Phuong trinh duong thang trong toa do khong gian

CHỦ ĐỀ XII PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng toán 1 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ chỉ phương Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng Một đường[.]

CHỦ ĐỀ XII PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng tốn LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương Vectơ phương đường thẳng vectơ khác có giá song song trùng với đường thẳng Một đường thẳng có vơ số vectơ phương phương với nên ta chọn tọa độ tỉ lệ Phương trình đường thẳng: Đường thẳng d qua M  x0 , y0 , z0  có vectơ phương u   a, b, c  , a  b2  c  - Phương trình tham số:  x  x0  at  d :  y  y0  bt , t  R  z  z  ct  - Phương trình tắc a, b, c  : x  x0 y  y0 z  z0   a a c Chú ý: 1) Để lập phương trình đường thẳng tìm đủ yếu tố xác định: điểm VTCP Từ quan hệ cho từ giả thiết để chọn dạng phương trình thích hợp, chẳng hạn đường thẳng qua điểm A, B ta chọn VTCP u  AB 2) Việc khử tham số, đặt tham số,…cho phép ta chuyển dạng lập phương trình 3) Đường thẳng giao tuyến mặt phẳng cắt nhau: Nếu d     chọn VTCP u   n , n   Ax  By  Cz  D  Hoặc từ hệ   Ax  By  C z  D  Ta chọn nghiệm  x, y, z  tương ứng tọa độ điểm thuộc giao tuyến 4) Đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng d1 qua M có VTCP u1 Đường thẳng d qua M có VTCP u2 Cách 1: Đường vng góc chung d có VTCP u  u1 , u2  Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d Tìm giao điểm A d1 (P) d qua A có VTCP u Cách 2: Gọi đoạn vng góc chung AB, A  d1 B  d dạng tham số theo t t   AB.u1  Tìm t t  hệ điều kiện:   AB.u2  Đường vng góc chung d qua điểm A B Bài toán Lập phương trình tham số tắc đường thẳng d: a) Qua hai điểm M  2;5;   , có VTCP u   2;  1;  b) Qua hai điểm A 1;3;5 B  4;  2;1 Giải a) Đường thẳng d có VTCP u  2;  1;  qua M  2;5;   , nên có phương trình tham số  x  x0  at  x   3t   d :  y  y0  bt hay  y   5t phương trình tắc:  z  z  ct  z   4t   d: x  x0 y  y0 z  z0 x 1 y  z  hay     a b c 5 4 b) Đường thẳng d có VTCP u  AB   3;  5;   qua A 1;3;5 nên có phương trình tham số:  x   3t x 1 y  z      y   5t ; phương trình tắc:    z   4t  Bài toán Lập phương trình tắc đường thẳng d:  x   2t  a)  y  1  3t  z  4  3t   x  7t  b)  y   z   3t  Giải  x   2t  a) Đường thẳng d:  y  1  3t qua M  2;  1;  có VTCP u   2;3;3 nên có phương trình  z  4  3t  tắc: x  x0 y  y0 z  z0 x  y 1 z       a b c 3  x  7t  b) Đường thẳng d:  y  có VTCP u   1;0;3  z   3t  Vì b  nên khơng có dạng tắc Bài tốn Lập phương trình tham số đường thẳng d: a) x 3 y 5 z 2   b) x 1 y  z    4 Giải a) Phương trình đường thẳng d: x 3 y 5 z 2 qua M  3;  5;  có VTCP u   2;5;  nên   có phương trình tham số  x   2t  d:  y  5  5t  z   4t  b) Đặt x 1 y  z    t 4  x  1  t  Ta có phương trình tham số đường thẳng d:  y   4t  z   2t  Bài toán Viết phương trình tham số, tắc (nếu có) đường thẳng:  x   2t  a) Đi qua điểm A  4;3;1 song song với đường thẳng d:  y  3t  z   2t  b) Đi qua điểm B  2;3;1 song song với đường thẳng d: x  y 1 z    Giải a) d có VTCP u   2;  3;  nên đường thẳng d  qua A VTCP u  u có phương trình:  x   2t  x  y  z 1     y   3t  3  z   2t   Vì điểm A  4;3;1 không thuộc đường thẳng d nên phương trình đường thẳng cần tìm b) d có VTCP u   2;1;3 nên đường thẳng d  qua B, VTCP u  u có phương trình:  x  2  2t x  y  z 1  ;  y  3t     z   3t Vì điểm B  2;3;1 khơng thuộc đường thẳng d nên phương trình đường thẳng cần tìm Bài tốn Lập phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) với: a) A  0;0;1 , B  1;  2;0  , C  2;1;  1 trọng tâm G tam giác ABC b) A 1;0;  1 , B  2;3;  1 , C 1;3;1 trực tâm H tam giác ABC Giải a) Ta có AB   1;  2;  1 , AC   2;1;   nên đường thẳng d vng góc với mp(ABC) có VTCP u   AB, AC    5;  4;3 1  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G  ; ;0  3    x   5t   Vậy phương trình tham số d:  y    4t   z  3t   b) Phương trình mặt phẳng   qua C vng góc với AB : 1 x  1   y  3   x  y  10  Phương trình mặt phẳng    qua B vng góc với AC là:  y  3   z  1   y  2z   Đường thẳng d qua trực tâm H tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) giao tuyến      Đường thẳng d qua N 1;3;  1 có vectơ phương  x   4t  u  n , n    6;  2;3 nên có phương trình tham số d:  y  t  z  1  3t  Bài tốn 6: Lập phương trình đường thẳng d qua A  1;8;5 vng góc với đường thẳng  x   2t  x   t   d :  y   2t ; d  :  y   t   z   3t   z  1 t   Giải  x   2t  Đường thẳng d :  y   2t có vectơ phương u   2;  2;1  z  1 t   x   t  Đường thẳng d  :  y   t  có vectơ phương v   1;1;  3  z   3t   Vì đường thẳng d qua A  1;8;5 vng góc với đường thẳng nên có vectơ phương u  u, v    5;5;0  hay 1;1;0   x  1  t  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tham số:  y   t  z 5  Bài toán 7: Viết phương trình tham số, tắc (nếu có) đường thẳng d qua điểm C 1; 2;  1 song song với đường thẳng giao tuyến mặt phẳng x  y  z   ; x  y  5z   Giải Vectơ pháp tuyến mặt phẳng x  y  z   n1  1;1;  1 , Vectơ pháp tuyến mặt phẳng x  y  5z   n2   2;  1;5 Vectơ phương đường thẳng d cần tìm là:  1 1 1  n   n1 , n2   ; ;    4;  7;  3  5 2    Do đường thẳng d cần tìm có phương trình:  x   4t x 1 y  z   ;  y   7t   7 3   z  1  3t Bài tốn 8: Lập phương trình tham số tắc đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng:  P  : x  y  z   ;  P : x  z   Giải  P  ,  P  có VTPT n   2;  1;1 ; n   2;0;  1 Gọi VTCP giao tuyến d u u  n, n  1 1 2 1  ; ; Chọn u   n, n     1; 4;   1 1 2  2 x  y  z   Các điểm thuộc giao tuyến d có tọa độ thỏa mãn hệ:   2x  z   Cho x  y  8, z  Do d qua M  0;8;3 , có VTCP u  1; 4;  nên có phương trình tham số tắc :  xt x y 8 z 3    y   4t ;   z   2t  Cách khác: 2 x  y  z    y  z  2x  Ta có:    2x  z    z  2x   xt  Đặt x  t y   4t , z   2t nên phương trình tham số là:  y   4t  z   2t  Ngoài cách tìm điểm VTCP, cách tạo tham số, ta tìm điểm giao tuyến Bài tốn 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  x   3t   y  1  5t mặt phẳng tọa độ  z   2t  Giải Điểm M  x ; y ; z  thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) M   0; y ; z  thuộc d  , d  hình chiếu lên mp(Oyz)  x0  Vậy phương trình tham số d  là:  y  1  5t  z   2t   x   3t  Tương tự hình chiếu đường thẳng d lên mp(Oxy) có phương trình tham số:  y  1  5t  z0   x   3t  Hình chiếu đường thẳng d lên mp(Oxz) có phương trình tham số:  y   z   2t  Bài toán 10: Cho đường thẳng d:   x  t  11   y   t mặt phẳng  P  : x  y  z  11    z t   Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, cắt d song song với mp(P) Giải Gọi  P  mặt phẳng qua gốc tọa độ O song song với mp  P   P  có phương trình: x  3y  z  35 35   37 Giao điểm I đường thẳng d mp  P  có tọa độ I  ; 8;  với t  3  Đường thẳng qua O I đường thẳng cần tìm qua O có VTCP: 3OI   37; 24; 35 x y z   37 24 35 Bài tốn 11: Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung đường thẳng:  x  8t  x y 1 z 1    d1  :  y   2t  d2  : 2  z  8t  Giải Đường thẳng  d  :  x y 1 z 1 có phương trình tham số là:   2  x   7t    y   2t   z   3t   Đường thẳng  d1  có VTCP u1  1; 2;  1 Đường thẳng  d  có VTCP u2   7;  2;3 Gọi đường vng góc chung    qua A thuộc d1 , B thuộc d : A 8  t;  2t;  t  ; B   3t ;1  2t ;1  3t  AB   5  t  3t ;   2t  2t ;   t  3t     6t  6t   t  1  AB.u1    Ta có;  6t  62t   6  t    AB.u2  Suy ra: A  7;3;9  B  3;1;1 Đường vng góc chung    có vectơ phương AB  4;  2;  8 hay  2;1;  nên có PT là:  x   2t   y  1 t  z   4t  Bài toán 12: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A  0;  2;0  , B       3;1;0 , C  3;1;0 , D 0;0; 2 a) Chứng minh ABCD tứ diện b) Viết phương trình tham số đường vng góc chung  hai đường thẳng AB CD Giải a) Ta có: AB2    12 , AC    12 , AD2    12 Tương tự: BC  CD2  DC  12 Do cạnh nên ABCD tứ diện b) Vì ABCD tứ diện nên đường vng góc chung  AB CD đoạn thẳng nối trung điểm I J tương ứng AB CD     Ta có: I  ;  ;0  , J   ; ;     2    Vectơ phương  u   3;1;   3t x    Vậy phương trình tham số  là:  y    t   z  2t   Bài tốn 13: Tìm tập hợp điểm M cách ba điểm A 1;1;1 , B  1; 2;0  , C  2;  3;  Giải Điểm M  x; y; z  cách ba điểm A, B, C khi:  MA  MB  AM  BM  MA  MB  MC    2  MA  MC  AM  CM  2 2 2    x  1   y  1   z  1   x  1   y    z  2 2 2   x  1   y  1   z  1   x  1   y  3   z   4 x  y  x    2x  y  z 1     x  y  z  14  x  y  z   Tập hợp điểm M  x; y; z  đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Đặt y  t x  8  3t z  15  7t  x  8  3t  Vậy tập hợp trục tam giác ABC có phương trình là:  y  t  z  15  7t  Bài tốn 14: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho hình thoi ABCD có hai đỉnh A  3;  1;1 , B  1;1;3 Viết phương trình đường thẳng CD biết tâm I hình thoi nằm đường thẳng d: x 3 y 5 z 4   1 Giải I nằm đường thẳng d nên I   t;5  t;4  t  Vì ABCD hình thoi nên AI BI   t  t      t   t     t 1  t    t  3 Vậy I  0; 2;1 Vì C đối xứng với Q qua I nên C  3;5;1 Vì D đối xứng với B qua I nên D 1;3;  1 Vậy phương trình đường thẳng CD: Bài toán 15: x  y  z 1   1 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba mặt phẳng  Q  : x  2z   ,  R  : y  2z  Viết phương trình đường thẳng  P : x  3y  z   ,  nằm  P  vng góc với giao tuyến d hai mặt phẳng  Q   R  , giao điểm d  P  Giải Tọa độ giao điểm M d  P  nghiệm phương trình: x  3y  z    x 1    x  2z     y  2  M 1;  2;  1  y  2z   z  1   Ta có VTPT nQ  1;0;   , nR   0;1;   Nên đường thẳng d có VTCP nd  nQ ; nR    2; 2;1 Ta có: nP  1;3;  1 VTPT  P  Từ suy đường thẳng  có VTCP n  nd ; nP    5;3;  Vậy  : x 1 y  z    5 Bài tốn 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  P  : x  y  z   ,  Q  : x   Viết phương trình đường thẳng đường thẳng d đồng thời cắt giao tuyến hai mặt phẳng  P   Q  Giải Từ phương trình  Q  : x   ta có x  1 Phương trình  P  ta đặt y  t Từ suy z   t  x  1  Do giao tuyến  P   Q  có phương trình a:  y  t z  1 t  x 1 y  z   hai mặt phẳng 1  qua M  0;1;1 , vng góc với VTCP đường thẳng d ud   3;1;1 Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng a I Khi I  1; t;1  t  Ta có MI  ud  AI ud    1   t  1  t   t   MI   1;1;2  Đường thẳng  qua M  0;1;1 , nhận MI   1;1;  làm VTCP nên có phương trình : x y 1 z 1   1 Dạng toán VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng: Đường thẳng d qua A  xA , y A , z A  có vectơ phương u   a, b, c  Đường thẳng d  qua B  xB , yB , zB  có vectơ phương v   a, b, c  Có vị trí tương đối: - Chéo nhau: u, v  AB  - Cắt nhau: u, v  AB  a : b : c  a : b : c - Trùng nhau: a : b : c  a : b : c   xB  xA  :  yB  y A  :  zB  z A  - Song song: a : b : c  a : b : c   xB  xA  :  yB  y A  :  zB  z A  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d qua A có vectơ phương u Mặt phẳng  P  qua M có vectơ pháp tuyến n Có vị trí tương đối: - Cắt nhau: u.n  - Song song: u.n  A   P  - Đường thẳng thuộc mặt phẳng: u.n  A   P  Chú ý: Đường thẳng d qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương u   a, b, c  , a  b2  c   x  x0  at  Phương trình tham số: d :  y  y0  bt , t  R  z  z  ct  Phương trình tắc a, b, c  : x  x0 y  y0 z  z0   a b c Bài toán 1: Xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng: a) d : x 1 z 3 x  y 1 z  d  :  y7    2 b) d : x 1 y  z  x 7 y 6 z 5 d  :     6 Giải a) Đường thẳng d qua điểm M 1;7;3 có vectơ phương u   2;1;  Đường thẳng d  qua điểm M   3;  1;   có vectơ phương u   6;  2;1  Ta có: MM    2; 8;  5 ; u, u    9; 22; 10   nên u, u  MM   108  Vậy hai đường thẳng d d  chéo b) Đường thẳng d qua điểm M 1; 2;3 có vectơ phương u   9;6;3 ; đường thẳng d  qua điểm M   7;6;5 có vectơ phương u   6; 4;  Ta có : : = : : Do d d  song song trùng Mặt khác MM '   6; 4;   u' Vậy hai đường thẳng d d  trùng Bài tốn 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng a) d : x 1 y  z  x  y 1 z  d  :     b) d : x  y z 1 x7 y 2 z d  :     6 8 6 12 Giải a) d qua M 1; 5;3 có VTCP u   2;1;  d  qua M   6;  1;   có VTCP u   3; 2;1 Ta có: u, u    7;10;1 ; MM    5; 4;  5 nên u, u  MM   35  40   , d d  đồng phẳng   Vì u, u   nên đường thẳng cắt b) d qua M  2;0;  1 có VTCP u   4;  6;  8 d  qua M   7; 2;0  có VTCP u   6;9;12  Ta có: u   u nên d , d  song song trùng Hơn MM    5; 2;1 không phương với u , u  nên đường thẳng song song Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:  x   2t x 1 y z   d1 :  y   t , d :   2  z t  Chứng minh đường thẳng chéo Giải Đường thẳng d1 qua M1  2;  2;0  có VTCP u1   2;1;1 Đường thẳng d qua M 1;0;  có VTCP u2   2;3;1 Ta có u1 , u2    2;0;   , M1M   1;  2;  Nên u1 , u2  M1M     6  Vậy đường thẳng chéo  xt  Bài toán 4: Cho hai đường thẳng d :  y  3  4t d  giao tuyến hai mặt phẳng:   : x  y  z   z  3  3t     2x  y  2z  Chứng minh hai đường thẳng song song Giải Đường thẳng d qua điểm M  0;  3;  3 có vectơ phương u  1;  4;  3 Đường thẳng d  có vectơ phương u  1;  4;  3 Do đó, d d  có vectơ phương nên hai đường thẳng d d  song song trùng Ngồi điểm M  0;  3;  3 không nằm d  nên hai đường thẳng song song Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : x 1 y  z  x  y  z 1 d :     3 3 2 a) Chứng tỏ đường thẳng cho nằm mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng Giải a) d1 qua M1 1;  2;5 có VTCP u1   2;  3;  d qua M  7; 2;1 có VTCP u2   3; 2;   Ta có: u1 , u2    2;16;13 , M1M   6; 4;   Nên u1 , u2  M1M   2   16.4  13  4   Vậy hai đường thẳng nằm mặt phẳng b) Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng nên có VTPT n  u1 , u2    2;16;  Mặt phẳng  P  qua M nên có phương trình: 2  x  1  16  y    13  z  5  hay 2x  16 y  13z  31   x   3t x 1 y  z   Bài toán 6: Cho hai đường thẳng d : d  :  y   2t   3  z  1  3t  a) Chứng tỏ hai đường thẳng cắt b) Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng Giải  x   2s  a) Phương trình tham số đường thẳng d là:  y  2  3s  z   4s    2s   3t s0  Để tìm giao điểm hai đường thẳng ta giải hệ: 2  3s   2t   t      4s  1  3t  Suy có giao điểm A 1;  2;5 nên d d  cắt b) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  chứa d d  là: n  u, u '  1;18;13 Mặt phẳng  P  chứa d nên qua M 1;  2;5 Vậy phương trình mặt phẳng chứa d d  là: 1 x  1  18  y    13  z  5   x  18 y  13z  30  Bài toán 7: Cho điểm A 1;  1;1 hai đường thẳng:  xt  x  t   d1 :  y  1  2t d :  y   2t   z  3t  z   5t    Chứng minh  d1  ,  d2  A thuộc mặt phẳng Giải  d  qua B  0;1;  có VTCP u  1; 2;5 MP  A, d  qua B có VTPT n  u, AB    4;  8;   hay 1; 2;  1 nên có phương trình: 1 x  1   y  1  1 z  1   x  y  z   Ta có  d1  qua M  0;  1;0  N  1;1;3 Vì M, N thuộc mp  A, d  nên d1 thuộc mp  A, d  Vậy A,  d1  ,  d2  thuộc mặt phẳng  x   2t  Bài tốn 8: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  1  t  z  2t  Gọi d  giao tuyến hai mặt phẳng:   : y  z     : 3x  y  2z  17  a) Chứng minh d , d  chéo vng góc với b) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua d  vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H d  P Giải a) Đường thẳng d  giao tuyến hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n   0;3;  1 n   3;3;   nên d  có vectơ phương là: ud   n, n   3;  3;  3 hay 1;1;3 Vectơ phương ud d ud   2;1;  1 Ta có: ud ud   nên d  d   1  t     t      Hệ  vô nghiệm nên d d  khơng có điểm chung Vậy chúng  3 1  2t    1  t     t   17  chéo b) Cho y  z  7 , x  , ta có A 1;0;    d  Vì d  d  nên mặt phẳng qua A vng góc với d qua d  Vậy phương trình mặt phẳng  P  là:  x  1   y     z     2x  y  z   Tọa độ giao điểm H  x; y; z  d  P  thỏa mãn hệ x   2t   y  1  t   13  t   H ; ;   z  2t  3 3  2x  y  z   Bài tốn 9: Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: a) d : x  12 y  z  ,  P  : 3x  y  z     b) d : x 1 y  z   ,  P  : 3x  3y  z   c) d : x  13 y  z  ,  P  : x  y  4z     Giải a) Đường thẳng d có vectơ phương u   4;3;1 Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n   3;5;  1 Ta có u.n  12  15   26  Vậy đường thẳng d cắt  P  b) d qua A  1;3;0  có VTCP u   2; 4;3 Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n   3;  3;  Ta có u.n   12   nên d song song  P  d thuộc  P  Mà A   P  nên d / /  P  c) d qua M 13;1;  có VTCP u  8; 2;3 Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1; 2;   Ta có n.u  mà M   P  nên đường thẳng d nằm  P  Bài toán 10: Chứng minh đường thẳng:   x  5t   a) d :  y    9t thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z      z   t b) d : x 1 y  z  cắt mặt phẳng  P  : x  y  5z     Giải 2  a) Đường thẳng d qua A  0;  ;  có VTCP u   5;9;1 5  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n   4;  3;7  Ta có : n.u  A   P  nên d nằm  P  b) Đường thẳng d có VTCP u   2;3;  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n   4;  1;5 Ta có n.u    20  25  nên d cắt mp  P  Bài tốn 11: Tìm k để đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng  Q  : x  ky  z 1  nằm mặt phẳng (Oyz)  P : k x  y  z 1  , Giải  Giao tuyến d có VTCP: u    k 1 1 2k 2k ; ; 1 1    1  k ;   2k ;  2k  1 k  Mp(Oyz) có VTPT i  1;0;0  Để d nằm mặt phẳng (Oyz) cần có: i.u   1  k 1   1  2k    2k  1   k  Thay k  vào phương trình mặt phẳng chứa d:  P  : 2x  y  z   , Q : x  y  z 1  Ta có điểm M  0;0;1 thuộc d thuộc mặt phẳng (Oyz) nên thỏa mãn Vậy để d nằm mặt phẳng (Oyz) cần đủ là: k  Bài tốn 12: Trong khơng gian có hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;1;0  , B 1; 2;  , C 1;1;0  mặt phẳng  P  : x  y  z  20  Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng  P Giải x   t  Ta có AB   1;1;  , phương trình AB:  y   t  z  2t  D thuộc đường thẳng AB  D   t;1  t;2t   CD  1  t; t;2t  Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  : n  1;1;1 Vì C không thuộc mặt phẳng  P  nên: CD / /  P   n.CD   1  t   1.t  1.2t   t   5  Vậy D  ; ;  1 2  Bài toán 13: Chứng minh mặt phẳng:  Pm  :   m  x  1  m  y  1  m  z  m   qua đường thẳng cố định Giải  Pm  : 2x  y  z 1  m  x  y  z  1  Mặt phẳng  Pm  2x  y  z     x  y  z 1  qua điểm M  x; y; z  có tọa độ khơng phụ thuộc m khi: Cho y  x  2, z  3: A  2;0; 3 Cho z  x  2, y  3: B  2;  3;0  Vậy mặt phẳng  Pm  qua đường thẳng cố định giao tuyến mặt phẳng: 2x  y  z   x  y  z   tức đường thẳng AB cố định Bài toán 14: Chứng minh đường thẳng d k giao tuyến mặt phẳng: x  kz  k  , 1  k  x  ky  , k  nằm mặt phẳng cố định Giải Giao tuyến d k chứa điểm M  x; y; z  có tọa độ thỏa mãn hệ:  x  kz  k  ;k    k x  ky     Suy ra: x  1  k  x  kz  k  ky   k  x  y  z  1   x  y  z   , k  Vậy đường thẳng d k luôn nằm mặt phẳng cố định  P  : x  y  z   Bài toán 15: Trong khơng gian Oxyz có tập hợp mặt phẳng  m  có phương trình là: mx   m  1 y   m  1 z   đường thẳng d có phương trình tham số:  x   2t   y  3t  z  2  t  a) Chứng tỏ mặt phẳng  m  qua đường thẳng cố định  b) Chứng tỏ hai đường thẳng d  chéo Giải a) Phương trình mặt phẳng  m  viết thành: y  z 1  m  x  y  z    y  z 1  Đẳng thức với m nên ta suy ra:  x  y  z  Hệ phương trình xác định đường thẳng  cố định giao tuyến mặt phẳng y  z 1  , x  y  z   có VTCP n  n1 , n2    4;1;   qua B  1;0;1 Vậy mặt phẳng  m  qua đường thẳng cố định  : b) d qua A 1;0;   có VTCP u   2;3;  1 x  y z 1   2 Ta có u, v  AB  nên d  chéo BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) qua A  2;1;  3 B  3;  1;  b) qua M  2;1;9  vng góc với mp  P  : 3x  y  z   HD – ĐS  x  2t  a) Kết  y   2t  z  3  5t   x   3t  b) Kết  y   4t  z  9t  Bài tập 2: Lập phương trình tắc đường thẳng: a) qua gốc O M  3;  1;  b) qua A  2;3;1 vng góc với mp  P  : 3x  y  z   HD – ĐS a) Kết x y z   1 b) Kết x  y  z 1   2 Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;1;1 , B 1;0;0  , C 1; 2;  1 a) Viết phương trình mặt phẳng   qua A, B, C b) Viết phương trình mặt phẳng d:   qua D  0;1;0  biết giao tuyến     x 1 y  z 1   2 2 HD – ĐS a) Kết 3x  y  z   b) Kết x  y  z   Bài tập 4: Lập phương trình đường thẳng: a) qua điểm H 1; 2;  1 , cắt đường thẳng d : x 3 y 3 z song song với mặt phẳng     : x  y  z   b) Đi qua trọng tâm tam giác OAB, vng góc với (OAB), với A 1; 4;  , B  1; 2;  HD – ĐS a) Kết x 1 y  z    2 1 b) Kết x y2 z2   1  x  1  t x 1 y  z     Bài tập 5: Cho hai đường thẳng  1  :    :  y  t 2  z  2  3t  Chứng minh  1     nằm mặt phẳng lập phương trình mặt phẳng HD – ĐS 6x  y  z   Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x  t x 1 y  z    d  :  y  4  2t    d1  :  z  1 t  a) Chứng minh hai đường thẳng chéo vng góc với b) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng HD – ĐS b) Kết   : x  y  z  12     : 2x  y  4z  Bài tập 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  0;1;  đường thẳng:  x  1 t x y 1 z    d  :  y  1  2t   d1  :  1  z  2t  a) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A, song song với d1 d b) Tìm M thuộc d1 , N thuộc d cho A, M, N thẳng hàng HD – ĐS a) Kết x  y  5z  13  b) Kết M  0;1;  1 , N  0;1;1  x   4t  x  3  6t    Bài toán 8: Cho hai đường thẳng d :  y  4  t d :  y  t   z  1 t  z   2t    a) Chứng minh d d chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d d HD – ĐS b) Kết x2 y3 z 2   2 ... 1;  4;  3 Do đó, d d  có vectơ phương nên hai đường thẳng d d  song song trùng Ngồi điểm M  0;  3;  3 không nằm d  nên hai đường thẳng song song Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa... I nên D 1;3;  1 Vậy phương trình đường thẳng CD: Bài toán 15: x  y  z 1   1 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba mặt phẳng  Q  : x  2z   ,  R  : y  2z  Viết phương... đường thẳng  có VTCP n  nd ; nP    5;3;  Vậy  : x 1 y  z    5 Bài tốn 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  P  : x  y  z   ,  Q  : x   Viết phương