VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức Phương pháp Để[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Phương pháp Để tìm điều kiện xác định biểu thức ta làm sau B1: Đưa điều kiện xác định biểu thức lưu ý số kiến thức sau A xác định A ≥ (biểu thức A đa thức) A xác định B ≠ (biểu thức A, B đa thức) B A xác định B > (biểu thức A, B đa thức) B B2: Giải điều kiện kết hợp điều kiện B3: Kết luận Ví dụ Tìm điều kiện xác định biểu thức P = x x −4 + − x −1 x −1 x +1 Giải P= x x −4 + − = x −1 x −1 x +1 x + − x −1 x +1 x x Điều kiện x − x x −1 x +1 ( x −4 )( x −1 ) x +1 x x Vậy điều kiện xác định P x ≥ x ≠ Ví dụ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( ) x + 2 x −3 3 x −5 − − x +1 3− x x −2 x −3 Tìm điều kiện xác định biểu thức P = Giải x − x − = x −1− x − = x + 2 x −3 P= + − x +1 x −3 ( )( ( 3 x −5 ( ) ( x −1 )( x +1 x +1 − ) x −3 ) ( x +1 = )( x +1 x −3 ) ) x x x x + x −1 Điều kiện xác định P x x − x Vậy điều kiện xác định P x ≥ x ≠ Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, chứa phân thức đại số Phương pháp Bước 1: Bước 2: Tìm điều kiện xác định Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Ở bước ta hay áp dụng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như: Sử dụng đẳng thức A − B2 = ( A − B )( A + B ) x −1 = ( ) x−4= x ( x) − 12 = ( − 22 = )( ) x −1 ( x −2 x +1 )( x +2 ) ( Sử dụng đẳng thức A3 − B3 = ( A − B ) A + AB + B2 x x −1 = ( ) x − 13 = ( Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com )( ) ) x −1 x + x +1 Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( Sử dụng đẳng thức A3 + B3 = ( A + B ) A − AB + B2 x x +1 = ( ) x + 13 = ( )( ) ) x +1 x − x +1 Sử dụng đẳng thức ( A − B ) = A − 2AB + B2 x−4 x +4= ( ) − x.2 + 22 = x ( x −2 ) Sử dụng đẳng thức ( A + B ) = A + 2AB + B2 x +6 x +9= ( x) + Đổi dấu phân thức: Bước 3: Bước 4: Ví dụ + x.3 + 32 = ( x +3 ) A −A A A A −A = ; =− ; =− B −B B −B B B Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Khi phân thức tối giản ta hoàn thành việc rút gọn x −1 x + x −1 + − : với x > 0, x ≠ x x −2 x −2 x −x Rút gọn biểu thức P = Giải x −1 x + x −1 P= + − : x − 2 x − x x x − x −1 P= − x −2 x−2 x x +2 x −1 : − x x −2 x −1 P= − x −2 x x −2 ( ) : x + − x −1 x x −2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack x − x + : P= x x −2 ( P= x P= x P= x ( ( ( ) x +1 x −2 x +1 x −2 x +1 x −2 ) : ) : ) ( x +2 )( ) x −2 − x x ( x −2 ) ( ) x −1 x−4−x+ x x x x ( ( ( x −2 x −4 x −2 x −2 x −4 ) ) )= x +1 x −4 Vậy kết rút gọn biểu thức cho là: P = x +1 x −4 Chú ý: Ví dụ đề cho trước điều kiện biểu thức nên ta khơng phải tìm Nếu đề chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rút gọn Ví dụ x +1 x x +2 x −x − + : − x x − x + x+4 x +4 Rút gọn biểu thức Q = với x > 0, x ≠ 4, x ≠ Giải x +1 x x +2 x −x Q= − + : − x x − x + x+4 x +4 x +1 x x +2 x −x Q= − − : x − x − x + x+4 x +4 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack x +1 x Q= − − x −2 x +2 ( Q= )( x +1 ( ) x −2 x +2 −2 x ( x −2 x −x : x +2 x+4 x +4 x +2 )( ( )( ) ) ( ) : x (3 − x ) ( x + 2) ( x + 2) x (3 − x ) x −2 − x +2 x +2 ) 2 Q= Q= Q= x + x + − 2x + x − x − ( x −2 )( −x + x ( x −2 ( )( x +2 ) x +2 ( ) x +2 ( ) x 3− x ) ) ( ) = ( x − 2)( x + 2) x (3 − x ) − x x −2 x +2 Vậy kết rút gọn biểu thức cho là: Q = x +2 x −3 x +2 x −3 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Phương pháp Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị biểu thức x = a (a số thực) Cách giải: + Nếu biểu thức P(x) rút gọn biểu thức ta thay x a tính + Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn ta rút gọn P(x) thay x a tính Chú ý: Đôi ta phải biến đổi số thực a trước thay vào biểu thức P(x) x + : x x + x Ví dụ 1: Cho biểu thức P = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com ( x ) x +1 với x > Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Tính giá trị P x = Giải Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn giá trị biểu thức P x=4 x P= + : x x + x x +1+ x P= x x +1 ( P= x +1+ x x P= ) ( : x x ) x +1 ( ( ( x ) x +1 x ) x +1 ) x +1 x x +1+ x x Khi x = P = x +1+ x +1+ = = x Vậy x = P = x −4 2+ x x + : − x x −2 x −2 x −x Ví dụ 2: Cho biểu thức P = với x > x ≠ Tính giá trị P x = 3− Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Ta thấy x = Facebook: Học Cùng VietJack 3− thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn giá trị biểu thức P 3− x −4 2+ x x P= + : − x x −2 x −2 x −x x= x −4 P= − x −2 x x −2 ( P= x −5 x +4 x P= ( x −2 −4 x + x P= x −2 −4 x + x P= ( ( x −2 ) ) : ) : : ( ) x : + x − x x −2 )( x − 2) − x x ( x − 2) x +2 x−4−x x x ( ( ( x −2 −4 x −2 ) ) ) − x −4 x − = = x −1 −4 −4 − − 5 − +1 −1 = = = Ta có x = 4 2 −1 −1 −1 −1 − −3 Khi x = −1 = = P = −1 = 2 Vậy x = 3− 5 −3 P = 2 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Dạng 4: Tính giá trị biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q số biểu thức biến với biểu thức P) Cách giải: B1: Tìm điều kiện xác định P(x) B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại Bài tốn 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q số biểu thức biến với biểu thức P) Cách giải: B1: Tìm điều kiện xác định P(x) B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại Ví dụ Ví dụ 1: Cho P = x −1 với x ≥ Tìm x biết P = − x x +2 Giải P=− x x −1 =− x x +2 x −1 = − x ( ) x + x + x − = (*) Đặt t = x (t ≥ 0), phương trình (*) trở thành: t + 3t − = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có = − 4.1.(−1) = 13 nên phương trình t + 3t − = có hai nghiệm phân biệt t= Với t = −3 + 13 −3 − 13 (nhận) , t = (loại) 2 −3 + 13 −3 + 13 x= 2 −3 + 13 22 − 13 11 − 13 x = = = Ta thấy x = 11 − 13 > (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0) Vậy với x = 11 − 13 P = − x Ví dụ 2: Cho P = x −3 với x ≥ 0, x ≠ Tìm x biết P x −2 Giải P 1 x −3 1 x −2 x −3 −1 x −2 Vì -1 < nên bất phương trình (*) x −3− x + 0 x −2 x −20 −1 (*) x −2 x 2x 0; c Tìm giá trị x để P < Bài 8: Cho biểu thức P = x+2 x −1 x −1 + − x x +1 x − x +1 x −1 a Rút gọn P; ; c Chứng minh với giá trị x làm cho P xác định P x − x + x +1 x − x − + + Bài 9: Cho biểu thức P = : x − x + x − x + x + x − a Rút gọn P; b Tìm giá trị nhỏ P x −1 c Tìm x để P −2 x + 8x x x + Bài 10: Cho biểu thức: P = , với x > : x x + x + x b Tìm x để P = a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x = c Tìm x để P = 13 Bài 11: Cho biểu thức: A = x 10 x − − , với x x 25 x − x − 25 x +5 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị A x = c Tìm x để A < x x −8 + 3(1 − x ) (x 0) x+2 x +4 Bài 12: Cho biểu thức: P = a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức Q = 2P nhận giá trị nguyên 1− P x −2 x −1 x − B = ( Với x 0, x ) − x −9 x x −3 Bài 13: Cho biểu thức: A = a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A x = − c Tìm x để biểu thức A = B d Tìm giá trị m để có x thỏa mãn + x− x Bài 14: Cho biểu thức A = A = m B : x −1 ( x +1 ) x −1 a Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b.Tim giá trị x để A = c.Tìm giá trị lớn biểu thức P = A - x Bài 15: Cho biểu thức P = ( x 8x x −1 + ):( − ) 2+ x 4−x x−2 x x a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = -1 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack c Tìm m để với giá trị x > ta có: Bài 16: Cho biểu thức M = m( x − 3)P x + x −9 x +1 x+3 + + x−5 x +6 x −3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z Bài 17: 1) Cho biểu thức A = x +4 Tính giá trị A x = 36 x +2 x x + 16 + (với x 0; x 16 ) : x + x − x + 2) Rút gọn biểu thức B = 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên a a−2 với a 0;a − − a −3 a +3 a −9 Bài 18: Cho biểu thức B = a) Rút gọn B b) Tìm số nguyên để B nhận giá trị nguyên x −3 x +2 9− x x −9 + − : 1 − x − − x + x x + x − Bài 19: Cho biểu thức P = (với x 0; x 4; x ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x = Bài 20: Với x > 0, cho hai biểu thức A = + 3.( − 1) 6+2 − 2+ x x −1 x +1 B = + x x x+ x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A B Bài 21: Cho biểu thức A = x−2 x x +1 + 2x − x + + x x −1 x x + x + x x2 − x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( Với x 0, x ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Bài 22: Cho biểu thức P = 1 − x x −1 1− x + , (với x > x ) : x x+ x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x = 2022 + 2018 − 2022 − 2018 x x +x+ x x +3 x −1 − − x 2x + x − x x −1 Bài 23: Cho biểu thức B = ) Tìm tất giá trị x để B > (với x 0; x x Bài 24: Cho hai biểu thức A = x +2 20 − x B = với x 0, x 25 + x − 25 x −5 x +5 1) Tính giá trị biểu thức A x = x −5 3) Tìm tất giá trị x để A = B x − 2) Chứng minh B = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official