Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay

VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Dạng 2 Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn A Phương pháp giải + Chứng minh các điểm cùng các[.]

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn A Phương pháp giải + Chứng minh điểm cách điểm O khoảng R Khi điểm thuộc đường trịn tâm O, bán kính R + Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh điểm liên tiếp nhìn đoạn AB cố định góc  Hay điểm thuộc cung chứa góc  dựng đoạn AB, nên điểm thuộc đường trịn chứa cung chứa góc  dựng đoạn AB B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o Gọi H giao điểm đường cao BB' CC' Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Hướng dẫn giải + Xét đường trịn (O): BOC góc tâm chắn cung BC BAC góc nội tiếp chắn cung BC  BOC  BAC  2.60  120 (1) + Tứ giác AC’HB’ có: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack A  AB ' H  AC ' H  B ' HC '  360 Mà A  60, AB ' H  AC ' H  90 ( BB’, CC’ đường cao) B ' HC '  360   60  90  90   120  BHC  B ' HC '  120 (2) + Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Suy BI, CI tia phân giác ABC , ACB 1 ABC , ICB  ACB 2 1  IBC  ICB  ACB  ABC  180  A  120  60 2  IBC        Xét tam giác IBC, ta có: BIC  180  IBC  ICB  180  60  120 (3) Từ (1), (2) (3)  BHC  BIC  BOC  120 Do đó, H, I O nhìn BC cố định góc 120º Suy ra, H, I O thuộc cung chứa góc 120º dựng đoạn BC ⇒ B, O, I, H, C thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng đoạn BC Ví dụ 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm D E ( E nằm A D) AD cắt BE I, AE cắt BD F a Chứng minh IF ⊥ AB J b Gọi P, Q, R trung điểm AB, AF, IF Chứng minh điểm J, P, Q, R nằm đường tròn Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a Ta có D, E thuộc đường trịn đường kính AB  ADB  90, AEB  90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AD, BE đường cao tam giác AFB Mà BE giao AD I  I trực tâm tam giác AFB  IF đường cao tam giác AFB  IF ⊥ AB J (đpcm) b △PJR vuông J (IJ ⊥ AB)  RJP  90  J nằm đường tròn đường kính PR (*) P, Q trung điểm AB BF  PQ đường trung bình △ABF  PQ // BF Mà AD  BF  AD  PQ R, Q trung điểm IF BF  RQ đường trung bình △IFA  RQ // AD Mà AD  PQ  RQ  PQ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  RQP  90  Q nằm đường trịn đường kính PR (**) Từ (*) (**) suy bốn điểm P, Q, R, J nằm đường trịn đường kính PR Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Hướng dẫn giải △BAD có góc A 90  A nằm đường trịn đường kính BD △BED có góc E 90 (E hình chiếu D lên BC)  E nằm đường tròn đường kính BD F đối xứng với E qua BD nên F nằm đường trịn đường kính BD (tính chất đối xứng đường trịn) Vây điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn đường kính BD tâm O trung điểm BD Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD, hai đường chéo cắt O Qua O vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt cạnh AB, BC, CD, DA lần ượt M, N, P, Q Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Xét AMO CPO , ta có: OAM  OCP (hai góc so le trong) OA = OC (tính chất hình vng) AOM  COP (hai góc đối đỉnh)  AMO  CPO (g – c – g)  OM = OP (hai cạnh tương ứng) (1) + Chứng minh tương tự với cặp BNO DQO  ON = OQ (hai cạnh tương ứng) (2) + Xét BNO CPO , ta có: OBN  OCP (  1 ABC  90  45 ) 2 OB = OC (tính chất hình vng) BON  COP (hai góc phụ với NOC )  BNO  CPO (g – c – g)  ON  OP (3) + Tứ giác MNPQ, có OM=OP, ON=OQ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack  MNPQ hình bình hành ( theo dấu hiệu nhận biết) Từ (1), (2) (3) suy ra: MP = QN  MNPQ hình chữ nhật  QMN  QPN  90 Do M P thuộc đường trịn đường kính QN Vậy M, N, P, Q thuộc đường trịn đường kính QN Ví dụ 5: "Góc sút" phạt đền 11 mét độ? Biết chiều rộng cầu môn 7,32m Hãy hai vị trí khác sân có "góc sút" phạt đền 11 mét Hướng dẫn giải Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền M, bề ngang cầu môn PQ M nằm đường trung trực PQ Gọi H trung điểm PQ, ta có: HP  HQ  PQ  3,66 Gọi PMH   Do M nằm đường trung trực PQ nên MH vng góc PQ Tam giác MPH vng H, áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng ta có: tan   PH 3,66   0,333 nên   1836' HM 11 Vậy góc sút phạt đền 2α ≈ 37012’ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Vẽ cung chứa góc 37012’ dựng đoạn thẳng PQ Bất điểm cung vừa vẽ có “góc sút” phạt đền 11m C Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AI, BK, CL cắt H Khi đó: a Bốn điểm A, B, K, H nằm đường tròn b Bốn điểm B, L, K, H nằm đường tròn c Bốn điểm B, C, K, L nằm đường tròn d Bốn điểm A, C, L, H nằm đường tròn Hướng dẫn giải Đáp án C + B, H, K nằm đường thẳng nên bốn điểm A, B, K, H không nằm đường trịn; bốn điểm B, L, K, H khơng nằm đường tròn + C, L, H nằm đường thẳng nên bốn điểm A, C, L, H khơng nằm đường trịn + Ta có: BLC  BKC  90 Suy K, L thuộc đường trịn đường kính BC, nên bốn điểm B, C, L, K nằm đường trịn Câu 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm D E (D nằm A E) AD cắt BE I, AE cắt BD F, IF cắt AB J Gọi P, Q, R, M Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack N trung điểm AB, BF, IF, BI IA Khi điểm Q, R, E, N, J, P, M , D nằm đường tròn: A đường kính PR B đường kính DQ C đường kính SE D đường kính JR Hướng dẫn giải Đáp án A + Ta có: Ta có D, E thuộc đường trịn đường kính AB  ADB  90, AEB  90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AD, BE đường cao tam giác AFB Mà BE giao AD I  I trực tâm tam giác AFB  IF đường cao tam giác AFB  IF ⊥ AB J (đpcm) + △PJR vuông J (IJ ⊥ AB)  RJP  90  J nằm đường tròn đường kính PR (*) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack P, Q trung điểm AB BF  PQ đường trung bình △ABF  PQ // BF Mà AD  BF  AD  PQ R, Q trung điểm IF BF  RQ đường trung bình △IFA  RQ // AD Mà AD  PQ  RQ  PQ  RQP  90  Q nằm đường trịn đường kính PR (**) Từ (*) (**) suy bốn điểm P, Q, R, J nằm đường trịn đường kính PR Mà điểm Q, R, E, N, J, P, M , D nằm đường tròn Suy điểm Q, R, E, N, J, P, M , D nằm đường trịn đường kính PR Câu 3: Cho hình thoi ABCD, đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Khi A E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD B F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD C E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD D F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Đáp án B Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Vì ABCD hình thoi  AC  BD , O trung điểm BD Hay AC đường trung trực BD Xét tam giác ABD, hai đường trung trực cắt F Do đó, F tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm D E ( D nằm A E) AD cắt BE I, AE cắt BD F, FI cắt AB J Chọn phát biểu sai A I, D, E, F thuộc đường tròn B I, D, B, J thuộc đường tròn C I, J, E, A thuộc đường tròn D I, J, F, D thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Đáp án D Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Vì I, J, F nằm đường thẳng nên bốn điểm I, J, F, D khơng thuộc đường trịn Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm Độ dài bán kính đường trịn qua điểm A, B, C, D bằng: A 5cm B 8cm C 6cm D 10cm Hướng dẫn giải Đáp án A Vì ABCD hình chữ nhật nên DAB  DCB  90  A, C thuộc đường trịn đường kính BD  A, B, C, D thuộc đường trịn đường kính BD Gọi O trung điểm BC Xét tam giác ABD vuông A, ta có: BD  AB  AD  82  62  100  DB  10(cm) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com  OB  Facebook: Học Cùng VietJack BD 10   5(cm) 2 Vậy bán kính đường trịn qua điểm cm Câu 6: Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), kẻ cát tuyến MAB qua O tiếp tuyến MC, MD Gọi K giao điểm AC BD Bốn điểm sau thuộc đường tròn A B, C, M, K thuộc đường tròn B D, M, A, B thuộc đường tròn C M, A, O, B thuộc đường tròn D D, M, C, A thuộc đường tròn Hướng dẫn giải: Đáp án A Ta có tiếp tuyến C cắt tiếp tuyến D M Khi đó: MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  M thuộc vào trung trực CD OC = OD =R  O thuộc vào trung trực CD Do đó, MO đường trung trực CD hay AB đường trung trực CD  CA  AD Suy MBK  MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Mặt khác MBC  MCK (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung CA) Do đó: MBK  MCK  Hai đỉnh liên tiếp B, C nhin cạnh MK góc Nên B,C thuộc cung chứa góc dựng đoạn MK nên M, C, B, K thuộc đường trịn Câu 7: Cho tam giác ABC vng A Qua C kẻ đường thẳng vng góc với phân giác góc ABC D Bốn điểm A, B, C, D nằm đường trịn có tâm là: A M trung điểm AB B N trung điểm BD C P trung điểm AC D Q trung điểm BC Hướng dẫn giải Đáp án D Ta có: BAC  BDC  90  A, D thuộc đường trịn đường kính BC Do bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn có tâm trung điểm BC Câu 8: Lấy điểm M nằm đường tròn (O;R) cho OM  3R Từ M kẻ hai tia tiếp tuyến MQ, MP ( P, Q tiếp điểm ) cát tuyến MAB ( Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack A nằm M B) Gọi I trung điểm AB Bán kính đường tròn qua điểm M, P, I, O, Q là: A R B 2R C 2R D 3R Hướng dẫn giải Đáp án D Ta có I trung điểm AB  OI  AB I  OIM  90 Ta lại có : OPM  OQM  90 ( MP, MQ tiếp tuyến (O))  OIM  OPM  OQM  90 Suy P, Q, I thuộc đường tròn đường kính OM, có tâm trung điểm OM Do điểm P, Q, I, O, M thuộc đường trịn đường kính OM, có bán kính 3R Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official