Bài tập lớn đại số tuyến tính 2015 Chú ý 1 Mỗi nhóm sẽ làm 2 phần (a) Phần I (2điểm) Một câu lập trình Hoàn thành đoạn code theo cầu đề ra Chạy ít nhất 2 ví dụ Nhóm 1 làm đề tài 1, nhóm 2 làm đề tài 2[.]
Bài tập lớn đại số tuyến tính -2015 Chú ý Mỗi nhóm làm phần (a) Phần I (2điểm): Một câu lập trình Hồn thành đoạn code theo cầu đề Chạy ví dụ Nhóm làm đề tài 1, nhóm làm đề tài (b) Phần II(8điểm): Mỗi thành viên thực ngẫu nhiên câu, trực tiếp lớp (do thầy chọn) command window Khi thực tập lớp phải gõ lệnh command window, nghiêm cấm lưu làm trước nhà copy past vào làm, cấm trao đổi Khi làm báo cáo, cần có đủ thơng tin sau (a) Trang bìa: Tên trường; tập lớn Matlab(đặt tên cho đề tài mình); mơn học; giáo viên hướng dẫn; Lớp; nhóm (thứ tự, tên số báo danh thành viên); năm học (b) Nội dung: Output; input; sở lý thuyết (nói sơ qua kiến thức dùng để giải đề tài); thuật tốn(Các bước lập trình); đoạn code; ví dụ chạy được(copy kết command past vào báo cáo, không gõ lại kết quả) Nộp báo cáo trước báo cáo (không nộp trước, báo cáo khơng báo cáo) Đi giờ, vắng 0điểm Mọi lý vắng mặt phải liên hệ với Thầy trước lúc báo cáo Vắng mặt trễ khơng chấp nhận Bài tập lập trình Đề tài Cho ma trận A Kiểm tra xem A có vng khả nghịch hay khơng? Nếu có tìm ma trận nghịch đảo A phép biến đổi sơ cấp Không dùng lệnh "rref" lệnh tìm ma trận nghịch đảo matlab Đề tài Cho ma trận A Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có, tính định thức ma trận A cách kết hợp biến đổi sơ cấp khai triển Đề tài Cho họ véc tơ M Kiểm tra M có ĐLTT hay khơng? Nếu có trực chuẩn họ véc tơ M Không dùng lệnh "qr" Đề tài Cho ma trận A Kiểm tra xem A có vng đối xứng hay khơng? Nếu có, dùng thuật toán sylvester để xét xem A xác định dương xác định âm hay không? định thức dương A xác định dương; định thức lẻ âm chẵn dương A xác định âm; trường hợp cịn lại khơng kết luận Đề tài Lập function thực phép nhân ma trận Nhập vào đa thức f (x) ma trận A Dùng function để tính f(A) Đề tài Đưa ma trận A dạng bậc thang tìm hạng A phép biến đổi sơ cấp Không dùng lệnh "rref", "rank" Đề tài Kiểm tra ma trận A có vng khả nghịch hay khơng? Nếu có, tính phần tử bù đại số Aij , lập ma trận phụ hợp suy ma trận nghịch đảo Đề tài Cho ma trận vng A Hãy tìm ma trận phụ hợp A từ suy ma trận nghịch đảo(nếu có) Áp dụng giải hệ phương trình Cramer Ax = b Công thức nghiệm x = A−1 b Đề tài Cho KG F, G Rn dạng tập sinh Tìm sở số chiều F + G F ∩ G Đề tài 10 Cho KG F, G Rn dạng tập nghiệm hệ phương trình Tìm sở số chiều F + G F ∩ G Đề tài 11 Cho ma trận vng A Tìm ma trận đặc trưng, đa thức đặc trưng, tìm TR lệnh roots, tìm VTR từ chéo hóa ma trận A có khơng dùng lệnh eig Đề tài 12 Nhập ma trận vuông, thực A Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có chéo hóa trực giao A khơng dùng lệnh eig Đề tài 13 Nhập vào ma trận A véc tơ cột b Giải hệ phương trình Ax = b Hướng dẫn: Dùng lệnh rank để xét xem hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm Trong trường hợp hệ vơ số nghiệm, ta tìm nghiệm tổng quát dạng xtq = xr + xtn , đó, xtn = KG nghiệm hệ Ax = 0: null(A) Tìm xr : dùng lệnh rref đưa bậc thang tìm ẩn sở Thêm vào hệ phương trình xk = với k số ẩn tự Giải hệ để tìm nghiệm xr Xuất sở xtn xr Đề tài 14 Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rn Tìm sở số chiều nhân ảnh f Nhập vào véc tơ x số a Kiểm tra xem x có VTR f hay khơng a có TR f hay khơng? Đề tài 15 Trong Rn , cho không gian F véc tơ x Tìm hình chiếu x xuống F khoảng cách từ x đến F Đề tài 16 Trong Rn , cho họ véc tơ E Kiểm tra xem E có sở hay khơng? Nếu có, nhập ma trận axtt f : Rn → Rn Tìm sở số chiều nhân ảnh f 2 Các câu hỏi làm command window 2.1 Nhóm Tìm argument, modul số phức, số phức liên hợp √ √ √ 1+i −1 + i z = (1 + i 3)(1 − i) z = z = 1+i 1−i Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ý nghĩa hình học ( ( |z + − i| = |2z − i| = |z − + 2i| = |3z − + 2i| = Giải phương trình phức z = z¯ z = z − z¯ 10 11 12 13 14 −1 −1 ;B = Cho A = Tìm C = AT B tính −1 −1 −1 vết C, hạng C, định thức C −4 −1 −4 Chứng tỏ r(A) = r(AAT ) = r(AT A) Cho A = −10 −1 2 1 Cho A = , B = 2, C = −1 1 Tính 2AC − −1 −2 −1 −1 T (CB) −2 1 Tìm số lũy linh ma trận −3 (Chỉ số lũy linh ma trận −2 1 vuông A số tự nhiên m nhỏ cho Am = Chỉ số lũy linh nhỏ cấp ma trận) √ Tìm chuẩn Frobenius (Chuẩn Frobenius AAT , với −2 tổng bình phương phần tử ma trận A) 1 1 −1 Cho A = −1 Với giá trị m A khả nghịch? 2 m 1 1 Tìm ma trận nghịch đảo 0 15 16 17 18 19 20 1 Cho A = Tính f (A), với f (x) = x2 − 2x − −1 −2 1 −1 Tìm m để AB khả nghịch Cho A = , B = 1 −2 m −1 Cho A = Tìm PA 1 1 Tìm m để 2 m 2 2 khả nghịch −1 Cho ma trận A = Tìm PA −1 1 Đưa ma trận 2 5 dạng bậc thang biến đổi sơ cấp (không dùng lệnh rref ) 21 Giải phương trình ma trận −1 −2 (a) X = 3 (b) 22 Tìm 23 Tìm 24 Tìm 25 Tìm (c) X = −8 −25 23 −30 −2 −1 (d) −5 X = −36 −2 −26 X = −16 −26 −4 −5 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = SỐ nghiệm hệ phương trình 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 4x1 + 3x2 + 0x3 + x4 = x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 SỐ nghiệm hệ phương trình 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 SỐ nghiệm hệ phương trình −2x +x2 +2x3 −3x4 = 3x1 +3x3 −10x4 = x + x + x + x = 2x + x + 3x − x = 2 m để hệ phương trình có nghiệm 3x1 + 4x2 + 2x3 = −2x1 − x2 + mx4 = m − −1 −2 x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 26 Giải hệ phương trình 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = = = = 0 0 27 Tìm hạng M = {(1; 1; 1; 0), (1; 2; 1; 1)(2; 0; m; −1)} theo m 28 Tìm sở số chiều không gian V =< (1; 2; 1; −1), (3; 1; 0; 5), (0; 5; 3; −8) > 29 Cho V =< (1; 2; 1; 1), (2; −1; 1; 3), (5; 5; 4; m) > Tìm m để dim(V ) lớn Tìm sở V 30 Tìm sở số chiều khơng gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 − x3 = ∧ 2x1 − x3 − x4 = 0} 1 31 Xét ĐLTT, PTTT họ véc tơ M = , , −1 −3 32 Trong R3 sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} [x]E = (1; −3; 2)T Tìm x 33 Trong R3 sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1)} Tìm toạ độ x = (1; 2; −1) sở E 34 Tìm m để M = {(1; 2; −1), (2; 1; 3), (−1; 2; m)} tập sinh R3 35 Tìm m để M = {(1; −2; 1), (3; 1; −1), (m; 0; 1)} sở R3 36 Kiểm tra tập M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 1, x2 + 2x + 2} có sở P2 [x]? 37 Trong R3 , cho sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} E = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)} Tìm ma trận chuyển sở từ E sang E 38 Tìm m để x = (1; 0; m) tổ hợp tuyến tính M = {(1; 1; 1), (2; 3; 1)} 39 Trong R4 , cho không gian x1 1 −1 −1 x2 F = x∈R | = , G =< (2; −1; 0; m) > −1 −1 x3 x4 Tìm m để G ⊂ F 40 Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = ∧ x2 + x3 + x4 = 0} Tìm sở V 41 Trong R4 , cho không gian V1 =< (8; −6; 1; 0), (−7; 5; 0; 1) >, V2 =< (1; 0; −8; 7), (0; 1; 6; −5) > Kiểm tra xem V1 ⊥ V2 hay không? 42 Trong R4 , cho không gian V1 =< (−2; 0; −6; 5), (1; 1; −1; 0) >, V2 =< (2; −1; 1; 2), (−1; 3; 2; m) > Tìm m để V1 ⊥ V2 43 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1) Tính cos(u, v) 44 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1) Tính d(u, v) tìm véc tơ w vng góc với véc tơ u, v Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = 2x1 y1 − 3x1 y2 − 3x2 y1 + 5x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 + 4x3 y3 (áp dụng cho câu 45-47 ) 45 Tính khoảng cách véc tơ u = (1; 2; 1) v = (−1; 1; 2) 46 Tính cos(u, v), với u = (1; 2; 1) v = (−1; 1; 2) 47 Cho F =< 1; 2; > Tìm sở F ⊥ 48 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2x1 + x2 − 3x3 ; x1 − 4x2 ) 49 Tìm sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x1 − x3 ) 50 Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1), (−1; 1) Tìm f (2; 0; 3) f (1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = 51 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận f cặp sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} AE,F −3 = Tìm f (1; 2; 3) 52 Cho f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 +x2 ; x2 +x3 ; x3 +x1 ) Tìm véc tơ x cho f (x) = (1; 2; 3) 6 53 Cho A = u = ,v = Xét xem véc tơ VTR A −5 −2 54 Cho A = , λ1 = −1, λ2 = Số TR A? 1 55 Cho A = 2 2 Tìm tất TR VTR tương ứng ma trận A 1 −8 56 Cho A = −1 −8 Tìm m để A có trị riêng Tìm tất TR −14 m VTR tương ứng ma trận A với m vừa tìm 57 Cho A = Tìm ma trận nghịch đảo A phép biến đổi sơ cấp (Ghép vào ma trận đơn vị, dùng lệnh rref đưa bậc thang suy kết quả.) 58 Trong R3 , cho M = {(1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1)} Tìm m để (3; 8; m) tổ hợp tuyến tính M 59 Trong R3 , cho V =< (1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1) > Tìm m để (−3; 5; m) ∈ V 60 Trong R4 , cho U = h(1, 2, 1, 1); (2, 1, 0, −2)i V = h(1, 5, 3, 5); (3, 0, −1, m)i Tìm m để U ≡ V 61 Trong R4 , cho V tập nghiệm hệ phương trình x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = x1 + x2 + 2x3 + mx4 = Tìm m để dim(V ) lớn Tìm sở số chiều V với m câu a 62 Trong R4 , cho U = h(1, 2, 1, 0); (2, −1, 1, 1)i V = h(1, 1, −2, 1); (2, 0, 4, m)i Tìm m để dim(U + V ) bé Tìm sở số chiều U + V 63 Trong R , U: −1 Tìm m không gian dạng tập nghiệm hệ phương trình 2 2 0 , V : −1 −1 −1 m dim(U ∩ V ) lớn Tìm sở số chiều U ∩ V 64 Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = ∧ x2 + x3 + x4 = 0} Tìm sở V 65 Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 + x2 + x3 = ∧ −x1 + x2 + x4 = 0} Tìm sở V ⊥ 66 Trong R4 , cho KG V =< (2; −1; 1; 0), (−2; 1; 0; 1) > x = (1; 1; 0; 1) Tìm P rV (x) 67 Trong R3 , cho KG V1 =< (1; 2; 1), (−1; 0; 1) >, V2 = {(x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R3 |x1 − x2 + mx3 = 0} Tìm m để V1 ≡ V2 68 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho F =< (1; 1; 2), (2; 1; −1) > véc tơ x = (1; 2; 3) Tìm hình chiếu x xuống F 69 Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 − x1 y3 − x3 y1 Tính góc khoảng cách véc tơ u = (1; 1; 2) v = (2; 1; −1) 70 Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 5x3 y3 − 2x1 y3 − 2x3 y1 Tìm khơng gian bù vng góc F =< (1; 2; 3) > 71 Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1), (−1; 1) Tìm f (x1 ; x2 ; x3 ) f (1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = 72 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 ; 2x1 + x3 ) Tìm ma trận f cặp sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 3), (2; 5)} 73 Cho axtt f : R3 −→ R3 biết ảnh tập sinh f (1; 1; 1) = (1; 2; 1), f (1; 1; 2) = (2; 1; −1), f (1; 2; 1) = (5; 4; −1) Tìm ma trận f sở E = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)} 74 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận f cặp sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} AE,F −3 = Tìm ma trận f sở tắc 75 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} 1 A = 2 4 1 Tìm ma trận f sở tắc 76 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} 1 A = 2 4 1 Tìm ma trận f sở E = {(1; 2; 3), (2; 3; 5), (5; 8; 4)} 77 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} 1 −1 A E = 2 3 Tìm sở số chiều Imf 78 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} 1 −1 A E = 2 3 Tìm sở số chiều ker f Viết đoạn code nhỏ để thực 79 Nhập vào ma trận A Tìm phần tử lớn A 80 Nhập vào ma trận A Tìm phần tử nhỏ A 81 Nhập vào ma trận A Tìm tổng phần tử A 82 Nhập vào ma trận A Tìm tích phần tử A 83 Nhập vào ma trận A Tìm tích phần tử khác A 84 Nhập vào ma trận A Đếm số phần tử khác A 85 Nhập vào ma trận A Đếm số phần tử A 86 Nhập vào ma trận A Kiểm tra xem A có vng đối xứng hay khơng?