Một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Lĩnh vực: Tốn học) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Quý Đôn Yên Bái, ngày 22 tháng 01 năm 2021 I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn THPT Phạm vi áp dụng sáng kiến: Trong đơn vị kiến thức mơn Tốn THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 01 tháng 08 năm 2020 đến ngày 31 tháng 12 năm 2021 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Thu Hương Năm sinh: 1985 Trình độ chuyên mơn: Cử nhân sư phạm Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Lê Quý Đôn Địa liên hệ: Trường THPT Lê Quý Đôn, thị trấn Cổ Phúc, huyện Trấn Yên, tỉnh Yên Bái Điện thoại: 0972851985 II MƠ TẢ SÁNG KIẾN: Tình trạng giải pháp biết Bài toán khoảng cách khơng gian xuất chương trình tốn học lớp 11 12 Nó xuất hầu hết đề thi TNTHPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi mơn tốn từ trước tới Để giải tốn địi hỏi học sinh phải có kiến thức vững, có tính hệ thống hình học phẳng, hình học khơng gian Đối với học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm thi Đối với học sinh có lực học giỏi, không lựa chọn phương pháp phù hợp thường tốn nhiều thời gian việc tìm đáp án tốn, ảnh hưởng đến phân bố thời gian làm hợp lí kì TNTHPT Quốc gia Với thời gian học tập chương trình tốn trực tiếp lớp cịn hạn chế, học sinh cần tài liệu chuyên đề mang tính hệ thống Trong Sách giáo khoa, kiến thức để giải toán khoảng cách viết riêng rẽ, năm học học sinh cung cấp thêm cách giải khác Nếu học sinh khơng có khả tổng hợp hệ thống kiến thức dừng lại việc giải toán đơn lẻ Trong tài liệu tham khảo, dạng toán nhiều song dừng lại việc cung cấp hệ thống tập cách giải tương ứng, chưa có tài liệu phân dạng rõ nét để giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng tốn Trước lí trên, viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian” nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng quát có hệ thống tốn tính khoảng cách không gian Với hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt, giúp học sinh khơng cịn “sợ” phần đứng trước tốn học sinh có định hướng trước làm bài, từ có cách giải tốt Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: Mục đích giải pháp: Sáng kiến góp phần nâng cao hiệu bồi dưỡng HSG mơn tốn thi TNTHPT Quốc Gia Nội dung giải pháp: Việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng, giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn tương tự Trong q trình giảng dạy, giáo viên thiết kế giảng tiến hành hoạt động để học sinh thực luyện tập nội dung điều kiện có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do việc trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng Trong chương trình tốn lớp 11, “Khoảng cách” có đưa khái niệm bản: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Sáng kiến đưa hệ thống phương pháp tiếp cận giải toán: Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài toán 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Từ hầu hết toán khoảng cách giải Tính mới: Trong Sách giáo khoa, kiến thức để giải toán khoảng cách viết riêng rẽ, năm học học sinh cung cấp thêm cách giải khác Nếu học sinh khơng có khả tổng hợp hệ thống kiến thức dừng lại việc giải toán đơn lẻ Trong tài liệu tham khảo, dạng toán nhiều song thường dừng lại việc cung cấp hệ thống tập cách giải tương ứng, chưa phân dạng rõ nét để giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng tốn Với cách hệ thống lý thuyết tập phân loại tương đối tốt, đề tài cung cấp cho học sinh nhìn tổng quát có hệ thống tốn tính khoảng cách khơng gian Từ nâng cao hiệu rút ngắn thời gian tìm hướng hợp lý học sinh giải Khả áp dụng giải pháp Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy ơn thường xun phần hình học khơng gian lớp 11 lớp 12, góp phần nâng cao hiệu học tập mơn tốn kết thi học sinh giỏi, thi TNTHPT Quốc gia Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp Bản thân áp dụng sáng kiến trình giảng dạy năm học 2020 – 2021 thu hiệu tốt, học sinh hệ thống kiến thức xuyên suốt từ lớp 11, áp dụng trình giải toán làm đề thi Kết cụ thể thu áp dụng dạy lớp 11B1, 11B3, 12A3: Số học sinh làm toán khoảng cách Đề ôn số Đề ôn số KTHKII Lớp 11B1 11 18 Lớp 11B3 14 Lớp 12A3 10 15 24 Thi thử lần Thi thử lần 12 15 Phân tích: Trong đề ơn thường xuyên đề kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kỳ, số học sinh tìm hướng đi, thực lời giải tìm kết toán khoảng cách tăng lên Đặc biệt học sinh hứng thú, chủ động, tự giác hoàn thành tập giao đạt kết tốt kiểm tra đánh giá Số học sinh đạt điểm từ 8, tăng lên; học sinh có động lực để giải câu vận dụng đề thi TNTHPT Quốc gia Các thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Học sinh trang bị kiến thức khoảng cách lớp 11 - Phương pháp tọa độ không gian phương pháp sử dụng cơng thức thể tích hai lần dành cho học sinh ôn TNTHPT Quốc gia Tài liệu gửi kèm Sáng kiến “ Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian” BÀI TỐN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Cho điểm M đường thẳng  Gọi H hình chiếu M  Khi khoảng cách hai điểm M H gọi khoảng cách từ điểm M đến  Kí hiệu d ( M , ) * Nhận xét - K  , MK  d ( M , ) - Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  ta có thể: + Xác định hình chiếu H M  + Tính độ dài đoạn MH  Chú ý:  Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với  thì: d M,  Nếu MA d A, I , thì: AK d M, d A, A M A H K MI AI M A I Bài tập minh họa: Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SA  ( ABCD), SA  a Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB a) Tính khoảng cách từ I đến CM b) Tính khoảng cách từ S đến CM Giải a) Gọi H hình chiếu I lên CM  IH  CM S M I H A D O M C S I H B SA2  AM  5a CM  MB  BC  5a Ta có: SM  C SC  SA2  AC  3a  SC  Suy tam giác SCM cân M  MI  SM     2a    Vậy: d  I , CM   a 10 IH  IM  IC  10 3a  IH  a 10 b) Ta có: SI  CM  C  d  S , CM  SC 30a    d  S , CM   2d  I , CM   IH  d  I , CM  IC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vng góc với  ABC  SA  3a Diện tích tam giác ABC 2a , BC  a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? C 3a B 4a A 2a D 5a Hướng dẫn giải: Kẻ AH vng góc với BC : SABC  2.SABC 4a AH BC  AH    4a BC a Khoảng cách từ S đến BC SH Dựa vào tam giác vng SAH ta có SH  SA2  AH  (3a )  (4a )  5a Chọn đáp án D Câu 2: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  BCD tam giác cạnh a Biết AC  a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM A a B a C a 11 Hướng dẫn giải: A Do  ABC cạnh a nên đường cao MC  d  C , AM   CH  D a a H AC.MC 66 a 2 11 AC  MC D C M Chọn đáp án C B Câu 3: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD A a Hướng dẫn giải: B a C a D a Gọi M trung điểm CD Do ABCD ABC D hình lập phương nên tam giác ACD ' tam giác cạnh a AM  CD  d  A, CD   AM  a Đáp án: B Câu 4: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng DB A a B a C a a D Hướng dẫn giải: Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống DB Dễ thấy AD   ABB ' A   ADB ' vuông AD  a; AB  a  đỉnh A 1 a    AH  2 AH AD AB ' Đáp án D BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG Phương pháp: Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu O () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () Kí hiệu d (O,( ))  O  * Nhận xét - M  ( ), OM  d (O,( ))  H Phương pháp 1: Xác định hình chiếu H O () tính OH dựa số trường đặc biệt sau: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Nếu O chân đường cao hạ từ đỉnh S ta dựng hình chiếu H O lên mặt (SAB) sau: S Kẻ OK  AB  K  AB  , OH  SK ,  H  SK  Ta có: OK  AB, AB  SO  AB  SK  OH   SAB   H  Suy d O,  SAB   OH B K O A Nếu O không chân đường cao hạ từ đỉnh S ta làm sau: Đưa việc tính d (O,( )) việc tính d (O ',( )) dễ dàng Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () O, O’   d (O;( ))  d (O ';( )) O' O Kết Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I O, O’   (O, O’ khơng trùng với I) d (O;( )) OI  d (O ';( )) O ' I O' O I Đặc biệt, O trung điểm O’I d (O;( ))  d (O ';( )) I trung điểm OO’ d (O;( ))  d (O ';( )) Sử dụng tính chất tứ diện vng: Giả sử OABC tứ diện có OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức OH   OA OB  OC 2 Bài tập minh họa: Bài tập Cho hình chóp S.ABC, có SA vng góc với mặt đáy, SA  3a, AB  a, BC  2a, ABC  600 Gọi I trung điểm AB Tính: a) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC); b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC); c) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SBC) Giải S AC  AB  BC  AB.BC.cos ABC  3a K  AC  a 2 a) Ta có: BC  AB  AC  ABC vuông A  BA  AC Mà BA  SA (gt) I Suy A hình chiếu vng góc B (SAC)   Vậy d B;  SAC   BA  a b) Gọi: H hình chiếu A lên BC K hình chiếu A lên AH  AK  BC  AK   SBC   d  A;  SBC    AK  AK  SH Ta có:  Mà AH  AB  AC Vậy: d  A;  SBC     AS  AH  3a 13 13 3a 13 13 c) Ta có AI   SBC   B  Vậy: d  I ;  SBC    C A 3a 13 26 d  I ,  SBC   d  A,  SBC    IB  AB H B * Nhận xét - M  ( ), N  (  ), MN  d (( );(  )) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình thang vng cạnh a Gọi I J trung điểm AB CD Khoảng cách đường thẳng IJ  SAD  bằng: A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: Vì IJ // AD nên IJ //  SAD   d  IJ ;  SAD    d  I;  SAD    IA  a Câu 2: Cho hình thang vng ABCD vng A D , AD  2a Trên đường thẳng vng góc D với  ABCD  lấy điểm S với SD  a Khỏang cách đường thẳng DC  SAB  A 2a B C a a D a Hướng dẫn giải: Chọn A Vì DC // AB nên DC //  SAB   d  DC ;  SAB    d  D;  SAB   Kẻ DH  SA , AB  AD , AB  SA nên AB   SAD   DH  AB suy d  D; SC   DH Trong tam giác vng SAD ta có: 1 SA AD 2a  2  2  DH  2 DH SA AD SA  AD Câu 3: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH  2a Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN  ABC  bằng: A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Chọn D Vì M N trung điểm OA OB nên MN // AB MN //  ABC  a Ta có: d  MN ;  ABC    d  M ;  ABC    OH  (vì M trung điểm OA) Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB  SA  2a Khoảng cách từ đường thẳng AB đến  SCD  bao nhiêu? S a A a B C a D a H Hướng dẫn giải: A I Gọi I , M trung điểm cạnh AB CD CD  ( SIM ) B Vẽ IH  SM H  SM IH  ( SCD)  d  AB, ( SCD)   d  I , ( SCD)   IH  D M O C SO.IM SM  SAB cạnh 2a  SI  a  SM  a Và OM  IM  a  SO  SM  OM  a 2 Cuối d  AB, ( SCD)   SO.IM a 2.2a 2a   SM a Chọn đáp án B Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB  a Gọi I J trung điểm AB CB Tính khỏang cách đường thẳng IJ  SAD  A a 2 B a C a 3 D a Hướng dẫn giải: IJ / / AD  IJ / /( SAD) a  d  IJ,(SAD)   d  I , ( SAD)   IA  Chọn đáp án B Câu 6: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH  2a Gọi M N trung điểm OA OB Tính khoảng cách đường thẳng MN  ABC  A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Khoảng cách đường thẳng MN  ABC  : d  MN ,  ABC    d   MNP  ,  ABC    OH a  Câu 7: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH  2a Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN  ABC  A a B a Hướng dẫn giải: Do MN //  ABC   d  MN ,  ABC    d  M ,  ABC   Lại có OA d  O,  ABC      d  M ,  ABC   MA d  M ,  ABC   OH a  d  O,  ABC     2 Chọn đáp án D C a D a Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , mặt đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB  a Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ  SAD  A a B a C a D a Hướng dẫn giải: SA   ABCD   SA  AI Lại có AI  AD ( hình thang vuông) suy IA   SAD  IJ AD theo tính chất hình thang, nên d  IJ ,  SAD    d  I ,  SAD    IA  a Chọn đáp án C Câu 9: Cho hình thang vng ABCD vuông A D, AD  2a Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  D lấy điểm S với SD  a Tính khoảng cách DC  SAB  A 2a B C a a D a Hướng dẫn giải: Trong tam giác DHA , dựng DH  SA ; Vì DC / / AB  d  DC ;  SAB    d  D;  SAB    DH Xét tam giác vng SDA có : 1 a 12 2a    DH   2 DH SD AD 3 Chọn đáp án A Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng ( SCD) A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO   ABCD  Kẻ OI  CD, OH  SI  OH   SCD  Ta tính AO  OI  a a , SO  SA2  AO  2 AD a  2 1 a a  d  A,  SCD       OH  2 OH SO OI Chọn đáp án D Câu 11: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Khi đó, khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CBD) A a B 2a C a D a Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ A  0;0;0  ; B 1;0;0  ; D  0;1;0  ; A  0;0;1 C 1;1;0  ; B 1;0;1 ; D  0;1;1 ; C  1;1;1 CB   0; 1;1 ; CD   1;0;1 Viết phương trình mặt phẳng  CBD  Có VTPT n  CB; CD   1; 1; 1  CBD :1 x  1  1 y  1  1 z     x  y  z   d  BD;  CBD    d  B;  CBD    Vậy d  BD;  CBD    1   12  12  12   3 a Chọn đáp án C Câu 12: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD , DC , A ' D ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng  MNP   ACC ' A a D a B a C a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có:  MNP  //  ACA  a  d   MNP  ;  ACA    d  P;  ACA    OD  Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh bên hợp với đáy góc 60 , đáy ABC tam giác A cách A , B , C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ A a B a C a D 2a Hướng dẫn giải: Chọn A Vì ABC AA  AB  AC  AABC hình chóp Gọi AH chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm ABC , AAH  60 AH  AH tan 60  a 3  a Câu 14: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có cạnh bên a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60o Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  A1B1C1  trung điểm B1C1 Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? A a B a C a D a Hướng dẫn giải: Ta có: A 'H   ABC   A ' AH  60o d  A ' B ' C ' ,  ABC   A ' H  A ' A.cos 60 o a Chọn đáp án A Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC ABC có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H A mặt phẳng  ABC   thuộc đường thẳng BC Khoảng cách hai mặt phẳng đáy là: A a B a C a a D Hướng dẫn giải:  Do hình lăng trụ ABC ABC có tất cạnh a suy AB  AC   BH  HC   AH  a a  AH  2 Chọn đáp án C Câu 16: Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Khoảng cách  ABC   ADC   : A a B a C a a D Hướng dẫn giải: Ta có d   ABC  ,  ADC     d  B,  ADC     d  D,  ADC    B C Gọi O tâm hình vng ABC D Gọi I hình Chiếu D OD , suy I hình chiếu D A D  ADC   B C I O A d  ABC  ,  ADC     d  D,  ADC     DI  DO.DD DO  DD 2  D a a 2 a 2   a    a Chọn đáp án D Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD, DC , AD Tính khoảng cách hai mặt phẳng  MNP   ACC  A a B a C a D' P a D N D Gọi O  AC  BD, I  MN  BD D B A Khi đó, OI  AC , OI  AA  OI  ( ACC A) B' O M Nhận xét ( ACC )  ( ACC A) C A' I Hướng dẫn giải: Suy d  ( MNP), ( ACC )   OI  C' N C M A B a AC  4 Chọn đáp án B BÀI TOÁN 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng  cắt a b đồng thời vuông góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung  cắt a I cắt b J độ dài đoạn thẳng IJ gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d (a, b) c I a J b I a J b   * Nhận xét - M  a, N  b, MN  d (a, b) - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm I J từ suy d (a, b)  IJ (Thường sử dụng trường hợp a  b ) + Ngược lại tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d (a, b)  d (b, ( P))  d  H ,  P   , H   P  + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d (a, b)  d (( P), (Q)) AB,CD AC + Sử dụng phương pháp tọa độ: d AB,CD AB,CD * Đặc biệt - Nếu a  b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d (a, b)  IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD Bài tập minh họa: Bài tập Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: A a 5 B a C a 10 D a Hướng dẫn giải [Cách 1] Phương pháp dựng hình Gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC Gọi H hình chiếu G lên đường thẳng qua A song song với CG GK đường cao tam giác GHS Khi đó, d (GC , SA) SA,( ABC ) d (GC , SA) d (GC ,(SAH )) SAG 600 AG.tan 600 SG GS GH GK GS GH a ; GK Ta có: AG a, GH a , suy AM a z S S K K y H x H A C G M C A G N B B [Cách 2] Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G Khi đó, A GC a ;0;0 , C a a ; ;0 , O , Ox GA,Oy//NC ,Oz GS (Hình vẽ) a a ; ;0 ; S 0;0; a , suy GS 0;0; a , AS a ;0; a suy d (SA, GC ) GC , AS GS a 5 GC , AS Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải Ta có: MAD  NCD  ADM  DCN S  MD  NC Do SH   ABCD   MD  SH MD   SHC  K Kẻ HK  SC  K  SC  N A D H Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên M d  DM , SC   HK B C Ta có: HC  HK  CD 2a  CN SH  HC SH  HC Vậy d  DM , SC    3a  19 3a 19 A' C' Bài tập Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh B' a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng M cách B ' M CN Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , ta dùng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt D N C A O B phẳng việc tính khoảng cách tứ diện vuông Giải Gọi O, D trung điểm BC CN OACD tứ diện vng O AMB ' N hình bình hành  NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song với B ' M nên d ( B ' M , CN )  d ( B ' M , ( ACN ))  d ( B ', ( ACN ))  d ( B, ( ACN ))  2d (O, ( ACD))  2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta h Vậy d ( B ' M , CN )    OA OC  OD  64 3a h a a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách AB CD A a B a C a Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N trung điểm AB CD Khi NA  NB  a nên tam giác ANB cân, suy NM  AB Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d  AB; CD   MN Ta có: S ABN   p  p  AB  p  BN  p  AN  (p nửa chu vi) aa aa a a 2a  2 2 Mặt khác: S ABN  2a 1 AB.MN  a.MN  MN  2 Cách khác Tính MN  AN  AM  3a a a   4 Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật với AC  a BC  a Tính khoảng cách SD BC A 3a B C a D a 2a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: BC //  SAD   d  BC ; SD   d  BC ;  SAD    d  B;  SAD   D a  AB  AD  AB   SAD   d  B;  SAD    AB Mà   AB  SA Ta có: AB  AC  BC  5a  2a  3a Câu 3: Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Khoảng cách BB ' AC bằng: A a a B C a D a Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: d  BB; AC   d  BB;  ACC ' A    a DB  2 Câu 4: Cho tứ diện OABC đ OA, OB, OC đ i vng góc với nhau, OA  OB  OC  a ó Gọi I trung điểm BC Khoảng cách AI OC bao nhiêu? A a B a C a D a A Hướng dẫn giải: Gọi J trung điểm OB Kẻ OH vng góc AJ H Tam giác AOJ vuông O , có OH đường cao OH  OA.OJ OA2  OJ  a a a a2    2 H a  C O J Ta có: OC //IJ nên OC //  AIJ  I B d  AI , OC   d  OC ,  AIJ    d  O,  AIJ    OH  a Chọn đáp án B Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đ y l hnh thang vu ng A B, AB  BC  a, AD  2a, SA ì vng góc với mặt đ y v SA  a Tính khoảng cách SB CD A a B a C a D a Hướng dẫ giải: Gọi H trung điểm AD ta có: d(CD;SB)  d(D;(SBH))  d(A;(SBH)) 1 1     2 2 d (A;(SBH)) AS AB AH a  d(CD;SB)  a 3 Chọn C Câu 6: Cho hình vng ABCD tam giác SAD nằm hai mặt phẳng vng góc với AD  a Tính khoảng cách AD SB A a 21 B a 21 C a 15 D a 15 Hướng dẫn giải: Gọi E, F trung điểm AD, BC Ta có: AD, BC  (SFE) , suy SF hình chiếu SB lên mặt phẳng (SEF) Nên d(AD;SB)  d(E;SF)  SE.FE SE  FE 2  a a 2 a a  21 a Chọn B B Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1 D1 có AA1  2a, AD  4a Gọi M trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng A1 B1 A C1M bao nhiêu? C M D B1 A 3a B 2a C a D 2a A1 C1 D1 Hướng dẫn giải: Ta có A1B1 //C1D1 suy d  A1 B1 , C1M   d  A1 B1 ,  C1 D1M    d  A1 ,  C1D1M   Vì AA1  2a, AD  4a M trung điểm AD nên A1M  D1M , suy A1M   C1 D1M   d  A1 ,  C1 D1M    A1M  2a Chọn B Câu 8: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AD AB ? A a B a Hướng dẫn giải: A' B '  A' A  A ' B '   ADD ' A ' Ta có  A' B '  A' D ' Gọi H giao điểm AD ' với A ' D  A ' H  AD '  A ' H  AD ' a  d  A ' B '; AD '  A ' H   A' H  A' B ' Chọn B C a D a III Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm sản phẩm cá nhân viết, không chép hoạc vi phạm quyền Nếu sai, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Yên Bái, ngày 04 tháng 02 năm 2022 Người viết báo cáo Nguyễn Thị Thu Hương XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG VỀ VIỆC TRIỂN KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TẠI ĐƠN VỊ ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………