Có SA =AB=a 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60o.. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau sao cho không có ba đường n
Trang 1TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát để
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y= −x3 3mx2 +4m3 có đồ thị (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2 Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng 3x−2y+ =8 0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: tan3 tan 1
4
log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ − 2
1
0
x 5 x dx
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Có SA =AB=a 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Trong tam giác SAC vẽ phân giác góc A cắt cạnh SC tại D Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và BD
Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau sao cho không có ba đường nào
đồng quy n đường thẳng đó chia mặt phẳng thành những miền không có điểm chung trong, trong đó có
những miền là đa giác Tính theo n số các đa giác đó
PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A( ) ( )0; 4 ,B 5; 0 và đường thẳng ( )d : 2x−2y+ =1 0 Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua A, B nhận đường thẳng (d)
làm đường phân giác
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 0; 3),− B(2; 0; 1− ) và mặt phẳng ( )P :3x−8y+7z− =1 0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều
Câu VII.a: (1,0 điểm) Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z, w
khác 0 thỏa mãn đẳng thức 2 2
z +w =zw Chứng minh tam giác OMN là tam giác đều
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2
C :x +y −2x+2y− =10 0 và điểm M( )1;1 Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho MA = 2MB
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) lần lượt có phương trình
2x− +y 2z− =3 0; x +y + −z 2x+4y− − =8z 4 0
a) Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua mặt phẳng (P)
Câu VII.b: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2( ) 2( )
x x y y y x P
x y x y
=
+ - Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Môn: Toán D
Cho hàm số y= −x3 3mx2 +4m3 có đồ thị (Cm)
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
4 Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng 3x−2y+ =8 0
2,0 điểm
a) Khi m=1 ta có 3 2
y= −x x + Tập xác định D=R
Sự biến thiên:
2
y = x − x; 'y = ⇔ =0 x 0 hoặc x=2
0,25
Các khoảng đồng biến : (−∞; 0) và (2;+∞) Khoảng nghịch biến: ( )0; 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2,y CT =0; đạt cực đại tại x=0,y CÐ =4 Giới hạn lim ; lim
→−∞ = −∞ →+∞ = +∞
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
'
y + 0 - 0 +
y
4
0
0,25 Câu I
Đồ thị:
4
2
-2
0,25
Các điểm cực trị: ( 3) ( )
0; 4 ; 2 ; 0
Hai điểm cực trị nằm cùng phía với đường thẳng 3x−2y+ =8 0
8m 8 6m 8 0
− + + >
0,25
(m 1 3)( m 4) 0
3
m −
Kết luận: Vậy 4;1
3
m −
∈
thỏa mãn yêu cầu của đề bài
0,25
Câu II 1
Giải phương trình: tan3 tan 1
4
(1)
1,0 điểm
−∞
+∞
Trang 3Điều kiện:
3
⇔
0,25
3
3
cos sin cos
x
+
2
3
cos sin cos
x
+
0,25
sinx cosx sin x 2 sin xcosx 5sin cosx x 0
sin 2 sin cos 5 cos 0
x
x
=
=
0,25
4
x k x
π
=
=
Kết luận x=kπ hoặc
4
x= +π kπ
0,25
log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x (2) 1,0
điểm
Điều kiện:
1 4 4
x x x
≠ −
<
≠ −
0,25
(2) ⇔log x+ +1 log 42 =log2(4− +x) log2(4+x)
log 4x 1 log 16 x
2
0,25
1
2 2
6
x
x x
x
> −
> − > −
(TM)
0,25
TH2: 2
1 1
2 2 6
2 2 6
2 2 6
x x
x x
x x
x
> −
< −
= −
(TM)
Kết luận: x=2 hoặc 2 2 6−
0,25
Câu III
Tính tích phân I = ∫ − 2
1
0
x 5 x dx
1,0 điểm
1
0
1,0
Câu IV Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Có SA
AB a 3
= = , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
1 điểm
Trang 4H S
A
B
C
D K
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o
3 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Trong tam giác SAC vẽ phân giác góc A cắt cạnh SC tại D Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD
1 1) SA =AB=a 3
60o
SCA=
AC a
2
3
ABC
a
S = a a =
.
S ABC
0,5
2 Kẻ DH // AC (H∈SA)
Kẻ AK ⊥ BH (K∈BH)
Suy ra AC // mp(BDH)
d AC BD =d A BDH =AK
HS = DS = AS Tính được (3 3)
2
a
=
AH + AB = AK
2
3
a
−
2
a
0,5
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau sao cho không có ba đường nào đồng quy n đường thẳng đó chia mặt phẳng thành những miền
không có điểm chung trong, trong đó có những miền là đa giác Tính theo n số các đa giác đó
1 điểm
Giải
Chẳng hạn đã vẽ n đường thẳng thỏa mãn đề bài
Ta rút bớt 1 đường thẳng Như vậy sẽ mất n – 1 giao điểm
Số miền mất đi là [(n – 1) +1] = n miền
Lần lượt rút đi n đường thẳng trên mặt phẳng
Số miền bị mất đi là
n + (n – 1) + (n – 2) + + 2 + 1 và còn lại 1 mặt phẳng Suy ra n đường thẳng lúc đầu chia mặt phẳng thành ( 1)
1 2
n n+ +
miền
0,5 Câu V
Số giao điểm mà n đường thẳng đó tạo ra là hữu hạn
Vẽ đường tròn đủ lớn để tất cả các điểm đó nằm bên trong đường tròn
Ta sẽ nhận được 2n giao điểm giữa n đường thẳng và đường tròn
0,25
Trang 5Suy ra số miền không phải là đa giác là 2n miền Vậy số miền đa giác thỏa mãn đề bài là : ( ) 2
1 2
n
PHẦN RIÊNG
Câu VIa 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A( ) ( )0; 4 ,B 5; 0 và đường
thẳng ( )d : 2x−2y+ =1 0 Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua A,
B nhận đường thẳng (d) làm đường phân giác
1 điểm
- Lấy B’ đối xứng với B qua d
Giả sử H∈d sao cho BH ⊥d Suy ra ;2 1
2
t
H =t +
5;
2
t
BH t +
BH ⊥d ( ) 2 1 9
t
9 11
;
4 4
1 11
2 2
B −
0,5
- Phương trình đường thẳng AB’
3x+ − =y 4 0
- Tìm giao điểm I của d và AB’: Tọa độ của I là nghiệm của hệ
7
8
x
x y
x y
y
=
− + =
⇔
+ − =
Hai đường thẳng cần tìm là AI và BI Phương trình AI : 3x+ − =y 4 0 Phương trình BI : x+3y− =5 0
0,5
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 0; 3),− B(2; 0; 1− ) và
mặt phẳng ( )P :3x−8y+7z− =1 0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều
1,0 điểm
a Giả sử I =(x y z; ; ) Khi đó AB=(2; 0; 2 ,) AI =(x y z; ; +3)
Vì AI
và AB
cùng phương nên có một số k sao cho AI =k AB hay
2
0 0
x k
y y
x z
=
=
− − =
Mặt khác, I∈( )P nên 3x−8y+7z− =1 0 Vậy ta có hệ:
11
5
x y
x y z
z
=
=
0,5
Trang 6Ta phải có
( )
2
2 2
x y z CA
( )2
x y z
x z
x y z
Giải hệ ta có hai nghiệm và do đó có hai điểm C:
− − − − −
Câu VIIa Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số
phức z, w khác 0 thỏa mãn đẳng thức z2 +w2 =zw Chứng minh tam giác
OMN là tam giác đều
1 điểm
Ta cần chứng minh OM = ON = MN
Tức là z + w = −z w
2 2
z w z w
z w z w
w z w z w z z w
Suy ra z = w = −z w
1,0
Câu VI.b 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2
C :x +y −2x+2y− =10 0 và điểm M( )1;1 Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho
MA = 2MB
1 điểm
Gọi I là tâm đường tròn (C) ⇒I = −(1; 1) Đường tròn (C) có bán kính R=2 3
IM = ⇒IM = <R
nên M nằm trong (C)
Tức là MA= −2MB ( )
Giả sử B=( )a b; ⇒ A= − + − +( 2a 3; 2b 3 ;)
Ta có hệ
a b a b
0,5
Trang 7239 1
8 239 1
8 3 2
a
a
b
= +
⇔ = −
239 15
239 15
B
B
= +
⇒
= −
239 7
;
239 7
;
MB
MB
=
⇒
= −
Được hai phương trình đường thẳng:
0,5
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) lần
lượt có phương trình 2x− +y 2z− =3 0; x2+y2+ −z2 2x+4y− − =8z 4 0 a) Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua mặt phẳng (P)
1 điểm
a Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 4− ) và bán kính R = 5
( )
( )2
+ − + Vậy (P) cắt mặt cầu (S)
0,5
b Gọi (P’) là mặt phẳng song song với (P) và cách sao cho d( ( ) ( )P' , P )=3 và
( ) ( , ' ) 6
d I P = Suy ra ( )P' : 2x− +y 2z+ =d 0
Lấy điểm A=(0; 3; 0− ) ( )∈ P ( ( ) ) 3 6
12 3
d d
d A P
d
=
= −
Suy ra: ( )P' : 2x− +y 2z+ =6 0 (Vì ( )P' : 2x− +y 2z− =12 0 chứa I nên loại)
0,25
Gọi I’ là điểm đối xứng với I qua (P)
'
'
I
I
x k
II k n y k
z k
I ∈ P ⇔ k+ − − − +k k+ + = ⇔ = −k
⇒I'= −( 3; 0; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S’) : ( )2 2 2
x+ +y +z =
0,25
Câu
VII.b
Cho các số thực dương x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2( ) 2( )
x x y y y x P
x y x y
=
+
1 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
x x y y y x x y xy x y
x y xy x y xy x y
xy x y
x y +x y = xy x +y ≤ + + = +
1,0
Trang 8Vậy miny=8 2