CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10: RÚT GỌN BIỂU THỨC

DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện. Bước 2 Tính rồi thay giá trị của vào biểu thức đã rút gọn. Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.

CHỦ ĐỀ – RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 11 DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC .17 DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN 25 DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P  m CÓ NGHIỆM 29 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 31 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: Bước Đặt điều kiện xác định biểu thức:    (a  0) xa : Điều kiện xác định x  x     x  a x  a (a  0) xa : Điều kiện x  Gặp phép chia phân thức đổi thành phép nhân xuất thêm mẫu nên dạng ta thường làm bước đặt điều kiện sau Bước Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung Bước Gộp tử, rút gọn kết luận Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A x x 3x    x3 x  x Lời giải Điều kiện: x  0,x  x x 3x  A   x3 x  ( x  3)( x  3) Có x( x  3) x( x  3) 3x     ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) x  x  2x  x  3x  3( x  3)   ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) x3 A x  với điều kiện x  0,x  Vậy  x 1 x 3   x2 x  x x  Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức Lời giải Có x  x   x  x  x   x( x  3)  2( x  3)  ( x  2)( x  3) A Điều kiện: x  0,x  x 1 x 3   x2 x  ( x  2)( x  3) A Có ( x  1)( x  3) 2( x  2) x 3    ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3)  x  x  3 x   x  x x   ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3)  ( x  1)( x  2) x 1  ( x  2)( x  3) x3 Vậy: A x 1 x  với điều kiện x  0,x   x x 1  P  1:     x x  x  x  x  1   Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức Lời giải  x x 1  P  1:     ( x  1)(x  x  1) x  x  x  1   Có   x ( x  1)( x  1) x x 1  1:     ( x  1)(x  x  1) ( x  1)(x  x  1) ( x  1)(x  x  1)     x   x  1 x  x  x x  1:  1: ( x  1)(x  x  1) ( x  1)(x  x  1) ( x  1)(x  x  1) x  x   1  x( x  1) x Điều kiện x  0,x  Vậy P x x 1 x với điều kiện x  0,x  Chú ý: Câu có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất thêm điều kiện sau x mẫu, ta làm bước đặt  a a  a a   1  P    :   ( a  2)( a  1) a   a  a  1 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức Lời giải  ( a  1)( a  2)    a a a 1 a1 P     :    ( a  2)( a  1) ( a  1)( a  1)   ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1)  Có  a1  a a a  1 a    :  a  ( a  1)( a  1)  ( a  1)( a  1)  ( a  1)2  a a a   :  ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1)  ( a  1)( a  1) a a  1 a a ( a  1)( a  1) a 1    ( a  1)( a  1) a a Điều kiện a  0,a  Vậy P a1 a với điều kiện a  0,a  DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước Đặt điều kiện giá trị cho x thoả mãn điều kiện Bước Tính x thay giá trị x, x vào biểu thức rút gọn Bước Tính kết biểu thức cách trục hết thức mẫu kết luận Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức a) x  36 x 2 c) e) g) x x 28  21 2 7 3 2 3 27  1 18 d) f) x x 2 4  3 3 Điều kiện x  0,x  a)Có x  36 thoả mãn điều kiện Khi x 1 x  khi: b) x   P x  thay vào P ta h) x  x  10  Lời giải P 6  6 x  36 Vậy b)Có x    (  1) thoả mãn điều kiện x     1(do  1) Khi  1 5 P    1 5 Thay vào P ta P 5 Vậy x   2(2  3) 4 x    (  1)2 4  (2  3)(2  3) c)Có thoả mãn điều kiện x     1(do  1) Khi  1 1 P    1 3 Thay vào P ta P 1 x 2 Vậy 2     1 x        thoả mãn điều kiện d)Có 31 31 x  (do  1) 2 Khi P P Thay vào P , ta Vậy P e) Có 1 1 1 43   11 1 5 2 43 2 x 11    4 3 28  21 x 2   2  3 2 2 3 3    18  3 9 97 ( Thỏa mãn điều kiện)  x  3 1 P  32 Thay vào P , ta được: 28  21 x 2  3 2 Vậy P    x f) Có 4   32 32       16  16   2     thỏa mãn điều kiện 32 4 P 1  42 x  thay vào P , ta 4 x  P   2 Vậy 27  1  x    18 18 18 thỏa mãn điều kiện g) Có 1 P  1 x 2 , thay vào P , ta Khi Khi 27  1 x 18 Vậy x  x  10   x  x  x  10   P h) Có  x  2, x   x  (loại), x  25 (thỏa mãn) 1 P   52 Khi x  , thay vào P ta Vậy P  x thỏa mãn x  x  10  DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định  x 2   x 5  Bước 2: Quy đồng mẫu chung Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện kết luận Đưa phương trình tích P x  x 1 Tìm x để x Ví dụ Cho biểu thức P 13 Lời giải Điều kiện: x    x  x  13 x 13 x  x  13 P     3 x x x Có  3x  x   13 x  x  10 x    3x  x  x   3 x     x 3  x 3 0     x  3 x 1   x 3 x 9     x1 x  (thỏa mãn điều kiện)   13 x  9, x  P Vậy M= Ví dụ Cho biểu thức x M= x  Tìm x để Lời giải Điều kiện: x  0, x  M Có x  x 2  x  8  24 x 2    24  x  x  x  x   25   x   5  x  4 (loại), Vậy x  36 M x x    x 2 x 2    x   25 x   x  36 (thỏa mãn điều kiện) Phương trình có chứa trị tuyệt đối  f ( x)  a (với a  a số cụ thể) giải ln hai trường hợp f ( x)   a  f ( x)  g ( x) (với g ( x) biểu thức chứa x ): Cách 1: Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối: f ( x)  f ( x) nên ta f ( x)  g ( x ) Trường hợp 1: Xét f ( x)  Giải đối chiếu điều kiện f ( x)  f ( x)   f ( x ) nên ta  f ( x)  g ( x) Trường hợp 2: Xét f ( x)  Giải đối chiếu điều kiện f ( x)  Cách 2: Đặt điều kiện g ( x )  giải hai trường hợp f ( x )   g ( x ) A Ví dụ Cho biểu thức x 2 x  B x  Tìm x để A  B x  Lời giải Điều kiện: x  0, x  25 A  B x   x 2  x 5 Có Cách 1: Ta xét hai trường hợp: x4 x 5  x   x  x   x  nên ta được: Trường hợp 1: Xét x    x  x4 x 2  x x 60  x 3   x 2 0 x9 x    x  nên ta được: Trường hợp 2: Xét x    x  x   x   x  x    Cách 2: Vì   x    x 1 x   với x  0, x  25 nên x   x  Cách 3: Nhận xét x4  x4  x 2  x 2 x 2    x 2    x 3  x 2  x 2 x  1  x  x   x   1    x 1  x  (thỏa mãn) A  B x  Vậy x  9, x  A Ví dụ Cho biểu thức x3 B x  (thỏa mãn)   x  2    x  x 1  x  1  x    (thỏa mãn) x   x  2   x4 x 2 x  x        x    x   x  x    nên  x 1 (thỏa mãn) x  Tìm x để A  B x  Lời giải Điều kiện: x  0, x  A  B x   x 3 x3  x 1  x3 x 1 x 3 Có Cách 1: Ta xét trường hợp: x 3  x 3 Trường hợp 1: Xét x    x   x  nên ta x   x   x  x   x x    x  0, x  (loại) x 3   x 3 Xét x    x   x  Trường hợp 2: x   x   x  x    x  x 3       nên ta  x   x  (thỏa mãn) Vậy x  A  B x  x 3  x3 Cách 2: Điều kiện: x    x  Khi  x x 1   x 3  x3  x x 0  x  0, x       x 2  x4  x    x   x  x   x 3   Kết hợp điều kiện x       2 Đưa bình phương dạng m + n = (hoặc m + n = ) Bước Đặt điều kiện để biểu thức xác định đưa phương trình dạng m  n  (hoặc m  n  ) 2 Bước 2: Lập luận m  0, n  (hoặc n  ) nên m  n  (hoặc m  n  ) 2 Bước 3: Khẳng định m  n  (hoặc m  n  ) xảy đồng thời m   n  x Bước 4: Giải , đối chiếu điều kiện kết luận  P Ví dụ Cho biểu thức  x 1 x Tìm x để P x  x   x  Lời giải Điều kiện: x  P x  x    x4  Có  x 1 x x  x 3 x 4  x  x 1  x   x   x  x   x      x   x    Vì  Do Vậy x   0, x     nên  x   x    x   x4  x 2  x4  x    xảy  (thỏa mãn)  x  P x  x   x  x 3 x Tìm x để P x  x   3x  x  P Ví dụ Cho biểu thức Lời giải Điều kiện: x  x3 x  x   3x  x  x P x  x   3x  x   Có      x   x   3x  x   x   x  x   x          x   1   x  3x   x   x    Vì  x  Do x   0, x   x  1     2 nên   x     x    x  1  xảy  x   x3   x   (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  P x  x   3x  x  x 1 x Tìm x để 81x  18 x  A  x  A Ví dụ Cho biểu thức Lời giải Điều kiện: x  81x  18 x  A  x   81x  18 x  Có x 1 9 x 5 x  81x  18 x   x 1 9x x   x x x   x  1    x  1    x  1 Vì  x  1 2 3  0, x 1 9 x 4 x 9x  x 1 0 x 3   x 1  x 1 x x  0 nên  x  1 3   x 1 x  Do  x  1 3   x 1 0 x xảy   9x 1  x   3 x   (thỏa mãn điều kiện) 81x  18 x  A  x  Vậy Đánh giá vế  số, vế  số Bước 1: Đưa vế bình phương sử dụng A2  m  0;  A2  m   m Bước 2: Đánh giá vế lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như: x    ab  ab  a  0, b  Bất đẳng thức Cosi: a  b  ab hay Dấu “=” xảy a  b a.x  b y    a  b   x  y   a, b, x, y  Bất đẳng thức Bunhia: x y  Dấu “=” xảy a b a  b  a  b  a  0, b  Dấu “=” xảy a  b  Bước 3: Khẳng định phương trình xảy dấu “=” bước bước đồng thời xảy x  B  x x  x Tìm x để x   A.B  x    x A Ví dụ Cho biểu thức Lời giải Điều kiện:  x  Có x   A.B  x    x  x2   x x   x    x x 1    x2  x   x 1   x (*)  x  x     x     2 * Có VT (*) * Chứng minh VP(*)  : Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)  VP  *   x    x  1   x    x    x  1   x  Xét   x  1    x    VP *      Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)    VP  *   x    x   12  12   x    x    VP  *  Xét VT(*)  2, VP  *  Như nên (*) xảy  x20   x2    x 1   x (thỏa mãn) 2 Vậy x  x   A.B  x    x A Ví dụ Cho biểu thức x x  Tìm x để A.( x  2)  x  x   x  16   x 1   x   S   x  2 x 4 MinS   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy * Tìm MinT: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cơsi)   T  12  S  1   S  12 S    Có  1 3 S    S     12  S  1   12  S  1  12 2 S 1 S 1 Do S    S  1  T  12   12  1 Vì S  hay x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy MinT  1 S  T  1 nên ta dự đoán MinT  1 ) Cách 2: (Thay 14 S  15S  14 S  S  8S  T   1  14 S  1   S 1 S 1 S 1 Xét hiệu S  S  1   S  1  S  1  S     S 1 S 1 S    S   0, S   0, S    T   1   T  1 Do S  hay x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy MinT  1 6.2 Dùng bất đẳng thức Côsi Bước 1: Khử x tử Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với số thích hợp Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi a  b  ab a,b  Dấu "  " xảy a  b Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  x  10 x 2 Lời giải Điều kiện: x     x 2 x 2 x   x   16 x 2 16    x 2 x 2 x 2 x 2 Có 16  x 3 x  (Mẫu x  nên x  cần cộng thêm ) 16 A5  x 2  x  Xét 16 x   0,  x  x  Vì nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có A    x 2   16 2 x 2  Suy A    A   x 2 16  16  x 2 Vậy MinA    16  x 2 x 2   x 2   16  x  (thỏa mãn) x x 5 M x  25 Ví dụ Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Với x  25 M xác định x x  25  25 x  25 25 25 M     x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Có Xét M  10    x 5  25 x 5 x - 5> 0, Với x > 25 x - 5+ 25 ³ ( 25 x- ) x- x- Suy M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20 >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 25 x- 25 x - 5= x- Vậy MinM = 20 = 25 = 10 Û ( ) x- = 25 Û x = 100 x+3 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x Lời giải Điều kiện: x > x+3 P= = x+ x x Ta có x > 0, >0 x Vì nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có x+ x ³ x Vậy MinP = x =2 x= => P ≥ 3 x Û x=3 ( thỏa mãn điều kiện) x- Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức A = - x x Lời giải Điều kiện: x > x- A = x Có A = x > 0, Vì x - x= x x - ổ1 ữ ữ - x = 1- ỗ + x ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố x ø x >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có ỉ 1 1ư ÷ ÷ x+ ³ x = 2.3 = ị - ỗ x + Ê- ỗ ữ ç ÷ ç è x x xø ( thỏa mãn iu kin) ổ 1ử ữ ữ ị 1- ỗ x + £ 1- = - Þ P Ê - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố xø x= Û 9x =1 Û x = x Vậy MaxA = – 6.3 Đưa bình phương A2  m   m; A2  B  m    m  2   A  m   m;  A  B  m    m Ví dụ Cho biểu thức P x2 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  P x  x  2 x  x  Lời giải Điều kiện: x  Có T  P x  x  2 x  x    ( thỏa mãn điều kiện) x2 x  x  2x  x 1 x      x   2x  x   x 1   x    x     x   x2  x   Vậy MinT   (thỏa mãn điều kiện) A 2x  x  B x 2 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  B  A với x  0, x  Lời giải 2x  x  2x  x  x  2 x x   x  A    x  x 2 x 2 x 2  B   x3  x  x  x x  x  x    x 2 x 2  x   x  1 x 2  x  x  1   x  1 x 2  x  C  B A x2 x 2   Suy Vậy MinC  3 x  (thỏa mãn) A  x    3 (m  N * ) x m lớn nhất, nhỏ 6.4 Tìm x  N để biểu thức 1 ab  a b với a b dương âm Chú ý: Tính chất Ví dụ: 1 x   3x   x  x 3 +) x  dương x3  x  x  , x 2 x   2x   +) Phương pháp giải 1  x  x  2 sai ta chưa biết *Tìm MaxA: Ta thấy hai trường hợp x  m   x  m  x  m2 x  m  x  -2 có âm hay khơng x  m  MaxA xảy trường hợp 2 Mà x  N nên x  m   x  m   x  m  m   m  1    A 2 x m m 1  m m 1  m MaxA  m   m x  m2  Vậy *Tìm MinA: Ta thấy hai trường hợp x  m  x  m  MinA xảy trường hợp x  m   x  m   x  m2   x  0;1; 2; ; m2  Mà x  N nên Trường hợp có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA Ví dụ Tìm x  N để biểu thức A Điều kiện: x  N , x  x  đạt giá trị: a) lớn Lời giải a) Ta thấy hai trường hợp x   x    x   x  Mà b) nhỏ x   MaxA xảy trường hợp x  N  x   5;6;7;   x   x   x    3   A   x 2 52 2 Vậy MaxA   x  (thỏa mãn)  b) Ta thấy hai trường hợp x   x    x    x  x  N  x   0;1; 2;3 Mà x A Vậy  MinA  6  3 Ví dụ Tìm x  N để biểu thức 3 x   MaxA xảy trường hợp  x3 A 63 2 6  3 (thỏa mãn) x  đạt giá trị: a) lớn Lời giải Điều kiện: x  N , x  x 35 x 3 5 P    1 x 3 x 3 x 3 x 3 Có b) nhỏ a) Ta thấy hai trường hợp x   x   MaxP xảy trường hợp x    x   x  x  N  x   10;11;12;   x  10  x  10 Mà 5 5  x   10    1  1 x 3 10  x 3 10  10   16  10 10  Vậy MaxP  16  10 x  10 (thỏa mãn) P b) Ta thấy hai trường hợp x   x    x    x  x  N  x   0;1; 2; ;8 Mà x P   x   minP xảy trường hợp  85 14  10 Vậy MinP  14  10 x  (thỏa mãn) Ví dụ Tìm x  N để biểu thức Điều kiện: x  N , x  x M  1 x  x  Có M x x  đạt giá trị: a) lớn Lời giải b) nhỏ a) Ta thấy hai trường hợp x   x   MaxM xảy trường hợp x    x   x  x  N  x   2;3; 4;   x   x   x    Mà 1 1    1  1  M    x 1 1 x 1 1 1 Vậy MaxM   x  (thỏa mãn) b) Ta thấy hai trường hợp x   x    x    x  x  N  x   MinM   0 1 Mà Vậy MinM  x  (thỏa mãn) x   MinM xảy trường hợp DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN b P a  Z (a, b, c, d  Z ) c x d 7.1 Tìm x  Z để Bước Đặt điều kiện, khử x tử, đưa P dạng Bước Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Xét x  Z x  Z b b  a c x  d số vô tỷ c x  d số vô tỷ  P số vô tỷ  P  ¢ (loại)  x  ¢ P  ¢ Trường hợp 2: Xét x  ¢ Ví dụ 1: Tìm x  ¢ để biểu thức Điều kiện : x  Có A A  b c x  d  ¢  c x  d  Ư (b) x 1 x  nhận giá trị số nguyên Lời giải:   x 67 x 3 7    2 x 3 x 3 x 3 x 3 Trường hợp 1: Xét x  ¢ x  ¢  x số vơ tỷ  x  số vô tỷ 7 2 x  số vô tỷ x  số vô tỷ  A số vô tỷ  A  ¢ (loại)  ¢ x 3 Trường hợp 2: Xét x  ¢ x  ¢ A ¢  x   Ư (7)=  1; 7 mà x   nên ta được: x    x   x  16 (thỏa mãn) Vậy x  16 giá trị cần tìm Chú ý:    P¢ P nguyên âm P 0 Bước 1: Giải P  ¢ giống ví dụ Bước 2: Kẻ bảng để chọn P>0 giải P>0 kết hợp P  ¢  P số tự nhiên P¢ P0 Bước Giải P  ¢ giống ví dụ Bước 2: Kẻ bảng để chọn P  giải P  kết hợp P  ¢ Ví dụ 2: Tìm x  ¢ để biểu thức M x 3 x  nhận giá trị nguyên âm Lời giải: x 3  x 3 M  M nguyên âm  x 3 6   1 x 3 x 3 x 3 M ¢ M 0 M ¢ : Trường hợp 1: Xét x  ¢ x  ¢  x số vơ tỷ  x  số vô tỷ 6  1 x  số vô tỷ x  số vô tỷ  M số vơ tỷ  M  ¢ (loại) Trường hợp 2: Xét x  ¢ x  ¢ ¢  x   Ư (6)=  1; 2; 3; 6 x  M  ¢ => -1 -2 x 3 x x -3 -6 -3 16 25 36 81   x   0;1; 4;16; 25;36;81  (thỏa mãn điều kiện) M F=0  ¢ => x =2 (thỏa mãn) ¢ Trường hợp 2: Xét x  ; x  ¢ x  ¢ x   x số vô tỷ  x  số vô tỷ x2 Mà x-2 số nguyên khác nên x  số vô tỷ  F số vơ tỷ  F  ¢ (loại) x ¢ 1; 7 Vì x   ¢ nên F  ¢ x   ¢  x   Ư (7)=  -1 -7 x 3 Trường hợp 3: Xét x  ¢ x 10 16 100 -4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị cần tìm a  Z  a , b, c  ¥ *  b x c 7.2 Tìm x  R để Bước Đặt điều kiện chặn hai đầu P : P  a  0, b x  c   P   b x c c a a a  P c b x c c 0P a c Như ta chặn hai đầu P a P  Z,0  P  c Từ suy x Bước Chọn Ví dụ Tìm x  R để biểu thức sau nhận giá trị số nguyên : 10 a) A  b)P  x 3 x 2 Lời giải x  Điều kiện : a)Vì 10  0, x   nên A  Mặt khác, Do 10 10 10   A x 3 x  0 x 33 10 nên A Z 10 1   x 3 10  x   x 7  x  49    10   10  x    x    x  x 3    1 10  x   x x  10 3   x 3 (thỏa mãn điều kiện) 0 A    A   A       A      1  x   49; 4;   giá trị cần tìm  Vậy b)Vì  0, x   nên P  x 03 x 22 Mặt khác 5  P x 2 nên P  ¢ khin Do  3 x   5  x  P    P      x     3 x    0P  x 1 x     x1 x  36   (TMĐK)  1 x  1;   36  giá trị cần tìm Vậy Chú ý: Với toán x  ¡ để m a b x c  (a, b, c Ơ * , m  ¢ ) Bước 1: Lập luận: Vì m  ¢ nên m a b x c a ¢ a b x  c ¢ Bước 2: Giải theo cách chặn đầu b x  c ví dụ Ví dụ 2: Tìm m  ¢ để biểu thức sau có giá trị số nguyên x 5 x 3 A P x 1 x 2 a) b) Lời giải x  Điều kiện: x 23 x 2 3 A    2 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Có B ¢ x 1 Vì  ¢ nên A  ¢ Vì  0, x   nên B  x   x 1 1   B3 x 1 Mặt khác Do đó:  B   B  ¢  1   x 2 x  x  3  x   B     B      3  x    x    x    x 1      B     x     x   x   x 1   (TMĐK)   x  0; ;    giá trị cần tìm Vậy x  25 P  1 Q x  x  1 ¢ P  ¢ b) Có Vì nên Vì  0; x   nên Q  Mặt khác ta có Do đó, 0Q x 0 x 22 x 2  x2 5 Q 2  Q¢   x 25  x 3 x   x  1 Q       5 1 Q    x  x   x      2  x 2 2  (TMĐK) 1  x   ,9    giá trị cần tìm Vậy DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P  m CĨ NGHIỆM Bước 1: Đặt điều kiện để P xác định Bước 2: Từ P  m rút x theo m ¢ Bước 3: Dựa vào điều kiện x để giải m x 1 P Ví dụ 1: Cho biểu thức x  Tìm m để phương trình P  m có nghiệm Lời giải Điều kiện: x  x 1  m  m( x  2)  x  P  m  Có * Xét m   x  3 (loại) *Xét m  1 x  x   (m 1) x  2m  2m  m 1 2 m  2m  0 0 m 1 m 1 x  nên phương trình cho có nghiệm  m     2m       m  m        m 1   2m    m       m     m 1  m   Vậy giá trị cần tìm Do Ví dụ Cho hai biểu thức A   x 1 x4 B x 1 A m  x  Tìm m  Z để phương trình B có nghiệm Lời giải Điều kiện : x  0, x  4 x 1 A m x 2 m m       m x4 x 1 x2 Có B *Xét m   x  (loại)  2m m0 x  m *Xét    Do x  0, x  nên phương trình cho có nghiệm  8  m   m     2m m  m   0  0m4  8  m   m  m   m0     m  +Giải  x    m x   2m  2m  2m  0, 2 m m 8 2m   8 2m  2m  m  + Giải m m  1;3;4 Như  m  4,m  2, mà m ¢ nên m  1;3;4 Vậy giá trị cần tìm HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ Bài Rút gọn biểu thức Bài Rút gọn biểu thức x A x3  3x  x  x x  x 1 x 3   x2 x  x x  A  x x 1  P  1:      x x 1 x x  x  1   Bài Rút gọn biểu thức   a a  a a   1  P  :   a  a 1 a   a  a  1   Bài Rút gọn biểu thức x 1 P x  khi: Bài Tính giá trị biểu thức    b) x   a) x = 36 c) e) g) x x x 2 d) 28  21  7 3 2 3 f) 27  1 18 x x 2 4  3 3 h) x  x  10  x x 1 13 P x Bài Cho biểu thức: Tìm x để x M M x  Tìm x để Bài Cho biểu thức P A x2 B x  x  Tìm x để A  B x  x A B x  x  Tìm x để A  B x  Bài Cho hai biểu thức Bài Cho biểu thức  P  x 1 x Tìm x để P x  x  3 x  x P x Tìm x để P x  x  1 3x  x  Bài 11 Cho biểu thức x 1 A x Tìm x để 81x2  18x  A  x  Bài 12 Cho biểu thức A x  B  x x  x Tìm x để x2   A.B  x   3 x Bài 13 Cho hai biểu thức x A A x   x  x   x  16  9 x x  Tìm x để Bài 14 Cho biểu thức Bài 10 Cho biểu thức  Bài 15 Cho biểu thức A x 1 x  Tìm x ¢ để A <  x 1 M x  Tìm x để Bài 16 Cho biểu thức x 2 P P x  Tìm x để Bài 17 Cho biểu thức x4 x A B A  5 x  x  Tìm x để B Bài 18 Cho hai biểu thức a1 a1 P  1 a Tìm a để P Bài 19 Cho biểu thức M x P x  Tìm x để P  P x x  A x  Tìm x ¢ x lớn để A   A Bài 21 Cho biểu thức a A a1 Bài 22 Cho biểu thức Chứng minh A  x 1 x x 1 A B x  x  Khi A > 0, so sánh B với Bài 23 Cho hai biểu thức x  x   x 1 x6 2 A ,B   A.B   x  5 x x5 x  Chứng minh  Bài 24 Cho hai biểu thức Bài 20 Cho biểu thức  A  x 1 B x 1 B x  So sánh giá trị biểu thức A 3 x  x 1 P x  So sánh P P2 Bài 26 Cho biểu thức x 2 P x Khi P xác định, so sánh Bài 27 Cho biểu thức Bài 25 Cho hai biểu thức Bài 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  3P P3 Bài 29 Tìm giá trị lớn biểu thức 12 NM M P M P P x2 x  Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức x6 x  Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức x  Bài 30 Tìm giá trị lớn biểu thức 10 B  3A  A Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  14S  S A Bài 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  x  10 x2 Bài 33 Cho x > 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x P x Bài 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 35 Tìm giá trị lớn biểu thức x P x Bài 36 Cho biểu thức A M x x  x 1 9 x x Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  P x  x  2x  x  Bài 37 Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = B – A x3  x  2x  2x  x  B ,x  0,x  x2 x2 với A x  đạt giá trị Bài 38 Tìm x ¥ để biểu thức A a) lớn Bài 39 Tìm x ¥ để biểu thức b) nhỏ P a) lớn Bài 40 Tìm x ¥ để biểu thức a) x2 x  đạt giá trị b) nhỏ M x x  đạt giá trị lớn b) nhỏ A x 1 x  nhận giá trị nguyên x3 M x  nhận giá trị nguyên âm Bài 42 Tìm x ¢ để biểu thức x P x  nhận giá trị số tự nhiên Bài 43 Tìm x ¢ để biểu thức x F ¢ x  x ¢ Bài 44 Tìm đề biểu thức Bài 41 Tìm x ¥ để biểu thức Bài 45 Tìm x  ¡ để biểu thức sau nhận giá trị số nguyên: 10 P x 3 x 2 a b Bài 46 Tìm x  ¡ để biểu thức sau nhận giá trị số nguyên: A a A x 5 x 1 b P x 3 x 2 x 1 x  Tìm m để phương trình P  m có nghiệm Bài 47 Cho biểu thức x 1 4( x  1) B A x 2 x  Bài 48 Cho hai biểu thức A m  Tìm m  ¢ để phương trình B có nghiệm P