PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ • Điểm M có tọa độ ( ; ; )x y z OM xi yj zk • Vectơ u có tọa độ ( ; ; )x y z u[.]
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tọa độ điểm tọa độ vectơ • Điểm M có tọa độ (x ; y ; z ) OM xi y j zk • Vectơ u có tọa độ (x ; y ; z ) u xi y j zk Nếu điểm A (xA ; yA ; zA ) điểm B (x B ; yB ; zB ) AB x B xA; yB yA; zB zA Tích vơ hướng tích vectơ Cho u (x ; y ; z ) v (x ; y ; z ) • Tích vơ hướng u v số u v xx yy zz • • Tích có hướng u v vectơ y u ; v y z z ; z z x x ; x x Vectơ u; v vng góc với u v • Một số tính chất: u v u v u v phương u, v u, v, w đồng phẳng u, v w • Diện tích hình bình hành: SABCD AB, AD • Thể thích hình hộp: VABCD A B C D AB, AD AA y y Phương trình mặt cầu Phương trình có dạng x y z 2ax 2by 2czd 0, với điều kiện a b c d, phương trình mặt cầu có tâm (a; b; c ) có bán kính R a b c d Phương trình mặt phẳng Phương trình Ax By Cz D 0, với A2 B C 0, phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n(A; B; C ) Mặt phẳng qua điểm (x ; y0 ; z ) với vectơ pháp tuyến (A; B; C ) có phương trình: A(x x ) B(y y0 ) C (z z ) Phương trình đường thẳng Cho đường thẳng d qua điểm M (x ; y0 ; z ) có vectơ phương u(a; b; c ) Khi đó: • x x at Phương trình tham số d y y bt z z ct • Phương trình tắc d (khi abc ) x x0 a y y0 b z z0 c Vị trí tương đối hai mặt phẳng Nếu () có phương trình Ax By Cz D () có phương trình A x B y C z D • () () cắt A : B : C A : B : C • () () song song • • A B C D A B C D A B C D A B C D () () vng góc với AA BB CC () () trùng Vị trí tương đối hai đường thẳng Nếu đường thẳng d qua điểm M , có vectơ phương u đường thẳng d qua điểm M 0, có vectơ phương u thì: • d d trùng u, u u, M 0M 0 u, u • d d u, M 0M 0 u, u • d d cắt u, u M 0M 0 • d d chéo u, u M 0M 0 Khoảng cách • Khoảng cách hai điểm A (xA ; yA ; zA ) B (x B ; yB ; zB ) AB (x B xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2 • Khoảng cách từ điểm M (x ; y0 ; z ) đến mặt phẳng () có phương trình Ax By Cz D d M , () • • Ax By0 Cz D A2 B C Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua M có vectơ phương u M 0M , u d (M 1, ) u Khoảng cách hai đường thẳng chéo , qua điểm M có vectơ phương u, qua điểm M có vectơ phương u u, u M 0M 0 d (, ) u, u PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (B-2007) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x y z 2x 4y 2z mặt phẳng (P ) : 2x y 2z 14 Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa trục Ox cắt (S ) theo đường trịn có bán kính Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) lớn (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x y z 4x 4y 4z điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB ), biết điểm B thuộc (S ) tam giác OAB (P ) : x y z x y z (B-2008) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; 2; 1), C (2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x 2y z cho MA MB MC (B-2009) Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C (2; 1; 1) D(0; 3; 1) Viết PT mặt phẳng (P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P ) khoảng cách từ D đến (P ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c ), b, c dương mặt phẳng (P ) : y z Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC ) vng góc với mặt phẳng (P ) (D-2010) Trong KG Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x y z (Q ) : x y z Viết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P ) (Q ) cho khoảng cách từ O đến (R) KHOẢNG CÁCH x t : y t z 2t Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2 (2x z 0) x 2y z (A-2002) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 : 2 x y z Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ (A-2008) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng d : Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d H (2; 3; 3) x 1 y z 2 2 H (3; 1; 4) Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cách từ A đến () lớn (x 4y z 0) (A-2009) Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x 2y 2z hai đường thẳng x 1 y 3 z x 1 y z 9 Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 cho khoảng , 2 : 2 1 18 53 M ; ; cách từ M đến 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) 35 35 35 1 : (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; 2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x y z 12 M (0; 1; 3), M ; ; 7 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho MA MB (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : x y 1 z Xác định tọa độ điểm M trục 2 hoành cho khoảng cách từ M đến OM x y 1 z hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 1; 2) (B-2011) Trong KG Oxyz, cho đường thẳng : 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho tam giác MAB có diện tích x t x 2 y 1 z (D-2010) Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : y t 2 : Xác định tọa độ 2 z t điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG x 3 2t (B-2004) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 4), đường thẳng d : y t Viết phương z 1 4t x y z trình đường thẳng qua điểm A, cắt vng góc với đường thẳng d : 1 (B-2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x 2y 2z hai điểm A(3; 0; 1) B(1; 1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P ), viết PT đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x 1 y z 3 Viết phương trình 2 đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox (D-2011) Trong KG Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG x y 1 z (A-2007) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 1 1 Chứng minh d1 d2 chéo x 1 2t : y t z Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P ) : 7x y 4z cắt hai đường thẳng x y z 1 4 d1, d2 (D-2005) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y z 1 , d2 1 x y z : x 3y 12 Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d1 d2 Mặt phẳng Oxz cắt d1 d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (D-2006) Trong KG Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 , d2 : 1 1 2 1 Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 d1 : Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d1 cắt d2 x 2 y 2 z MP (P ) : x 2y 3z 1 1 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt vng góc với đường thẳng (D-2009) Trong KG Oxyz, cho đường thẳng : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (A-2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z 3 mặt phẳng 1 (P ) : 2x y 2z Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến (P ) I 1(3; 5; 5), I (3; 7; 1) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P ) Viết phương trình tham số đường x t thẳng nằm mặt phẳng (P ), biết qua A vng góc với d y 1 z t x 1 y z 2 mặt phẳng (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 (P ) : x 2y z Gọi C giao điểm với (P ), M điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết MC x t : y 1 2t z t (P ) : x 3y 5z 13 x y 1 z 1 , d2 (B-2006) Trong KG Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng d1 : 1 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, đồng thời song song với d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho A, M , N thẳng hàng M (0; 1; 1), N (0; 1; 1) (B-2011) Trong KG Oxyz, cho đường thẳng : x 2 y 1 z mặt phẳng (P ) : x y z 2 1 Gọi I giao điểm (P ) Tìm điểm M thuộc (P ) cho MI vng góc với MI 14 (D-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x y đường thẳng dm (2m 1)x (1 m )y m ( m tham số) : mx (2 m 1) z m Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P ) x 3ky z (D-2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng dk : Tìm k để kx y z đưởng thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P ) : x y 2z x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với MP (OAB ) (D-2007) Trong KG Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) đường thẳng : Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2 MB nhỏ (D-2009) Trong KG Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C (1; 1; 0) MP (P ) : x y z 20 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ) PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (A-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x 2y z mặt cầu (S ) : x y z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tín bán kính đường trịn H (3; 0; 2), r x 2 y 2 z 3 Tính khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm B C , cho (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng : BC (S ) : x y (z 2)2 25 (D-2008) Trong KG Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C (0; 3; 3), D(3; 3; 3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B,C , D Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x 1 y 3 z (D-2011) Trong KG Oxyz, cho đường thẳng : mặt phẳng (P ) : 2x y 2z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P )