Bài giảng Giải tích 12: Hàm số lũy thừa giúp học sinh nắm được tập xác định, công thức tính đạo hàm và đồ thị của hàm số lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo giáo án để nắm chi tiết nội dung.
TỔ TỐN Giải Tích 12 Chủ đề: Hàm số lũy thừa ⓵ Tóm tắt lý thuyết Nội dung học ⓶ Phân dạng tập ⓷ Bài tập minh họa ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➊ Khái niệm • Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , với 𝛼 số thực cho trước • Hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , với 𝛼 ∈ ℝ, gọi hàm số lũy thừa Chú ý • Tập xác định hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 tùy thuộc vào giá trị 𝛼 Cụ thể • Với 𝛼 nguyên dương, tập xác định ℝ • Với 𝛼 nguyên âm 0, tập xác định ℝ\ • Với 𝛼 khơng ngun, tập xác định 0; +∞ ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➋ Khảo sát hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 • Tập xác định hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 chứa khoảng 0; +∞ với 𝛼 ∈ ℝ • Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 khoảng 0; +∞ ⓵ • • • • • Tóm tắt lý thuyết ① 𝒚 = 𝒙𝜶 , 𝜶 > 𝟎 Tập khảo sát: 0; +∞ Sự biến thiên 𝑦′ = 𝛼 𝑥 𝛼−1 > 0, ∀𝑥 > Giới hạn đặc biệt: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝛼 = +∞ 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 𝛼 = 0, 𝑥→+∞ 𝑥→0 • Tiệm cận: khơng có • Bảng biến thiên • • • • • ②.𝒚 = 𝒙𝜶 , 𝜶 < 𝟎 Tập khảo sát: 0; +∞ Sự biến thiên 𝑦′ = 𝛼 𝑥 𝛼−1 < 0, ∀𝑥 > Giới hạn đặc biệt: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝛼 = 𝑙𝑖𝑚+𝑥 𝛼 = +∞, 𝑥→+∞ • • • • Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Oy tiệm cận đứng Bảng biến thiên 𝑥→0 ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➌ Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 qua điểm 𝐼 1; • Hình đồ thị hs khoảng 0; +∞ ứng với giá trị khác α • Chú ý: Khi KSHS lũy thừa với số mũ cụ thể , ta phải xét hs tồn TXĐ ⓶ .Dạng 1: Phân dạng tập Tìm tập xác định .Phương pháp: Xét hàm số 𝒚 = [𝒇(𝒙)]𝜶 • Khi 𝛼 nguyên dương hàm số xác định 𝑓(𝑥) xác định • Khi 𝛼 nguyên âm hàm số xác định 𝑓(𝑥) xác định 𝑓(𝑥) ≠ • Khi 𝛼 không nguyên hàm số xác định 𝑓(𝑥) xác định 𝑓(𝑥) > Casio 580 VN plus: Xét tính đơn điêu hàm số 𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝛼 khoảng 𝑎; 𝑏 • MODE →NHẬP HÀM → START: a → END: b → STEP: (b-a):40 ⓷ Bài tập minh họa 2021 Câu 1: Tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑥 Ⓐ 0; +∞ Ⓑ −∞; +∞ Ⓒ −∞; Ⓓ 0; +∞) Lời giải • Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương có tập xác định • 𝐷 = −∞; +∞ ⓷ Bài tập minh họa −3 Câu 2: Tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑥 − Ⓐ 2; +∞ Ⓑ Ⓒ ℝ\ Ⓓ ℝ Lời giải Đây Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm • Hàm số xác định • ⇔ 𝑥 − ≠ ⇔ 𝑥 ≠ • Vậy tập xác định • 𝐷 = ℝ\ ⓷ Bài tập minh họa Câu 3: Tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑥 − Ⓐ 0; +∞ Ⓑ (1; +∞) Ⓒ ; +∞ Lời giải Đây Hàm số lũy thừa với số mũ khơng ngun • Hàm số xác định khi: • 𝑥 − > ⇔ 𝑥 > • Vậy tập xác định: • 𝐷 = 1; +∞ Ⓓ ℝ ⓷ Bài tập minh họa Câu 4: Tìm tập xác định hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + Ⓐ 𝐷 = ℝ\ 1; Ⓑ 𝐷 = 0; +∞ Ⓒ 𝐷 = ℝ Ⓓ 𝐷 = −∞; ∪ 2; +∞ Lời giải Đây Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm • 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + −3 xác định • 𝑥 − 2𝑥 + ≠ • ⇔ 𝑥 − + ≠ ∀𝑥 ∈ ℝ • Vậy tập xác định là: 𝐷 = ℝ −3 Phân dạng tập ⓶ .Dạng 2: Tính đạo hàm Phương pháp • Đạo hàm hàm số lũy thừa: • (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼 𝑥 𝛼−1 ; (𝑢𝛼 )′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′ • Casio: • Đạo hàm 𝑑 x: 𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡 (𝑓(𝑥))ቚ 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0 − 𝑓′(𝑥0 ) ≈ (thường số có dạng 𝛼 10−𝑛 với n nguyên dương) • Đạo hàm điểm 𝑥 = 𝑑 𝑥0 ; 𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡 (𝑓(𝑥))ቚ 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0 ⓷ Bài tập minh họa Câu 1: Đạo hàm hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 Ⓐ 𝑓 ′ 𝑥 = ′ Ⓒ 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 23 𝑥 Lời giải • • 2 − −1 ′ Có 𝑓 𝑥 = − 𝑥 −5 23 =− 𝑥 3=− 3 𝑥 • Chọn D − Ⓑ 𝑓 ′ 𝑥 = ′ Ⓓ 𝑓 𝑥 = − 𝑥 −2 𝑥 ⓷ Bài tập minh họa Câu 2: Đạo hàm hàm số 𝑦 = 3𝑥 + Ⓐ 𝑦′ = 𝜋 3𝑥 + 𝜋 Ⓒ 𝑦′ = Ⓑ Ⓓ 𝜋 𝑦′ = 3𝜋 𝑦= 𝜋 3𝑥 + 𝜋 −1 3𝑥 + 𝜋−2 Lời giải • 𝑦′ = 𝜋 3𝑥 + 𝜋 −1 ⋅ 3𝑥 + ′ = 3𝜋 3𝑥 + 𝜋−2 ⓷ Bài tập minh họa Câu 3: Tính đạo hàm hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 2𝑥−1 2𝑥−1 ′ ′ Ⓐ 𝑦 = Ⓑ 𝑦 = Ⓒ 𝑦 ′ = 𝑥 −𝑥+1 2𝑥−1 𝑥 −𝑥+1 Ⓓ 𝑦 ′ = Lời giải • 𝑦′ = 𝑥2 − 𝑥 + = 2𝑥 − = 2𝑥−1 3 𝑥 −𝑥+1 ′ 𝑥2 − 𝑥 + 𝑥 −𝑥+1 − −1 3 𝑥 −𝑥+1 𝑥 −𝑥+1 ⓶ Phân dạng tập .Dạng 3: Tính chất, đồ thị Những đặc điểm đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒙𝜶 • Đồ thị ln qua điểm (1; 1) • Khi 𝛼 > hàm số ln đồng biến, • Khi 𝛼 < hàm số ln nghịch biến • 𝛼 > đồ thị hàm số khơng có tiệm cận • 𝛼 < đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox, tiệm cận đứng trục Oy ⓷ Bài tập minh họa Câu 1: Hình vẽ sau đồ thị ba hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , 𝑦 = 𝑥𝛽, 𝑦 = 𝑥𝛾 (với 𝑥 > 𝛼, 𝛽, 𝛾 số thực cho trước) Mệnh đề đúng? Ⓐ 𝛽 > 𝛼 > 𝛾 Ⓑ 𝛾 > 𝛽 > 𝛼 Ⓒ 𝛼 > 𝛽 > 𝛾 Ⓓ 𝛽 > 𝛾 > 𝛼 Lời giải • Kẻ đường thẳng 𝑥 = • Ta có • 2𝛼 < 2𝛾 < 2𝛽 • ⇒𝛼