PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 Tọa độ của vectơ a Định nghĩa NHẬN XÉT 1, 2, Điểm b Các phép toán Cho BÀI TẬP Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau đây Ví dụ Cho vecto[.]
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ vectơ u ( x ; y ; z ) u xi y j zk a Định nghĩa : NHẬN XÉT: 1, i (1; 0;0), j (0;1; 0), k (0; 0;1) 2, Điểm O(0; 0;0) a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) b Các phép toán Cho a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) k a (ka1 , ka2 , ka3 ) a b 1 a b a2 b2 a b a a12 a2 a32 BÀI TẬP Bài 1: Viết tọa độ vectơ sau đây: u i 3j 2k 1;3; Ví dụ: Cho vecto b a i j k a, b, 7i j 8k e 2i 3j 2k d i j k d, e, a (2;1;0), b (1; 1; 2), c (2; : 1) Bài 2: Cho ba vectơ c c, i 9k f f, i j 2k Ví dụ: Tìm tọa độ u a 2b c u x; y; z Giả sử Ta có u a 2b c (2;0;1) 1; 1; 2; 2; 1 (2; 0;1) 2; 2; 2; 2; 1 2; 4;6 Tìm tọa độ vec tơ : u1 2a a, u2 2b b, u3 4a 3c c, d, u4 2b 5c u5 5a 2b e, u5 4 a 2b 3c f, g, u6 2a 3b 4c u7 6a 2b 4c i, u9 a b c 1 d 4a b 3c k, e a 4b 2c l, h, Tính độ dài vecto a; b; c vecto tìm ý a 1;0;1 , b 1; 2;1 , c 1;1;1 Bài 3: Cho vec tơ Ví dụ: Biểu diễn vecto v 1;3;3 a b c theo vecto , v ma nb pc Đặt: ;(x, y, z ∈ R) xv mxa nxb pxc m n p 1 yv mya nyb pyc 2n p 3 m n p 3 zv mza nzb pzc a Biểu diễn vecto theo vectơ sau: b Biểu diễn vecto theo vectơ sau: m 1 n 1 v a b c p 1 u 2;0;2 , v 3;1; 3 , w 1;0;3 x 2; 4; 2 , y 3;6;3 , z 2;3;1 a b c Biểu diễn vecto sau theo vecto , : v 1;3;3 a, v 1;1;1 v 1; 3; 3 c, v 0;1;2 b, e, d, Bài 4: Tìm tọa độ vec tơ x , biết rằng: a x b a (1; 2;1) , b (2; 5;3) Ví dụ: a x b x b a 1; 3; f, v 7; 4;1 g, v 15; 16; 1 7 v ;1; 2 1 v ; ; 2 2 h, Ta có: a a, x 0 a (1; 2;1) a b, x 4a (0; 2;1) c, a x b a (5; 4; 1) , b (2; 5;3) a 1;0;5 , b 1;1;2 e, x a 4b 0 với 3 a 1; ; , b 1; 1;4 2 f, 3x 2a 3b với 1 a 2;0; 3 , b ;1; 3 d, x 2a 3b với Vị trí tương đối vecto a.b a1b1 a2b2 a3b3 Tích vô hướng a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 Hai vecto vng góc: a kb1 a k b a2 kb2 (k 0) a kb a phương với b a.b cos( a; b) a.b Góc hai vecto: BÀI TẬP Bài 1: Tính tích vơ hướng cặp vecto sau: u 1;2; 2 v 2;4; u v 12 4 18 Ví dụ: Ta có : u 1;0; 2 v 0;4; u 1;2; 2 v 1;1; 1 a, b, c, u 1;2; 2 v 0;2; 12 1 v 1;0; u 1; 2; 1 v 2;3; d, e, Bài 1: Kiểm tra xem cặp vecto sau xem chúng phương hay vng góc u 1;2; 2 v 2;4; Ví dụ: u v 12 4 18 0 u v Ta tính tích vơ hướng : ⇒ khơng vng góc với u v u, Dễ thấy: ⇒ v phương u 1;2; 2 v 2;4; u 0;0; 2 v 2; 4;0 a, g, v ;1; u ;2; u 1;2; 2 v 2;8; 2 b, h, u 1;2; 2 v 6; 12; 12 u 1;2; 2 v 2;4; c, i, 1 u 3;2;0 v 2;3;0 v 1;0; j, u 1;2; 2 2 d, u ;0; u 1; 2; 1 v 2;3; v 1;0;10 e, k, u 1;0; 2 v 2;0;4 f, Bài 2: Tính góc hai vecto sau: u 1;2; 2 v 2;4; Ví dụ: u v 12 4 18 0 Ta có: 2 u 12 22 3, v 2 6 u v 18 cos u; v 1 u; v 00 u v 6 Vậy u 1;2; 2 v 2;0; u 1;2; 2 v 1;0; 1 u 2;2; v 2;0; a, d, h, u 1;2; 2 v 2;1; 1 u 1; 2; 1 v 2;3; u 1;2; 2 v 2;4; b, e, i, u 1;2; 2 u 1;0; 2 v 2;0;4 u 3;2;0 v 2;3;0 c, f, j, u 0;0; 2 v 2; 4;1 v 6; 12; 12 g, u ;0; v 1;0;1 k, u 1;2; 2 Tọa độ điểm a, Định nghĩa: M ( x; y; z ) OM xi y j zk A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ), C(x C ;y C ;z C ) b, Cho Khi : AB xB xA ; yB y A ; zB z A AB AB ( xB xA ) ( yB yA ) ( zB zC ) x yB y A yB z A z B M A ; ; 2 Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: x xB xC y A y B yC z A z B zC G A ; ; 3 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC : x xB xC xD y A y B yC yD z A z B zC z D I A ; ; 4 Tọa độ trọng tâm I tứ diện ABCD: BÀI TẬP Bài 1: Hãy tìm tọa độ điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, AC t ọa độ tr ọng tâm G tam giác ABC biết: Ví dụ: A 1;1;0 , B 3; 1;0 , C 2;3;5 1 x I 1 1 0 I 1; 0; yI 00 z I 0 Trung điểm I AB: , Trọng tâm G ΔABC: 1 2 0 x G 1 5 1 G 0;1; yG 3 005 z G 3 a, A(1;3;7), B( 5; 2;0), C (0; 1; 1) b, A 2;1; 1 , B 0;0;1 , C 0;1;0 c, A 2; 1;3 , B 4;0;1 , C 10;5;3 d, A 1;1;0 , B 0;2;1 , C 1;0;2 1 3 A ; 2;1 , B 1;1;1 , C ; ;0 2 e, Bài 2: Hãy tìm tọa độ trọng tâm M, N, P, G tam giác ABC, ABD, ACD, BCD tr ọng tâm O c t ứ di ện ABCD a, A(2;5; 3), B (1;0;0), C (3;0; 2), D ( 3; 1; 2) b, A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 2;1; c, A 1;1;0 , B 0;2;1 , C 1;0;2 , D 1;1;1 d, A 1;3;0 , B 1;1;0 , C 3; 1;0 , D 2;3;5 Bài 3: Tìm tọa độ hình chiếu M mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz trục tọa đ ộ Ox, Oy, Oz CHÚ Ý: Cho điểm M x0 ;y ;z0 Hình chiếu M mp Oxy, Oxz, Oyz Oz M 1;2;3 VÍ DỤ: Cho điểm a, Hình chiếu M trục tọa độ Ox, Oy, Hình chiếu M mp Oxy M1 1;2;0 Hình chiếu M mp Oxz M2 1;0;3 Hình chiếu M mp Oyz M3 0;2;3 Hình chiếu M trục Ox A 1;0;0 Hình chiếu M trục Oy B 0;2;0 Hình chiếu M trục Oz C 0;0;3 M 2;1; 5 b, M 3;0; 5 c, M 0;3; 5 5 M ; ; 2 e, f, g, Bài 5: Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua: a, Qua gốc tọa độ O b, Qua trục Ox c, Qua trục Oy d, Qua trục Oz e, Qua mặt phẳng Oxy f, Qua mặt phẳng Oyz g, Qua mặt phẳng Oxz M 4;1;6 M 1; 1; 2 M ; ; 2 d, h, M 2;1;0 Chú ý: Cách tìm điểm đối xứng M’ M qua mp Oxy: M Bước 1: Tìm hình chiếu M mp Oxy M Bước 2: trung điểm MM’ Từ tìm tọa độ M’ M 1;2; 2 Ví dụ: Cho điểm M 1;2;0 Hình chiếu M lên mp Oxy Vì M’ điểm đx với M qua Oxy ⇒ M0 trung điểm MM’ x M' 2x M x M 2 y M' 2y M0 y M 2 2 2 M' 1;2;2 zM' 2zM0 zM 2 0 2 2 1, M(1;2;3) 5, M(0;2;-1) Bài 6: 2, M(2;1;-1) 6, M(-6;0;4) 1, Cho điểm A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 2, Cho điểm A 0;2;1 , B 1;0;2 , C 1;1;1 3, M(-3;-1;4) 4, M(2;-2;0) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành A 1;3;0 , B 1; 1;0 , C 0;0;6 3, Cho điểm Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành A 3; 4;7 , B 5;3; 2 , C 1;2;3 4, Cho điểm Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 7: A 0;0;0 ,B 1;0;0 ,D 0;1;0 A' 0;0;1 1, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ đỉnh C, B’, C’, D’ A 0;0;0 ,B 1;0;0 ,D 0;2;0 A' 0;0;2 2, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ đỉnh C, B’, C’, D’ A 1;0;1 ,B 2;1;2 ,D 1; 1;1 C' 4;5; 5 3, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ điểm C, B’, C’, D’ Tích có hướng hai vectơ a a a a; b n ; b2 b3 b3 a, Định nghĩa: a; b b; a CHÚ Ý : +) a1 a1 ; b1 b1 a2 (a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 ) b2 a; b a a; b b +) b, Ứng dụng: a;b 0 1) a phương với b a; b c 0 2) Ba vectơ a , b, c đồng phẳng S ABC AB; AC 3) Diện tích ΔABC: VABCD AB; AC AD 4) Thể tích tứ diện ABCD: Vhh AB; AD AA ' 5) Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ : BÀI TẬP Bài 1: Tính tích có hướng cặp vecto: u 1;2; 2 Ví dụ: v 2;1; -2 -2 1 u; v ; ; 6; 0; 3 -4 -4 2 u 1;2; 2 v 1;0;4 u 1; 2; 1 v 2;3; u 1;2; 2 v 2; 6; a, e, i, u 1;2; 2 v 3;1;1 u 1;0; 2 v 2;0;4 u 3;2;0 v 2;3;0 b, f, j, u 1;2; 2 v 2; 2;3 u 0;0; 2 v 2; 4; 1 u ;0; c, g, v 0;0;10 k, u 1;2; 2 v 1;0; 1 u ;2; v 1; ;4 d, h, Bài 2: Xét đồng phẳng ba vecto u , v w trường hợp sau: u 1;2; 2 , v 2;1; , w 1;0;2 Ví dụ: -2 -2 1 u; v ; ; 6;0; 3 -4 -4 2 Ta có: u; v w 1 0 0 u v w ⇒ Ba vecto , đồng phẳng u 1; 1;1 , v 0;1;2 , w 4;2;3 u 4;3;1 , v 1;2;3 , w 11;0;7 a, e, u 4;3;4 , v 1;2;1 , w 2; 1;2 u 2;5;4 , v 6;0; 3 , w 2; 2;3 b, f, u 4;2;5 , v 3;1;3 , w 2;0;1 u 1; 1;1 , v 4;0; , w 3;2; c, g, u 3;1; 2 , v 1;1;1 , w 2;2;1 u 1;1;0 , v 1;0;1 , w 3;1; d, h, Bài 3: Cho điểm A, B, C sau: Trong trường hợp đây, A, B, C đỉnh tam giác ? AB Chú ý: A, B, C không thẳng hàng ( đỉnh tam giác) không phương với AC AB k AC k 0 Cách 1: AB; AC 0 Cách 2: Ví dụ: A 1;2; 2 , B 2;1; , C 1;0;2 Ta có AB 1; 1; , AC 0; 2; AB; AC 8; 4; 0 ⇒ A, B, C đỉnh tam giác 2 SABC AB; AC 8 21 2 a, A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 e, A 0;2;1 , B 1;1;0 , C 1;1;1 b, A 0;2;1 , B 1;0;2 , C 1;1;1 f, A 2;1; 2 , B 6;3;0 , C 2;2; c, A 1;3;0 , B 1; 1;0 , C 0;0;6 g, A 0;2;1 , B 1;0;2 , C 2; 2; A 3; 4;7 , B 5;3; , C 1;2;3 d, Tính diện tích tam giác ABC (nếu có) AH BC Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC câu (HD: Áp dụng công thức S = ) Bài 4: 1, Trong trường hợp A, B, C, D đỉnh tứ diện ? AB; AC AD 0 Chú ý: A, B, C, D khơng đồng phẳng Ví dụ: A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 2;1; AB 1;1;0 , AC 1;0;1 , AD 3;1; 1 Ta có : AB; AC 1;1;1 1 VABCD AB; AC AD AB; AC AD 0 6 ⇒ A, B, C D đỉnh tứ diện A 1;1;0 , B 0;2;1 , C 1;0;2 , D 1;1;1 A 1; 1;1 , B 0;1;2 , C 4;2;3 , D 0; 1;2 b, e, A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , D 2;4;6 A 1; 1;1 , B 4;0; , C 3;2; , D 2;2; c, f, A 2;1; 2 , B 6;3;0 , C 2;0;3 , D 8;3;0 A 1;3;0 , B 1; 1;0 , C 3; 1;0 , D 2;3;5 d, g, 2, Trong trường hợp ABCD tứ diện, tính thể tích tứ diện? A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 Cho điểm Bài 5: a, Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b, Tính độ dài cạnh, chu vi diện tích tam giác ABC c, Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành d, Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh B ΔABC e, Tính góc ΔABC A 3; 4;7 , B 5;3; 2 , C 1;2; 3 Bài 6: Cho điểm a, Tìm tọa độ trọng tâm ΔABC b, Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành c, Tìm tọa độ giao điểm I hai đường chéo d, Tính chu vi diện tích ΔABC Bài 7: Cho điểm A 1;3;0 , B 1; 1;0 , C 3; 1;0 , D 2;3;5 a, Chứng minh ΔABC vuông cân B b, Tính chu vi diện tích ΔABC c, Kiểm tra xem A, B, C, D có phải đỉnh tứ diện không? A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , D 2;4;6 Bài 8: Cho bốn điểm a, Chứng minh điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b, Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD c, Tính diện tích ΔABC, từ suy chiều cao tứ diện kẻ từ đỉnh D Bài 9: Cho điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) a, Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD b, Tính độ dài đường ca hạ từ đỉnh C tứ diện c, Tính góc hai đường thẳng AB CD ... Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ đỉnh C, B’, C’, D’ A 1;0;1 ,B 2;1;2 ,D 1; 1;1 C'' 4;5; 5 3, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ. .. Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành A 1;3;0 , B 1; 1;0 , C 0;0;6 3, Cho điểm Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình. .. Cho điểm Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 7: A 0;0;0 ,B 1;0;0 ,D 0;1;0 A'' 0;0;1 1, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tọa độ đỉnh Hãy tìm tọa độ đỉnh C, B’,