Sáng kiến kinh nghiệm một số kỹ thuật giúp học sinh học tốt phương trình lượng giác

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC -o0o BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN - Tên sáng kiến: “ Mét sè Kỹ THUậT giúp học sinh học tốt phơng trình Lợng gi¸c ” - Tác giả: NGUYỄN THỊ HƯƠNG - Mã sáng kiến: 52.05 Tháng năm 2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.Lời giới thiệu Phương trình lượng giác dạng tốn quen thuộc chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều khó nhớ, học thuộc lịng cơng thức học sinh dễ nhầm lẫn.Mặt khác tất đề thi Đại học, cao đẳng có câu giải phương trình lượng giác câu học Vì để giúp em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác kỳ thi mạnh dạn viết đề tài : « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC » Tơi mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát Tên sáng kiến: « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC » Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0914262614 E_mail: nguyenhuong150883@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : - Họ tên: Nguyễn Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Toán: lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10 /9/2019 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: 1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc chứng minh công thức lượng giác 2/ Giúp học sinh số nhận xét để chứng minh đẳng thức lượng giác hay rút gọn biểu thức lượng giác 3/ Giúp học sinh số nhận xét nhìn phương trình cho biết sử dụng cơng thức để đưa phương trình dạng phương trình biết cách giải 4/ Giúp học sinh nhận loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện 7.1 Hiện trạng : - Công thức lượng giác tương đối nhiều khó nhớ, học thuộc lịng cơng thức học sinh dễ nhầm lẫn - Đứng trước việc giải phương trình lượng giác nhiều học sinh chưa định hình việc áp dụng công thức lượng giác để hiệu - Trong tốn giải phương trình lượng giác chứa điều kiện, học sinh chưa biết loại nghiệm ngoại lai 7.2 Một số giải pháp - Đưa số kỹ thuật để giúp học sinh học thuộc công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 7.3 Nội dung I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/HỆ THỨC CƠ BẢN 1/ sin2x + cos2x = 2/ tanx = 3/ cotx = 4/ tanx cotx 5/ + tan2x = 6/ + cot 2x = =1 CÁCH NHỚ : - Cơng thức (2) (3), (4): tanx cotx nghịch đảo - Công thức (5) (6): ý mẫu tanx cosx, mẫu cotx sinx /CUNG LIÊN KẾT  CÁCH NHỚ : Đóng khung trường hợp đặc biệt ghi nhớ trường hợp đặc biệt , trường hợp khơng nhắc đến thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn ta có tang cotang Hơn , chéo , sin (cos đối) Hai cung đối x – x x -x (sin bù) Hai cung bù cos( - x) = cosxcosx sin ( sinx sin ( - x) = - sinx tan(- x) = - tanx cos ( - x) = - tan ( - x) = - cot ( - x) = - - x) = tanx cot (- x) = - cotx cotx (phuï chéo) Hai cung phụ x cos( x –x Hai cung +x - x) = sinx cos ( + x) = - sin ( - x) = cosx sin ( + x) = - tan( - x) = co tx cot ( - x) = tanx cosx sinx Hai cung cos( sin ( tan ( tanx cot ( + x) = + x) = laø x vaø +x + x) = - sinx + x) = tan( + x) = - co tx cot( + x) = - tanx 3/COÂNG THỨC CỘNG cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb Cos cos cos , sin sin Sin sin cos , cos sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa sin sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa Cos trái dấu , sin tan ( a – b) = tan ( a + b) = cot ( a + b) = cot ( a – b) = 4/CÔNG THỨC NHÂN cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a – 3cosa sin 2a = sina.cosa – 4sin3a tan 2a = cos3a = cos3a sin 3a = 3sina tan3a = 5/CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2 a = sin2a = tan2a = 6/CÔNG THỨC TÍNH biến đổi sina , cosa , tana veà ( t = tan ) sina = , cosa = , tan a = 7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = cosa - cosb = - sina + sinb = sina - sinb = tan a + tanb = tan a - tanb = CÁCH NHƠ : Ù Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos CÁCH NHỚ : tang cộng với tang ta Bằng sin hai đứa chia cos 8/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG : CÁCH NHƠ : Ù cosa.cosb = cos nhân cos sina.sinb = cos cộng cos Sin nhân sin trừ sina.cosb = cos trừ cos Sin nhân cos sin cộng II/ BIỂU DIỄN GĨC CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC B1: Đưa dạng x = (k Z, n ) B2: Cho k nhận giá trị từ đến (n-1) , x biểu diễn điểm M1 , x biểu diễn điểm M2 , x biểu diễn điểm M3 , x biểu diễn điểm Mn Ví dụ :Tìm điểm biểu diễn cung x : 1/ x = 2/ x = 3/ x = Giải: 1/ Khi k = x = y M( M() x biểu diễn điểm M ( ) ) O x N 2/ Khi k = x = x biểu diễn điểm M ( ) Khi k = x = x biểu diễn điểm N (N điểm đối xứng M qua O) 3/ Khi k = x = x biểu diễn điểm M ( ) Khi k = x = x biểu diễn điểm P Khi k = x = x biểu diễn điểm N M() O x N (N điểm đối xứng M qua O) Khi k = x = P x biểu diễn điểm Q Q (Q điểm đối xứng N qua O) Kết luận : x = , x biểu diễn điểm có điểm đỉnh hình vng MNPQ nội tiếp đường tròn lượng giác Tổng quát: Nếu x = (k Z) x biểu diễn n điểm đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn lượng giác III/ MỘT VÀI KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC III.1 Kỹ thuật 1: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có thừa số giống có chứa x ta phải chuyển vế đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( cosx +1 ) = cos2x.sinx Giải : sinx ( cosx -1 ) = cos2x.sinx sinx ( cos2x – 2cosx – ) = Vậy phương trình cho có nghiệm : (k ) 2/ Nếu góc phương trình có dạng nhân đôi ta thường dùng công thức nhân đôi công thức hạ bậc nâng cung để đưa phương trình theo góc Ví dụ : Giải phương trình : sin 2x = cos2x Giải : sin 2x = cos2x cosx ) = sinx cosx - cos2x = Vậy phương trình cho có nghiệm : sin 2x = cos2x ( k,h sin2x = + cos2x 2cosx ( sinx – ) sin2x – cos2x = 3/ Neáu phương trình có chứa cos2x , sin2 x ta dùng công thức hạ bậc nâng cung Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x cos2x + cos4x = cos6x + cos8x cosx ( cos7x – cos3x) = cos3x cosx = cos7x cosx Vậy phương trình cho có nghiệm : ( k,h ) 4/ Nếu phương trình có dạng tổng ta biến thành tích ngược lại Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x =0 Giải : sinx + sin 2x + sin 3x = ( sin3x + sinx) + sin2x = 2sin2x cosx + sin2x = sin2x ( cosx + 1) = Vậy phương trình cho có nghiệm : ( k,h ) Ví dụ 5: Giải phương trình : cosx cos7x = cos 3x cos 5x Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x cos6x = cos2x Vậy phương trình cho có nghiệm : (k ) Bài tập :Giải phương trình sau : 1) 2) 3) 5) 7) 6) 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 9/ – 13 cosx = - 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 11/ sin2 x – sinx cosx + cos2 x = - 13/ 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x 14/ sin 5x – sinx = 16/ cos x – cos 2x + sin6 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x x=0 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos 2x + 2cos2 x = III.2 Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho dạng phương trình đại số 1/ Đặt ẩn phụ theo tan ï t = tan ( t = tanx ) Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x Giải: Điều kiện : x (k ) 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x 6tan2 x = 2cos2x + nên ta đặt ẩn phụ t = tan x Khi phương trình (1) trở thành : 6t2 = ( ) +1 6t4 + 7t2 – = tan2x = (h ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = (h ) 2/ Biến đổi phương trình cho dạng có biêu thức đồng dạng để từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x + cot3x = (1) Giải: Điều kiện : x (k ) 10 ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = (1) Đặt t = tanx + cotx = , nên tan2x+ cot2x = t2 – , tan3x+ cot3x = t3 – 3t Khi phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – = =2 h sn2x = x= ) ( thỏa đk) Vậy phương trình cho có nghiệm : x = (h ) 3/ Phương trình có chứa đồng thời ta đặt t = sinx cosx Ví dụ3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = ( sinx + cosx) – (1) Giải: Đặt t = sinx + cosx = sin ( ) Điều kiện : t sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( ) Khi phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( 2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – ) = 2t – t3 + t – = sin ( )= Vậy phương trình cho có nghiệm : (k ) 4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = Ta đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + Ví dụ 4:Giải phương trình: = (1) (tan2x + cot2x ) + ( Giải: 11 - 1) ( tanx – cotx) – - ( Điều kiện : x (k ) Đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + Khi phương trình (1) trở thành: ( t2 + 2) + ( - 1)t – - t2 + ( * t = -2 tanx – cotx = -2 - 1)t – = tan2x + 2tanx – = ( k, h *t= =0 )( thỏa đk) = tanx – cotx = cot2x = 2x = - = = cot ( - +l Vậy phương trình cho có nghiệm : ) x=và x = - (l )( thỏa đk) ( k, h, l ) Bài tập: A/ Giải phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 5/ cos3x + cos2x – cosx – = 4/ 7/ 6/ 8/ 9/ + cosx = 2tan 11/ + tanx = 13/ sin( 10/ cotx = tanx + tan2x sinx 12/ sin( 2x - )= 14/ 2cos( x + B/ Tìm m để phương trình : ) = sin( x - ) + cos 3x ) = sin3x – cos3x có ba nghiệm thuộc ( 12 ) C/ Tìm m để phương trình : cos2 x + ( – m)cosx + 2m – = có nghiệm thuộc [0; ] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m+1=0 có nghiệm thuộc khoảng ( E/ Cho phương trình : 2( ) + cos2x ) + m ( - cosx) = (1) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) F/ Cho phương trình : 4tan2x + + = (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - ) G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ : H/ Cho phương trình : ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm ] III.3 Kỹ thuật 3: Phương trình lượng giác có điều kiện 1/ Phương trình lượng giác chứa tang, cotang có chứa ẩn số mẫu: Phân tích: Ngun tắc giải phương trình loại là:  Đặt điều kiện cho toán có nghĩa  Sau đó, giải phương trình kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện đặt hay khơng?  Kết luận nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải:Điều kiện: 13 Với điều kiện (1) (2) Nhận xét: + tan2x.tan3x nếu: + tan2x.tan3x = tan2x = tan3x (VT=0 VP=0) vô lý Vậy (2) Ta kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện hay không? a/ Điều kiện (a) bị vi phạm : Vậy x = (vô lý ) thỏa điều kiện (a) b/ Điều kiện (b) bị vi phạm : = ( 2m + 1) k = 2m + số nguyên lẻ Vậy điều kiện (b) thỏa k = 2n , nghiệm pt x = c/ Điều kiện (c) bị vi phạm : = ( 2h + 1) 10n = 6h + ( vơ lý n, h Z) Vậy x = thỏa điều kiện (c) Kết luận nghiệm phương trình cho : x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện : Với điều kiện tan5x=tan3x Điều kiện (a) bị vi phạm Vì k,l số nguyên nên 5x = 3x + l cho = m số nguyên k = 2l + l = 2m + Suy điều kiện (a) không bị vi phạm l = 2n Điều kiện (b) bị vi phạm x= nghiệm x = n cho n 14 = 6n = 2h + ( vô lý) Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) (b) x = n Ví dụ 3: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện : Với điều kiện (1) sin4x = cosx = sin ( a/ Nghiệm vi phạm điều kiện Do k,l Z nên Vậy =m k=l+ l = 4m + nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + (1) với k b/ Nghiệm 5m + vi phạm điều kiện : Do k,l Z nên Vậy ) =n + 4k = 3l l=k+ k = 3n – nghiệm (1) với k 3n – Kết luận: Nghiệm (1) ( k,m,n Z ) 2/ Việc chọn nghiệm nảy sinh biến đổi phương trình ban đầu phương trình hệ Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 15 (1) Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tích cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường nhân hai vế (1) cho sin góc nhỏ Giải: a/ Xét sinx = x = khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx x Nhân hai vế (1) cho sinx : (1) sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = sin4xcos4x.cos8x = sin8xcos8x = sinx Do k,l Z nên Vậy x = = sin16x = sinx =l Do k,l Z nên =n Z Vậy x = =7 + = 2m , suy k = 15m nghiệm phương trình (1) với k b/ Nghiệm x = (2) (2) phương trình hệ (1) k= =m Z sinx sinx Ta phải loại bỏ nghiệm x = a/ Nghiệm x = sinx 15m k = 8l + l = 2n + , suy k = 17n + nghiệm phương trình (1) với k 17n + Kết luận : Nghiệm phương trình (1) : Ví dụ 5: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = - 16 (1) Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tổng cos mà góc tạo thành câp số cộng với công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin Giải: a/ Xét sinx = b/ Xét sinx (1) x = n khơng thỏa phương trình (1) x n Nhân hai vế (1) cho sinx , ta có : sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = - sinx [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = - sinx sin11x – sinx = -sinx Nghiệm x = sin11x = vi phạm điều kiện k,l Z cho : Vậy nghiệm phương trình (1) : x = Bài tập: x= với k 11.n k = 11.n ( k, n Z) Giải phương trình : 1/ cos2x + cos x = ĐS : x = 8n 2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 3/ sinx( cos =n - 2sinx) + cosx( + sin 4/ sinx.sin2x.cos(3x + - 2cosx) = )=1 ĐS : ptvn ĐS : x = + 8n ĐS : ptvn 5/ sinx.cos4x.cos8x = ĐS : x = 6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 7/ ĐS : x = k ĐS : 8/ tan2x.tan7x = ĐS : x = IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 17 + k2 Phương trình a có họ nghiệm là: b Phương trình a b b b 11 Phương trình c d c d Vơ nghiệm có nghiệm là: b c d có nghiệm là: b c d Vơ nghiệm có nghiệm là: b 10 Phương trình a d có nghiệm là: Phương trình a c b Phương trình f a d có nghiệm là: Phương trình a c b Phương trình a d có nghiệm là; Phương trình: a c có nghiệm là: Phương trình a d có nghiệm là: Phương trình a c c d có nghiệm là: b c có nghiệm là: 18 d a b c d 12 Cho phương trình phương trình là: a Các nghiệm thuộc khoảng b c 13 Phương trình: a d có nghiệm là: b c 14 Phương trình: a d có nghiệm là: b 15 Phương trình: a c d có nghiệm là: b c d Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh nhớ giá trị lượng giác cung - Học sinh có lực học tốn mức trung bình trở lên 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: - Thêm nhiều kinh nghiệm trình giảng dạy phương trình lượng giác 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: - Học sinh biết cách học ghi nhớ công thức lượng giác - Biết tìm điểm biểu diễn cung đường trịn lượng giác - Nắm số kỹ thuật biến đổi phương trình lượng giác - Biết cách loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện 19 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá nhân Nguyễn Thị Hương Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Nguyễn Thái Học ., ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị Đại số & Giải tích 11 Vĩnh Yên, ngày 15 tháng năm 2020 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hương 20 21