Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 133 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
133
Dung lượng
2,21 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN TẬP ĐỀ TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com PHẦN TUYỂN CHỌN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2022-2023 ) Thời gian làm : 150 phút Câu I (2 điểm) 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc ≠ Chứng minh : a2 b2 c2 + + = 2 2 2 2 2 a −b −c b −c −a c −a −b 2) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + y + x = Tính giá trị biểu thức : M = ( x2 + + x )( y2 + + y ) Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình : x + x + = ( x + 5) x2 + x + x 12 2 x − + y = y 2) Giải hệ phương trình : 6 xy + x y= 12 y + y + x Câu III (2 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) cho x − y − xy − x + 14 y − 11 = 2) Tìm tất số nguyên dương n để 2n + n + 25 lập phương số nguyên tố Câu IV (3 điểm) Cho tam giác ABC (có AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H ( E ∈ AC , F ∈ AB ) Gọi M trung điểm cạnh BC , tia MH cắt đường tròn (O) điểm N 1) Chứng minh điểm A, E , H , F , N thuộc đường tròn 2) Lấy điểm P đoạn thẳng BC cho ∠BHP = ∠CHM , gọi Q hình chiếu A lên HP Chứng minh OA vng góc với NQ 3) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PMQ tiếp xúc với đường tròn ( O ) Câu V (1 điểm) Người ta thực trò chơi bảng kẻ vng kích thước 5×9 (có 45ơ vng) Ban đầu, có 33 đồng xu đặt ngẫu nhiên vào ô vuông bảng cho khơng có vng chứa nhiều đồng xu Ở bước người chơi di chuyển tất đồng xu thỏa mãn đồng thời quy định sau: i) Các đồng xu phải di chuyển lên xuống, trái phải cho lần di chuyển đến kế bên (ơ chung cạnh) ii) Nếu bước di chuyển đồng xu di chuyển lên xuống bước phải di chuyển sang trái sang phải; ngược lại Trò chơi dừng lại vng bàn có nhiều đồng xu Chứng minh trị chơi kết thúc sau hữu hạn bước Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên tin Lam Sơn 2022-2023 ) Thời gian làm : 150 phút Câu I (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = a 2= ( a + c + )( a + b − ) Tính giá trị biểu thức A = a 2022 + b 2022 + c 2022 Cho số thực x, y, z khác 0, đôi khác thỏa mãn x − xy = y − yz = z − zx Chứng minh 1 + + = x y z Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình ( )( ) x + − x + x2 + x2 + 4x + = 4x 2 x + xy − y − x + y + = 2) Giải hệ phương trình 2 x + y + x + y − = Câu III (2,0 điểm) xy Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) cho x + y − ( x + y ) = Cho p số nguyên tố lẻ Tìm tất số nguyên dương n để n − np bình phương số nguyên dương Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC ∠BAC = 60° Đường tròn tâm I bán kính r nơi tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M , N 1) Chứng minh tứ giác IFMK IMAN nội tiếp 2) Gọi J giao điểm AK BC Chứng minh J trung điểm BC AC − AB = DJ S 3) Gọi S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r chứng minh S IMN > )(trong S IMN diện tích tam giác IMN ) Câu V (1,0 điểm) Xét ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 48 + x+z y + ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2021-2022 ) Thời gian làm : 150 phút Bài (2,0 điểm) a) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a + 2)(b + 2) = Tính giá trị biểu thức: P = ab + a + b + − ( a + )( b + ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Cho số hữu tỉ a, b, c đôi phân biệt Đặt B= 1 Chứng minh + + 2 ( a − b) (b − c) (c − a ) B số hữu tỉ Bài (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: ( x + x + )( x + x + 18 ) = 168 x 1 y+ x + x2 + = y +1 2) Giải hệ phương trình: x + x y + = 8x − y Bài (2,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + y − xy − x − y + = b) Tìm tất số nguyên tố p cho p2 − p − lập phương số tự nhiên Bài (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) ( O′ ) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A đường tròn tâm O cắt đường tròn tâm O′ P( P ≠ A) Tiếp tuyến A đường tròn tâm O′ cắt đường tròn tâm O Q(Q ≠ A) Gọi I điểm cho tứ giác AOIO′ hình bình hành D đối xứng với A qua B a) Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A P Q Từ suy tứ giác A D P Q nội tiếp ? b) Gọi M trung điểm đoạn PQ Chứng minh ADP = QDM c) Giả sử hai đường thẳng IB PQ cắt S Gọi K giao điểm AD PQ Chứng 1 minh: = + SK SP SQ Bài (1,0 điểm) Cho bảng kẻ vng kích thước × gồm có 64 ô vuông (như hình vẽ bên) Người ta đặt 33 quân cờ vào ô vuông bảng cho vng có khơng q quân cờ Hai quân cờ gọi "chiếu nhau" chúng nằm hàng nằm cột Chứng minh với cách đặt tồn qn cờ đơi khơng chiếu ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2020-2021 ) Thời gian làm : 150 phút Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu I (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện a + b + c = 1 + + = Chứng minh ba số a, b, c có số a b c Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2045 ( x − 18) + ( y − ) + ( z − 2020 ) 3 Tính giá trị biểu thức: = F = ( x − 18 ) 2021 + ( y − 7) 2021 + ( z − 2020 ) 2021 Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phương trình + 35 = x − 12 x xy − y = x + 3x + Giải hệ phương trình 2 y + y + 18 = x + 16 x Câu III (2,0 điểm) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn xy − ( x − ) ( x + x + 1) = y2 Chứng minh = 2n 10a + b ( với a , b , n số tự nhiên thỏa mãn < b < 10 , n > ) ab chia hết cho Câu IV (3,0 điểm) > 45° Vè phía ngồi tam giác ABC dựng hình Cho tam giác ABC nhọn có BAC vuông ABMN ACPQ Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM E , đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP F Chứng minh tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ D Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ DNP cắt K ( K khác D ) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B C cắt J Chứng minh bốn điểm D, A, K , J thẳng hàng Câu V (2,0 điểm) Trên đường tròn người ta lấy 2024 điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xem kẻ Tại điểm người ta ghi số thực khác cho quy tắc sau thỏa mãn “số điểm màu xanh tổng hai số ghi điểm màu đỏ kề nó, số ghi điểm màu đỏ tích hai số ghi điểm màu xanh kề nó” Tính tổng 2024 số ĐỀ SỐ (Đề tốn vào lớp 10 chuyên tin Lam Sơn 2019-2020 ) Thời gian làm : 150 phút Câu I: (2,0) điểm Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com +1 + 2+2 Cho x số thực âm thỏa mãn x + + + 44 = 2025 2024 + 2024 2025 45 = 23 Tính giá trị biểu thức: x2 A = x3 + x Câu II: (2,0 điểm) Giải phương trình: 1 + = x − x2 x + y − 2xy + x = Giải hệ phương trình: 2 2 ( x + y ) − x y + x = Câu III: (2,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x − xy − x + y + = Cho biểu thức: A = (a 2020 + b 2020 + c 2020 ) − ( a 2016 + b 2016 + c 2016 ) với a,b,c số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) có tâm O Các đường cao cắt cạnh BE , CF tam giác ABC cắt H Đường phân giác BHC AB, AC M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác BAC điểm I khác A, IM cắt BE điểm P IN cắt CF điểm Q Chứng minh tam giác AMN cân A Chứng minh HPIQ hình bình hành Chứng minh giao điểm hai đường thẳng HI AO thuộc đường tròn ( O ) Câu V: (1,0 điểm) Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = , tìm giá trị nhỏ biểu thức S= ( a + )( b2 + )( c + ) ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2019-2020 ) Thời gian làm : 150 phút Câu I: (2,0) điểm Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + = ab + a + bc + b + ca + c + Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = Hãy tính giá trị biểu thức: bc ca ab A= + + 8a b c Câu II: (2,0 điểm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Giải phương trình: 2x2 + x + + x2 − x + = 3x 1 x + y + x + y = Giải hệ phương trình xy + + x + y = xy y x Câu III: (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: y + y = x + x3 + x + x Cho hai số nguyên dương x, y với x > thỏa mãn điều kiện: 2x − =y15 Chứng minh x chia hết cho 15 Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC Gọi M trung điểm BC , AM cắt ( O ) điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB F khác B Chứng minh hai tam giác BDF , CDE đồng dạng Chứng minh ba điểm E , M , F thẳng hàng OA ⊥ EF cắt EF điểm N Đường phân giác CEN cắt CN P Đường phân giác BAC cắt BN Q Chứng minh PQ song song với BC , đường phân giác BFN Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2018-2019 ) Thời gian làm : 150 phút Câu 1 1 1) Tính giá trị biểu thức P = 1 − 1 − 1 − 1+ 1+ + + + + + 2018 a − 3a + 5a − 17 = 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn biểu thức b − 3b + 5b + 11 = Chứng minh a + b = Câu 1) Giải phương trình : x − x − 4= (1 − x ) x − 1 1 x2 + y = 2) Giải hệ phương trình : x2 − + y − = xy + Câu Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Tính tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x 2019 = y 2019 − y1346 − y 673 + 2) Cho n số nguyên dương tùy ý, với số nguyên k ta đặt S k =1k + 2k + + n k Chứng minh S 2019 S1 Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác, P giao điểm đường BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt cạnh AB, AC , CF Q, R, S 1) CMR: tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp PB DB với D trung điểm QS = PC DC 3) Khi B, C cố định A thay đổi thù chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định Câu Trong giải đấu thể thao có n độ tham dự n ≥ , luật đấu sau: Hai đội đấu với trận Sau trận, đội thắng điểm, đội thua điểm hòa hai đội điểm Sau giải đấu đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống thấp (bằng điểm xếp hạng) Hỏi điểm chênh lệch lớn đội xếp thứ hạng liền ? 2) Chứng minh ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chuyên tin Lam Sơn 2018-2019 ) Thời gian làm : 150 phút Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A = 2x − y , biết x − y = xy y ≠ 0, x + y ≠ x+ y Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − 1, tính = B 1 + 5 x1 x2 Câu 2: (2,0 điểm) 2 − (1 + x ) = y Giải hệ phương trình (1 + y )2 = − x Tìm giá trị tham số m cho phương trình x − 2mx + m − = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn ≤ x1 ≤ x2 , xác định giá trị lớn x2 Câu 3: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + x ( y − 1) + y + y = 35 Tìm số nguyên dương a, b nguyên tố thỏa mãn a+b = 2 41 a +b Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định đường trịn (BC khơng qua O), A điểm di động cung lớn BC cho ABC tam giác nhọn Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC tương ứng M, N Gọi Q điểm cung nhỏ BC đường (O), P giao điểm AQ BC, E giao điểm CI với MN Chứng minh tam giác BIQ cân Chứng minh bốn điểm B, I, M, E nằm đường tròn Chứng minh AI PQ = IP IQ tìm vị trí A để tích AI PQ đạt giá trị lớn Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy z + x z + y = 3z z4 M = Tìm giá trị lớn biểu thức: + z ( x4 + y ) ĐỀ SỐ (Đề toán vào lớp 10 chung chuyên Lam Sơn 2017-2018) Thời gian làm : 150 phút Câu 1: ( điểm ) Cho biểu thức: A = 1 − x x +3 − : x + x − x +2 x −3 + Với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x − x + x +2 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu : ( điểm ) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1) : y = -5(x + 1) ; (d2) : y = 3x – 13 ; (d3) : y = mx + ( Với m tham số ) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường (d1) (d2) với giá trị m đường thẳng (d3) qua điểm I ? b) Giải hệ phương trình x − + y + = 3 y + − x − = Câu : ( điểm ) a) Tìm m để phương trình (m – 1).x2 -2mx + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x x khác thỏa mãn điều kiện + + = ? x2 x1 b) Giải phương trình x x − = − 5x Câu : ( điểm ) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M điểm di động (O) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng với O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E đường thẳng BM CN cắt F a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng tứ giác MENF nội tiếp b / Chứng minh : AM AN = 2R2 c / Xác định vị trí điểm M đường trịn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ Câu : ( điểm ) Cho a; b ; c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a + b2 − c2 b2 + c2 − a c2 + a − b2 + + >1 2ab 2bc 2ca ĐỀ SỐ 10 (Đề toán vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2017-2018) Thời gian làm : 150 phút Câu 1: (2,0 điểm) 1 + + + 1.2.3 2.3.4 2016.2017.2018 b/ Cho số thức m, n, p, x, y, z thỏa mãn điều kiện: x = ny + pz; y = mx + pz; z = mx + ny; x + y + z ≠ a/ Tính tổng = A Chứng minh rằng: 1 + + = 1+ m 1+ n 1+ p Câu 2: (2,0 điểm) a/ Giải phương trình: x3 + x − = 5x2 − x y + =+ −3 b/ Giải hệ phương trình: y x x y x − xy − x + 12 = Câu 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên a biểu thức: A = a a a 5a a + + + + 120 12 24 12 số tự nhiên b) Tìm tất số nguyên (x, y) thỏa mãn: x + y = 20412 Câu 4: (3, điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) bán kính R cố định D chân đường phân giác góc A tam giác Gọi E F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACD a) Chứng minh AEO = ADC tứ giác AEOF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác OEF tam giác cân c) Khi B, C cố định A di động (O) (A ≡ B, A ≡ C), chứng minh tứ giác AEOF có diện tích khơng đổi Câu 5: (1, điểm) Trong mặt phẳng có nhiều đường thẳng mà đường số đường thẳng cắt 2018 đường thẳng khác? ĐỀ SỐ 11 (Đề toán vào lớp 10 chung chuyên Lam Sơn 2016-2017) Thời gian làm : 150 phút Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do A = Câu 2: Ta có: PT ⇔ ( x − 1)( x − ) ( x − )( x − 3) = mx mx ⇔ ( x − x + )( x − x + ) = 6 m ⇔ x + − x + − 5 = x x 6 ⇔ ( t − )( t − ) = m t = x + x ⇔ t − 12t + 35 − m = (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình (1) có nghiệm t1 t2 phân biệt: Theo hệ thức Vi-et: t1 + t2 = 12, t1.t2 = 35 – m Ta có: t1 x + x = x − t1 x + = (a) ⇒ (b) x − t2 x + = x + = t2 x Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình (a) x3 x4 nghiệm phương trình (b) Theo hệ thức Vi-et có: t1 x1 + x2 = ; x1 x2 = x3 + x4 = t2 x3 x4 = Do đó: 1 1 x1 + x2 x3 + x4 t1 + t2 12 + + + = + = = =2 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 6 Câu 3: Đặt n(2n – 1) = 26q2 (1) Do VP chẵn (2n – 1) lẻ nên n chẵn hay n = 2k Do đó: (1) suy k(4k – 1) = 13q2 (2) Nhận thấy (k, 4k – 1) = nên: k u= k 13u = v (1) ⇒ = 4k − v 4k − 13v = Xét trường hợp ta có: k = u2 k 13v += ⇒ 4= 12v + v + ⇒ v + 1 ⇒ v ≡ ( mod ) ( vo ly ) 13v 4k − = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét trường hợp ta có: k = 13u ⇒ 4k = v + 1( vo ly ) v 4k − = Vậy không tồn n thỏa mãn yêu cầu đầu Câu 4: Học sinh tự vẽ hình a) Ta có góc ABH = góc HAC (cùng phụ góc BAH) suy góc IBH = góc KAH Lại có góc IHB = góc KAH = 45o Suy tam giác IHB đồng dạng KHA (g.g) b) tam giác AHB đồng dạng CAB (g.g) nên HA/HB= CA/AB kết hợp phần a) HI/HA = CA/AB nên tam giác IHK đồng dạng tam giác BAC nên góc KIH = góc MBH nên tứ giác IMBH nội tiếp góc AMN = góc IBH = 450 tam giác AMN vuông cân AM = AN 2)Kẻ tia Ex cắt AC I cho góc AEI = góc ACB ( tam giác ABC nhọn nên ln dựng được) Ta chứng minh tứ giác DEMB; EICM; ADEI nội tiếp Do CM.CB = CE CD= CI.CA < CA2 Hay 1/2 BC2 < AC2 hay BC2 < 2AC2 Vậy BC < AC Căn(2) Câu Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: x4 ( y − 1) + 16 ( y − 1) + 16 ( y − 1) + 16 ( y − 1) ≥ 32 x Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng lại theo vế ta được: P ≥ −16 ( x + y ) + 96 ≥ −16.4 + 96 =32 Dấu “=” xảy x = y = ĐỀ SỐ 27 Câu : a)Giải phương trình − x= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 17 − x3 − x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ⇔ x2 − 2x + ) =17 − x3 − x ⇔ x + x + − x3 + x − x = 17 − x3 − x ⇔ x + 12 x − 13 = Đặt t = x2 (t ≥ 0) Ta có phương trình; t2 + 12t – 13 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại) t1=1 ⇒ x2 = ⇒ x= ± b)Chứng minh rằng: VT = = = Vậy : 17 + 12 + 17 − 12 = 2 17 + 12 + 17 − 12 + 12 + + − 12 + = 2 (3 + 2 ) ( + 3−2 2 ( + ( − 1) )= +1 ) = (2 + ) +1 + − 2 +1 2 2 +1+ −1 = 2 = VP 17 + 12 + 17 − 12 = (đpcm) Câu 2: Giải phương trình : (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x C1 * Với x = khơng phải nghiệm phương trình * Với x ≠ , chia hai vế phương trình cho x2 ta có phương trình : (x + 5x − 6) ( x2 + x − 6) = 12 x x 6 12 x − + x − + 1 = x x +3 x ta có phương trình : (t +2)(t – 2) = 12 t2 – =12 t2 = 16t = ± Đặt t = x − +3= x ⇔ x2- x - = phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = ; x2= -2 Với t = ta có phương trình ; x − Với t = - ta có phương trình x − + =−4 x x2+7x -6 =0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= −7 − 73 −7 + 73 ; x2 = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt… Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: Tìm số ngun x, y thỏa mãn: x + x + y + = y xy + xy + (x, y ∈ z ) ⇔ x − + x − xy + y − + y − xy = ⇔ (x – 1)(x + 1) - y(x – 1) – 2y2 (x – 1) + x – = ⇔ (x-1)(x+1-y-2y2+1)=1 x = y = x = x − = y = − (0 t/m) − + = y y )( ) ( −2 y − y + x + = ⇔ ⇔ ⇔ x = x − =−1 x = ( y − 1)( y + 3) = −2 y − y + x + =−1 y = y = − (0 t/m) Vậy cặp số nguyên thỏa mãn : (2,1) ; (0 ;1) Câu : A a) Điểm M t/m MD = BD, ME = CE Dựng đường trũn tõm (O) đường trũn qua M, B C ⇒ ∆ DBO = ∆ DMO (ccc) ⇒ ∠DMO = ∠DBO C/m tương tự có ∠EMO = ∠ECO mà ∆ BAC cõn, ∆ BOC cõn ⇒ ∠ABO = ∠ACO D B M ⇒ ∠DMO = ∠EMO mà ∠DMO + ∠EMO = 2v ⇒ ∠DMO = ∠EMO = 1v hay OM ⊥ DE E ⇒ OB ⊥ AB, OC ⊥ AC ⇒ AB, AC, DE tt (O) C I O ∠DOE = ∠ECI ( cựng ẵ cung BC) suy tứ giỏc IOCE nội tiếp Mà gúc ECO = 900 nờn gúc EIO = 900 Vậy gúc DIE vuụng b) Áp dụng phần a) ta luụn cú DI qua điểm cố định O Tõm đường trũn tiếp xỳc với AB ,AC B C Câu 5: C1 Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 19 + + 2011(a + b ) ab a + b 19 T =+ + 2011(a + b ) ab a + b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒T = 16 + + + 2011(a + b ) ab ab a + b 16 = + 6 + + 2011(a + b ) ab 2ab a + b * Ta cú : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = (a + b) ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ ab ≤ ⇔ 16 16 ≥ 16.4 ⇔ ≥ 64 dấu ⇔ a = b = ab ab 2 2 (1) * Ta lại cú : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = ⇒ (a2 + b2 – 2ab)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = = ⇔ a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥ ⇔ a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3 ⇔ (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2) ⇔ [(a + b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2) ⇔ a + b + 2ab 2ab ( a + b 2 ≥ ) (a + b) thay a + b = ta có : 1 + ≥ = dấu ⇔ a = b = 2 2ab a + b (2) * Ta lại có : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = ⇔ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 thay a + b = ta có : 2(a2 + b2) ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 1 dấu ⇔ a = b = (3) 2 Tương tự : (a2 – b2)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = ⇔ a4 + b4 ≥ 2a2b2 ⇔ 2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2 (a ⇔ a4 + b4 ≥ + b2 ) 2 ≥ 1 dấu ⇔ a = b = Cộng vế (1), (2), (4) ta cú T ≥ 64 + 6.4 + 2011 ⇔T≤ (4) 2715 dấu ⇔ a = b = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C2 Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1 19 + + 2011(a + b ) ab a + b Áp dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacopxiki Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 16 T = + 6 + + 2011 (1 + 1)(a + b ) ab 2ab a + b 16.4 T≥ + + 2011 .(a + b ) 2 2 ( a + b) ( a + b) 2011 2715 ≥ 64 + 24 + (a + b) = 8 Dấu xảy a = b = ĐỀ SỐ 28 Câu 1: 1/ Rút gọn biểu thức: = A 15 x − 11 x+2 x −3 + x −2 1− x x +3 = x +3 − ( 15 x − 11 )( x −1 x +3 ) + x −2 1− x − x +3 x +3 (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A= 15 x − 11 ( )( x −1 x +3 ( ) + 2−3 x = )( x +3 x +3 ) ( ( x − 1)( x + 3) 15 x − 11 + − x = x −1 − x +3 − x +3 15 x − 11 − x + − x − x + − x ( ) ( x + 3) ( x − 1)( −5 x + 2) = −5 x + = ( x − 1)( x + 3) ( x + 3) x −1 2/ Chứng minh A ≤ Ta có: Do −5 x + ( x +3 ) −5 = ( x + > với ∀x ⇔ Vậy A ≤ ) x + + 17 x +3 17 x +3 ≤ = =−5 + ) )( ( x −1 −5 x + x − )( x −1 x +3 ) 17 x +3 17 ⇔ −5 + 17 x +3 ≤ −5 + 17 = ∀x 3 (với ∀x t/m điều kiện) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 2: x đường thẳng y = mx –m + 2 1/ Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = Cho parabol (P) y = (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = ⇔ pt x = mx − m + (*) có nghiệm x = ⇔ = m4 − m + ⇔ m = 2 2, x = mx − m + ⇔ x − 2mx + ( 2m − ) = (*) Pt có ∆’ = m2 – 2m + = (m – 1)2 + ≥ > ∀m Câu 3: 1, GHPT 2 x + 5 + x 12 = y 19 = y ĐK: x, y ≠ Đặt= u 1 , Ta có HPT: = ;v x y u + 3v 12 u + 6v 24 = = 2= 4= 11u 33 u + 2v 19 + 6v 57 + 3v 12 = 5u= 15u= 2u= v Với u = => 1 == >x= x v = => 1 >y= == y x = Vậy hệ pt có nghiệm nhất: y = 2, x+ 3x x2 − = x > ĐK : x − > = > x < −3 C1, x+ 3x x −9 = x x − 9= + x x − Đặt : t = x2 − , t > 2t xt + x = 2t x = => t +3 t2 x − = x2 − = t2 Thay (1) vào (2) ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2t 72t 2 − = t 72t − 9t − 54t − 81 = t + 6t + 9t − = t t + t t + + t + 6t − 54t + 54t + 81 = ( t − 3) ( t + 12t + 3) = Do t > => t + 12t + > 0= >t = 3= > x2 − = 3= >x= 2(t / m) => ( t − 3) = C2, 3x Nếu x < -3 : VT = x + x2 − < => PT VN Nếu x > Ta có : x + Mà: (x 3x x2 − 3x ≥2 x2 − (1) (BĐT Cosi) − 18 ) ≥ = > x ≥ 2.18 ( x − ) = > Kết hợp (1) (2) ta có => x + 3x x2 − x2 x2 − ≥6= > 3x x2 − ≥ 18 (2) ≥ 18 = 3x x = >x= Dấu xảy ⇔ (1) (2) xảy dấu ⇔ x2 − = x = 18 Vậy nghiệm PT là: x = Câu 4: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y I P K O O' A C B 1, CM: a, Tg CPKB nội tiếp đường tròn Gọi O tâm đường tròn đường tròn đương kính IC ⇒ O TĐ IC ∠IPC nt chắn đường tròn (O) ⇒ ∠IPC = 1v ⇒ ∠CPK = 1v, ∠CBK = 1v (gt) ⇒ hai điểm P B thuộc đường trịn đường kính CK tâm O’ trung điểm BP ⇒ CPKB nt (O’) b, ∠APC = ∠AIC (nt chắn cung AC) ∠AIC = ∠KCB (góc có cạnh tương ứng vng góc) ⇒ ∠APC = ∠KCB ∠CPB = ∠CKB (nt chắn cung BC) Cộng vế ta có: ∠APC + ∠CPB = ∠KCB + ∠CKB = 1v ⇔ ∠APB = 1v ⇒ ∆ APB vuông P 2, A, I, B cố định XĐ vị trí C đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? S= AI + BK AB S ∆ CBK ∆ IAC ⇒ BK CB AC.CB = ⇒ BK = AC AI AI Áp dụng BĐT: (AC – BC)2 ≥ ⇔ AC2 + BC2 - AC BC ≥ ⇔ AC2 + BC2 + AC BC ≥ AC BC Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ (AC + BC)2 ≥ AC BC ⇔ AC BC ≤ ( AC + BC ) = AB Dấu ⇔ AC = BC hay C trung điểm AB AC.CB AB = AI AI Khi = BK AB AI + AI + AB ) AB ( AI + BK AI S = AB AB = = 2 AI Câu 5: Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P ab biết P = bc + ab + 2c ca + bc + 2a ac + 2b * Vì a + b+ c = ⇒ 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) a ; b ; c > nên 1 1 > > áp dụng cosi ta có + ≥ a+c b+c a+c b+c 1 dấu (=) ⇔ ⇒ a + c = b + c ⇒a = b = a+c b+c (a + c)(b + c) hay ⇒ (c + a )(c + b) ab = 2c + ab ≤ 1 + ( ) c+a c+b ab ≤ ( c + a ) (c + b ) bc Tương tự: bc + 2a ab ab + (1) dấu ⇔ a = b 2c+a c+b ≤ bc cb + (2) dấu ⇔ b = c 2a+b a+c ≤ ca ca + (3) dấu ⇔ a = c 2c+b b+a ac 2b + ca cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab ⇒ : P= ab + 2c + bc bc + 2a ca + ca + 2b ≤ ab ab cb cb ac ac ( + + ) + + + c+a c+b b+a c+a b+a c+b ⇒ P≤ cb ab ac cb ac ab ( c + a + c + a ) + ( b + c + c + b ) + ( a + b + a + b = (a + c).b a.(b + c) c.(b + a ) = a + b + c = 2= + + ( ) c + a b+c a + b ⇒ P= ab ab + 2c + bc bc + 2a + Vậy P = a = b = c = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ca ca + 2b ≤ dấu ⇔ a = b = c = 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 29 Câu 1: 1) Ta có: x + x − 140 = ⇔ ( x − 5)( x + x + 28) = ⇔ 87 x−5 = ( x + x + 28 = x + + ≥ 0, ∀x ) 2 ⇔ x= Vậy, phơng trình có nghiệm nhất: x = 2) Với P = 70 + 4901 + 70 − 4901 ta có: P = 140 − 3P ⇔ P + 3P − 140 = Do P nghiệm phơng trình: x + x − 140 = Theo ý 1, phơng trình có nghiệm nhất: x0 = Vậy P = 70 + 4901 + 70 − 4901 = Câu 2: 1) Giả sử E(0; y0) điểm trục tung Do M ∈ (P) nên M x ; x khoảng cách từ M đến (d) là:= h x + ; độ dài 1 ME = x + x − y0 (dùng pitago để tính) 4 2 1 1 Từ đó: x + x − y0 = x + 1 với ∀x 4 4 ⇔ x2 − 2 x y0 + y02 = x + với ∀x 2 1 ⇔ x − y0 + y02 − = với ∀x 2 1 − y0 = Yêu cầu toán đợc thoả mãn khi: 2 ⇔ y0 = y0 − = Vậy có điểm E thoả mãn tốn: E(0; 1) 2) Trớc hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với x, y Đẳng thức xảy khi: x = y áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c) (*) Do a + b + c = nên bất đẳng thức suy ra: ≥ 4a(b + c) Đẳng thức xảy khi: a = b + c ⇔ a = ⇔ b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c khơng âm) Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc Đẳng thức xảy khi: b = c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 (**) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: b + c ≥ 16abc 1 ; b= c= Từ (*) (**) có: đẳng thức xảy a= Câu 3: Ta có: x + 1 10 10 ≥ x+ −x+ y ≥ −x+ y y y 3 Suy ra: x + 10 10 + −x+ y ≥ + y+ y y 3 x + y ≥ Dấu "=" xảy khi: 10 − x + y ≥ x + y ≥ 10 − x + y ≥ (2) Do đó, hệ cho tơng đơng với: 82 x2 + y = x > 0, y < Từ (1) (2) ta có: 10 +y≥− y 10 Từ (2) có: + y ≥ x2 ⇔ ⇔ 10 + y2 + (1) (3) (4) 10 y + ≤ (*) 82 10 y + y ≥ x2 + y = ⇔ y + y + ≥ (**) 10 Từ (*) (**) suy ra: y + y= +1 1 Từ đó, hệ cho có nghiệm: ; −3 3 y = −3 y = −1 ⇔ 1 3; − 3 Câu 4: A D M K B H C 1) Nối HM MH = MA = MC suy ra: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com MHC = MCH = BCK =KCB Theo giả thiết: KB =KC ⇒ KBC = KBC Do vậy: MHC + HMB Mặt khác: MHC = KBC (1) (2) = HMB ⇒ ∆HBM cân H ⇒ MH = HB Từ (1) (2) có: KBC ⇒ BAH < 450 Giả sử HA > HB, ABH > BAH ABH > 450 + CAH = > 600 Vì BAH 1050 nên CAH > 600 ⇒ Tam giác AMH cân M nên AHM= HAM AMH < 600 Do HA < MH = HB (mâu thuẫn) Tơng tự, HA < HB ta gặp điều mâu thuẫn Vậy: HA = HB 2) Từ kết ý suy ∆AHB vuông cân H ⇒ BAH = ABH = 450 = ⇒ HAC 600 ACB = 300 ⇒ Vậy: = ABC 45 = , ACB 300 Câu 5: Đặt y = 4x − , ta có: 1 Mặt khác: y + = 2 Đặt t = 1 4y −1 y + + y = [ ] 4y −1 [2 y] − [ y] ⇒ [2 y] = t = −1 y − 3t + 3t + ⇒ = t ⇒ t ≤ < t + ⇒ t = Từ ta có: ĐỀ SỐ 30 Câu I: ( điểm ) a) ĐK: x>0 ;x ≠ x A= − + x x −4 x x −6 10 − x : x −2+ x +2 x +2 x A= − + x ( x − ) 3.( x − 2) x A= − + x − ( ) ( x 2) − A= ( x x −2 )( x +2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ) − : x + ( x −2 )( x +2 x +2 ) + 10 − x x +2 x − + 10 − x : x + 2 x +2 2.( x + 2) ( x − 2) ( x +2 ) + x − x − + 10 − x : x + 2 x +2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x − x − + x − 2 A= : x +2 x −2 x +2 ( A= )( −6 ( x −2 −1 A= x −2 )( = ) : x +2 x +2 ) 2− x b) với x>0 ;x ≠ ta có : A < ⇔ 2− x ⇔ 3 − x > ⇔ ⇔ 2− x 2− x − x > Vậy với x > < x < >0 x>4 9 >x>0 4 A < Câu II (2đ) 1) Vì ∆= 49 − 12= 37 > nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 = Theo hệ thức Vi-et ta có : x1 x2 = Đặt y1 = x1 − x2 ; y2 = x2 − x1 ta có: y1 + y2 = x1 − x2 + x2 − x1 = x1 + x2 = y1 y2 = (2 x1 − x2 )(2 x2 − x1 ) = x1 x2 − 2( x12 + x2 ) = x1 x2 − 2[( x1 + x2 ) − x1 x2 ]=9x1 x2 − 2( x1 + x2 ) = −71 9.3 − 2.7 = Do phương trình bậc hai cần lập là: y − y − 71 = 2)Ta có : B2 = (y + y2 ) = y12 + y1 y2 + y2 = Câu III (1,5đ) ĐK: x ≠ ±2 y Đặt ( y1 + y2 ) − y1 y2 + y1 y2 = 49 − 2.(−71) + 71 = 333 ⇒ B = 1 = a ≠ 0, = b ≠ ta hệ: x + 2y x − 2y a = x = = 4a − b x + y = ⇔ ⇒ ⇔ x y − = − 2 20a + 3b = b = − y = 12 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 333 Website:tailieumontoan.com Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình) 1) Xét tam giác ABE tam giác IBE có: AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung suy tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vng) suy AE = IE (1) ABCD hình vng nên góc EDI = 450 suy góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vng I) suy tam giác DEI cân I suy IE =ID (2) từ (1) (2) suy AE = DI 2) Vì EA = EI nên đường trịn (E;EA) qua I mà EI vng góc với DI suy DI tiếp tuyến đường tròn (E;EA) suy gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF) suy tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy DA/DI =DI/DF DF.DA = DI2 mà DI = IE suy DF.DA =IE2 (3) AI dây chung đương tròn (E;EA) đường tròn (B;BA=BI) nên AI vng góc với BE H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng BEI có : IE2 = EH.EB (4) Từ (3) (4) suy DF.DA =EH.EB Câu V (1đ) Trước hết ta chưng minh: với a,b > ta có: 1 (*) + ≥ a b a+b Thật (*) ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ ( a − b ) ≥ (đúng).Dấu “=” xảy ⇔ a = b Áp dụng (*) ta có: Tương tự ta có: Suy p p 4p 4p + ≥ = p−a p−b p−a+ p−b c p p 4p p p 4p + ≥ ; + ≥ p−b p−c a p−c p−a b p p p 2p 2p 2p + + ≥ + + p−a p−b p−c a b c p p p a b b c c a + + ≥ 3+ + + + + + p−a p−b p−c b a c b a c Hay mà a b b c c a + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ b a c b a c Do p p p + + ≥9 p−a p−b p−c (BĐT Cauchy) (đpcm) Dấu “=” xảy a = b = c tức ABC tam giác Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC