VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Dạng 3 Chứng minh hệ thức hình học A Phương pháp giải 1 Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học A Phương pháp giải Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Liên kết giá trị rút hệ thức phải chứng minh Cho ABC , A 90 , AH BC , BC = a, AB = c, AC = b, AH = h thì: +) BH = c’ gọi hình chiếu AB cạnh huyền BC +) CH = b’ gọi hình chiếu AC cạnh huyền BC Khi ta có hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông: 1) b2 ab' ; c2 ac' 2) h b'c' 3) = bc 4) 1 2 h b c 5) a b2 c2 ( Định lý Pytago) B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh rằng: BH2 CH2 AB2 AC2 2AH2 Bài giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack +) Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vuông A, đường cao AH ta có: AH2 BH.CH (1) +) Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác ABC có: AB2 AC2 BC2 AB2 AC2 BH CH AB2 AC2 BH2 CH2 2.BH.CH (2) Thay (1) vào (2) ta được: AB2 AC2 BH2 CH2 2AH2 BH2 CH2 AB2 AC2 2AH2 Vậy BH2 CH AB2 AC 2AH Ví dụ 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC Hãy chứng minh 3AH2 BD2 CE2 BC2 Bài giải: +) Xét BHD vuông D, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: BD2 BH2 DH2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack +) Xét CHE vuông E, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: CE2 CH2 EH2 +) Xét ABC vuông A, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: BC2 AB2 AC2 +) Xét AHE vuông E, áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AH2 AE2 EH2 Ta có: 3AH2 BD2 CE2 BC2 3AH BH DH CH EH AB2 AC ( Định lý Py – ta – go cho ba tam giác vuông BHD , CHE ABC ) 3AH BH CH EH DH AB2 AC2 (*) +) Xét tứ giác ADHE có: DAE ADH AEH 90(gt) Tứ giác ADHE hình chữ nhật DH = AE Thay DH = AE vào (*) ta có: (*) 3AH BH CH EH AE AB2 AC 3AH2 BH2 CH2 AH2 AB2 AC2 (do AH2 AE2 EH2 ) BH2 CH2 2AH2 AB2 AC2 (ln theo ví dụ 1) Vậy 3AH BD CE BC Ví dụ 3: Cho ABC vng A, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu vng góc H AB AC Chứng minh rằng: a) AM.AB = AN AC b) HB.HC = MA.MB + NA.NC Bài giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a) Xét ABH có: AH BC AHB AHC 900 ABH vuông H Mà HM AB AM.AB AH2 ( Hệ thức lượng tam giác vuông) Chứng minh tương tự: AN.AC AH Vậy suy AH2 AM.AB AN.AC (đpcm) b) +) Xét tam giác ABC vng A có AH BC gt AH2 BH.CH ( Hệ thức lượng tam giác vuông) Chứng minh tương tự: Xét tam giác vng ABH ta có: MH2 BM.AM Xét tam giác vng ACH có: NH2 AN.CN +) Xét tứ giác AMHN có: MAN AMH ANH 90(gt) Tứ giác AMHN hình chữ nhật NH = AM +) Xét tam giác vng AMH có: AH2 AM2 MH2 ( Định lý Py – ta – go) AH2 MH2 NH2 ( AM = NH – cmt) BH.CH BM.AM AN.CN (đpcm) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Vậy HB.HC MA.MB NA.NC Ví dụ 4: Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC Hãy chứng minh: HC AC a) HB AB b) AH3 BC.BD.CE Bài giải: a) Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vng A, đường cao AH ta có: AB2 HB.BC HC AC2 AC HB AB2 AB AC HC.BC HC AC Vậy HB AB 2 b) +) Xét ABH có: AH BC AHB AHC 900 ABH vuông H Mà HD AB BH2 BD.AB ( Hệ thức lượng tam giác vuông) Chứng minh tương tự ta có: CH2 EC.AC +) Xét tam giác ABC có: AH2 BH.CH ( Hệ thức lượng tam giác vuông) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AH4 BH2 CH2 AH4 BD.AB.AC.EC AH BD.CE. AB.AC Mặt khác AB.AC AH.BC ( Hệ thức lượng tam giác vuông) AH4 BD.CE.AH.BC Do AH > nên chia hai vế cho AH ta được: AH3 BD.CE.BC (đpcm) Vậy AH3 BC.BD.CE Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông A Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm E Chứng minh: CD2 BE2 CB2 DE2 Bài giải: Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác ADC, ABE có: CD2 AD2 AC2 CD2 BE2 AD2 AC2 AB2 AE2 2 BE AB AE (1) Mặt khác áp dụng định lý Py – ta – go cho ABC ADE có: AB2 AC2 BC2 2 AD AE DE (2) Từ (1) (2) suy ra: CD2 BE2 CB2 DE2 - đpcm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân A, ba đường cao AD, BE, CF Đường thẳng qua B song song với CF cắt đường thẳng AC H Chứng minh rằng: a) AC trung bình nhân AE AH b) 1 2 CF BC 4AD Bài giải: BH / /CF gt a) Ta có BH AB CF AB gt Xét ABH vuông B có BE đường cao nên AB2 AH.AE Mà ABC cân A AB AC AC2 AB2 AH.AE Vậy AC2 AH.AE b) +) Xét ABC cân A có AD đường cao Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AD đồng thời đường trung tuyến BD = CD BC Từ D dựng DK AB K AB Mà CF AB gt BD DC cmt BK FK KD / /CF cmt KD / /CF +) Xét BFC có: DK đường trung bình BFC KD CF +) Xét ABD vuông D có: KD AB gt 1 (Hệ thức lượng tam giác vuông) KD2 BD2 AD2 KD CF cmt Mặt khác nên ta được: BD BC cmt 1 CF 2 1 CF 1 BC 2 1 BC2 AD AD2 1 1 1 CF2 BC2 AD 4 1 (đpcm) CF2 BC2 4AD Ví dụ 7: Cho góc xOy tia Oz nằm hai tia Ox Oy Từ điểm A tia Oz vẽ AH Ox,AK Oy Gọi E F hình chiếu H K Oz, gọi B giao điểm HK Oz Chứng minh rằng: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack EA.EO BH FA.FO BK Bài giải: +) Xét OHA vng H có HE OA gt HE2 EA.EO ( Hệ thức lượng tam giác vuông) (1) +) Xét OKA vuông H có KF OA gt KF2 FA.FO ( Hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) suy ra: HE EA.EO KF2 FA.FO (3) +) Xét HEB KFB có: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack HEB KFB 90 ( HE OA;KF OA ) HBE KBF (hai góc đối đỉnh) HEB ∽ KFB (g.g) HE HB2 HE HB KF2 KB2 KF KB Từ (3) (4) suy ra: (4) HE HB2 EA.EO KF2 KB2 FA.FO EA.EO BH Vậy (đpcm) FA.FO BK Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official