Ôn luyện toán 9 theo chủ đề, tập 2

ÔN LUYỆN TOÁN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VẤN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm phương trình bậc hai ẩn  Phương trình bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng: ax +by =c Trong a, b, c số cho trước, a ≠ b ≠ Nếu số thực x , y thỏa mãn ax +by =c cặp số ( x ; y 0) gọi nghiệm phương trình ax +by =c  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nghiệm ( x ; y 0) phương trình ax +by =c biểu diễn điểm có tọa độ ( x ; y 0) Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ax +by =c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d :ax +by=c { c a đường thẳng d song song  Nếu a ≠ b = phương trình có nghiệm y∈ R trùng với trục tung x= { x∈R  Nếu a = b ≠ phương trình có nghiệm y= c đường thẳng d song song b trùng với trục hoành  Nếu a ≠ b ≠ phương trình có nghiệm hàm số y= −a c x+ b b { x ∈R −a c y= x+ b b đường thẳng d đồ thị B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xét xem cặp số cho trước có nghiệm phương trình bậc hai ẩn hay không? Phương pháp giải: Nếu cặp số thực ( x ; y 0) thỏa mãn ax +by =c gọi nghiệm phương trình ax +by =c  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 1.1 Trong cặp số (12; 1), (1; 1), (2; - 3), (1; - 2), cặp số nghiệm phương trình bậc hai ẩn x−5 y=19 ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II Bài 1.2 Tìm giá trị tham số m để cặp số (2; - 1) nghiệm phương trình mx−5 y=3 m−1 Bài 1.3 Viết phương trình bậc hai ẩn có nghiệm (2; 0) ( - 1; -2)  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 1.4 Cặp số ( - 2; 3) nghiệm phương trình phương trình sau: a ¿ x− y =1;b ¿ x+ y=5 ; c ¿ x+ y=−4 ; d ¿ x− y=−7 e ¿ x−3 y =10 ; g ¿ x− y=2; Bài 1.5 Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn √ m+ x−2 y=m+1 có nghiệm (1; - 1) Bài 1.6 Cho biết (0; -2) (2; -5) nghiệm phương trình bậc hai ẩn Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn Dạng Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ Phương pháp giải: Xét nghiệm phương trình bậc hai ẩn: ax +by =c Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) đưa kết luận công thức nghiệm tổng quát Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax +by =c  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 1.7 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a ¿ x−3 y=5 ; b ¿ x+ y =12; c ¿ x−3 y=6 ;  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 1.8 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a ¿ x− y=3 ; b ¿ x +0 y=20 ; c ¿ x −8 y=16 Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax +by =c thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng số lưu ý sau giải dạng toán này: c a Nếu a ≠ b = phương trình đường thẳng d :ax +by=c có dạng d : x= Khi d song song trùng với Oy ƠN LUYỆN TOÁN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II c b Nếu a = b ≠ phương trình đường thẳng d :ax +by=c có dạng d : y= Khi d song song trùng với Ox Đường thẳng d :ax +by=c qua điểm M ( x0 ; y ) ax +by =c  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 1.9 Cho đường thẳng d có phương trình: ( m−2 ) x+ ( m−1 ) y =6 m−2 Tìm giá trị tham số m để: a ¿ d song song với trục hoành ; b ¿ d song song với trục tung ; c ¿ d điqua gốc tọa độ ;d ¿ d qua điểm A ( 1;−1 )  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 1.10 Cho đường thẳng d có phương trình : ( m−1 ) x +3 ( m−1 ) y=4 m−2 Tìm giá trị tham số m để: a ¿ d song song với trục hoành ; b ¿ d song song với trục tung ; c ¿ d điqua gốc tọa độ ;d ¿ d qua điểm A ( 2; ) Dạng Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải: Để tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn: +by =c , ta làm sau: Bước Tìm nghiệm nguyên ( x ; y ) phương trình Bước Đưa phương trình dạng a ( x−x ) + b ( y− y ) =0 từ dễ dàng tìm nghiệm nguyên phương trình cho  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 1.11 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x−2 y=5 Bài 1.12 Cho phương trình 11 x+ 18 y=120 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 1.13 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình sau: a ¿ x−11 y=4 ; b ¿ x +5 y=143 ; ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II Bài 1.14 Cho phương trình 11 x+ y=73 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1.15 Trong cặp số (0; 2), ( -1; -8), (1; 1), (3; -2), (1; -6), cặp số nghiệm phương trình x−2 y=13 ? Bài 1.16 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a ¿ x−3 y=6 ; b ¿ y −2 x =3; c ¿ x +0 y=14 ; d ¿ x−4 y=8 ;e ¿ x− y=5; g ¿ y + x=0 ; Bài 1.17 Cho đường thẳng d có phương trình: ( m−3 ) x+ ( m−1 ) y =m+ Tìm giá trị tham số m để: a ¿ d song song với trục hoành ; b ¿ d song song với trục tung ; c ¿ d điqua gốc tọa độ ; d ¿ d qua điểm A (−3 ;−2 ) Bài 1.18 Tìm phương trình đường thẳng d biết d qua hai điểm phân biệt M ( 2; ) N ( ;−1 ) Bài 1.19 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: a ¿ x−3 y=7 ; b ¿ x+5 y =15 ; Bài 1.20 Cho phương trình: x+ y=112 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II VẤN ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn - Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng { ax +by =c (1) ' ' ' a x +b y=c (2) Trong a, b, c, a’, b’, c’ số thực cho trước, x y ẩn số Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung ( x ; y ) ( x ; y ) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm - Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm - Hai hệ phương trình gọi tương đương có tập nghiệm Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn - Tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng d : ax +by=c d ' :a ' x +b ' y=c ' Trường hợp d ∩ d ' =A ( x ; y ) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) ; Trường hợp d ∥d ' ⇔ Hệ phương trình vô nghiệm; Trường hợp d ≡d ' ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm - Chú ý: - a b ; ' a b a b c Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ ' = ' ≠ c ' ; a b a b c Hệ phương trình có vơ số nghiệm⇔ ' = ' = c ' ; a b Hệ phương trình có nghiệm ⇔ ' ≠ B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Khơng giải hệ phương trình, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc hai ẩn =c {aaxx +b+byy=c ' ' ' a a b ; b' Hệ phương trình có nghiệm ⇔ ' ≠ a b c Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ ' = ' ≠ c ' ; a b a b c Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ ' = ' = c ' ; a b  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II Bài 2.1 Dựa vào hệ số a, b, c, a’, b’, c’, dự đoán số nghiệm hệ phương trình sau: a¿ y=4 ; b ¿ −2 x + y=−3 ; {−63 x−2 { x−2 y=7 x+ y =−8 c¿ { √√ { x−2 y=3 ; d ¿ x−5 y =−11 ; x −6 y=−7 x−0 y =2 √3 Bài 2.2 Cho hệ phương trình trình: Xác định giá trị tham số m để hệ phương {mx+x+ yy=1 =2m a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 2.3 Không giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau: { { x−5 y=−11 a ¿ x+ y =4 ; b ¿ ; x+ y=−8 x−0 y=2 √ { 2 x=4 y=3 ;d¿ √ c¿ 3; − √2 x−2 y= 3 −3 x + y= 2 −2 x + y= { Bài 2.4 Cho hệ phương trình trình : mx− y=1 Xác định giá trị tham số m để hệ phương {x−my=m a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Vô số nghiệm Dạng Kiểm tra cặp số cho trước có phải nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn hay khơng? Phương pháp giải: Cặp số ( x ; y ) nghiệm hệ phương trình thỏa mãn hai phương trình hệ =c {aaxx +b+byy=c ' ' '  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 2.5 Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) nghiệm hệ phương trình hệ phương trình sau đây: ÔN LUYỆN TOÁN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II { x −2 y =−12 x + y=−3 a¿ ;b¿ ; −3 x+2 y=21 −7 x+ y= 3 { Bài 2.6 Cho hệ phương trình y =−2 m {−mx+ x−m y=−7 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 2.7 Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng khơng: { { a ¿ ( ; ) x−5 y =−7 ; b ¿ (−2; ) x−3 y=−19 x+ y=4 −3 x +2 y=7 Bài 2.8 Cho hệ phương trình: mx+ y =m {x−my=−1−6 m Tìm giá trị tham số m để cặp số (−2 ;1) nghiệm phương trình cho Dạng Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn thị ta làm sau: =c phương pháp đồ {aaxx +b+byy=c ' ' ' Bước 1: Vẽ hai đường thẳng d :ax +by=c d ' :a ' x +b ' y=c ' hệ trục tọa độ Bước Xác định nghiệm hệ phương trình dựa vào đồ thị vẽ Bước  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: d :2 x− y =5 d : x−2 y =1 Bài 2.9 Cho hai phương trình đường thẳng: a) Vẽ hai đường thẳng d d hệ trục tọa độ b) Từ đồ thị d d 2, tìm nghiệm hệ phương trình: x− y=5 {2x−2 y=1 c) Cho đường thẳng d : mx+(2 m−1) y=3 Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d 1, d 2và d đồng quy  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 2.10 Cho ba đường thẳng: d : x+2 y=5 ; d : x + y=4 d :2 mx+ ( m−1 ) y =3 m+1 a) Vẽ hai đường thẳng d d hệ trục tọa độ b) Từ đồ thị d d 2, tìm nghiệm hệ phương trình: y=5 {2x +2x + y=4 ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II c) Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d 1, d 2và d đồng quy C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 2.11 Không giải hệ phương trình, xác định số nghiệm hệ phương trình sau: { { { a ¿ x−4 y=3 ; b ¿ x +2 y=3 ; c ¿ x + y=0 ; x − y=4 x+ y =1 x−3 y=0 d¿ { { x−2 y =4 x+ y=2 ; e ¿ x y ; g ¿ x− y=4 ; x + y=1 + = x− y=2 3 { Bài 2.12 Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng không: { { a ¿ ( ; ) −2 x + y=3 ;b ¿ (−2 ; ) x+ y=−3 x + y=7 x +3 y=1 Bài 2.13 Cho hệ phương trình: mx+ y =−2 m {−33x−my=−1+3 m Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình: a ¿ Có nghiệm b ¿ Vơ nghiệm c ¿ Vô số nghiệm d ¿ Nhận (1 ; ) làm nghiệm Bài 2.14 Cho hai đường thẳng: d :2 x + y=3 d : x−4 y=6 a) Vẽ hai đường thẳng d d hệ trục tọa độ b) Từ đồ thị d d 2, tìm nghiệm hệ phương trình: x + y=3 {x−4 y=6 c) Cho đường thẳng d : ( m+1 ) x+ my=2m−3 Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d 1, d 2và d đồng quy ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II VẤN ĐỀ 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Để giải hệ phương trình, ta biến đổi hệ cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản Phương pháp cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước sau đây: Bước Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp giải: Căn vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, ta làm sau: Bước Rút x y từ phương trình hệ phương trình, thay vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn Bước Giải phương trình ẩn vừa có, từ suy nghiệm hệ phương trình cho Chú ý Để lời giải đơn giản, ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối khơng lớn (thường -1) rút x y có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ qua ẩn lại  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 3.1 Giải hệ phương trình: { { a ¿ x− y =5 ; b ¿ x −2 y =11 ; x +2 y=23 x−5 y =3 { { ( ) c ¿ x √ 2− y √ 3=1 ; d ¿ √ 2−1 x − y=√ x + y √ 3=√ x+ ( √2+1 ) y =1  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 3.2 Giải hệ phương trình { { a ¿ x +5 y=1 ; b ¿ x−11 y=−7 ; x− y=−8 10 x +11 y=31 ƠN LUYỆN TỐN THEO CHỦ ĐỀ, TẬP II c¿ { { x+ √ y =−2 √3 ; d ¿ – x− √2 y=√ −2 x−2 √ y=√ 11 √ x +2 y=−√ Dạng Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau: Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp dạng  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 3.3 Giải hệ phương trình: a¿ { { ( y−5 )+ ( x−3 )=0 ; ( x−4 ) +3 ( x+ y−1 )−14=0 b ¿ ( x+1 )( y−1 )=( x−2 ) ( y+ )−1 ( x−2 ) y −x=2 xy −3  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 3.4 Giải hệ phương trình: { { a ¿ ( x+2 y )−3 ( x− y )=99 ; b ¿ ( x+ )( y −1 )=xy−1 x−3 y=7 x−4 y −17 ( x−3 )( y −3 )=xy −3 Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau: Bước Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp Dạng từ tìm nghiệm hệ phương trình cho  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài 3.5 Giải hệ phương trình: { { 15 5 − =9 − = a¿ x y ; b ¿ x + y−1 x− y +3 + =35 + = x y x + y−1 x− y+3  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài 3.6 Giải hệ phương trình: 10