Bài giảng Đại số lớp 11: Dãy số - Trường THPT Bình Chánh

Bài giảng Đại số lớp 11: Dãy số được biên soạn với mục đích giúp các em học sinh nắm được định nghĩa dãy số; Cách cho dãy số; Biểu diễn hình học của dãy số; Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn;... Mời quý thầy cô cùng tham khảo bài giảng.

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH Tổ tốn Khối 11 DÃY SỐ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N* Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),……… Thay thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,…k… vào u(n) = 2n +1 ta được: n = 1: u(1) = n = 2: u(2) = n = 3: u(3) = n = 4: u(4) = n = 5: u(5) = 11 ……………… n = k: u(k)= 2k + Nhận xét: Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,…k,… ta giá trị tương ứng u(n) lập thành dãy số: 3, 5, 7, 9,11,…, 2k+1,… I/ DÃY SỐ 1/ Định nghĩa: * Hàm số u(n) xác định n N* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) * Kí hiệu dãy số (un) Thay thứ tự n = 1, 2, 3,…….ta số hạng tương ứng cuả dãy số u1, u2,u3,…… Dạng khai triển dãy số (un) là: u1, u2, ,un, Trong đó: u1 : số hạng thứ u2 : số hạng thứ hai un : số hạng thứ n hay gọi số hạng tổng quát dãy số (un) * Nếu dãy số xác định tập M = {1,2,3, m} ta gọi dãy số dãy số hữu hạn 2/ VÍ DỤ: a) Cho dãy số u(n) = n2 Hãy viết dạng khai triển nó: 1, 4, 9, 16, 25 b) Dãy số 1, 3, 5, 7, Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un : un=2n – II/ CÁCH CHO DÃY SỐ: 1/ Cho dãy số công thức số hạng tổng quát: Cho dãy số (un) với un = 3n +1 Dạng khai triển là: 4, 7, 10, 13, 2/ Dãy số cho công thức truy hồi: u1 = Cho dãy số  (n  2) un = un −1 + Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14…… III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ Biểu diễn hình học dãy số u5 u4 u3 u2 1   n sau: u1 un 1/5 ẳ 1/3 ẵ IV/ DY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1/ Dãy số tăng- dãy số giảm: * Dãy số (un) gọi tăng  nN* : un < un+1 ( u1 < u2 < < un < un+1< ) Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ dãy tăng 2, 3, 4, * Dãy số (un) gọi giảm  nN* : un > un+1 (u1 > u2 > > un > un+1> ) Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 dãy giảm 1, 0, -3, -8, * Phương pháp xét tính tăng - giảm dãy số: a) Dãy số (un) tăng  nN* , un+1 – un > b) Nếu số hạng dãy số (un) dương : un +1 Dãy số (un) tăng  n N* , 1 un Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm VÍ DỤ Xét tính đơn điệu dãy số sau : a) Dãy số (un) với un = n – 2n Ta có un+1= n+1 – 2n+1 Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n) = – 2n+1 + 2n = 1- 2.2n + 2n = – 2n.(2-1) = – 2n < Vậy (un) dãy số giảm b) Dãy số (un) với un = n.an Ta thấy un >  un+1 (n + 1)a = n un n.a N* n +1 nên ta xét tỉ số u n +1 un (n + 1)a a (n + 1)a = = 1 n n.a n n ( Vì Vậy dãy (un) tăng (a 1) n +1 1 n a  1) * Chú ý : Không phải dãy số tăng hay giảm Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n dãy số không tăng không giảm: -3, 9, - 27, 81 2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1/ Định nghĩa : - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn M cho:  n N* , un  M Ví dụ: Dãy số (un) với un = 1+ n Bị chặn chặn số * 1 n  N n - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn m cho:  n N* , un  m Ví dụ: Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn số - Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn m, M cho:  n N* , m  un  M Ví dụ: Dãy số (un) với un = 1+ n bị chặn chặn Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un) 2n − với un = bị chặn n * Ta có 2n − n - Mặt khác: Giải: > n  N* 2n -1 < 2n 2n − 2n − n Suy <