Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email ytkadai@hcmut edu vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (B[.]
ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu 2 Cho hai ma trận A = B = −1 Tìm ma trận X thỏa AX − X = B T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 AX − X = B T ⇔ (A − I )X = B T Vậy X 20 −6 −5 ⇔ X = (A − I )−1.B T −1 T = −1 = −9 −10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1) a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U b) Tìm sở số chiều U ⊥ c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 a) Để v ∈ U ∃α, β ∈ R : v = (1, 2, −1, m) = α(1, 1, 2, 2) + β(2, −1, 1, 0) α + 2β = α−β = 2α + β = −1 2α = m Hệ vô nghiệm nên @m cho v ∈ U TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 b) Tìm sở số chiều U ⊥ Véctơ x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ⊥ nên x ⊥ (1, 1, 2, 2) x ⊥ (2, −1, 1, 0) x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 2x1 − x2 + x3 = Cơ sở U ⊥ : e1 = (−1, −1, 1, 0) e2 = (−2, −4, 0, 3) Số chiều dim(U ⊥) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ z= αe1 + βe2 + g , với g ∈ (U ⊥)⊥ < z, e1 >= α < e1, e1 > +β < e1, e2 > < z, e2 >= α < e1, e2 > +β < e2, e2 > 14 3α + 6β = ⇔ ⇔ α = , β = − Vậy 6α + 29β = −7 17 17 hình chiếu z xuống U ⊥ 14 f = (−1, −1, 1, 0) − (−2, −4, 0, 3) = 17 17 14 14 21 (0, , , − ) 17 17 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) > x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = V : 2x1 − x2 + 2x3 + x4 = a) Tìm sở số chiều U ∩ V b) Tìm sở số chiều U + V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 a) Tìm sở số chiều U ∩ V x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ∩ V ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ V x ∈ U ⇔ (x1, x2, x3, x4) = α(1, 1, −2, 1) + β(1, 2, 1, 0)= (α + β, α + 2β, −2α + β, α) −8α + 8β = x ∈V ⇔ ⇔ α = β −2α + 2β = Vậy x = α(2, 3, −1, 1) Từ suy (2, 3, −1, 1) tập sinh U ∩ V Véctơ (2, 3, −1, 1) độc lập tuyến tính nên sở U ∩ V (2, 3, −1, 1) Dim(U ∩ V ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Tìm sở V −5 −5 → −1 −5 −4 11 Cơ sở V (−7, −4, 5, 0) (3, 11, 0, 5) U +V = < 11, 0, 5) > (1, 1, −2, 1), (1, 2,1, 0),(−7, −4, 5, 0), (3, 1 −2 1 −2 0 → −1 −7 −4 0 −18 10 11 0 0 Cơ sở U + V (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0), (−7, −4, 5, 0) Dim(U + V ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 26 [f (4, 3, 6)]B = A[(4, B = 3, 6)] −2 −2 = −4 −1 25 Vậy f (4, 3, 6) = 1(1, 1, 0) − 4(1, 0, 1) + 25(1, 1, 1) = (22, 26, 21) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 13 / 26 Câu Cho ma trận cấp 2 A = −1 −3 −2 Tìm ma trận B ∈ M3(R) cho B = A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 14 / 26 Xét −λ 2 χA(λ) = |A − λI | = −1 −3 − λ −2 = 4−λ ⇔ −λ(λ + 1)(λ − 2) = ⇔ λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 15 / 26