CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa luỹ thừa Số mũ Cơ số a Luỹ thừa a R (n thừa số a) 2 Tính chất của luỹ thừa Với mọi a > 0, b > 0 ta có a > 1 ; 0 < a < 1 Với 0.+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức • Căn bậc n của a là số b sao cho . • Với a, b 0, m, n N, p, q Z ta có: ; ; ; Nếu ; Đặc biệt • Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa luỹ thừa Số mũ Cơ số a Luỹ thừa a n N* 0 aR a a n a.a a (n thừa số a) n ( n N * ) a0 a a n a0 a a n n a m ( n a b b n a ) a0 a lim a rn a0 m (m Z , n N * ) n lim rn (rn Q, n N * ) a a 0 1 1 an m 2 Tính chất của luỹ thừa Với mọi a > 0, b > 0 ta có: a a a a ; a ; (a ) a ; (ab) a b a a > 1 : a a ; 0 < a < 1 : a a a a ; b b Với 0 < a < b ta có: am bm m 0 ; am bm m 0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a ph ải khác 0 + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương 3 Định nghĩa và tính chất của căn thức n Căn bậc n của a là số b sao cho b a Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có: n n ab n a n b ; p q thì Nếu n m n a na (b 0) b nb ; a p m a q (a 0) n a p n a (a 0) ; p m n a mn a mn m n ; Đặc biệt a a n n Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì a b n n Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì a b Chú ý: n + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu a + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn b ậc n là hai s ố đ ối nhau B BÀI TẬP Bài 1.Thực hiện các phép tính sau:: 3 2 7 2 7 A 1 7 8 7 14 a) 3 3 15 84 B 2 6 4 9 5 6 b) 2 6 18 24 50 E 4 5 2 25 4 27 e) 7 2 3 2 3 c) C 4 8 3 Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau: a1,5 b1,5 a 0,5b 0,5 0,5 0,5 2b0,5 a b 0,5 a b a b 0,5 a) a 1 b c a 0,5 2 a 0,5 2 a 0,5 1 0,5 0,5 b) a 2a 1 a 1 a 1 1 12 2 2 a 2 a 2 (a 1) 1 1 a 2a 2 1 a 1 a 2 1 b2 c 2 a 2 2 1 a b c 1 1 2bc a b c c) e) a 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 b a a b b 4 3 d) f) a 1 4 b 1 4 a 1 4 b 1 4 a 1 2 b 1 2 Bài 3 So sánh các cặp số sau: 2 a) 0, 01 2 va 10 6 va 4 b) 4 2 e) 0, 001 300 200 d) 5 va 8 0,3 5 g) 2 va 2 Bài 4 So sánh hai số m, n nếu: 3 va 4 3 2 3 3 c) 5 va 5 100 f) 4 2 va 0,125 b) m 2 5 4 5 va 4 h) 5 10 11 i) 0, 02 va 50 m m n a) 3, 2 3, 2 2 2 2 m n 1 1 c) 9 9 n n 3 3 d) 2 2 e) 5 1 5 1 m n f) 2 1 2 1 m n Bài 5 Giải các phương trình sau: x 1 a) 4 1024 x d) 5 3 3 2x 5 2 2 5 b) x2 x 1 9 2 e) 9 8 125 x 27 8 64 27 x 1 0, 25 322 x 8 8 g) 0,125 x 2 5 x 6 3 f) 2 1 12 3 x x 1 6 7 3 1 71 x.41 x 28 m) x a) 0,1 100 x 1 3 0, 04 b) 5 x2 x2 d) 7 49 343 g) 1 3 3 27 1 e) 3 x h) c) 1 9 27 x 1 x 27 3 7 x 3 9 i) 49 x h) 0, 2 0, 008 x 1 32 3 x 7 k) 5 2 0, 001 l) Bài 6 Giải các bất phương trình sau: x c) 81 3 x f) 1 3 0,3x 3x 100 9 1 9 3 x 1 3 2 1 i) 64 Bài 7 Giải các phương trình sau: x x2 a) 2 2 20 x 1 x x 1 d) 4 4 4 84 x 1 b) 3 3 12 2x x e) 4 24.4 128 0 x x 2 5 x 6 x 1 h) 3 i) 4 2 =oOo= - x x g) 3.9 2.9 5 0 x 1 c) 5 5 30 x 1 2 x 1 f) 4 2 48 x x 1 24 0 §2 LOGARIT A LỲ THUYẾT 1 Định nghĩa Với a > 0, a 1, b > 0 ta có: log a b a b a 0, a 1 Chú ý: log a b có nghĩa khi b 0 Logarit thập phân: lg b log b log10 b n Logarit tự nhiên (logarit Nepe): 2 Tính chất log a a 1 log a 1 0 ; ; Cho a > 0, a 1, b, c > 0 Khi đó: 1 e lim 1 2, 718281 ln b log e b n (với ) log a a b b a log a b b (b 0) ; + Nếu a > 1 thì log a b log a c b c + Nếu 0 < a < 1 thì log a b log a c b c 3 Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a 1, b, c > 0, ta có: b log a log a b log a c c log a (bc) log a b log a c 4 Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b 1, ta có: log a b log a b log a c log a b hay log a b.log b c log a c 1 1 log a b log a c log a c ( 0) log a b log b c B BÀI TẬP Bài 1 Thực hiện các phép tính sau: a) log 2 4.log 1 2 4 log 3 9 d) 4 2 log 3 1 log 27 9 25 b) log 2 2 8 c) log a e) log 2 4log f) 27 h) log 3 6.log8 9.log 6 2 log 6 log 8 l) 25 49 i) 9 3 2log m) 5 log 5 2 3 a 9 8 27 log a3 a.log a4 a1/3 log 1 a 7 a g) log 5 log 36 34log k) 81 27 3 9 97 5 7 2log3 2 4log81 5 5 4 n) 9 1 log6 3 4 1 log8 2 1 log 4 42log 3 5log o) 3 9 125 27 2 p) log 6 3.log3 36 0 0 0 q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan 89 ) r) log 8 log 4 (log 2 16) log 2 log 3 (log 4 64) Cho a > 0, a 1 Chứng minh: log a (a 1) log a 1 (a 2) log a 1 (a 2) log a 1 a log a 1 (a 2) log a 1 a.log a 1 (a 2) log a (a 1) 2 HD: Xét A = = log a 1 a (a 2) log a 1 ( a 1) 1 2 2 = 2 Bài 2 So sánh các cặp số sau: a) log 3 4 va log 4 1 3 b) 3 log 0,1 2 va log 0,2 0,34 1 1 vaø log 1 log13 150 vaø log17 290 3 80 2 15 2 e) d) log 7 10 vaø log11 13 log 2 3 vaø log 3 4 log 1 g) HD: h) d) Chứng minh: c) log 3 4 2 3 va log 5 5 4 2 log6 i) 1 1 4 log 1 80 2 3 2 15 log 1 e) Chứng minh: log13 150 2 log17 290 log 7 10 log11 13 g) Xét A = log 7 10.log 7 11 log 7 13 log 7 11 1 10.11.7 10 11 log 7 log 7 log 7 7.7.13 7 7 >0 = log 7 11 h, i) Sử dụng bài 2 Bài 3 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log 2 14 a Tính log 49 32 theo a b) Cho log15 3 a Tính log 25 15 theo a 1 c) Cho lg 3 0, 477 Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; log81 100 log 1 28 log 7 2 a 2 d) Cho Tính theo a Bài 4 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49 8 theo a, b a) Cho ; Tính log 30 3 a log 30 5 b log 30 1350 log 3 5 log 25 7 a log 2 5 b b) Cho c) Cho ; log14 7 a log14 5 b ; Tính Tính theo a, b log35 28 theo a, b 1 log 6 3 vaø 3 2 f) 2 log 9 10 vaø log10 11 d) Cho log 2 3 a ; log 3 5 b ; log 7 2 c Tính log140 63 theo a, b, c =oOo= - §3 HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT A LÝ THUYẾT 1 Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y x ( là hằng số) Số mũ Hàm số y x = n (n nguyên dương) = n (n nguyên âm hoặc n = 0) là số thực không nguyên yx Tập xác định D D=R n y xn D = R \ {0} y x D = (0; +) 1 n n Chú ý: Hàm số y x không đồng nhất với hàm số y x ( n N *) x b) Hàm số mũ y a (a > 0, a 1) Tập xác định: D = R Tập giá trị: T = (0; +) Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm s ố nghịch bi ến Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Đồ thị: y 1 y=ax x a>1 c) Hàm số logarit y log a x (a > 0, a 1) Tập xác định: y y=ax D = (0; +) 1 0 0, a 1: a) Đưa về cùng cơ số: Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: b 0 ax b x loga b a f ( x) ag( x) f (x) g(x) aM aN (a 1)(M N) 0 a f ( x ) b g ( x ) f ( x ) log a b g ( x) b) Logarit hoá: c) Đặt ẩn phụ: Dạng 1: t a f (x) , t 0 P (a f (x) ) 0 P (t) 0 , trong đó P(t) là đa thức theo t Dạng 2: a2 f (x) (ab) f (x) b2 f (x) 0 f ( x) a t 2 f ( x) b Chia 2 vế cho b , rồi đặt ẩn phụ f ( x) duy f ( x) t a f (x) bf (x) 1 t b m, với ab 1 Đặt Dạng 3: a d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1) Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm nhất: f (x) ñoà ng bieá n vaøg(x) nghòch bieá n (hoaë c ñoà ng bieá n nhöng nghieâ m ngaë t) f (x) ñôn ñieä u vaøg(x) c haè ng soá Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) f (v) u v e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A 0 Phương trình tích A.B = 0 B 0 A 0 A2 B2 0 B 0 Phương trình f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x) M Nếu ta chứng minh được: g(x) M thì f (x) M g(x) M (1) B BÀI TẬP Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 3x1 a) 9 b) 3 2 2 38x2 2 2 2 x 3x 2 4x 6x5 42x 3x7 1 c) 4 x2 1 e) 2 2 2 x2 2 2 x f) 5 h) i) 3 2 1 2 25 12x 1 2 2 x1 x x1 k) 5 6 5 – 3 5 52 72 x10 16x10 x2 4 x7 43x 2 x x1 3 2 2 2x x 2x x d) 5 7 5 35 7 35 0 2x 2 3x 3x 1 1 2 g) 2x x5 x 0,125.8 15 x1 x1 x1 l) m) 5 2 5 2 Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 4 x 1 2 a) 5 3x2 1 7 x x x 2 d) 3 8 6 2 x 1 3x x x 1 b) 5 2 50 x x 2 c) 3 2 6 x 1 2 x 1 e) 4.9 3 2 x f) 2 x2 3x 2x g) 5 3 1 h) 2 3 Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): x 2 2 x 3x 1,5 2 x x i) 3 2 1 x x1 a) 4 2 8 0 x1 x1 b) 4 6.2 8 0 4x8 4.32x 5 27 0 c) 3 x x d) 16 17.4 16 0 x x1 e) 49 7 8 0 x x 22 x x 3 f) 2 g) 7 4 3 x 2 3 6 2x2 2x1 x x2 x cos2x h) 4 x2 2 2 4cos x x2 2 3 28.3 9 0 9.2 8 0 k) 3 l) 4 Bài 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 2 2 2x5 36.3x1 9 0 i) 3 2x1 2.5x1 0,2 m) 3.5 x x a) 25 2(3 x).5 2x 7 0 x2 x2 b) 3.25 (3x 10).5 3 x 0 x x c) 3.4 (3 x 10).2 3 x 0 x x d) 9 2( x 2).3 2 x 5 0 2 e) 4x x.3 x 31 x x 2 x 2 2.3 x.x2 2x 6 f) 3.25 (3 x 10).5 3 x 0 x x x x g) 4 +(x – 8)2 +12– 2x 0 h) (x 4).9 (x 5).3 1 0 Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): x x x a) 64.9 84.12 27.16 0 x x x b) 3.16 2.81 5.36 2x x 2x c) 6.3 13.6 6.2 0 x x 2x1 d) 25 10 2 x x x x x x e) 27 12 2.8 f) 3.16 2.81 5.36 Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x a) 2 3 2 3 14 b) x x c) (2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3) x3 d) 5 21 7 5 21 2 e) 5 73 5 7 3 5 7 8 2 2 f) 2 3 x 2 3 x x x x 24 5 24 10 x x 4 x Bài 7 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): b) x x 2 3 2 3 4x a) c) 3 2 2 x 3 2 3 2 x x x x 3 5 16 3 5 2x3 d) x 3 2 2 6x x 3 7 x 2 e) 5 5 f) 2 3 x 2 3 x 2x 2 x x x x g) 2 3 5 10 x x x h) 2 3 5 x1 x x (x 1)2 i) 2 2 x k) 3 5 2x x l) 2 3 x x1 x m) 2 4 x 1 x x n) 2 32 1 x x x x q) 3 8 4 7 x x 2 x 1 3x o) 4 7 9 x 2 p) 5 5 x 1 0 x x x x x x x x r) 6 2 5 3 s) 9 15 10 14 Bài 8 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): x x x a) 8.3 3.2 24 6 x x x1 b) 12.3 3.15 5 20 x 3 x c) 8 x.2 2 x 0 x x x d) 2 3 1 6 x 2 3 x 2 x 2 6 x 5 2 x 2 3 x 7 x2 x 1 x 2 x 1 2 4 4 1 2 2 e) 4 f) 4 Bài 9 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1 2 x 4 a) 2 cos x , với x 0 x3 x 2.cos2 3x 3 x 2 d) x 6x10 x2 6x 6 c) 3sin b) 3 e) Bài 10 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: f) x x a) 9 3 m 0 x x b) 9 m3 1 0 x x 1 m c) 4 2 sin x cos x x x e) 2 (m 1).2 m 0 2x x x d) 3 2.3 (m 3).2 0 x 2x f) 25 2.5 m 2 0 g) 16 (m 1).2 m 1 0 Bài 11 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: x x x x a) m.2 2 5 0 2 2 x x2 x x x b) m.16 2.81 5.36 x cos x x 2 1 x 5 x x 3 x x x 3 m c) 4 2 d) 9 m3 1 0 Bài 12 Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: x x 1 a) (m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0 x x 2 b) 49 (m 1).7 m 2m 0 x x c) 9 3(m 1).3 5m 2 0 x x d) ( m 3).16 (2 m 1).4 m 1 0 e) f) 4 2 6 m Bài 13 Tìm m để các phương trình sau: x x x a) m.16 2.81 5.36 có 2 nghiệm dương phân biệt 4x 2 m 1 2x +3m 8 0 x x x x x x b) 16 m.8 (2m 1).4 m.2 có 3 nghiệm phân biệt x2 x2 2 6 m c) 4 2 có 3 nghiệm phân biệt 2 2 x x d) 9 4.3 8 mcó 3 nghiệm phân biệt =oOo= - §4 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A LÝ THUYẾT 1 Phương trình logarit cơ bản log x b x ab a Với a > 0, a 1: 2 Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a 1: f (x) g(x) loga f (x) loga g(x) c g(x) 0) f (x) 0 (hoaë b) Mũ hoá loga f (x) log f (x) b a ab a Với a > 0, a 1: c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý: Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu th ức có nghĩa Với a, b, c > 0 và a, b, c 1: logb c a logb a c B BÀI TẬP Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) log2 x(x 1) 1 b) log2 x log2(x 1) 1 d) log2(x 3) log2(x 1) 3 log2(x 2) 6.log1 3x 5 2 c) e) g) i) 8 log4(x 3) log4(x 1) 2 log4 8 2log8(x 2) log8(x 3) 2 3 log3(x2 6) log3(x 2) 1 f) lg(x 2) lg(x 3) 1 lg5 h) lg 5x 4 lg x 1 2 lg0,18 k) log2(x 3) log2(x 1) 1/ log5 2 log5(x 1) log1 (x 2) 0 log4 x log4(10 x) 2 5 l) m) Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) log2(9 2x ) 3 x x1 log3(4.3 1) 2x 1 e) log3(3x 8) 2 x b) log5(3 x) x log2(9 2 ) 5 log (12 2x) 5 x f) a) log32 x log32 x 1 5 0 b) 7 logx 2 log4 x 0 6 c) e) g) i) l) n) log2 2 x 3log2 x log1/2 x 0 log5 x logx 1 2 5 2log5 x 2 logx 3 log3 x log3 3x 1 0 k) x i) log2(5x 1 25x) 2 log2 x 3log2 x log1/2 x 2 2 x2 8 8 d) log21 4x log2 2 f) logx2 16 log2x 64 3 h) 1 5 log7(6 7 x ) 1 x log2(3.2 1) 2x 1 0 log (26 3x) 2 2 5 g) h) Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): c) log7 x logx 1 2 7 3 log2 x log2 4x 0 log2 3 x 3 log2 x 4/ 3 m) log2 3 x 3 log2 x 2/ 3 o) log22(2 x) 8log1/4(2 x) 5 log22 x 2log4 1 0 x log25 x 4log25 5x 5 0 p) q) Bài 4 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): log2 3 a) x x c) log2 5 x (x 0) log x log x 2 b) x 3 2 5 2 log5(x 3) 3 x d) log2(3 x) x log (x2 x 6) x log (x 2) 4 log x 2 e) 2 f) x 2.3 2 3 Bài 5 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): a) log2 x 2.log7 x 2 log2 x.log7 x b) log2 x.log3 x 3 3.log3 x log2 x 2 log9 x log3 x.log3 2x 1 1 2 c) Bài 6 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 2 log x2 x 1 1 x2 3 2 a) ln(sin x) 1 sin x 0 b) Bài 7 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) x2 2(m 1)x log log2 3 log x 2 log mx 2 3 2 2 b) Bài 8 Tìm m để các phương trình sau: (2x m 2) 0 d) x a) log 2 4 m x 1 có 2 nghiệm phân biệt 2 b) log3 x (m 2).log3 x 3m 1 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27 2 2 2 2 2 2 c) 2 log 4 (2 x x 2m 4m ) log 2 ( x mx 2m ) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1 x2 1