Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề PAGE 1 Chuyên đề “KHAI THÁC MỘT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC THÀNH NHIỀU DẠNG TOÁN KHÁC NHAU” I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Xuất phát từ mục tiêu của giáo dục là “Nâng cao dân trí, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho đ[.]
1 Chuyên đề “KHAI THÁC MỘT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC THÀNH NHIỀU DẠNG TOÁN KHÁC NHAU” I ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ mục tiêu giáo dục “Nâng cao dân trí, phát bồi dưỡng nhân tài cho đất nước” Theo đó, Phịng giáo dục Huyện nhà tích cực tổ chức đạo cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm cách thường xuyên đặn Các trường THCS lấy yếu tố cấu thành thương hiệu nhà trường Việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường cho học sinh việc làm thường xuyên khối lớp 6,7,8,9 Tuy nhiên nhiều lí khách quan chủ quan người dạy cuối khối lớp vất vả lẽ học sinh bị hỏng nhiều kiến thức chuyên đề Xuất phát từ sở lí luận dạy học: Các em học sinh giỏi phổ thơng hầu hết nắm chương trình phổ thơng SGK Qua dạy nâng cao việc khai thác vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác nhằm giúp em hệ thống kiến thức, biết rõ cội nguồn dạng toán, giúp em hệ thống nhớ lâu, hiểu sâu toán học phổ thơng, có tảng xử lí đề thi học sinh giỏi Hơn thiết nghĩ việc cung cấp kiến thức theo chương trình SGK hình thức bổ ngang kiến thức Chúng ta dạy Tốn cho học sinh theo chuyên đề hình thức bổ dọc có mãnh kiến thức cắt nhỏ dễ tiêu hóa Xuất phát từ phương pháp dạy học cổ truyền đại, nhận thấy giáo viên có sử dụng phương pháp đích tạo đối tượng người học có đủ khả phân tích, tổng hợp kiến thức tốn học với tư logic cao, có khả vận dụng kiến thức phương pháp tích lũy trình bồi dưỡng để giải tốn từ dễ đến khó cách nhanh chóng Chun đề sử dụng sơ đồ tư giúp học sinh biết phân tích vấn đề tốn học thành nhiều dạng toán khác với mức độ khác Đây q trình phân tích vấn đề cịn trình ngược lại học sinh phải biết tổng hợp vấn đề học, xâu thành chuổi để tạo nên dạng tập mang tính tổng hợp từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Xuất phát từ đặc trưng phân môn đại số: Hình thành cho học sinh nhiều dạng tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, biết tập giải xuất phát từ kiến thức học Qua giúp học sinh thấy mối quan hệ logic toán học, giúp em dễ nhớ nhớ lâu Biết vận dụng toán phụ, toán gốc, toán áp dụng tính chất, định lí từ quan hệ xa đến quan hệ gần 2 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: A Bổ sung, hoàn chỉnh mạch kiến thức loại : Các em tiếp thu chương trình phổ thơng Tuy nhiên đối tượng học sinh có chênh lệch, có em chưa lần vận dụng Khi dạy đến loại dạng toán cần hệ thống kiến thức Qua giúp em có đủ sở để giải toán, dễ tiếp thu hơn, làm cho em tăng vốn tích lũy kiến thức tốn học Ví dụ dạy phương trình tích, kiến thức nhắc sơ qua phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Kế theo bổ sung đẳng thức, đẳng thức mở rộng (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Sau bổ sung tính chất tính lũy thừa a2 = b2 a = b a3 = b3 a = b Mở rộng cho lũy thừa bậc chẵn bậc lẻ Các nguyên tắc toán học khác phải hình thành cho em như: Nguyên tắc tổng bình phương a2 + b2 = Nguyên tắc đối lập Các tốn phụ hình thành Ví dụ: a + b + c = → a3 + b3 + c3 = 3abc Hằng đẳng thức mở rộng: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b) Hoặc dạng giải hệ phương trình, giáo viên cung cấp hệ thức Viet có x1; x2 mà x1+ x2 = S; x1 x2 = P số x1; x2 nghiệm phương trình t2 - St + P = Các tính chất phương trình vơ tỉ: * * * với k N* Trên sở tính chất áp dụng cho hệ phương trình B Các dạng tập cần khai thác: Khai thác tập thành nhiều tập khó hơn: Trên sở dạng tập ta biết cách khai thác tốn trở nên phức tạp Ví dụ 1: Từ phương trình: Học sinh giải nhanh chóng, dạng tập Cho học sinh giải tiếp phương trình Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ Sau sai phân: Thu gọn: Vídụ2: Tính tổng: Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ Sau sai phân: Thu gọn: Ví dụ 3: Giải phương trình: Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ Sau sai phân: (Học sinh tự giải) Sử dụng toán phụ toán gốc để giải toán mới: Đây phương pháp rèn tính sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh thấy mối quan hệ kiến thức học vận dụng tốn học Hơn kiểm tra độ nhạy, tính sáng tạo học sinh Ví dụ 1: Từ tốn phụ cho a + b + c = 0; chứng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc Cho học sinh giải phương trình: (x2 - 5x + 1)3 + (3x - x2)3 + (2x - 1)3 = Hướng giải quyết: Đặt → a3 + b3 + c3 = 3abc (HS tự chứng minh) Mà a3 + b3 + c3 = → 3abc = → → Giải phương trình (1); (2); (3) ta có kết tốn Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (*) Hướng giải sử dụng đẳng thức: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a + b) (*) [x2 + (-3x + 2)]3 - [(x2)3 - (-3x + 2)3] = 3x2 (-3x + 2) (x2 - 3x + 2) = 3x2 (-3x + 2) (x - 1) (x - 2) = Ví dụ 3: Cho HS giải tốn gốc: Giải phương trình x3 - x2 - x = Đây toán hay Thoạt đầu em thường nhầm lẫn tốn đơn giản phân tích nhân từ để đưa phương trình tích khơng phải phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ Như giải riêng biệt Lời giải: x3 - x2 - x = 3x3 – 3x2 – 3x – = 4x3 – x3 – 3x2 – 3x – = 4x3 – (x + 1)3 = 4x3 = (x + 1)3 = (x + 1)3 Từ tốn cho HS giải tiếp phương trình: 2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + = Hướng giải quyết: 2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + = 2010x3 – (x – 1)3 = 2010x3 = (x – 1)3 Các toán sử dụng tương tự tốn gốc Giải phương trình: x4 = 4x + x4 = 8x + Thêm bớt để xuất dạng: a2 = b2 a = b Ví dụ 4: Từ tốn gốc: Hệ giải nhanh cách sử dụng hệ thức Viet đảo Ta đưa thêm tốn giải hệ phương trình: Hướng giải quyết: Đặt x + y = u; xy = t → u = t2 – t – = ó Từ có hệ: → Hệ cho nghiệm (-1; 2); (2; -1) → Hệ vơ nghiệm Một tốn xuất phát từ gốc toán Giải hệ: Đặt X = x –1; Y = y – Hệ trở thành: từ tìm (x; y) Ví dụ 5: Xuất phát từ tốn gốc có a2 + b2 = → Cho HS giải hệ: Sơ lược cách giải: Từ (1) óx–y=-z Thế vào ta có nghiệm: Khai thác tập từ tổng hợp đơn vị kiến thức: Sau hoàn thành kiến thức chương nhiều chương, giáo viên phải xây dựng dạng tập tổng hợp gom đơn vị kiến thức học nhằm phục vụ cho việc giải tập Từ giúp học sinh biết hệ thống kiến thức tổng hợp kiến thức để giải tập cách nhanh chóng Có thể sử dụng dạng toán lớp cao Trong điều kiện được, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp giải loại dạng, Cụ thể, sau học sinh học hết chương phép tính phân thức đại số lớp 8, giáo viên xây dựng thêm dạng tập với nội dung: Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức có giá trị nguyên 7 Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức cho dạng: với Lí luận: Giải phương trình … Với Ví dụ: Tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức sau số nguyên: Biến đổi biểu thức cho dạng: Từ ví dụ giáo viên xây dựng tốn u cầu với mức độ khó Ví dụ 1: Tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức sau số nguyên: Hướng dẫn giải: Biến đổi biểu thức cho dạng: Ví dụ 2: Tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức sau số nguyên: Hướng dẫn giải: Biến đổi biểu thức cho dạng: Giáo viên phát triển toán cho học sinh giỏi lớp sau: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyên: a b nguyên: 2.Tìm giá trị nguyên x > để giá trị biểu thức sau số HSG: Khai thác dạng tập từ chủ đề chương trình bồi dưỡng Ngồi việc khai thác dạng tập trên, ta phải khai thác tập theo chủ đề việc bồi dưỡng học sinh giỏi Có nhiều chủ đề minh họa chủ đề toán định tham số m phương trình bậc hai ẩn Trước hình thành dạng tập giáo viên cần củng cố cho học sinh hệ thống kiến thức có liên quan việc giải dạng tập Phải biết xếp phân loại tập từ dễ đến khó, có tập tương tự để học sinh tự giải CÁC DẠNG TOÁN ĐỊNH m TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC Hệ thống kiến thức cần nắm - Cho học sinh nhắc lại dạng tổng quát phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = (a 0) = b2 - 4ac Hoặc = b’2 - ac a) Phương trình bậc có nghiệm b) Phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt >0 c) Phương trình bậc có nghiệm kép =0 d) Phương trình bậc có hai nghiệm trái dấu P0ó2-m>0óm x2) c g (Với x1 < x2) d h Giáo viên hướng dẫn học sinh tính biểu thức nghiệm Giáo viên kiểm tra lại: x1 + x2 x1 x2 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = (x1 + x2)( - x1.x2 ) |x1 - x2| = Nếu x1 > x2 => x1 - x2 = =(x1 - x2)( +x1 x2 ) = - 11 II Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + m2 - m - = a) Tìm m để phương trình cho có tích hai nghiệm 37 b) Với giá trị m biểu thức E = x + x2 - x1x2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: Câu a: Cho học sinh lập =m+5 Điều kiện m + m -5 Lập x1x2 = m - m - Theo đề ta có: m2 - m - = 37 m2 - m - 42 = Kết hợp với điều kiện ta chọn m = Câu b: Học sinh khác lập E = x1 + x2 - x1x2 = -(m2 - 3m - 5) Đưa dạng: E = Emax = m= (thỏa mãn điều kiện m -5) Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + 2m - = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn: Lập = m2 - 2m + = (m - 1)2 + > Do x1; x2 => 2m - => m =2 m =2 =2 m = (nhận) Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + (m + 1)x + m = a Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với m b Tìm m để F = đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Hướng dẫn: a) Lập = m2 - 2m + = (m - 1)2 Phương trình ln có nghiệm với m 12 b) Ta có: x1+ x2 = - m - x1.x2 = m F= = (x1+ x2)2 - 2x1.x2 = (- m - 1)2 - 2m = m2 + Fmin = m = Ghi nhớ: o Lập đặt điều kiện để phương trình có nghiệm o Xác lập biểu thức nghiệm theo yêu cầu đề o Lập phương trình theo m o Giải đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm (Vận dụng tốn tìm cực trị tam thức bậc 2) Bài tập tự giải: Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 - = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm b) Tìm m để A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn Tìm giá trị Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m + m - = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn | | = 50 DẠNG 3: ĐỊNH m ĐỂ BIỂU THỨC NGHIỆM THỎA MÃN BẤT ĐẲNG THỨC I Kiến thức bổ sung: Tam thức bậc 2: ax2 + bx + c = (a 0) ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1; x2 nghiệm tam thức (x1 < x2) Nếu a > => ax2 + bx + c > x < x1 x > x2 Nếu a < => ax2 + bx + c < x2 > x > x1 Ví dụ: 3x2 - 2x - < 3x2 - 2x - x x Tính chất giá trị tuyệt đối: |A| < m mà m > => m > A > -m |A| > m mà m > => A < -m A > m Cách giải bất phương trình bậc xét dấu nhị thức II Các tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình bậc hai: 3x2 - mx + = Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn: o Lập = m2 – 24 ĐK: m2 - 24 m2 24 m m 32 >3 S - 2P > (vì x1x2 = 1) (vì ) 14 m2 - > m2 > m> m < (thỏa mãn ĐK m m -2) Vậy: m > m < Bài 4: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn -2 < x < Hướng dẫn: Lập = m2 - (m2 - 1) = > m Suy PT có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với x1 = m + 1; x2 = m Để nghiệm thỏa mãn -2 < x < ta phải có: Bài 5: Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x2 - 2mx + m + = Định m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn: Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nhỏ x1 x2 < ó Vậy: m < -9 -1 < m Bài tập tự giải: Cho phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2 Cho phương trình: (|m - 2009| + |m - 2010|)x2 - x - = Tìm giá trị ngun m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 mà tích chúng đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giả sử x1; x2 nghiệm phương trình x2 + 2kx + = Tìm tất 15 giá trị k cho có bất đẳng thức DẠNG 4:TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ HAI NGHIỆM THỎA MÃN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p; q biết phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn giải: Lập = p2 - 4q ĐK: p2 4q Định lý Viet cho ta: Theo giả thiết: Từ (1) (3) x1 = x2 = Thay x1; x2 vào (2) tính p2 - 4q = 25 (5) Từ (4) ta có: = 35 (x1 - x2)( + x1x2 ) = 35 5(p2 - q) = 35 ó p2 - q = Từ (5) (6) ta có hệ sau: Thử lại với điều kiện cặp giá trị (p;q) thỏa mãn Vậy: ( p = 1; q = -6) (p = -1; q = -6) Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x2 + mx + n = Tìm m, n biết hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ: Hướng dẫn giải: Cho học sinh giải tương tự Giáo viên kiểm tra nhận xét Đáp số: (m = 3; n = 2) ( m = -3; n = 2) Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 5x + m = (6) 16 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn giải: = 25 - 4m ĐK: m Theo đề ta có: Từ (2) (3) => x1 = 3; x2 = Thay x1; x2 vào (1) thỏa mãn Lại có: x1x2 = =m ó 2.3 = m (thỏa mãn ĐK) Vậy: m = Bài 4: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + (m - 1)3 = Xác định m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phương nghiệm cịn lại Hướng dẫn giải: Lập = m2 - (m - 1)3 ĐK: > m2 - (m - 1)3 > (*) Giả sử phương trình có hai nghiệm t, t ta có: Từ (2) => t = m - Thay vào (1) ta (m - 1) + (m - 1)2 = 2m m2 - 3m = m = m = Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện (*) ứng với t = -1 t = DẠNG 5: TÌM m KHI HAI PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM CHUNG Bài 1: Cho hai phương trình x2 + x + a = 0; x2 + ax + = Tìm giá trị a hai PT có nghiệm chung Hướng dẫn giải: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x = x0 Ta có: + x0 + a = (1) + ax0 + = (2) Lấy (2) trừ cho (1) ta được: 17 (a - 1)x0 + - a = (a - 1) (x0 - 1) = Nếu a = hai phương trình cho trở thành x2 + x + = vô nghiệm Nếu x0 = hai phương trình cho trở thành x2 + x - = x2 - 2x + = x = Suy nghiệm chung x = Vậy: Hai phương trình có nghiệm chung a = -2 Bài 2: Cho hai phương trình x2 - (2m +3)x + = 2x2 + x + m - = Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung Hướng dẫn giải: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x2 - (2m +3)x + = (1) 2x + x + m - = (2) Thay m = -2x - x + vào (1) ta 4x3 + 3x2 - 7x + = (x +2)(4x2 - 5x + 3) = x = -2 => m = -1 Thay m = -1 ta (1) (2) có nghiệm chung x = -2 m = -1 Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm giá trị m để hai phương trình: x2 + x + m - = x2 + (m - 2)x + = có nghiệm chung Bài 2: Cho phương trình: x2 - ax + a - = có hai nghiệm x1; x2 a) Tính giá trị biểu thức: A = b) Tìm a để B = đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m +1)x + 2m + 10 = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 nghiệm bất đẳng thức x1x2 - 2(x1 + x2) Bài 4: Cho PT bậc 2: x2 - (2m - 1) + m2 -m - = có hai nghiệm x1x2 a) Tìm m để =5 b) Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 Bài 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m - = 18 a) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương III KẾT LUẬN: Việc khai thác vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác việc làm công phu tùy theo trình độ học sinh yêu cầu kì thi mà giáo viên linh hoạt soạn hệ thống tập mức độ thích hợp để học sinh dễ tiếp thu Nên nhiều tập tương tự để học sinh tự giải rèn luyện kỉ nhạy bén Chuyên đề áp dụng khai thác phân mơn hình học, số học tạo thành tập tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Trên số kinh nghiệm đúc kết thời gian giảng dạy Chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp chân thành quý đồng nghiệp, chân thành cảm ơn./ Người thực hiện: Phan Văn Thơng Tổ tốn tin trường THCS Lê Q Đơn Tháng 03 năm 2013