Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng đồng dư thức trong giải toán lớp 7

ã GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐỒNG Dư THỨC TRONG GIẢI TOÁN LỚP 7 Lĩnh Vực Toán 7 Cấp học Trung học cơ sở Tài liệu kèm theo Đĩa CD minh họa cho SKKN SKKN vn MỤC LỤC PHẦN I[.]

ã GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐỒNG Dư THỨC TRONG GIẢI TOÁN LỚP Lĩnh Vực : Toán Cấp học : Trung học sở Tài liệu kèm theo: Đĩa CD minh họa cho SKKN SKKN.vn MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐẺ Trang 1/ Cơ sờ lí luận Trang 2/ Cơ sờ thực tiễn Trang 3/ Thực trạng Trang 4/ Mục đích nghiên cứu Trang 5/ Phạm vi, kế hoạch đối tượng nghiên cứu Trang 6/ Phương pháp nghiên cứu Trang PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang I - ĐỒNG DƯ THỨC Trang II- ĐỊNH LÝ OLE VÀ ĐỊNH LÝ FECMA Trang PHẦN III: KÉT LUẬN VÀ KHUYỂN NGHỊ Trang 19 I- KÉT LUẬN Trang 19 II - MỘT SỐ KHUYẾN NGHỊ KHI THựC HIỆN Trang 19 Tài lệu tham khào Trang 21 PHẦN I: ĐẬT VẤN ĐẺ Cơ sờ lí ln Tốn học lả môn khoa học rat trim tượng, sưy luận cách lògic lả tâng cho việc nghiên cứư môn khoa học khác, số học phan khơng thê thiến chiếm vai trị quan trọng mòn Lý thuyết chia hết vành số nguyên nội dung quan trọng phần số học Hơn nữa, đày mãng khó khăn cho giáo viên học sinh trình dạy học Xuất phát từ vấn đề đó, tịi đà tìm tịi, nghiên cứu, trao địi học hỏi bạn bè, đồng chí đong nghiệp đà tìm chia khố đê giãi vấn đề Đó lý thuyết đồng du Vi tòi đà chọn “Ưng dụng đồng dư thức giải Toán lớp ” làm sáng kiến kinh nghiệm nhăm trao đòi VỚI bạn bè đồng nghiệp nhiều lình vực “ Cùng với khoa học cơng nghệ, giáo dục quốc sách hàng đầu” chù trương đà thê rị quan diêm, đường lịi Đàng Nhà nước ta; khăng định tầm quan trọng cùa giáo dục đối VỚI đất nước; bời lè giáo dục đóng vai trị qưyết định đến thành cơng cừa công cưộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Nghànli giáo dục đà triên khai thực công tác đơi giáo dục phị thơng bao gồm: đơi sờ vật chất phục vụ cho dạy học, đơi chương trình sách giáo khoa, đơi cơng tác qn lý, đơi phương pháp dạy học, địi cách kiêm tra đánh giá v.v nhăm giúp học sinh phát triên cách toàn diện Trong hệ thống môn học dược đưa vào đào tạo trường THCS, mơn Tốn dóng vai trị quan trọng, bời lè qua học toán học sinh sè phát triên tư dưy sáng tạo, hull hoạt, dề thích ứng VỚI hoàn cành, phừ hợp VỚI xư phát triên cừa đất nước ta Học tốt môn Tốn sè giúp học sinh học tốt mịn học khác Xưa nay, lả mịn học mà khơng học sinh phải ngại ngừng nhác đến, việc học toán đối VỚI học sinh điều khó khăn Hơn nữa, sức đê xóa bị tình trạng học sinh ngồi nhâm lớp Tất cà nhùng lý xuất phát ư'r nhùng nguyên nhàn khách quan chù quan như: học sinh chưa nam dược phương pháp học tập, giáo viên ôm đồm kiến thức giảng dạy khó khăn sở lý hiận việc dạy học mơn.v.v Học tốn đồng nghía VỚI giãi tốn Trong học tập muốn làm tập ngồi việc có phương pháp sưy luận đan đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức sẵn có tiếp thu từ cịng thức, quy tắc, định nghía, khái niệm, đinh lý Đặc biệt giai đoạn phát triên cùa khoa học cịng nghệ nay, trình độ tri thức cùa người phát triên rò rệt Nham đáp ứng nhu cầu học tập cùa người dàn bang nguồn lực phù họp VỚI nguyện vọng, VỚI truyền thống hiếu học cùa nhân dàn Vì dạy học người giáo viên cần phát triên học sinh “ Những lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề góc độ khác Tìm tịi cải cũ cải mới” Đè phát huy tính tích cực sáng tạo cùa học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào nliừng tình có vấn đề tạo cho em nhùng thách thức trước nhùng vấn đề Lý thuyết đồng dư xây dựng tâng phép chia vành số nguyên Là nội dung suy luận cách lògic, chặt chè Trên sờ lý thuyết đồng dư hai nhà bác ơle Fécma đà đưa định lý nơi tiếng cố tính ứng dụng cao Cơ sở thực tiễn Lý thuyết dồng dư cho ta phương pháp đồng dư, lả động tác có tính chất kỳ thuật giúp bò sung giãi vấn đề chia hết vành số ngun Trong chương trình tốn THCS có nhiều dạng tập hên quan đến lý thuyết đồng dư, xong tòi chi đưa vào số tập điên hình dạng tốn lớp Thưc trang Nam vận dụng thành thạo phương pháp giài toán vấn đề cần trọng, đặc biệt đối VỚI học sinh THCS- có chất lượng đào tạo cao - phải trọng đê đâm bão nâng cao chất lượng học sinh Hơn đê giúp em HSG tự till đạt thành tích cao kì thi HSG Bang việc xày dựng chun đề tốn có nội dung phù hợp thiết thực tòi tin tường em học sinh say mê học toán tìm cách học, nam phương pháp giải tốn thịng qua dạng tập Qua giảng dạy bồi dường học sinh giòi 7, tòi thay chuyên đề thiết thực, em đà có thê giãi số dạng tốn khó, vận dụng hull hoạt phương pháp đê giãi số dạng toán liên quan đến lý thuyết đồng dư đưa dược dạng tốn dạng quen thuộc đơn giãn Muc đích nghiên cứu - Giúp học sinh nam phương pháp đê giãi toán, rèn kì giãi Tốn loại nham phát triên lực tư dưy, lực sáng tạo cừa học sinh - Cho học sinh thấy vai trò tầm quan trọng cừa phương pháp giải hèn quan đến lý thuyết đồng dư Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cân thận, sáng tạo cùa người nghiên cứu khoa học Pham vi, ke hoach đoi tương nghiên cứư 5.1 Phạm vi nghiên cứu Trong mịn tốn có nhiêu dạng tập có thê giãi bang cách SŨ dụng phương pháp đồng dư thức Tuy nhiên chuyên đề chi đưa số ứng dụng saư - Tim số dư phép chia số nguyên - Chứng minh chia hết - Tim chừ số tận cùa luỳ thừa - Giãi phương trình nghiệm nguyên 5.2 Ke hoạc nghiên cứu - Thời gian thực chuyên đề buòi tương ứng VỚI 16 tiết dạy 5.3 Đoi tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh giòi lớp trường THCS Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK SGV, sách nàng cao phát triên Toán 6,7 ,sách nâng cao chuyên đề đại số 7, tải liệu tham khâo có liên quan - Nghiên cứu qua thực hành giãi tập cùa học sinh - Nghiên cứu qua theo dòi kiêm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập cùa đối tượng học sinh PHẦN II: GIẢI QUYÉT VẤN ĐÈ I - ĐÒNG Dư THỨC Định nghĩa điều kiện: a Định nghĩa' Cho 111 e TV ; a,b e z Neu a b chia cho 111 có số dư ta nói: a b đồng dtr theo mịđun 111 Kí hiện: a = b (mod 111) Hệ thức: a = b (mod 111) gọi đồng dư thức Ví dụ: 19 = (mod 8); -25 = (mod 4) b Các điền kiện tương đương' 1- a = b (mod 111) 2- (a - b): 111 3- e z cho: a = b T m.t Các tính chất a Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập họp z có nghía là: 1- a = a (mod 111) 2- a = b (mod 111) => b = a (mod 111) 3- a = b (mod 111); b = c (mod 111) => a = c (mod 111) b Ta co the cộng ve với theo môđun Cụ thể: = bi(modm) 1=1.77 => ^(-l)*ưf = c í-1 7-1 (mod 111) \/k e N Ta nhân vế với nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thế', = bi (mod m);i = 1.77 => n Í7, = PJ (mod 111); í = i = i Các hệ quà a a = b (mod 111) =>a±c = b±c (mod 111) b a + c = b (mod 111) => a = b - c (mod 111) c a = b (mod 111) => a + k.m = b (mod 111) d a = b (mod 111) => a.c = b.c (mod 111) e a = b (mod 111) => an = bn (mod 111) VM e N f Cho f(x) = an Xn + an_i X11’1 + +aiX + ao e z Neu a = p (mod 111) thi ta có f( a) = f( p) (mod 111) Đặc biệt: f(ỡ) = (mod m) thi ta có: f(ữ + k.m) = (modm) VẴ-eZ g Ta có thê chia cà hai vế cùa đồng dir thức cho ước chưng cừa chứng nguyên tố VỚI moduli Cụ thể là: a.c = b.c (mod 111); ƯCLN (c; 111) =1 => a = b (mod 111) II Ta có thê nhân hai vế mơđun đồng dư thức VỚI số nguyên dương Cụ thể là: a = b (mod 111) => a.c = b.c (mod m.c) Vc e N* Ta có thê chia câ hai vế moduli dồng dư thức VỚI ước dương chúng Cụ thê là: a = b (mod 111); < c e Ưc (a; b; 111) => a/c = b/c (mod m/c) k Nen số a b đồng dư VỚI theo nhiều moduli chúng đồng dư VỚI theo moduli bội chung nhị cùa mơđun Cụ thể là: a = b (mod Illi), = 1,77 => a = b (mod 111) Trong đó: 111 = BCNN(1111,1112 ■ ■ ■ ưin) l Neu a b đồng dư với theo mịđun 111 chúng đồng dư với theo moduli lả ước dương cừa 111 Cụ thê là: a = b (mod 111); < c e Ư(m) => a = b (mod c) III Neu: a = b (mod 111) thì: ƯCLN( a; 111) = ƯCLN( b; 111) II- ĐỊNH LÝ OLE VÀ ĐỊNH LÝ FECMA Định lý ơle a Hàm so ơỉe- ụ(m) Cho hàm số n(m) xác định sau: - Ill = ta có: n(m) = - Ill > p(m)là số tự nhiên không vượt qưá 111 - nguyên tố VỚI 111 b Công thức tỉnh /Li(tn) b 111 = p“ ( p số nguyên tố, a số tự nhiên khác 0) Ta có: b.2 p(m) = n(p“) = pa(l ị-) p 111 = p“'p2a2p“3 pna' (Pi sổ nguyên tố, ƠI sổ tự nhiên khác ) Ta có: ,11(111) = 111 (l-^-)(l-^-)(l ỉ-) (! Ỉ-) Px P1 Pì Pn c Định lý ơle Cho 111 số tự nhiên khác a số nguyên tố VỚI 111 Khi ta có: ^Li(m) H Ị (mod m) Định lý Fécina - Đinh Iv Fecma Cho p lả số nguyên tố a số nguyên khơng chia hết cho 111 Khi ta có: a9’1 = (modp) - Đinh Ịý Fécma Cho p lả số nguyên tố, a số nguyên dương Khi ta có: ap_1 = a(modp) III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG Tìm so dư phép chia Ví dụl: Tìm số dư phép chia: 29455 - chia cho Giải: Ta có: 2945 = (mod 9) => 29455 - = 25 - (mod 9) Mà 25 - = (mod 9) Vậy sổ dư cùa 29455 - chia cho Ví dụ 2: Tim số dư phép chia 109 345 chia cho 14 Giải: Ta có: 109 = -3 (mod 14) => 109 345 = (-3)345 (mod 14) Ta lại có: (-3; 14 ) = Hơn nữa: p (14) = 14.(1 - ^-)(1 - ệ) = Nên: (-3)6 = (mod 14) (theo định lý ơle) => (_3)345 = (_3)3 (mod 14) Mặt khác: (-3)3 = -27 = (mod 14) Vậy số dư phép chia 109 345 chia cho 14 Vi dụ 3:Tìm sổ dư phép chia: (19971"8 T 199819" +199 92000 )10 chia cho 111 Giải: Ta có: 1998 = (mod 111) => 1997 = -1 (mod 111) 1999 = (mod 111) Nên ta có: 19971"8 + 19981"9 +199 92000 = (mod 111) (19971998 + 199819" +19992000 )10 = 210 (mod 111) Mặt khác ta có: 210 = 1024 = 25 (mod 111) Vậy (19971"8 + 199 81999 +199 92000 )10 chia cho 111 có sổ dư 25 Bài tập : Tìm số dư phép chia Bài : Tìm số dư phép chia 2OO42004 cho 11 Sữ dụng dấn chia hết cho 11 : Một so gọi ìà chia hết cho 11 chi tông chừ sổ hàng ỉẻ tông chừ số hàng chẵn kê từ trái sang phải chia hết cho 11 Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11? Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = Vì ; 11 = > 5016 ; 11 Giãi : Ta có 2002 ; 11 => 2004 - ỉ 11 => 2004 = (mod 11) => 2OO42004 = 22004 (mod 11), mà 210 = (mod 11) (vì 1024 - : 11) => 2OO42004 = 24 22000 = 24.(210)200 - 24 - (mod 11) Vậy 2OO42004 chia 11 dư Bài : Tìm sổ dư chia A = 19442005 cho Giãi : Ta có : 1944 - -2 (mod 7) => 19442005 = (-2)2005 (mod 7) Mà (-2)3 = - (mod 7) => (-23)668 = I668 (mod 7) hay (-23)668 = (mod 7) => (-23)668.(-2) = - (mod 7) hay (-2)2005 = - (mod 7) Vậy 19442005 cho dư Bài : Tìm số dư phép chia 15325 - cho Giãi : Ta có 1532 - (mod 9) => 15325 = 25 (mod 9), mà 25 - (mod 9) => 15325 = (mod 9) => 15325 - = 4(mod 9) Vậy 15325 -1 chia cho dư Ịà Bài : Tìm dư phép chia 32003 cho 13 Giãi : Ta có 33 = (mod 13) mà 2003 = 3.667 + => 32003 = (33)667 32 33 = => (33)667 = l667 => (33)667 32 = 1.32 (mod 13) => 32003 = (mod 13) Vậy 32003 chia cho 13 dư Bài : Tìm dir phép chia 570 + 750 cho 12 Giái: Ta có 52 = l(mod 12) => (52)35 = (mod 12) hay 570 = l(mod 12) (1) 72 = (mod 12) => (72)25 = l(mod 12) hay 750 = l(mod 12) (2) Từ (1) (2) => 570 + 7JỚ chia cho 12 dư Bài : Tìm sổ dư A = 776776 T 7 777 T ns1™ chia cho chia cho 5? Giãi : +Ta có 776 = - l(mod 3) => 776776 = -l(mod 3) => 776776 = (mod 3) 777 = (mod 3) => 7 7777 = (mod 3) 778 = (mod 3) => 778778= (mod 3) => 776776 + 777777 + 7 778 chia cho dư +Ta có 776 = (mod 5) => 776776 = (mod 5) 777 = - (mod 5) => 777 778 = (mod 5) => 778778 = 3778 (mod 5) 777 =-3 777 (mod 5) => 776776 + 777777 + 778778 = - 3777 + 3778 (mod 5) Hay 776776 + 777777 + 778778 = + 3.3777 - 3777 (mod 5) 776776 + 777777 + 778778 = + 3777(3 - 1) (mod 5) 7 6776 + 7 7777 + 77 778 = + 2.3777 (mod 5) Mà 32 = - l(mod 5) => (32)388.3 = (mod 5) Vậy A = 77677ố + 777777 + 778778 = + 2.3 = (mod 5) Vậy A chia cho dư Bài : Tìm sổ dư cừa A = 32005 + 42005 chia cho 11 kin chia cho 13 ? Giãi : +Ta có : 35 = (mod 11) => (35)401 = (mod 11) Và 45 - (mod 11) => (45)401 = (mod 11) => A = 32005 + 42005 = (mod 11) => A chia cho 11 dư +Ta CÓ : 33 = (mod 13) => (33)668 = 1.3 (mod 13) => 2005 = (mod 13) Và 43 = -1 (mod 13) =>(43)668 4= 1.4 (mod 13) => 42005 = (mod 13) => A = 32005 + 42005 = (mod 13) => A chia cho 13 dư Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 - chia hết cho 13 Giải Ta có: 33 = 27 = (mod 13) => 3100 = 3.399 = 3.1 (mod 13) => 3100- 3=0 (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13 Ví dụ 2: Chứng minh 62n+1 + 5n+2 chia hết cho 31 vo í 11 số tự nhiên Giải: Ta có: 62 = (mod 31) => 62n = 5n (mod 31) Mặt khác: = - 52 (mod 31) Nên: 62n = -5n (mod 31) Vậy 62n +1 + 5n chia hết cho 31 Ví dụ 3: Chứng minh ^4/2-1 +3:11 VỚI 11 sơ tự nhiên Giải: Tacó: ụ(ll) = 10; p(10)= 10(l-t)(i-l.) =4 Áp dụng ĐL ơle ta có: (3; 10) = => 3g(10) = (mod 10) 34 = (mod 10) => 34n+1 = (mod 10) Đặt34n+1 = 10.k + vớik e N Khi ta có: 23"’1+3 = 2lo+3+3 Áp dụng định lý ơle ta có: (2; 11)= Nên 2M(11) = (mod 11) 210 = (mod 11) => 210k+3 = 23 (mod 11) => 210 k+3 + = 23 +3 (mod 11) 234"+1 +3=0 (mod 11) Vậy _ o4»+l _ + 3:11 Bài tâp Bài : Chứng minh sổ A = 61000 - B = 61001 + đền lả bội sổ Giãi : Ta có — (mod 7) => 61000 = (mod 7) => 61000 - ỉ Vậy A lả bội Từ 61000 - (mod 7) => 61001 = (mod 7), mà - - (mod 7) => 61001 = (mod 7) => 61001 + ; Vậy B ìà bội cùa Bài : Chứng minh A = 7.52“ + 12.6n chia hết cho 19 Giãi : Ta có A = 7.52n+ 12.6“ = 7.25“ + 12.6“ Vi 25 = (mod 19) => 25“ = 6" (mod 19) =>7.25“ = 7.6“ (mod 19) => 7.25“+12.6“ = 7.6“+12.6“= 19.6“ = (mod 19) Điều chứng tó A chia hết cho 19 Bai : Chứng minh 22012 - chia hết cho 31 Giãi : Ta có 25 = (mod 31), mà 2012 = 5.402 + Nên 22012 = (25)402 , 22 Vi 25 = (mod 31) => (25)402 - l402 (mod 31) => (25)402.22 = 1.22 (mod 31) => 22012 - (mod 31) => 22012 - chia hết cho 31 Bài : Chứng minh : 22225555 + 55552222 chia hết cho Giãi : Ta có 2222 + ỉ => 2222 = - (mod 7) => 22225555 = (- 4)5555(mod 7) 5555 - ỉ => 5555 = (mod 7) => 55552222 = 42222 (mod 7) => 22 25555 + 5 52222 = (- 4)5555 + 42222 (mod 7) EE 42222(1 3333)(mod 7) Ta lại có : 43 - l(mod 7) => 43333 — (mod 7) Nên 22223555 + 55552222 = (mod 7) => 22225555 - 55552222 chia hết cho Tìm chữ số tận so a) Tìm mơt chữ số tân củng an : -Nen a có chừ số tận 0; 1; a“ lần hrợt có chừ số tận lần hrợt 0; 1; -Nen a có chừ số tận 2, 7, ta vận dụng nhận xét san VỚI k e z 24k - (mod 10) 34k - (mod 10) 74k= (mod 10) Do đê tìm chữ số tận a“ VỚI a có chữ số tận 2; 3; ta lấy 11 chia cho Già sử 11 = 4k + r VỚI re {0; 1; 2; 3} Nến a = (mod 10) a“ = 2“ = 24k+r = 6.2r (mod 10) Nen a - (mod 10) a - (mod 10) a“ - a4k - ar (mod 10) Ví dụ : Tìm chừ số cuối cùa số : a) 62009 , b) 92008 , c) 32009 , d) 22009 Giãi : a) 62009 có chữ số tận (vi kill nàng lên luỹ thừa VỚI số mũ tự nhiên khác có tận bang số 6) b) 92008 = (92)1004 = §11004 = =9 1991 1990 có chừ số tận = (9 )" = 81" = ( 1).9 = có chừ số tận Nhận xét : số có chừ số 5 tận nâng lên luỳ thừa VỚI số mũ tự nhiên chẵn khác thi chừ số tận 1, nàng lên hiỳ thừa VỚI số mù tự nhiên lẻ có số tận c) 32009 = (34)502.3 = 81502 = ( 1).3 = có chừ sổ tận d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( 6).2 = có chừ sổ tận Ví dụ : Tìm chừ số tận số san : a) 421, b) 3103, c) 84n+1 (11 e N) d) 1423 + 2323 + 7023 Giãi: a) 430 = 42 15 = (42)15 = 1615 = .6 có chừ số tận 421 = 420 = (42)10.4 = 1610.4 = ( 6).4 = có chừ số tận Nhận xét : số có số tận kin nâng lên luỳ thừa VỚI số mù tự nhiên chẵn có số tận 6, nàng lên VỚI số mũ tự nhiên lẻ có số tận 4) b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = ( 9).3 = có chừ số tận c) 84n+1 = 84n8 = (23)4n8 = 212n8 = (24)3n8 = 163n.8 = (, 6).8 = có chừ số tận d) 1423 - 1422.14 = ( 6).14 = 2323 = 23".23 = (232)11.23 =( 9).23 = 7023 = Vậy : 1423 T 2323 + 7023 =( 4) + ( 7) + ( 0)= có chừ sổ tận b) Tìm hai số tân củng số an : Ta có nhận xét san : 220 = 76 (mod 100) 320 — 01 (mod 100) 65 = 76 (mod 100) 74 -01 (mod 100) Mà 76n = 76 (mod 100) VỚI 11 > 5n - 25 (mod 100) VỚI 11 > Suy kết quâ sau VỚI k số tự nhiên khác a20k = 00 (mod 100) a - (mod 10) a20k -01 (mod 100) a - 1: 3; 7; (mod 10) a20k — 25 (mod 100) a - (mod 10) a20k = 76 (mod 100 a = 2; 4; 6; (mod 10) Vậy đê tìm hai chữ số tận cùa an, ta lấy số mũ 11 chia cho 20 Ví dụ : Tim hai chữ số tân cùa 22003 Giãi: Ta có : 220 = 76 (mod 100) => 220k = 76 (mod 100) Do : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( 76).8 = .08 Vậy 22003 có hai chữ số tận 08 Ví dụ 4' Tìm chữ số tận 2OO92010 Giải: Ta có: 2OO92010 = 92010 (mod 100) Áp dụng định lý ơle ta có: (9; 100) =1 Nên: 9“(100) = (mod 100) Mà Li(100) = 100.(1-ị)(l-Ị) = 40 Hay: 940= (mod 100) => 92010 = 910 (mod 100) Mà 910 = 3486784401 = (mod 100) Vậy chừ số tận cùa 2OO92010 01 Ví dụ ' Tìm chữ số tận 21954 Giải: Ta thấy (2; 1000) = nên chưa thê áp dụng trực tiếp định lý ơle Ta có: (2 1954; 1000) = Ta xét 21951 chia cho 125 Áp dụng định lý ơle ta có: (2; 125) = Nên: 2g(125) = (mod 125) Mà p(125) = 125(1-^) = 25 Hay: 225 = (mod 125) => 21951 = (mod 125) => 21951 23 = 2.23 (mod 125.23) 21954 = 16 (mod 1000) Vậy clừr số tận cừa 21954 016 Vi dụ 6: Tìm chữ sơ tận Giãi: Áp dụng định lý ơle ta có: (9; 100) = 1; p(100) = 40; => 940 = (mod 100) (*} Mặt khác ta có: 92 = (mod 40) =>99 = (mod 40) Đặt99 = 40.k +9 vớik e N (**} Từ (*) (**) suy ra: 99’ = 99 (mod 100) Mà: 99 = 387420489 = 89 (mod 100) Vậy chừ sò tận cùa 89 Giâi phương trình nghiêm nguyên a Xét số dư hai vế Ví du 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 9x + = y2 + y (*) Giải: Ta có: VT = 9x + = 2(mod3) => VP = y2 +y = 2(mod3) o y(y+ 1) = 2(mod3) =>y = l(mod3) ( vi y=3k y = 3k+2 VP = 0(mod3)) =>y = 3Ẵ- + l (trong k eZ) thay vào pt(*) ta có 9,r - = (3Ả- +1 )2 + (3Ả- +1) o 9.r = 9Ả-2 + 9Ả- X = Ả-2 + k 'x = k2+k Vậy V = 3Ấ' + k&Z Ví du 2: Giãi phương trình nghiệm nguyên sau: (2x + l)(2x + 2)(2x + 3)(2x + 4)-5-v = 11879 Giải: Ta có 2X; 2X +1:2X + 2; 2X + 3:2X +4 sổ tự nhiên hên tiếp nên 2x(2x + l)(2x + 2)(2x + 3)(2x+4):5 Mặt khác UCLN(2X ;5) = nên (2x + l)(2x + 2)(2x + 3)(2x + 4p5 Với V>1 VT = (2X + 1)(2X + 2)(2X + 3)(2X + 4)-5-':5 cịn VP = 11879 = 4(mod5) suy phương trình khơng có nghiêm VỚI y =0 ta có : (2x + l)(2x + 2)(2x + 3)(2x + 4)-5° =11879 o(2x + l)(2x +2)(2X + 3)(2X +4) = 11880 (2X + 1)(2X + 2)(2X + 3)(2X + 4) = 9.10.11.12 => 2X +1 = 2X = o 2X = 23 o X = Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (3:0) /X 1 ■» Ví dụ 3: Tim X, y ngun dương thồ : /2 3X +1 = (V+1) Giải: 3x + l = (y + l)2 «3X =y(y + 2) (**) Ta có VT = y =l(niod2)=>KP = y(y + 2)Hl(mod2) Suy y số lẻ mà y y+2 hai số lẻ liên tiếp Từpt(**) —>ịy + = ĩn »1 + n = X Ta có y +2 > y —> 11 > 111 Neu Ill > thi y y+ chia hết cho ( vơ Ị í) Vậy 111 =0 =>n = =>x=l —> y =1 b Sữ dụng số dư chi phương trình vơ nghiệm Ví du 4: Giãi phương trình nghiệm nguyên sau: 19x+5' +1890 = 19754“ +2013 Giải: Ta có X ,y nguyên duơng => 5- : 5; 1890:5 —> VT = 19X + 5-’ +1890 519X (mod 5) Mà: 19 = -l(mod5) => 19' = (-l)x(mod5) Neu X chằn 19x =l(mod5); X lẻ 19x = —1( mod 5) = 4(mod5) —■VT =l;4(mod5) rp = 3(mod5) Do phương trình vơ nghiệm Vi du 5: Tim số nguyên dương X, y biet: X2 +X-1 = 32-v+1 Giải: Ta có: VP = 32-V+1 = 0(mod3) (*) Nếux=3k ( Ẩ”G7V’) VT = X2 +X-1 = 2(mod3) Nếux=3k+1 ( Ẩ”G7V ) PT = X2+X-1 = l(mod3) Nếux=3k+2 (Ả-eTV)thì VT = X2 + X-1 = l(mod3) Vậy VỚI VxeZ+ VT = X2 + X-I = l;2(mod3) (**) Từ (*) (**) suy khơng tồn x,y thỏa tốn Trang 15/21 SKKN.vn Chú ý: Nhiều tốn thi vơ địch mrớc đòi phải xét modun lớn VD: (IMO 1999) Ví du 6: Giài phương trình nghiệm ngun sau:: 7/z2 = rf - Giải: ììf = 0:l:3:4:5:9(modl 1) cịn ỉf -4 = 6;7;8(modl 1) suy phương trình vơ nghiệm Chú ý: X3 = 0:1:8(mod9) Ví du 7: Giãi phương trình nghiệm nguyên sau: X3 +y3 + ::' =2011 Giải: Dựa vào nhận xét ta có X3 = 0:1:8(mod9); y3 = 0:l:8(mod9) ? = 0:l:8(mod9) => PT = X3 +/ + ? = 0;l;2;3;6;7;8(mod9) Còn VP = 2011 = (mod9) suy phương trình vơ nghiệm B Bài tâp tơng hop Tìm dư phép chia a) 32012 cho 13 b) 32013 cho 31 c) 570 + 750 cho 12 Chứng minh: a) 3105 + 4105 chia hết cho 13 không chia hết cho 11 b) 192005 + 12004 chia hết cho 10 Tìm chừ số tận cùa số: 82012, 72011, 1952013 Chứng minh rang VỚI số tự nhiên 11 ta có: a) ln+2 + 122n+1 chia hết cho 133 b) 511-2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 c) 7.52n T 12.6n chia hết cho 19 Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 chia hết cho Chứng minh rằng: 333555 +777555’33:10 Chứng minh rang: 324" + 234"'! + 5:11,VM GN Chứng minh rang: a) 3”+2 + 42n+1:13,11 nguyên dương c) 62”+1 + 5”+2:31 Chứng minh rang VỚI số tự nhiên 11 ta có: a) 226"2+3:19; b) 62"+19”-2"+1:17 d) 23”+4+32”+1:19 c) 224"1 +7:11 10 Tìm dir phép chia: a) 570 + 750 cho 12; b) IO10 + 1O102 +1O104 + + 1010‘0c/zo7 b) 222~I+3Ỉ7 11 Chứng minh: a) 99^° -99’ :10; c) 32 +23 +5:22 b) 77? -77’:10; 12 Chứng minh: a) 2n T không chia hết cho VỚI 11 số tự nhiên 11 b) 13 9n + không chia hết cho 100 VỚI số tự nhiên 11 Cho a, b số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh: p.a 4m T q.b4m chia hết cho chi kin p+q chia hết cho 14 p số nguyên tố lơn CMR: pSn + 3p4n - chia hết cho (HD: Áp dụng ĐL Fermat) 15 Cho 11 sổ tự nhiên CMR: a) 52"+1+ 2"+4+2"+1:23; b) 13”+2+142M+1:183 c) d) 52n+l.2"+2 + 3n+2.22n+l:38; 22"+1+32"+1:5 16 Tìm dư phép chia san: a) b) 20112012 + 2O122013 + 2010 6.5123 + 7162 chia cho 132 chia cho c) 20122012 chia cho 11 e) 2O132011 chia cho 14 d) 22013 chia cho 35 f) 1111 chiacho3ũ ■ 17 Tìm chừ số tận sổ: 3123, 7200, 77 18 Tim hai chừ sỏ tận sô: , , , ,3 19 Tìm dư phép chia 910": -59?: c/?013 20 Tìm hai chừ số tận số: 22004, 7^, 1414’4, 2992012 21 Tìm hai chừ số tận cừa so: 199819"2000 22 Tìm ba chừ số tận số: 22003 , 23 Tìm số tự nhiên gồm tồn chừ số chia hết cho số: a) 7, 11, 13, 17 752011 b) 19, 23,29, 31,37 24 Chứng minh A = (19761976 - 19741974)( 19761975 + 19741973) chia hết cho 10000 25 Chứng minh B = (2OO12000 - 19991998)( 2OO12001 + 19 991"9) chia hết cho 1000000 26 Tìm hai chừ sơ tận cừng B = / Bài tâp phương trình nghiêm nguvên Chứng minh rang phương trình san vơ nghiệm a, 3x2 - 4y2 = 13 b, 19x2 + 28y2 = 2001 c, X2 = 2y2 - 8y + d, X5 - 5x3 +4x = 24(5 y + 1) e, 3X5-X3 + 6X2- 18X = 2001 2, Chứng minh rang A không lập phương cùa số tự nhiên A = 100 0500 01 49 c/s 50 c/s 3, Tìm so X, y nguyên dương cho a, 2x+3=y2 b, 2X + 57 = y2 c, X2 = 4y +5 d, 5x3 = 3y + 317 III KÉT QUÃ VẬN DỤNG VÀO GIẢNG DẠY Các phương pháp giãi Lý thuyết đong dir số ứng dụng chù đề Toán hay, nghiên cứu sàn thấy thú vị, áp dụng giãi tốn phương trình, vận dụng vào nhiều dạng tập có nhiều ứng dụng hút đối VỚI học sinh trung học sở Trước chuyên đề đira vào áp dụng kết quà kháo sát cho biết mức độ nhận thức khâ vận dụng cùa học sinh chưa cao, kết quâ tòng hợp bâng sau Chât lượng trước thực chun đê HKÍ Giói 2016-2017 Khá Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 28 71% 23%) 6% 0% 0 Chat lượng sau thực chuyên đê HKI Giỏi 2016-2017 Khá Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 36 92.2%) 7.5% 0% 0% 0 I KÉT LƯẬN PHẦN III: KÉT LUẬN Lý thuyết đồng dư mãng kiến thức rộng tương đối phức tạp Tuy nhiên khả ứng dụng rộng có tính im việt cao Nó phục vụ nhiều q trình giảng dạy mịn Toán THCS Hơn từ lý thuyết dồng dư mờ cho ta lĩnh vực khác Ví dụ như: Phương trình vơ định Lý thuyết chia hết vành đa thức Z(x), Vì sáng kiến kinh nghiệm tịi khơng thê đưa hết Lý thuyết đồng dư số ứng dụng điều tịi nung nấu hồn thiện nưa Trong sáng kiến chac chan nhiều vấn đề chưa đầy đủ Vì tịi kính mong q vị, bạn bè đồng nghiệp góp ý chia sè đê chuyên đề hoàn thiện Trong nhiều năm qua, VỚI quan tâm giúp đờ cùa quan nhiều mặt cho ngành giáo dục VỚI phát tiiên nhanh cùa còng nghệ thòng tin Các sáng kiến kinh nghiệm cùa nhiều giáo viên ngày có chất lượng Tuy nhiên khả trao đơi, phạm vi ứng dụng chưa rộng rãi nhiều ý tương hay chưa đến VỚI tất cà giáo viên học sinh nhăm biến ý tường thảnh thực Vì tịi kính mong Phịng, Sờ GD-ĐT, Tò chuyên mòn nên tạo điều kiện dê sáng kiến, ý tương hay có thê đến VỚI tất cà giáo viên học sinh, bang cách có thê in ấn, đưa lên trang Web nội cùa phịng, sở dè ý tường trờ thành thực có ý nghía Tuy sáng kiến kinh nghiệm đà xem xét ứng dụng xong khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong góp ý cùa cấp chi đạo chuyên môn, bạn đồng nghiệp giàu kinh nghiệm, bạn đọc chun đề bơ sung góp ý chân thành đê sáng kiến kinh nghiệm dược hoàn thiện ứng dụng nhiều hơn! II MỘT SÓ KHUYẾN NGHỊ KHI THựC HIỆN ♦ Tim hiên năm vừng khung chương trình Tốn THCS đê từ dó đưa cho học sinh tập, ví dụ phù họp đàm bào khâ tiếp thư cùa đối tượng học sinh ♦ Không "rót" kiến thức phương pháp cho em khiến em thụ động, thiếu tìm tịi sáng tạo.Can kiên trì tìm chọn cách xây dựng kiến thức phương pháp đê em có hội ựr khám phá ♦ Nam vừng khả thực tế cùa học sinh vấn đề Ur Từ có điều chinh nâng dần hợp lý mức độ khó cùa tập phù hợp VỚI trình phát tnên tư cùa học sinh nhằm mang lại hiệu quà cao