Thông tin tài liệu
ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD ĐỀ SỐ 32 - NÂNG CAO (Đề gồm có 06 trang) KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023 Bài thi mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên thí sinh:……………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………… Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Tìm số phức liên hợp số phức z = i A −i B Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh? A B C 49 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x= A B x = −2 Cho cấp số cộng A Cho ∫ ( un ) y= A C x = f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = −1 B Câu 9: ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) g ( x ) dx = D Phương trình mặt cầu tâm I ( 1; −2;3) ∫ 2 f ( x ) dx = bán kính R = x − 1) A ( + ( y + ) + ( z − 3) = x + 1) B ( ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 D x + y + z + x − y + z + 14 = C Câu 8: D x = với u1 = công sai d = Giá trị u2 bằng: B C −1 D C D 5040 2x −1 x + Câu 7: D i ( P ) :3x − y − = có vectơ pháp Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng tuyến r r r r n = ( 3;0; − 1) n = ( 3; −2; − 1) n = ( 3; −2;0 ) n = ( 3;2;0 ) A B C D Câu 6: C −1 2 2 x+3 > Tập nghiệm bất phương trình ( −∞ ; −5) ( −3; +∞ ) A B Cho hàm số f ( x) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 C ( −5; +∞ ) D ( −5; −3] có bảng biến thiên sau: Page Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? ( −2;0 ) ( −2; ) ( 0; ) A B C log5 ( x − 1) = Câu 10: Phương trình A x = Câu 11: Cho F ( x) A C nguyên hàm hàm số ∫ F ( x ) dx −1 f ( x) B ∫ f ( x ) dx −1 x= D x = Khi hiệu số ( 0; +∞ ) có nghiệm B x = D F ( 1) − F ( −1) C ∫ − F ( x ) dx −1 Câu 12: Cho số phức z = + 4i Tìm số phức w = i + z A w = −3 + 5i B w = − 3i C w = − 5i D ∫ − f ( x ) dx −1 D w = − 4i Câu 13: Hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 10a Thể tích khối trụ cho 3 3 A 5π a B 4π a C 3π a D π a f x =x Câu 14: Tập xác định D hàm số ( ) D = ( 0; + ∞ ) A B D = ¡ C D = [ 0; + ∞ ) D D = ¡ \ { 0} Câu 15: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy 3a chiều cao 2a Thể tích khối chóp 3 3 A a B 2a C 3a D 6a 2022 Câu 16: Số nghiệm phương trình A B Câu 17: Nếu ∫ f ( x ) dx = A Câu 18: Cho hàm số x2 − x 1 = ÷ 9 C D C D ∫ f ( x ) + x + 1 dx B y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ bên Page Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu 19: Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Tìm tọa độ điểm biểu diễn z1 mặt phẳng phức? A N (1; −2) B Q(2; −1) D M (−1; −2) C P (1; 2) Câu 20: Tính bán kính r khối cầu tích V = 36π (cm ) : A r = 4(cm) B r = 9(cm) C r = 3(cm) D r = 6(cm) Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên Gọi A1 ; A2 số dương biểu diễn cho diện tích phần tơ đậm phía phía Ox (như hình vẽ bên dưới) Khi ∫ f ( x ) dx −3 A A1 − A2 B A1 + A2 Câu 22: Cho log = a Hãy tính log theo a 1 log = log = a a A B Câu 23: Cho hàm số đa thức Khi hàm số A ( 1; ) y = f ( x) y = − f ( x) B C A2 − A1 C D 2A1 − A2 a D ( −3; − 1) D log = log = 2a có bảng biến thiên sau: đồng biến khoảng ( −1;1) C ( −1;0 ) Page Câu 24: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông cân B, AB = a SC = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) A 30° B 90° C 45° D 60° Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) f ( b) < bên Biết y = f '( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ , hỏi đồ thị hàm số y = f ( x) B A cắt trục hoành nhiều điểm? D C Câu 26: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy, SA = 3a đáy ABC tam giác cạnh a M , N , P trung điểm cạnh bên SA, SB, SC Tính thể tích khối đa diện MNP ABC : a3 A Câu 27: Hàm số f ( x ) = log ( x − ) f ′( x) = A C 7a 3 B 32 f ′( x) = ( x − ) ln 3a 3 C 16 a3 D có đạo hàm f ′( x) = B x ln x2 − D f ′( x) = 2x ( x − ) ln 2 ln x2 − Câu 28: Trong không gian Oxyz cho B(1;1; −2); C (1; 0; −1) đường thẳng tọa độ điểm A thuộc đường thẳng d cho A cách B; C : A A ( −1; −3; −1) B A ( 0;1; −1) C A ( 3;3; −3) d: x +1 y + z +1 = = −1 Tìm D A ( 1; 0; −2 ) b2 P = log a ÷ c bằng: Câu 29: Cho log a b = log a c = Giá trị biểu thức A 13 B C 36 D −5 2 Câu 30: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + 10 = mặt phẳng ( P) : x − y − z + = Trong mặt phẳng có phương trình sau đây, mặt phẳng Page song song với mặt phẳng ( P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ? A x − y − z − = B −2 x + y + z + = C −2 x + y + z + 15 = D −2 x + y + z − = Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = ( x − 1) ( x + 2) Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng sau đây? A ( −2;1) B ( −∞; −2) C (1; +∞) D (−2; +∞) f ( x ) = x − 3x + m (m ∈ ¡ ) [ 1; 2] Khi m thuộc Câu 32: Hàm số có giá trị nhỏ khoảng khoảng sau? ( −3; − 1) ( −1; 1) ( 1; 3) ( 4; ) A B C D ( m2 + 1) log 22 x + log x − m = có Câu 33: Số giá trị nguyên âm tham số thực m để phương trình nghiệm thuộc khoảng A ( 0;1) B C D Câu 34: Một nhóm học sinh gồm có học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh tham gia câu lạc Tốn học Tính xác suất cho học sinh chọn có học sinh lớp B khơng có học sinh lớp C 23 A 33 B 17 C 22 D 11 x ( C ) Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , tiếp tuyến ( C ) Câu 35: Cho hàm số y = e có đồ thị M ( 1;e ) điểm 2e − A 3e y=− x e đường thẳng e − + 2e − − 2e B 2e C D 1− e + 2e 2 2 Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 2) = 16 , điểm A nằm đường x = 1+ t y = 1+ t z=2 thẳng ∆ có phương trình: nằm ngồi mặt cầu ( S ) Từ A kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) Gọi ( Pm ) mặt phẳng chứa tiếp điểm, biết mặt phẳng ( Pm ) qua đường thẳng d cố định Phương trình đường thẳng d A x = 1+ t y = 1− t z = B x = t y = −t z = C x = t y = −t z = −2 D x = t y = t z = Câu 37: Vợ chồng nhà chị Thơm vay ngân hàng 400 triệu đồng để mua nhà với hình thức trả góp, chị chọn gói lãi suất ưu đãi cố định 0,5% /tháng 12 tháng đầu sang tháng thứ 13 trở ngân hàng tính lãi suất thả theo quy định Gia đình chị hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Page sau tháng kể từ ngày vay bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng 15 triệu đồng Sau hết 12 tháng ưu đãi chị Thơm phải trả lãi suất thả 1% /tháng Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng lãi suất thả ngân hàng không thay đổi thời gian chị Thơm hoàn nợ Hỏi chị Thơm cần tháng để trả hết nợ ngân hàng kể từ vay? A 30 tháng B 18 tháng C 29 tháng D 17 tháng Câu 38: Trong tập số phức, cho phương trình z − ( m + 1) z + m − 3m + = 0, m ∈ ¡ Có z + z2 = giá trị nguyên tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa A B C D ( ABC ) , tam giác ABC Câu 39: Cho hình tứ diện SABC có SC = CA = AB = , SC vng góc với vuông A , điểm M , N thuộc SA BC cho AM = CN = Khoảng cách hai đường thẳng MN SB A 2 B log ( x, y ) Câu 40: Có cặp số nguyên A B Câu 41: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn hàm số 1 ;1÷ B y = f ( x) D đoạn [ −3; 4] ( 1;3) , thỏa man f ( ) = e − 3 f ÷ Khi thuộc khoảng C có đồ thị hàm số x− f ( x) x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + 2 liên tục nhận giá trị dương khoảng 1 0; ÷ A g ( x) = D C e x f ( x ) + e − x = f ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ ( 1;3) Câu 42: Cho hàm đa thức C ( 1; ) y = f ′ ( x + 2) 5 2; ÷ D hình vẽ Giá trị nhỏ Page A g ( 1) Câu 43: Cho hàm số B y = f ( x) g ( x ) = f ( cos x + 1) + e A 400 g ( 3) có đồ thị hàm số − cos x C g ( −3) y = f ′( x) C 399 g ( 4) cho hình vẽ bên Hỏi hàm số có điểm cực tiểu đoạn B 199 D [ −100π ;100π ] D 200 Câu 44: Một bình thủy tinh hình trụ khơng có nắp, bình xếp vào ba viên bi có bán kính dm cho viên bi tiếp xúc với đáy, đôi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh bình Người ta đổ đầy nước vào đặt lên miệng bình khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ đặc, cho đường chéo AC ′ có phương vng góc với mặt đáy bình cạnh AA′, AB, AD tiếp xúc với miệng bình (xem hình vẽ) Sau quan sát thấy lượng nước tràn ngồi 16 lượng nước ban đầu có bình Giả sử chiều dày vỏ bình khơng đáng kể, hỏi thể tích bình thủy tinh gần với số sau đây? Page A 276, 41( dm3 ) B 319,94 ( dm3 ) C 350, 31( dm3 ) D 275, 44 ( dm3 ) Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−5; 4; −1) B (3; 4;5) Xét điểm M N thay đổi cho tam giác ABM có diện tích 40 tam giác ABN vuông N Giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng đây? ( 2; ) ( 3;5) ( 4;6 ) A B C Câu 46: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) ( 5; ) có bảng biến thiên sau: f ( f ( x) ) f x +1 Số giá trị nguyên m để phương trình ( ) A 11 D B 12 =m có nghiệm phân biệt C 10 D 13 x y +2 z y + z − 27 = xy + xz − ( ) ÷ ÷ Câu 47: Xét số thực dương x, y , z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ P = log ( y + z ) + log 52 + y − z ÷ x biểu thức A −1 B − log5 C − log D −2 ( P ) qua trọng tâm G tam Câu 48: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 324 Mặt phẳng giác ABB′ , song song với AB′ BC ′ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A A 122 B 124 C 190 D 200 Câu 49: Cho hàm đa thức y = f ( x) Số điểm cực đại hàm số A liên tục ¡ , có bảng xét dấu f ' ( x + 1) sau: y = f ( x + x + 1) B C D Page Câu 50: Gọi S tập hợp tất số phức z cho số phức w= 1 z − | z | i có phần ảo Xét 2 z −z =2 P = z1 − 7i − z2 − 7i số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn , giá trị lớn A 16 B 28 C 14 D 56 HẾT Page BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.B 21.A 31 41.A 2.C 12.B 22.D 32.D 42.B 3.A 13.C 23.C 33.A 43.D 4.B 14.A 24.D 34.A 44.B 5.A 15.B 25.A 35.B 45.A 6.C 16.C 26.B 36.B 46.A 7.A 17.A 27.B 37.A 47.D 8.C 18.B 28.D 38.D 48.A 9.C 19.A 29.D 39.D 49.D 10.D 20.C 30.D 40.C 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tìm số phức liên hợp số phức z = i A −i B C −1 Lời giải D i Chọn A Ta có z = i ⇒ z = −i Câu 2: ( P ) :3x − y − = có vectơ pháp Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng tuyến r r r r n = ( 3;0; − 1) n = ( 3; −2; − 1) n = ( 3; −2;0 ) n = ( 3;2;0 ) A B C D Lời giải Chọn C ( P ) :3x − y − = Mặt phẳng Câu 3: có vectơ pháp tuyến r n = ( 3; −2;0 ) Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh? A B C 49 Lời giải D 5040 Chọn A Số cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh Câu 4: Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x= A B x = −2 y= 2x −1 x + C x = Lời giải D x = Chọn B D = ¡ \ { −2} Tập xác định lim + y = −∞; lim − y = +∞ ⇒ x = −2 x→( −2 ) Ta có x→( −2) đường tiệm cận đứng Câu 5: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = công sai d = Giá trị u2 bằng: Page 10 CQ = SC = Có d ( SB, MN ) = Vậy CK = hay ( x, y ) Câu 40: Có cặp số nguyên A B log thỏa mãn x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + C Lời giải D x+ y > ⇔ x + y > x + y + xy + Điều kiện log x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + ⇔ log ( x + y ) − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy − x − y ⇔ log ( x + y ) + − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy + − 3x − y ⇔ log ( x + y ) + ( x + y ) = log ( x + y + xy + ) + x + y + xy + Xét hàm đặc trưng Suy hàm f ( t) Phương trình f ( t ) = log t + t , t ∈ ( 0; +∞ ) , đồng biến khoảng ta có f ′( t ) = + > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t.ln ( 0;+∞ ) ⇔ f ( 3x + y ) = f ( x + y + xy + ) ⇔ x + y + xy + = 3x + y ⇔ x + ( y − 3) x + y − y + = ( y − 3) − ( y − y + ) ≥ Điều kiện y để phương trình có nghiệm ⇔ −3 y + y + ≥ ⇔ 3−2 3+ ≤ y≤ 3 y ∈ { 0;1; 2} Do y ∈ ¢ nên x = x − 3x + = ⇔ x = + Với y = , ta x = x2 + x = ⇔ x = −2 ( x = −2 loại) + Với y = , ta Page 27 x = x2 + x = ⇔ x = −1 + Với y = , ta Vậy có cặp số thỏa mãn đề Câu 41: Cho hàm số x e f f ( x) ( x) + e liên tục nhận giá trị dương khoảng = f ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ ( 1;3) −x 1 0; ÷ A 1 ;1÷ B ( 1;3) , thỏa man f ( 2) = e − 3 f ÷ Khi thuộc khoảng 5 2; ÷ D ( 1; ) C Lời giải Chọn A Ta có e x f ( x ) + e − x = f ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ ( 1;3) ⇔ e x ′ f ( x ) + = 2e x f ( x ) ⇔ e x f ( x ) + 2e x f ( x ) + = 2e x ⇔ e x 2 ′ f ( x ) + 2e x f ( x ) e x f ( x ) ′ ′ =1 f ( x) ⇔ e x f ( x ) + 1 f ( x ) + 1 = e x ′ 1 1 =− ⇒ ⇔ = − x+C 2 e x f ( x ) + 1 ex f ( x ) +1 Mà ⇔e f ( 2) = e x − C= nên x −1 f ( x) = ⇔ 3− x 3 ⇒ ex f ( x) +1 = 3− x ⇔ ex f ( x) +1 = x −1 x −1 f ( x) = ⇔ f x = ( ) x ( − x) ex ( − x) e 3− x 3 f ÷ ≈ 0,18 Khi Câu 42: Cho hàm đa thức hàm số g ( x) = y = f ( x) có đồ thị hàm số x− f ( x) đoạn [ −3; 4] y = f ′ ( x + 2) hình vẽ Giá trị nhỏ Page 28 A g ( 1) B g ( 3) C Lời giải g ( −3) D g ( 4) Chọn B Từ đồ thị hàm số g ( x) = x− f ( x) y = f ′ ( x + 2) ⇔ g ( x) = suy đồ thị hàm số f ( x) −2 x g′ ( x) ≥ ⇔ f ′ ( x ) ≥ ⇔ x ≥ có y = f ′( x) g′ ( x ) = ( f ′ ( x ) − 2) f ( x) −2 hình vẽ: ln x = Ta có bảng biến thiên: Page 29 Vậy giá trị nhỏ hàm số Câu 43: Cho hàm số y = f ( x) g ( x ) = f ( cos x + 1) + e A 400 g ( x) = x− f ( x) có đồ thị hàm số − cos x đoạn y = f ′( x) [ −3; 4] C 399 Lời giải − f ( 3) cho hình vẽ bên Hỏi hàm số có điểm cực tiểu đoạn B 199 g ( 3) = [ −100π ;100π ] D 200 Chọn D Ta có Xets g ′ ( x ) = − sin x f ′ ( cos x + 1) + sin x.e − cos x g ′ ( x ) = ⇔ − sin x f ′ ( cos x + 1) + sin x.e − cos x = ⇔ − sin x f ′ ( cos x + 1) − e − cos x = sin x = sin x = ⇔ ⇔ − cos x − cos x =0 f ′ ( cos x + 1) − e f ′ ( cos x + 1) =e Xét phương trình f ′ ( cos x + 1) =e − cos x (1) t ∈ [ 0; 2] Đặt t = cos x + với Phương trình (1) trở thành hàm số f ′( t ) f ′ ( t ) = e1−t : Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị 1−t đồ thị hàm số e Page 30 Nhìn vào hình vẽ ta thấy đồ thị cắt t = Từ suy cos x + = ⇔ cos x = Như ta có x = kπ sin x = kπ g′( x) = ⇔ ⇔ ⇔x= π x = + kπ cos x = (k ∈¢ ) Vì hàm số g ( x) [ 0; 2π ] tuần hoàn với chu kỳ T = 2π nên ta xét đoạn Ta có ≤ x ≤ 2π ⇔ ≤ kπ ≤ 2π ⇔ ≤ k ≤ k ∈ { 0;1; 2;3; 4} Mà k ∈ ¢ suy Suy x = , x= π 3π x= , x =π , , x = 2π Bảng biến thiên Page 31 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đoạn Vậy đoạn [ −100π ;100π ] [ 0; 2π ] hàm số g ( x) có điểm cực tiểu hàm số có 2.50.2 = 200 điểm cực tiểu Câu 44: Một bình thủy tinh hình trụ khơng có nắp, bình xếp vào ba viên bi có bán kính dm cho viên bi tiếp xúc với đáy, đôi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh bình Người ta đổ đầy nước vào đặt lên miệng bình khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ đặc, cho đường chéo AC ′ có phương vng góc với mặt đáy bình cạnh AA′, AB, AD tiếp xúc với miệng bình (xem hình vẽ) Sau quan sát thấy lượng nước tràn 16 lượng nước ban đầu có bình Giả sử chiều dày vỏ bình khơng đáng kể, hỏi thể tích bình thủy tinh gần với số sau đây? A 276, 41( dm3 ) B 319,94 ( dm3 ) 350, 31( dm3 ) C Lời giải D 275, 44 ( dm3 ) Chọn B Page 32 Chú thích: hình hình mặt cắt khối hình qua khối trụ ba khối cầu khối trụ Gọi cạnh AA′, AB, AD tiếp xúc với miệng bình điểm M , N , P Theo hình 1, ta có: Nhận xét: đường chéo AC ′ có phương vng góc với mặt đáy bình nên ta suy khối tứ x ( dm ) diện AMNP khối tam diện vng có ba cạnh AA′, AB, AD , x ( dm3 ) thể tích Khi M , N , P nằm đường tròn đáy khối trụ tức bán kính đường trịn đáy trụ ( R) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ∆MNP , suy R = R( MNP ) = MN AM x = = ( dm ) 3 (1) Do đổ nước đầy bình sau bỏ ba cầu nên ta tích nước ban đầu bằng: V0 = π R h − π ( 3) = π R h − 12π ( dm3 ) với h chiều cao khối trụ Theo hình 2, ta có: Gọi D, E , F tâm đường tròn mặt cắt tử ba cầu O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF Page 33 Tiếp đến ta gọi I , J , K điểm tiếp xúc đường trịn mặt cắt với đường trịn ngồi có bán kính R Ta có ∆DEF có cạnh Suy ra: ( dm ) R = OK = OF + FK = + ( dm ) nên suy OF = = ( dm ) (2) x = 2+ ⇒ x = + ( dm ) Từ (1) (2) ta có được: Theo giả thiết thể tích phần nước tràn (tức thể tích khối tứ diện AMNP 16 lượng nước ban đầu có bình nên ta có phương trình sau: ( ) ( 1 x = π R h − 12π ⇔ + = π R h − 12π ÷ 16 6 16 Giải phương trình ta thu h ≈ 7,312 ( dm ) Vậy thể tích khối trụ cần tìm là: ) ( ) Vtru = π R h = π + 7,312 ≈ 319,94 ( dm3 ) Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−5; 4; −1) B (3; 4;5) Xét điểm M N thay đổi cho tam giác ABM có diện tích 40 tam giác ABN vuông N Giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng đây? ( 2; ) ( 3;5) ( 4;6 ) A B C Lời giải D ( 5; ) Page 34 Ta có uuur AB = ( 8;0;6 ) ⇒ AB = 10 Gọi I hình chiếu vng góc M xuống đường thẳng AB , suy 80 S∆MAB = MI AB = 40 ⇔ MI = ⇔ MI = ( D ) có trục AB AB nên M thuộc mặt trụ bán kính R = ( S ) đường kính AB , tâm O , bán Do tam giác ABN vuông N nên N thuộc mặt cầu kính R′ = Gọi ( P) mặt phẳng qua O vng góc với AB Ta có MN + NO ≥ MO ≥ HO = HK + KO ⇒ MN ≥ HK = HO − KO = ( D ) với mặt phẳng ( P ) , N Suy MN nhỏ M thuộc giao mặt trụ thuộc giao mặt cầu ( S) với mặt phẳng ( P) cho M , N , O thẳng hàng N nằm M ,O Câu 46: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Page 35 f ( f ( x) ) f x +1 Số giá trị nguyên m để phương trình ( ) A 11 B 12 =m có nghiệm phân biệt C 10 Lời giải D 13 Chọn A f ( x ) = ax + bx + cx + d Gọi hàm số cho Ta có: Do f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c f ( x) Vậy Đặt đạt cực đại điểm f f f f f ( x ) = − x + 3x + t = f ( x) A ( 0; ) B ( 2;8) nên ta có hệ phương trình: ( ) = d = a = −1 ( ) = 8a + 4b + 2c + d = b = ⇔ ⇔ '( 0) = c = c = 12a + 4b + c = d = '( 2) = Nhận xét: +) Với t ∈ ( 4;8 ) giá trị t cho nghiệm x +) Với t ∈ { 4;8} giá trị t cho nghiệm x +) Với t ∈ ( −∞; ) ∪ ( 8; +∞ ) giá trị t cho nghiệm x Khi phương trình cho trở thành: m= g '( t ) Ta có: ( −3t = f ( t ) −t + 3t + = = g ( t) t +1 t +1 với t ≠ −1 + 6t ) ( t + 1) − ( −t + 3t + ) ( t + 1) = −2t + 6t − ( t + 1) =0 Page 36 ⇔ −2t + 6t − = ⇔ ( t − 1) t = t = −2 ( −2t − ) = ⇔ * Bảng biến thiên: −316 < m < −24 m ∈ Z ⇒ m ∈ { −35; −34; ; −25} Vậy mà Kết luận: có 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn x y +2 z y + z − 27 = xy + xz − ( ) ÷ ÷ Câu 47: Xét số thực dương x, y , z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ P = log ( y + z ) + log 52 + y − z ÷ x biểu thức A −1 B − log5 C − log Lời giải D −2 Chọn D Ta có Xét hàm f ( t ) = 3t − t ⇒ f ′ ( t ) = 3t ln − > 0, ∀t > −x=3 x Do ( y + z ) 3x − 27 y +2 z ÷÷ = xy + xz − ⇔ 3x − 27 y +2 z y+2 z + = x− 3 ⇔ 3x − x = y + z + y + 2z y + 2z suy ta hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) 3 ⇔x= ⇔ = y + 2z y + 2z y + 2z x 1 P = log ( y + z ) + log 52 + y − z ÷ = log ( y + z ) + log 52 ( y + yz + z ) 4 x Ta có = log ( y + z ) + log52 ( y + z ) Page 37 Đặt t = y + z ⇒ t ≤ 5( y2 + z2 ) ⇒ y2 + z2 ≥ t2 Ta có: t2 P ≥ log ÷+ log 52 t 5 = log 52 t + log t − = ( log t + 1) − ≥ −1 Vậy Pmin = −2 log t = −1 ⇔ t = 1 ⇔ 2y + z = 5 ( P ) qua trọng tâm G tam Câu 48: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 324 Mặt phẳng giác ABB′ , song song với AB′ BC ′ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A A 122 B 124 C 190 D 200 Lời giải Chọn A ( P) qua trọng tâm G ∆ABB′ , song song với AB′ BC ′ nên cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNPQR Ta có mp IA IM KB′ KN IR GO = = = = = = ′ ′ ′ IA IK KA KI IQ GA ′ MN // AB G ′ ∆ ABB Do trọng tâm nên ⇒ VI AMR IA IM IR 1 1 = = = VI A′KQ IA′ IK IQ 4 64 ⇔ VI AMR = 64 VI A′KQ KP = Kẻ PJ // A′C JP đường trung bình ∆KA′C ′ nên KQ ⇒ VK B′NP KB′ KN KP 1 1 = = = ⇔ VK B′NP = VK A′IQ VK A′IQ KA′ KI KQ 4 32 32 Page 38 Khi thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là: V = VI A′KQ − VI AMR − VK NPB ′ = 61 VI A′KQ 64 1 · ′Q VI A′KQ = d ( I , ( A′KQ ) ) S A′KQ = d ( A, ( A′KQ ) ) A′K A′Q.sin KA 3 Mặt khác: 4 · ′Q ⇔ VI A′KQ = d ( A, ( A′KQ ) ) A′B′ A′C ′.sin KA 3 3 4 · ′Q d ( A, ( A′KQ ) ) = 32 V ⇔ VI A′KQ = A′B′.A′C ′.sin KA ÷ 81 ABC A′B′C ′ 3 3 Vậy V= 61 61 32 VI A′KQ = VABC A′B′C ′ = 122 64 64 81 Câu 49: Cho hàm đa thức y = f ( x) Số điểm cực đại hàm số A liên tục ¡ , có bảng xét dấu f ' ( x + 1) sau: y = f ( x + x + 1) B C Lời giải D Chọn D Từ bảng xét dấu f ′ ( x + 1) ta có: f ′ ( x + 1) = ( x + 1) x ( x − 1) h ( x ) với h ( x ) ≥ , ∀x ∈ ¡ ⇔ f ′ ( x + 1) = ( x + − ) ( x + 1) ( x + − 1) h ( x ) Đặt t = x + thỏa mãn điều kiện f ′ ( t ) = t ( t − 1) ( t − ) U ( t − 1) với t = x + ⇒ h ( x ) = U ( t − 1) > với t t = f ′ ( t ) = ⇔ t = t = Vậy Mặt khác ta có: g ( x ) = f ( x + x + 1) ⇒ g ′ ( x ) = ( x + 1) f ′ ( x + x + 1) = Page 39 x = x = −1 2x + = x = −1 + x + x + = ⇔ ⇔ x + x +1 = x = −1 − x + x + = −1 x = Ta có bảng biên thiên sau: f ( x + x + 1) x ≥ y = g ( x ) = f ( x + x + 1) = f ( x − x + 1) x < y = g ( x ) = f ( x + x + 1) hàm số chẵn nên đồ thị hàm số cách: giữ nguyên phần đồ thị hàm số bỏ phần đồ thị hàm số bên phải sang bên trái Từ bảng biến thiên đại g ( x ) = f ( x + x + 1) y = g ( x ) = f ( x + x + 1) g ( x ) = f ( x + x + 1) có nằm bên phải trục tung, nằm bên trái trục tung lấy đối xứng phần đồ thị g ( x ) = f ( x + x + 1) suy hàm số Câu 50: Gọi S tập hợp tất số phức z cho số phức y = f ( x + x + 1) w= điểm cực 1 z − | z | i có phần ảo Xét 2 z −z =2 P = z1 − 7i − z2 − 7i số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn , giá trị lớn 16 28 56 14 A B C D Lời giải Giả sử z = x + yi , với x, y ∈ ¡ Page 40 Điều kiện ) ( Theo giả y − x2 + y2 ) ( x2 + y − x2 + y ⇔ 2y ( ) x − y − x2 + y i 1 w= = = z − | z | i x + y − x + y i x2 + y − x2 + y 2 Ta có: − ) ( z − | z | i ≠ ⇔ x + y − x2 + y i ≠ ⇔ x ≠ ( = ( ) thiết, ta có: ) ( ⇔ −8 y − x + y = x + y − y x + y ) x2 + y − = x2 + y2 ( x2 + y = ⇔ x2 + y2 − x2 + y = y ) Trường hợp 1: y ≥ x2 + y = y ⇔ x = (không thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x + y = ⇔ x + y = 16 2 2 Gọi z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i ⇒ x1 + y1 = 16; x2 + y2 = 16 z − z2 = ⇔ ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = ⇒ ≤ ( y1 − y2 ) ≤ ⇒ ≤ y1 − y2 ≤ Ta có: 2 P = z1 − 7i − z2 − 7i = x12 + ( y1 − ) − x22 − ( y2 − ) = −14 ( y1 − y2 ) Xét ⇒ P ≤ 14 y1 − y2 ≤ 28 2 x1 = x2 y1 − y2 = 2 2 Dấu " = " xảy x1 + y1 = x2 + y2 = 16 x1 = x2 = 15 y = − y2 = Lấy P = 28 Vậy giá trị lớn P = 28 HẾT Page 41
Ngày đăng: 02/05/2023, 10:18
Xem thêm:
