Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 7 Phương trình vi phân và vài ứng dụng Toán Kinh tế – ThS Nguyễn Ngọc Lam 128 CHƯƠNG 7 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN VÀ VÀI ỨNG DỤNG 7 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 7 1 1 Định nghĩa Phương trình vi phân là phương trì.
Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH PHÂN VÀ VÀI ỨNG DỤNG 7.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM: 7.1.1 Định nghĩa: Phương trình vi phân phương trình có dạng: F(x,y,y(1),y(2),…,y(n)) = Trong : x biến độc lập, y làm hàm số x, y(n) đạo hàm cấp n y theo x Nếu ta đưa : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y(n-1)) phương trình gọi dạng giải đạo hàm cấp cao 7.1.2 Cấp phương trình : Đạo hàm cấp cao đạo hàm hàm số y = f(x) có phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân 7.1.3 Nghiệm phương trình vi phân : Nghiệm phương trình vi phân hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm đến cấp n (a,b) đó, với x thuộc (a,b) thỏa F(x,y,y(1),y(2),…,y(n)) = Ví dụ : a) Xét phương trình vi phân cấp : y’ = cosx Ta thấy y = sinx + c, C R nghiệm phương trình vi phân b) Phương trình vi phân cấp : y’’ + 4y = Có y = C1cos2x + C2sinx, C1, C2 R nghiệm phương trình vi phân Từ nhận xét nghiệm ví dụ trên, ta thấy nghiệm phương trình vi phân có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số C Nghiệm phương trình vi phân cấp phụ thuộc vào tham số : y = y(x,C), C R Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 128 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng Nghiệm phương trình vi phân cấp phụ thuộc vào hai tham số : y = y(x,C1,C2), C1,C2 R Nghiệm phương trình vi phân cấp n phụ thuộc vào n tham số : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn R Nghiệm tổng qt : Nghiệm phương trình có dạng : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn R gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân Nghiệm riêng : Khi cho tham số Ci giá trị cụ thể ta nghiệm gọi nghiệm riêng phương trình vi phân Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng phương trình vi phân khơng suy từ nghiệm tổng quát gọi nghiệm kỳ dị 7.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP : Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = Nếu giải y’, phương trình vi phân có dạng : y' = f(x,y) 7.2.1 Định lý tồn nghiệp : Cho phương trình vi phân cấp y’ = f(x,y) Nếu f(x,y) liên tục miền chứa (x0,y0) tồn nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0 Nếu fy(x,y) liên tục nghiệm Bài tốn tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người ta gọi tốn Cauchy 7.2.2 Phương trình vi phân khơng chứa hàm phải tìm: f(x,y’) = Để giải phương trình ta có dạng : a) Trường hợp : Ta chuyển dạng : y' = f(x) => y f ( x )dx F( x ) C Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 129 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + thỏa điều kiện y(1) = y (3x 2x 1)dx x x x C y(0) = + C = => C = -2 Nghiệm thỏa điều kiện Cauchy : y x x x b) Trường hợp : Ta chuyển dạng : x = f(y’) Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt => dy = tdx = tf’(t)dt Tích phân ta tìm nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + Đặt y’ = t => x = t3 + t2 + => dx = 3t2 + 2t => dy = tdx = t(3t2 + 2t)dt = (3t3 + 2t2)dt => y (3t t )dt t t C Vậy nghiệm phương trình viết dạng : x t t y t t C 7.2.3 Phương trình vi phân không chứa biến độc lập: f(y,y’) = Xét vài dạng sau : a) Trường hợp : Ta chuyển dạng : y’ = f(y) => dy dy f ( y) dx , f(y) dx f ( y) Tích phân hai vế ta tìm nghiệm Tốn Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 130 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng Ví dụ : Giải phương trình y’ = + y2 dy dy y dx x arctgy C dx 1 y2 b) Trường hợp : Ta chuyển dạng : y = f(y’) Đặt y' t dy t dy tdx dx y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx => dx f ' ( t )dt f ' ( t )dt x t t Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + Đặt y' t dy t dy tdx dx y = t3 + t2 + => dy = 3t2 + 2t = tdx dx 3t x (3t 2)dt 3t 2t C c) Trường hợp : Ta chuyển dạng : y = y(t) => dy = f’(t)dt y' g(t) => dx dy g( t ) dx f ' ( t )dt , tích phân vế ta tìm nghiệm g( t ) Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = Đặt y = sint => dy = costdt y' cost dy cos t dy cos tdx cos tdt dx - Nếu cost ≠ => dx = dt => t = x + C => Nghiệm tổng quát : y = sin(x + C) - Nếu cost = => t = (2k+1)/2 => y = 1 : Đây nghiệm kỳ dị phương trình Tốn Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 131 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng 7.2.4 Phương trình vi phân có dạng : dy f (ax by) dx Đặt z = ax + b, ta đưa dạng phương trình khơng chứa biến độc lập dz a bf ( z) dx Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát phương trình : dy x 2xy y dx Phương trình viết lại dạng : dy ( x y) dx Đặt z = x + y => dz dy dz 1 z dx dx dx z2 => x = arctgz + C Nghiệm tổng quát phương trình : => x - arctg(x + y) = C 7.2.5 Phương trình với biến phân ly: Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = f(x)dx g(y)dy C Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy x y2 xdx (y 1)dy y C 7.2.6 Phương trình : y Dạng tổng quát : y' f x Đặt z y dy xdz y zx z x dx dx Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 132 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng => dy dz xdz zx f ( z) f (z) z dx dx dx Nếu f(z) – z ≠ ta viết dạng phương trình với biến phân ly : dx dy x f (z) z Ví dụ : Giải phương trình : y' y 1 x Ta có : y' y 2 x Đặt z => x2 y2 xy y dy xdz z y zx z x dx dx 2z y dy xdz z z y zx z x dx dx 2z xdz z 1 z2 z dx 2z 2z => dx 2zdz dx 2zdz 0 => x 1 z x z2 1 => ln x ln z C => x (z 1) C x ( => y x Cx y2 1) C x2 7.2.7 Phương trình vi phân tuyến tính : Dạng tổng quát : y’ + p(x)y = q(x) Trước tiên ta giải phương trình: y’ + p(x)y = - Nếu y ≠ : p ( x ) dx y' p( x ) ln y p( x )dx C y e C e y p ( x ) dx => y Ce , (C 0) Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 133 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng - Nếu y = : Rõ ràng nghiệm phương trình Vậy ta có nghiệm viết tổng quát lại sau : p ( x ) dx y Ce , (C R) - Giải phương trình : y’ + p(x)y = q(x) So với phương trình ban đầu, Lagrange đề nghị nghiệm viết p ( x ) dx dạng : y C( x )e với C(x) hàm số x chưa biết Vậy nhiệm tìm C(x) Thế nghiệm vào phương trình ban đầu ta có : p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx y C' ( x )e p( x )C( x )e p( x )C( x )e q( x ) p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx C' ( x ) e q ( x ) C' ( x ) e q ( x ) C( x ) e q ( x )dx C Vậy nghiệm phương trình : p ( x ) dx p ( x ) dx q( x )dx C ye e Ví dụ : Giả phương trình : y' 3y x Ta viết lại dạng : y’ + p(x)y = q(x) Trong p(x) = -3/x, q(x) = -1/x Ta có : p( x )dx 3 => e p ( x ) dx e ln x dx 3 ln x x x , e p ( x ) dx x dx dx 3 3 => y x C x C x C x 3x x x 1 => y x C Cx , C tùy ý 3x 3 7.2.8 Phương trình vi phân Bernoulli: Dạng tổng quát: y’ + p(x)y = q(x)y Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 134 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng Nếu = = phương trình Bernoulli trở thành phương trình vi phân tuyến tính Ta giải phương trình Bernoulli với ≠ ≠ - Nếu y ≠ : y-y’ + p(x)y1- = q(x) Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y-y’ Phương trình trở thành phương trình tuyến tính: z' p( x )z (1 )q( x ) - Nếu y = : Đây nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x3y2 - Nếu y ≠ : y-2y’ – 2xy-1 = 2x3 Đặt z = y-1 => z’ = -y-2y’ => z’ + 2xz = -2x3 Đây phương trình tuyến tính cấp z Giải phương trình ta nghiệm : z Ce x x Vậy nghiệm phương trình : y Ce x x - Nếu y = : Đây nghiệm kỳ dị 7.3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG : 7.3.1 Tìm hàm cầu biết hệ số co giãn : Hệ số co giãn cầu theo giá : QP dQ P dP Q Trong đó, Q cầu thị trường sản phẩm, p giá bán thị trường => dQ Q QP dP P Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 135 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn: QP 10P 4P thỏa Q = 1.000 P = 20 Q Ta có: dQ 10P 4P Q 10P 4P dP Q P P => dQ ( 10 4P)dp => Q 10P 2P C Khi p = 20, Q = -(10)20 + 2(20)2 + C = 1000 => C = 400 Vậy hàm cầu sản phẩm sau: Q 10P 2P 400 7.3.2 Mơ hình tăng trưởng Domar: Mơ hình tăng trưởng Domar thiết lập dựa giả thuyết: Lao động L vốn K sử dụng theo tỷ lệ không đổi, tức K/L số Khi sản lượng tiềm Q = f(K) Tỷ lệ sản lượng tiềm quỹ vốn không đổi Q = K, >0 Nền kinh tế trạng thái sử dụng hết lực sản xuất, tức thu nhập Y sản lượng tiềm Q: Y = Q Xu hướng tiết kiệm biên không đổi đầu tư tiết kiệm, tức I = S, S = sY, s xu hướng tiết kiệm cận biên, < s < Tất đại lượng xét hàm theo thời gian Tại thời điểm t lượng đầu tư I(t) biểu tốc độ gia tăng quỹ vốn K(t) Vì vậy: I( t ) dK dt Theo giả thuyết 2: dQ dK I dt dt Theo giả thuyết 3: dQ dY dt dt Theo giả thuyết 4: dI dY dY dI s dt dt dt sdt Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 136 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng => dI I sdt Đây phương trình vi phân có biến phân ly, giải phương trình ta có nghiệm: I( t ) Ce st Khi t = C = I(0) => I( t ) I(0)e st I(0) lượng đầu tư thời điểm xuất phát 7.4 BÀI TẬP: Giải phương trình vi phân sau: a) y' 1 x b) y' ln x x c) dy x 2e x dx d) (1 x )dy dx Tìm nghiệm riêng phương trình sau: a) (1 x )dy ydx 0, y(0) c) dx x dy 0, y(1) b) dx dx 0, y(1) x ( y 1) y( x 2) d) xy' y y , y(1) 0,5 Giải phương trình vi phân sau: a) y' sin( x y) sin( x y) c) y' 2x y0 1 x2 b) y' cos( x y) d) y' cos x y ln y Giải phương trình vi phân sau: a) y' c) xy' ln e) y' y 2xy y0 x x2 b) xy' y xe x y y x y ln x x d) xy' sin xy2 xy4 f) y' y y x sin x x 2x 2y x y 1 Giải phương trình vi phân sau: a) y'2 xy xe x b) y' y sin x sin x cos x Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 137 Chương Phương trình vi phân vài ứng dụng c) y' tgy x cos y d) y' xy arcsin x x 1 x2 e) y' x y arcsin x f) ydx ( y x )dy Giải phương trình vi phân sau: a) y'2 xy x y c) y' y x 2y4 x b) y' y e x / y , y(0) d) y' 3x y y ( x 1) sin x, y(0) x 1 Giải phương trình sau: a) y xdy 1dx 2 x y x y c) yx y 1 x y ln xdy b) e y dx ( xe y y)dy d) ( x y )dy xydy Tìm hàm cầu Q = f(P) biết hệ số co giãn: QP 5P P , Q = 500 P = 10 Q Tìm hàm cầu Q = f(P) biết hệ số co giãn cầu theo giá QP = 1, với P > 10 Tìm hàm cầu Q = f(P) biết hệ số co giãn cầu theo giá QP = -k, với P > Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 138