,0 điểm) y 3 x y z 2 x y z 2 0,25 xy yz xz 0,5 (BĐT Bunhiacopxki) (đpcm) Đẳng thức xảy x y z a) (1,0 điểm) y y 12 x 12 x y x y x 1 y x 5 PT 2 y x 2 y x 2 y x 2 y x Với x, y nguyên dương y x nên 2 y x 4 x 6 x 2 y x y 1 (loại) 2 y x 4 x x 2 y x y 1 , loại trường hợp y 1 2 y x y x x; y 3;1 Vậy phương trình có nghiệm b) (1,0 điểm) 0,5 0,25 0,25 Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 số lẻ không thỏa mãn điều kiện đề Ta chứng minh n nhỏ 52 0,25 A 52 a1 50 Xét tập A X có phần tử xếp a1 a2 a52 a Nếu 51 số cịn lại A ln tồn số nguyên liên tiếp, thỏa mãn điều kiện đề 0,25 k i mod a1 i 1, a1 Ta chia số a1 1, a1 2, ,101 vào tập Bi gồm phần tử k cho , 101 i Bi a1 (ở ta kí hiệu a số nguyên lớn không vượt số thực a ) a 51Ma1 a1 17 Nếu 101Ma1 Ta xét trường hợp a1 , trường hợp a1 17 tương tự B1 33, B2 33, B3 32 Trong 51 số lại A tập B1 , B2 chứa nhiều 17 số, khơng tồn hai phần tử có hiệu Vậy tập B3 chứa 17 số nên B3 chứa hai phần tử có hiệu Trang 3/5 0,25 51 51 101 i 1 1 Bi i 1, a1 a1 a1 i 1, a1 a 51 M a Nếu , , nên tập chứa tối đa phần 51 A tử phần tử lại 51 51 a1 1 1 Ba1 a1 51 phần tử cịn lại A chứa 51 101 51 a1 1 1 B 1 a a a Ta chứng minh 51 101 51 52,5 a1 a1 a1 a1 51 51 101 50,5 52,5 a1 51 a a1 a1 a1 nên Ba1 có nửa số phần tử thuộc A Ba1 Do B chứa phần tử am , an thỏa mãn am an a1 , trừ trường hợp a1 lẻ B B Nếu a1 có phần tử, tồn tập j có phần tử chứa phần tử A thỏa mãn có hai phần tử có hiệu a1 0,25 Ba1 , phần tử 2a1 , 4a1 ,6a1 A thỏa mãn 2a1 4a1 6a1 A 52 Ta có đpcm trường hợp Nếu Cách 2: Bổ đề: Xét tập A X cho không tồn phần tử đôi phân biệt a, b, c A thỏa mãn 101 x A; k x Khi a b c Gọi a) Trong tập b) Bm x 2mx 1; x 2mx 2; ;3 x 2mx có nhiều x số thuộc A (1) A 51 a A a x A suy (1) chứng minh a) Ta có 101 A n.x 51,5 A 51 x b) TH1: k 2n (1) TH2: k 2n (1) A n.x 101 x nx 102 x n 102 x 101 51,5 A 51 2x Vậy A 51 , bổ đề chứng minh Suy n nhỏ 52 thỏa mãn tốn Chú ý:- Trên trình bày tóm tắt cách giải, thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Thí sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, thí sinh làm phần sai, khơng chấm điểm - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai khơng chấm điểm Thí sinh khơng vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh cơng nhận ý để làm ý mà thí sinh làm chấm điểm ý - Điểm thi tổng điểm câu làm không làm tròn Trang 4/5 Trang 5/5