Goc va khoang cach trong toa do khong gian

CHỦ ĐỀ XIV GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TỌA ĐỘ Dạng tốn TÍNH GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Góc hai vectơ: u   x; y; z  v  x; y; z  :   cos u, v  x.x  y y  z.z x  y  z x 2  y   z    Góc tam giác ABC : cos A  cos AB, AC Góc đường thẳng: d có VTCP u d  có VTCP v   cos  d , d    cos u, v Góc mặt phẳng: mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n mặt phẳng  Q  có vectơ pháp tuyến n   cos   P  ,  Q    cos n, n Góc đường thẳng mặt phẳng: d có VTCP u  P  có VTPT n   sin  d ;  P    cos u, n Khoảng cách hai điểm A  x1; y1; z1  B  x2 ; y2 ; z2  : AB   x2  x1    y2  y1    z2  z1  2 Khoảng cách từ M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng: -  Oxy  z0 ;  Oyz  x0 ;  Ozx  y0 -  P  : Ax  By  Cz  D  là: d  M0 , P  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng d qua A có VTCP u  AB d M0; d    AM ; u    u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng d1 qua M có VTCP u1 Đường thẳng d qua M có VTCP u2 d  d1 ; d   u1 ; u2  M 1M   u1 ; u2    Chú ý: 1) Góc vectơ, góc tam giác từ 0 đến 180 góc đường thẳng, mặt phẳng từ 0 đến 90 2) Khoảng cách yếu tố song song khoảng cách từ điểm chọn yếu tố đến yếu tố 3) Khoảng cách đường chéo khoảng cách từ đường đến mặt phẳng chứa đường song song với Bài tốn Tìm khoảng cách từ: a) Điểm A  2; 4;3 đến mặt phẳng x  y  z   b) Điểm B  2; 1; 1 đến mặt phẳng 16 x  12 y  15z   Giải a) d  A;  P    Ax0  By0  Cz0  D b) d  B;  P    32  12  15  A  B C 2 256  144  225   4    1  1 55 11  25 Bài tốn Tính khoảng cách từ M  8;7;6  đến: a) Các mặt phẳng tọa độ b) Các mặt phẳng  P  : x  2,  Q  : y  1,  R  : z  Giải a) d  M ;  Oxy    zM  d  M ;  Oyz    xM  d  M ;  Ozx    yM  b)  P  : x   nên d  M ;  P    xM   10 Q : y   nên d  M ;  Q    yM    R  : z   nên d  M ;  R    zM   Bài tốn Tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song: a)  P  : x  y  3x   0,  Q  : x  y  3z   b)  P  : Ax  By  Cz  D  Ax  By  Cz  D  0, D  D Giải a) Lấy điểm A  P  : x  y  3x   Cho x  0, y  z  nên A  0;0;3 Do d   P  ,  Q    d  A;  Q    1 16    10 26  13 26 b) Lấy điểm M  x0 ; y0 ; z0  nằm mặt phẳng  P  tức Ax0  By0  Cz0  D  hay Ax0  By0  Cz0   D d  P  , Q   d  M , Q   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C D  D  A2  B  C Bài toán Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 2;2  , B  3;1;0  , C  2;0; 1 Tính khoảng cách từ gốc O đến mp  ABC  Giải Mặt phẳng  ABC  có VTPT n   AB, AC    5; 14; 11 nên có phương trình: 5  x  1  14  y    11 z    Vậy phương trình mặt phẳng  ABC  là: 5x  14 y  11z   Ta có d  O;  ABC    25  196  121  1  342 38 Bài tốn Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh D  4; 1;0  tứ diện ABCD biết A 1;1;1 , B  2;0;2  , C  0;1; 3 Giải Chiều dài đường cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng  ABC  Ta có: AB   3; 1;1 AC   1;0;  nên n   AB, AC  VTPT  ABC  Mặt phẳng  ABC  có phương trình: x  13 y  z  10  DH  d  D;  ABC    4.4  13  1   10 16  169   39 186 Bài tốn Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : a) M  2;3;1 ,  : x  y 1 z    2   x    4t  b) M  2;3; 1 ,  :  y  2t  z    t  Giải a) Đường thẳng  qua điểm M  2;1; 1 có vectơ phương u  1; 2; 2  Ta có: M M   4; 2;  , u, M M   8; 10; 6  Vậy khoảng cách: d  M ;    u , M M  82  102  62 10     u 12  22  22 1 3  5 b) Ta có  qua điểm M   ;0;   có vectơ phương u   4; 2; 1 nên M M   ;3;   4 4 2  u, M M    ;  ; 17    2  Vậy khoảng cách d  M ;    u , M M  2870    14 u Bài tốn Tìm khoảng cách từ điểm A  2;3; 1 đến đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng  P  : x  y  2z 1  0, Q  : x  y  z   Giải  P  : x  y  2z 1  0, Q  : x  y  z     x  x  y 1  Cho z    x  3y    y    5  Do giao tuyến d qua M  ;  ;0  có VTCP u  nP , nQ   8; 4;  hay  4; 2;1 2   AM , u  205    Do d  , d   14 u    Bài tốn Tìm khoảng cách cặp đường thẳng sau đây: d: x y  z 1 x y2 z   , d :   1 2 1 3 Giải d qua M  0; 4; 1 có VTCP u   1;1; 2  d  qua M   0; 2;0  có VTCP u   1;3;3 Ta có u, u   9;5; 2  , MM    0; 2;1 Nên u, u MM    10   12  nên đường thẳng chéo Do d  d , d    u, u MM  10  12     81  25  110 u , u     Bài tốn Tìm khoảng cách hai đường thẳng sau: x  1 t  x   3t    a) d :  y  1  t , d  :  y  2  3t  x  z    x  1 t  x   t   b) d :  y  1  t , d  :  y  2  t  z   z  t   Giải a) Đường thẳng d qua điểm M1 1; 1;1 , có vectơ phương u1  1; 1;0  Đường thẳng d  qua điểm M  2; 2;3 , có vectơ phương u2   1;1;0  Vì u1 u2 phương u1 , u2 không phương với M1M  1; 1;  nên hai đường thẳng song song Vậy d  d , d    d  M , d     M M , u2     u2 b) d qua A 1; 1;1 có VTCP u  1; 1;0  d  qua B  2; 2;0  có VTCP u   1;1;1 Ta có u u  khơng phương đặc biệt A thuộc d  nên đường thẳng cắt A Bài tốn 10 Hãy xác định góc  tạo thành cặp mặt phẳng sau: a) x  y  z   x  y  z   b) y  z   y  z  Giải         60 a) Hai mặt phẳng có VTPT n  1;  2;1 , n  1; 2; 1   cos   cos n, n   1   1   b) Hai mặt phẳng có VTPT n   0;3; 1 , n   0; 2;1   cos   cos n, n  1   Bài toán 11 Cho mặt phẳng     45  P  : x  y  z 17  mặt phẳng C 1;0;0  , D  0;1;0  Tính góc tạo thành hai mặt phẳng Giải Mặt phẳng  P  có VTPT n   2; 1;1 Mặt phẳng  Q  có VTPT n   BC , BD   1;1;  Gọi  góc mặt phẳng thì:   cos   cos n, n  1    1       60 Q  qua ba điểm B 1; 2;1 , Bài toán 12 Mặt phẳng    nhận điểm P  2; 1; 2  hình chiếu vng góc gốc tọa độ mặt phẳng Hãy tính góc mặt phẳng    mặt phẳng    có phương trình x  y   Giải Mặt phẳng    qua P  2; 1; 2  nhận OP   2; 1; 2  làm VTPT nên phương trình tổng quát    là: 2x  y  2z   2.1  1.1 Gọi  góc       , ta có: cos          45 Bài tốn 13 Tính góc tạo đường thẳng mặt phẳng: x  1 t  a) d :  y  ,  P  : y  z  z  t  b) d : x  y 1 z    ,  P : x  y  z   2 Giải Gọi  góc d  P  0    90 a) d có VTCP u   1;0;1 ,  P  có VTPT n   0;1; 1   sin   cos u, n  1    30 2 b) d có VTCP u   4;1; 2  ,  P  có VTPT n  1;1; 1   sin   cos u, n  1 16    63 Bài tốn 14 Tìm góc tạo cặp đường thẳng sau đây:  x   2t  x   t   a) d :  y  1  t d  :  y  1  3t   z   4t  z   2t    x   t  x   2t    b) d :  y   t d  :  y  5 z   z  2t    Giải Gọi  góc đường thẳng 0    90 a) d , d  có VTCP u   2;1; 4 , u   1;3;    cos   cos u, u  2     16    b) d , d  có VTCP u  1;1;0  , u   2;0;    cos   cos u, u  2     60 294 Bài toán 15 Tìm góc tạo đường thẳng x3 y 2 z 2 với trục tọa độ   1 Giải Đường thẳng cho có vectơ phương u   2;1;1 , trục Ox, Oy, Oz có vectơ phương i  1;0;0  , j   0;1;1 , k   0;0;1 Từ góc tạo đường thẳng cho với trục Ox, Oy, Oz có số đo cho cosin bằng:   cos 1  cos u, i    cos 2  cos u, j    cos 3  cos u, k   1 6  6  Bài toán 16 Cho tứ diện ABCD có A  3;2;6  , B  3; 1;0  , C  0; 7;3 D  2;1; 1 a) Tính góc cặp cạnh đối b) Tính góc đường thẳng AD với mp  ABC  Giải a) Ta có AB   0; 3;6  , CD   2;8; 4   AB.CD  g  AB, CD   90 Tương tự AC.BD  0, AD.BC  nên góc cặp đối 90 b) Đường thẳng AD có VTCP u  AD   5;1;7  Mp  ABC  có VTPT n   AB, AC    5; 2;1   Gọi  góc AD với mp  ABC  thì: sin   cos AD, n  10 Bài toán 17 Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A  5;1;3 , B 1;6;2  , C 5;0;4  , D  4;0;6  a) Tìm cosin góc tạo hai mặt  ABC   ABD  b) Tìm khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ABC  Giải a) Ta có AB   4;5; 1 , AC   0; 1;1 , AD   1; 1;3 Mặt phẳng  ABC  có VTPT n   AB, AC    4; 4;  hay 1;1;1 Mặt phẳng  ABD  có VTPT n   AB, AD   14;13;9    Ta có cos   cos n, n  1.14  1.13  1.9 196  169  81  36 1338 b) Mặt phẳng  ABC  qua điểm A  5;1;3 có VTPT n  1;1;1 Phương trình tổng quát mặt phẳng  ABC  là: 1 x  5  1 y  1  1 z  3   x  y  z   Do đó: d  D;  ABC    469  Dạng tốn LẬP PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH - Mặt phẳng qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ pháp tuyến   A; B; C  , A2  B  C  Có phương trình: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Và biến đổi thành dạng phương trình tổng quát: Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C  - Phương trình mặt cầu  S  tâm I  a; b; c  bán kính R:  x  a   y  b   z  c 2  R hay: Phương trình mặt cầu: x2  y  z  Ax  2By  2Cz  D  , A2  B2  C  D2  có tâm I   A;  B; C  bán kính R  A2  B2  C  D - Đường thẳng d qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương u   a; b; c  , a  b2  c   x  x0  at  Phương trình tham số: d :  y  y0  bt , t   z  z  ct  Phương trình tắc a, b, c  : x  x0 y  y0 z  z0   a b c Bài tốn Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng a) x  y  z   3x  y  z   b) x  y  z   x  y  z   Giải a) Điểm M  x; y; z  cách hai mặt phẳng cho khi: 2x  y  4z    16  3x  y  z   25   x  y  z   3x  y  z    x  y  z  5    3x  y  z  1 Vậy tập hợp điểm M hai mặt phẳng: 2 2   3 x      y  4  3 z  5 3 x  5 y   z 5   0, 3 5 5 5 0 b) Điểm M  x; y; z  cách hai mặt phẳng: x  y  z 1 1 1  x  2y  z  1 1  x  y  z 1  x  y  z   x  y  z 1  x  y  z    x  y  z     x  y  z  5  2x  y  2z    x  y  z   Vậy tập hợp điểm M mặt phẳng có phương trình: x  y  z   Bài tốn Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1; 1;2  , B  2;0;1 a) Tìm quỹ tích điểm M cho MA2  MB2  b) Tìm quỹ tích điểm M cách hai mặt phẳng  OAB   Oxy  Giải a) Giả sử M  x; y; z  Ta có MA2  MB2   1  x    1  y     z     x   y  1  z   2 2 2  2x  y  2z 1  Vậy quỹ tích điểm M mặt phẳng có phương trình b) Mặt phẳng  OAB  qua O, có vectơ pháp tuyến n  OA, OB    1;3;  nên có phương trình:  x  y  z  Điểm M  x; y; z  cách mp  OAB  mp  Oxy  khi:  x  y  2z 1     z   x  y  z   14 z   x  y   14 z  Vậy quỹ tích hai mặt phẳng có phương trình Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M  5; 4;3 cắt ba trục tọa độ ba điểm cách gốc tọa độ Giải Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn: x y z    1, a  b  c  a b c Điểm M  5; 4;3 thuộc mặt phẳng nên: Với b  a, c  a, 1     1 a b c     a  12 a a a Với b  a, c  a, 1    1 a  a a a Với b  a, c  a, 1    1 a  a a a Với b  a, c  a, 1      a  2 a a a Do bốn mặt phẳng cần tìm là: x y z     x  y  z  12  12 12 12 x y z   1 x  y  z   6 x y z   1 x  y  z   4 x y z     x  y  z   2 2 Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1;2;1 , B  2;1;3 , C  2; 1;1 D  0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A, B cho khoảng cách từ C đến  P  khoảng cách từ D đến  P  Giải Mặt phẳng  P  thỏa mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1:  P  qua A, B song song song với CD Vectơ pháp tuyến  P  : n   AB, CD  Ta có: AB   3; 1;2  , CD   2;4;0   n   8; 4; 14  Phương trình  P  : x  y  z  15  Trường hợp 2:  P  qua A, B cắt CD Suy  P  cắt CD trung điểm I CD I 1;1;1  AI   0; 1;0  , vectơ pháp tuyến  P  : n   AB, AI    2;0;3 Phương trình  P  : x  y   Vậy  P  : x  y  z  15   P  : x  y   c) I thuộc AB nên I 1  2t; 1  2t; 2  3t  Thế vào  P  t  nên giao điểm  23 10  I  ; ;   7 7 Đường thẳng  giao tuyến mp  P  với mp  R  ,  R  qua I vng góc với AB Vì AB   2; 2;3 nên phương trình mp  R  là: 23     10    x     y     z    hay 14 x  14 y  21z  94    7  7  23   x   4t   Suy  có phương trình tham số là:  y   t   10  z   2t  Bài toán Cho M 1;0;2  , N 1;1;0  , P  0;1;2  Gọi A, B, C giao điểm mp  MNP  với Ox , Oy , Oz a) Chứng minh ba đường thẳng AP, BM , CN đồng qui G b) Gọi 1 , 2 , 3 góc tạo OG với OA, OB, OC Chứng minh cos2 1  cos2 2  cos2 3  Giải a) MN   0;1; 2  , NP   1;0;  nên tìm mặt phẳng  MNP  : x  y  z   Cho y  z   x   A  2;0;0  z  x   y   B  0;2;0  x  y   z   C  0;0;4  Ta có NA  NB, PB  PC, MA  MC nên tam giác ABC trung tuyến AP, BM , CN đồng qui 2 4 trọng tâm G  ; ;  3 3   2 4 b) Ta có OG   ; ;  , OA   2;0;0  nên cos 1  cos OG, OA  3 3 Tương tự cos 2  , cos 3   đpcm 6 Bài toán Cho hai mặt phẳng  P   Q  có phương trình:  P  : 2x  y  z    Q  : x  y  z   a) Chứng minh  P   Q  cắt Tìm góc hai mặt phẳng b) Viết phương trình đường thẳng d qua A 1; 2; 3 song song với  P   Q  c) Viết phương trình mp  R  qua B  1;3;  vng góc với  P   Q  Giải a) Hai mặt phẳng  P   Q  có vectơ pháp tuyến nP   2; 1;1 nQ  1;1;  Vì hai vectơ không phương nên  P   Q  cắt Gọi  góc hai mặt phẳng là: cos  nP nQ  nP nQ 1  6     60 b) Đường thẳng d song song với  P   Q  nên có vectơ phương u  nP , nQ    3; 3;3 hay 1;1; 1 , A không thuộc mặt phẳng  P  , Q  nên đường thẳng d cần tìm có phương trình x 1 y  z    1 1 c) Mp  R  qua B  1;3;  vng góc với d nên có vectơ pháp tuyến u nên  R  có phương trình: x   y    z    hay x  y  z   Bài tốn Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  3;1;2  , B  1; 3;0  , C  4;0; 3 D  2; 2; 1 a) Tìm hình chiếu H A lên mặt phẳng  BCD  b) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua B vng góc với đường thẳng CD c) Tìm tọa độ K trực tâm tam giác BCD Giải a) Ta có BC   5;3; 3 , BD   3;5; 1 Mp  BCD  có VTPT: n   BC , BD   12; 4;16  hay  3; 1;  Phương trình mp  BCD  : 3x  y  z  nên: Đường thẳng AH qua A  3;1;  vuông góc với mp  BCD  nên có vectơ phương  3; 1;  nên phương trình tham số AH là:  x   3t   y   t  H   3t ;1  t ;  4t   z   4t  Thế vào mp  BCD  t    15 21  nên H  ; ;   13  13 13 13  b) Mặt phẳng  P  qua B  1; 3;0  vng góc với CD nên có vectơ pháp tuyến CD   2; 2;  nên phương trình mp  P  là: 2  x  1   y  3  z  hay x  y  x   c) Trực tâm K tam giác BCD giao điểm đường cao tam giác BCD nên giao điểm ba mặt phẳng: mp  BCD  , mp  P  mp  Q  với  Q  mặt phẳng qua C vng góc với BD Mp  Q  : 3x  y  z  15   113 75 33  Giải hệ ba phương trình mp  BCD  ,  P  ,  Q  ta trực tâm K  ; ;   52 52 26  Bài toán Cho đường thẳng  mặt phẳng   có phương trình: : x  12 y  z    ,   : 3x  y  z   a) Chứng minh đường thẳng  cắt mặt phẳng   tìm tọa độ giao điểm chúng b) Viết phương trình hình chiếu  mặt phẳng   c) Tìm tọa độ điểm A đối xứng điểm A 1;0; 1 qua mặt phẳng   Giải a) Đường thẳng  qua điểm M 12;9;1 có vectơ phương u  4;3;1 Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   3;5; 1 Ta có: u.n  4.3  3.5   1  26  Vậy  cắt   Tọa độ giao điểm    I  0;0; 2  b) Phương trình mặt phẳng    chứa  vng góc với   là: 8x  y  11z  22  Do hình chiếu  giao tuyến mặt phẳng 3x  y  z   8x  y  11z  22  Suy phương trình hình chiếu vng góc    : 124 62  x  t  124 62 61 61    x  61  61 t 50 25  Đặt z  t  nên  y    t 61 61   y   50  25 t  z  t 61 61    x   3t  c) Phương trình đường thẳng AA là:  y  5t  z  1  t  Tham số t ứng với giao điểm H AA   nghiệm phương trình: 1  3t    5t    1  t     35t  2 t   29 33   H  ; ;  35  35 35   23 31  H trung điểm AA nên A  ;  ;    35 35  Bài toán Cho đường thẳng d mặt phẳng   có phương trình: d: x  y  z 1   ,   : x  y  z   a) Tìm góc d   b) Tìm tọa độ giao điểm A d   c) Viết phương trình hình chiếu vng góc d   Giải a) Đường thẳng d có vectơ phương u   2;3;5 , mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   2;1;  Gọi  góc d   0    90   in   cos u, n  u.n u.n  435   25    57 b) Giao điểm A thuộc d nên A   2t; 1  3t;1  5t  Thế x, y, z vào phương trình   , ta được:   2t    1  3t   1  5t    , suy t 8 8 giao điểm A  ;0;  3 3 c) Hình chiếu d  d lên   qua giao điểm A Gọi  P  mặt phẳng chứa d vng góc với    P  có VTPT nP  u, n    2;8; 4  hay 1; 4;  Hình chiếu d  giao tuyến   với  P  nên có VTCP: u  n, nP    6; 3; 9  hay  2; 1; 3   x   2t  Vậy đường thẳng d  có phương trình tham số:  y  t   z   3t  Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: d1 : x 1 y 1 z  d   2 giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình: 5x  y  z  13  0, x  y  z   a) Chứng minh d1 d cắt điểm I b) Tìm tọa độ điểm A, B thuộc d1 , d cho tam giác IAB cân I có diện tích Giải a) Tọa độ giao điểm I d1 d thỏa mãn hệ: x3 y 3 z 3    x    5 x  y  z  13    y  Vậy I 1;1;  x  y  6z   z     b) Vectơ phương d1 u1   2; 2;1 Vectơ phương d u2  n, n   72; 18; 12  hay  6;3;  Gọi  góc d1 d ta có: cos   Ta có S IAB  u1.u2 u1 , u2  20 41  sin   21 21 41 41 nên IA  IB  IA sin   IA  42 42 Vì A thuộc d1 nên tọa độ A 1  2t;1  2t;2  t  5 7 1 5 Do IA  t   t   Suy A  ; ;  A  ; ;  3 3 3 3 Vì B thuộc d nên tọa độ B 1  6k ;1  3k ;2  2k  Do IB  k   k    13 10 16   12  Suy B  ; ;  B  ; ;  7 7  7 7 Vậy có bốn cặp điểm A, B nêu thỏa mãn yêu cầu toán 41 42 x  1 t x y 1 z   Bài toán Cho hai đường thẳng d :  d  :  y  2  t  z   t  a) Chứng minh hai đường thẳng chéo Tính khoảng cách d d  b) Viết phương trình đường vng góc chung d d  c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz , cắt d d  Giải d qua M  0;1;6  có vectơ phương u  1; 2;3 d  qua M 0 1; 2;3 có vectơ phương u  1;1; 1 a) Ta có M M 0  1; 3; 3 , u, u   5; 4; 1 u, u M M 0  14  Vậy hai đường thẳng d d  chéo u, u M M 0 14 42   Khoảng cách d d  là: d  d ; d      25  16  u , u     b) Đường vuông góc chung  d d  có vectơ phương u A  u, u   5; 4; 1 Ta viết phương trình mp  , d  mp  , d   , giao tuyến hai mặt phẳng  Vectơ pháp tuyến mp  , d  u , u   14;14; 14  hay 1;1; 1 Do đó, phương trình mp  , d  qua M  0;1;6  :  x  0   y 1   z  6  hay x  y  z   Vectơ pháp tuyến mp  , d   u , u   3; 6; 9  hay 1; 2;3 Do phương trình mp  , d   qua M 0 1; 2;3 : x    y  2   z  3  hay x  y  3z   Suy phương trình tham số đường vng góc chung:  x  16  5t  x  16  5t  Đặt z  t  nên  y  11  4t  y  11  4t z  t  c) Giả sử đường thẳng  song song với Oz, cắt d d  A B Ta có: A  t; t  2t;6  3t  , B 1  t ; 2  t ;3  t   Nên AB  1  t   t; 3  t   2t; 3  t   3t  Vì AB phương với k   0;0;1 nên  t   t  3  t   2t  suy t  4 t   5  x  4  Vậy A  4; 7; 6  AB   0;0;14  nên  :  y  7  z  6  t  x   t  x y 1 z 1  Bài toán Cho hai đường thẳng d1 :  y   2t d :   z   t  a) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua gốc tọa độ O song song với d1 d b) Tính khoảng cách hai đường thẳng d1 d c) Viết phương trình đường vng góc chung Giải d1 qua điểm M1 8;5;8 có VTCP u1  1; 2; 1 d qua điểm M  3;1;1 có VTCP u2   7; 2;3 a) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  là: n  u1 , u2   8; 4;6  hay  2;1;  Mp  P  qua O có phương trình x  y  z  Ta có M1 , M khơng thuộc mặt phẳng này, mặt phẳng cần tìm b) Ta có M M1   5; 4;7  , u1 , u2   8; 4;16  , đó: u1 , u2  M M1  168    Vậy hai đường thẳng d1 d chéo nên khoảng cách hai đường thẳng d1 d là: d  d1 , d   u1 , u2  M M    21 u1 , u2    c) Giả sử PQ đường vng góc chung d1 d với P  d1 , Q  d2 ; P 8  t;5  2t;8  t  , Q 3  7t ;1  2t ;1  3t  Ta có PQ   5  7t   t; 4  2t   2t; 7  3t   t  nên  6t   6t  t    PQ.u1     62t   6t  6 t  1   PQ.u2  Do P  7;3;9  , Q  3;1;1 Vậy đường vng góc chung d1 d có phương trình: x  y 1 z 1   Bài toán 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 1 , B  2;3; 1 , C 1;3;1 đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình x  y   0, x  y  z   Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d cho thể tích khối tứ diện ABCD Giải Ta có AB  1;3;0  , AC   0;3;  nên d có VTCP u   AB, AC    6; 2;3 x  t  Phương trình đường thẳng d là:  y   t  z   2t  Vì D  d nên D  t;1  t;3  2t   AD   t  1; t  2; 2t   VABCD  2t 1  AB, AC  AD   t  1   t  1   2t      6 Do VABCD   2t   t  1 t  Vậy có hai điểm D thỏa mãn toán D  1;0;5 D  5;6; 7  Bài toán 11 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;5;3 , B  4;2; 5 , C 5;5; 1 , D 1;2;4  a) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Lập phương trình mặt cầu  S  qua bốn điểm b) Viết phương trình mặt phẳng vng góc với CD tiếp xúc với mặt cầu  S  Tìm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu  S  mặt phẳng  Oyz  Giải a) Ta có AB   3; 3; 8 , AC   4;0; 4  , AD   0; 3;1  AB, AC   12; 20;12  nên  AB, AC  AD  72      Suy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Giả sử mặt cầu  S  có phương trình: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Vì mặt cầu  S  qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có: 1  25   2a  10b  6c  d  a  1 16   25  8a  4b  10c  d  b  2      25  25   10a  10b  2c  d  c  1   16  2a  4b  8c  d  d  19 Vậy phương trình mặt cầu  S  là:  S  : x  y  z  x  y  z  19  Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 1 bán kính R     19  b) mp  ABC  có vectơ pháp tuyến: n   AB, AC    12; 20;12  hay  3; 5;3 qua điểm A 1;5;3 nên có phương trình:  x  1   y  5   z  3  hay 3x  y  3z  13  Khoảng cách từ D đến mặt phẳng  ABC  là: h  3.1  5.2  3.4  13 32  52  32 Khoảng cách từ I tới mp  Oyz  d  nên S   18 43 cắt mp  Oyz  theo đường trịn có bán kính r2  R  d22  25   Bài toán 12 Cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  a) Tìm m để  P  : x  y  z  m  có điểm chung CA với  S  b) Tìm tọa độ giao điểm  S  với đường thẳng qua hai điểm M 1;1;1 N  2; 1;5 viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu  S  giao điểm c) Tìm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu  S  mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx Giải a)  S  có tâm I 1; 2;3 , R  14 Điều kiện  P  có điểm chung với  S  d  I ,  P   R  1   m 1   14   m  14   14  m   14 x  1 t  b) Phương trình đường thẳng MN là:  y   2t  z   4t  Tham số t ứng với giao điểm đường thẳng MN với  S  nghiệm phương trình: 1  t   1  2t   1  4t  2  1  t   1  2t   1  4t    21t 12t    t  t   Với t  ta có giao điểm thứ là: M1  2; 1;5 Với t    13  ta có giao điểm thứ hai là: M  ; ;   7 7  26  Ta có IM1  1; 3;  , IM    ;  ;     7 Mặt phẳng tiếp xúc  S  M1  2; 1;5 có phương trình: 1 x  2   y  1   z  5   x  y  z  15   13  Mặt phẳng tiếp xúc  S  M  ; ;   có phương trình: 7 7 3  4 1 13  26  5  x     y     z     21x  y  182 z  105   7 7 7  7 c) Gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu  S  với mặt phẳng tọa độ thì: r1  R2  z12  14   5, r2  13, r3  10 Bài tốn 13 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z   đường thẳng d: x 1 y 1 z   2 a) Tìm tọa độ giao điểm d với   b) Tính cosin góc hợp d   c) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng    Oxy  Giải a) Gọi M giao điểm d với   Tạo độ M nghiệm hệ phương trình: 2 x  y  z    3   x  y  z  M  ; 2; 1   2    2 b) Vectơ pháp tuyến   n   2; 1;  , vectơ phương d u  1; 2; 2  Gọi  góc d   thì: sin   Ta có sin   cos2    cos2   n.u  224 n.u 3.3  65 c) Gọi I 1  t;1  2t; 2t   d tâm mặt cầu  S  cần tìm Do  S  tiếp xúc với   mặt phẳng  Oxy  nên: d  I ;     d  I ,  Oxy    1  t   1  2t   4t   2t  2t   3t  t  1 t  Với t  1  S  có tâm I  0;1;  bán kính R  nên  S  có phương trình x   y  1   z    2 Với t S  6 2 I  ; ;  5 5 có tâm bán kính R nên S  có phương trình 6  7  2  x   y   z    5  5  5 25  Bài toán 14 Cho đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng  P  : x  z.sin   cos   0, Q  : y  z.cos   sin   Chứng minh đường thẳng d tạo với trục Oz góc khơng đổi Giải  P có VTPT n  1;0;  sin   Q  có VTPT m   0;1;  cos   Do d có VTCP u  n, m   sin  ;cos  ;1 Trục Oz có VTCP k   0;0;1   Ta có cos  d ; Oz   cos u, k  Vậy đường thẳng d hợp Oz góc 45 khơng đổi  x   at  Bài tốn 15 Cho đường thẳng  có phương trình:  y   bt a, b, c thay đổi cho  z   ct  c2  a2  b2  Chứng minh đường thẳng  qua điểm cố định, góc  Oz khơng đổi Giải Đường thẳng  qua điểm cố định A 1;1;5 Ta có: u   a; b; c  vectơ phương  Gọi  góc đường thẳng  trục Oz   cos   cos u, k  c a  b2  c  c c  2 Vậy   45 khơng đổi Bài tốn 16 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , xét đường thẳng  m giao tuyến hai mặt phẳng   : mx  y  mz     : x  my  z  m  a) Chứng minh góc  m trục Oz không đổi b) Chứng minh khoảng cách  m Oz không đổi Giải a)  m giao tuyến hai mặt phẳng với vectơ pháp tuyến n1   m;1; m  n2  1; m;1 Do  m có vectơ phương là: um  n1 , n2   1  m2 ; 2m; 1  m2  Trục Oz có vectơ phương k   0;0;1 Nếu gọi  m góc hai đường thẳng  m Oz thì: cos m  um k  m2  1  m  2 um k  4m2  1  m  2  Suy m  45 : không đổi b) Điểm M  x; y; z  thuộc  m tọa độ M nghiệm hệ: mx  y  mz     x  my  z  m  Khử z từ hệ phương trình, ta phương trình: 2mx  1  m2  y   m2  Đây phương trình mặt phẳng  m  chứa  m song song với trục Oz Do đó, khoảng cách  m Oz khoảng cách từ gốc O  0;0;0  thuộc Oz tới mp  m  Vậy khoảng cách bằng: dm  1  m2 4m  1  m  2   m2 m  2m   : khơng đổi Bài tốn 17 Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng  x  t  d :  y  1  2t hợp với mặt phẳng  Q  : x  y  z   góc bé z   t  Giải Gọi  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Vì  P  chứa d nên qua M  0; 1;2  , N  1;1;3 :  B  2C  D   A  2B  C    A  B  3C  D   D  B  2C Do  P  :  2B  C  x  By  Cz  B  2C  mp  Q  có VTPT n   2; 1; 2    Gọi  góc mặt phẳng thì: cos   cos n, n  Xét B    90 B 5B  BC  2C Xét B  , đặt m  C 1 thì: cos     B 2m  4m   m  1  Dấu “=” m  1 nên B  C ,   90 góc cần tìm Vậy  P  : x  y  z   Bài tốn 18 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   hai điểm A  3;0;1 , B 1; 1;3 Trong đường thẳng qua A song song với  P  , viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Giải Gọi  đường thẳng cần tìm;  nằm mặt phẳng  Q  qua A song song với  P  Phương trình  Q  : x  y  z   K , H hình chiếu B ,  Q  Ta có BK  BH nên AH đường thẳng cần tìm  x 1 y 1 z      11  Tọa độ H  x; y; z  thỏa mãn:  2  H  ; ;   9 9  x  y  2z 1  x  y z 1  26 11    AH   ; ;   Vậy phương trình  : 26 11 2  9 9 Bài tốn 19 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1 : x 1 y z 1 x  y z 1 x 1 y  z  d3 :   , d2 :     2 1 2 1 Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng d đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d A, B cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ Giải Vì A, B thuộc hai đường thẳng d1 , d nên A 1  a; 2a;1  a  , B   b;3b; 1  2b  Khi AB  1  b  a;3b  2a; 2  2b  a  Đường thẳng d có VTCP u3   2;1;1 Ta có: AB.u3   1  b  a    3b  2a    2  2b  a    b  a Khi AB  1; a; 2  a  Ta có AB   a   a     a  1   2 Dấu “=” xảy a  nên A  2; 2;  , AB 1; 1; 1 Vậy d : x2 y2 z2   1 1 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập a) Tính khoảng cách từ điểm: A 1; 2;1 đến đường thẳng  d  : b) Tính góc đường thẳng d : x y 1   z 3 x 1 y  z  mặt phẳng  P  : x  y  z     1 2 HD-ĐS a) Kết d  A;  d    347 26 b) Kết sin   3 Bài tập Tính khoảng cách hai đường thẳng: a)  d1  x 7 y 5 z 9 x y  z  18  d  :     1 1  x  t  x y  z 1  b) d :  , d  :  y   3t   1 2  z  4  3t   HD-ĐS a) Kết hai đường thẳng song song; d   d1  ;  d2    25 b) Kết d  d ; d    110 55 Bài tập Tìm điểm C a) đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng  P  :8x  11y  z   mà tam giác ABC vuông B với điểm A  4; 6;3 , B  5; 7;3 b) mặt phẳng  P  : 3x  y  z   cho tam giác ABC tam giác với điểm A  0;0; 3 , B  2;0; 1 HD-ĐS  40  a) Kết C   ;  ;  3   2 1 b) Kết C  2; 2; 3 , C   ;  ;    3 3 Bài tập Tìm tọa độ điểm M thuộc: a) mặt phẳng x  y  z   cho MA  MB  MC với ba điểm A  0;1;2  , B  2; 2;1 , C  2;0;1 b) đường thẳng d : x 1 y  z  cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  : x  y  z     1 HD-ĐS a) Kết M  2;3; 7  b) Kết M  3;5;7  , M  3; 7;1 Bài tập Tìm điểm M a) trục Ox cách điểm A  4; 2;3 mặt phẳng  P  có phương trình: x  y  3z  17  b) mặt cầu  S  : x2  y  z  2x  y  2z   cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  : x  y  2z 14  lớn HD-ĐS a) Kết M  1;0;0  , M   7;0;0  b) Kết M  1; 1; 3 Bài tập Tìm quỹ tích điểm M mà có tổng bình phương khoảng cách đến mặt phẳng: x  y   , x  y   , z   20 HD-ĐS Kết mặt cầu  x  1   y  3   z  1  20 2 Bài tập Tìm điểm M thuộc mặt phẳng: a)  : x  y  z   cho MA  MB nhỏ với A 1;3; 2  , B 13;7; 4  b)   : x  y  z   cho MA  MB  MC nhỏ với ba điểm: A  3;0;0  , B  0; 6;0  , C  0;0;6  HD-ĐS a) Kết AB song song  , M  9;1;1 b) Kết M  2; 1;3 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  2;5;3 đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng   chứa d cho khoảng cách từ A đến   lớn HD-ĐS Kết quả: x  y  z   x 1 y z    2 ...   VABCD  2t 1  AB, AC  AD   t  1   t  1   2t      6 Do VABCD   2t   t  1 t  Vậy có hai điểm D thỏa mãn tốn D  1;0;5 D  5;6; 7  Bài tốn 11 Trong khơng gian. ..  2B  2  7B2   A  AB  B    A  B   0  16  2 Do A  B  B  , tức A  0, B  C  : loại x   t  Bài toán Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y  ... 1; 2;5 x   Đường thẳng    qua KB là:  y   2t  z   2t  Do đó:    cắt  d1  A 1; 2;5 Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông cân B Biết A  5;3;