De dap an toan chuyen vinh phuc 08 09

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2008 2009 MÔN THI TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gi[.]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2008-2009 MƠN THI: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao CHNH THC Câu Cho phơng trình bËc hai Èn x : ax  (b  a  1) x  m  0 (1) a) Cho a 1, b 2 T×m m để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình (1) đạt giá trị nhỏ b) Chứng minh 2a  b  2ab  6a  2b phơng trình (1) có hai nghiệm đối Câu a) Có thể viết thêm chữ số xen chữ số số 1681 để số tạo thành số phơng? xy y b) Giải hệ phơng trình  xy 2  x C©u Cho x, y, z thoả mÃn 3( x y  z )   27 xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  y  z C©u Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M N tương ứng trung điểm đoạn thẳng AD BC Đường thẳng CM DN cắt E, đường thẳng BM AN cắt F Gọi diện tích tứ giác MENF S1 , diện tích tam giác DEC S , diện tích tam giác FAB S3 Chứng minh rằng: a) S1 S2  S3 b) AF BF CE DE    4 FN FM EM EN a1 1 , a2 3 ( a ) C©u Cho dãy số n xác định sau:   an 2 3an1  2an ( n   ) Chứng minh an2  7an21  8an an1     a  a n n 1   (Kí hiệu  x  số nguyên lớn không vượt số x ) -Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh số báo danh SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Đề thi vào lớp chuyên Toán Lưu ý chấm bài: -Hướng dẫn chấm (HDC) trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm -Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm -Bài hình học khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần -Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn b) 1.0 điểm b) 1.5 điểm a) 1.0 điểm C©u 2( 2.5 điểm ) C©u ( 2.5 đ ) a) 1.5 im Câu Phn Nội dung Điểm Với a=1, b=2, pt (1) có dạng x  x  (m  1) 0 (*) Ta cã  ' m   0m , pt (1) lu«n cã nghiƯm phân biệt Gäi x1,x2 lµ hai nghiƯm cđa pt (*), theo ViÐt ta cã 0.25 0.25  x1  x2 2   x1 x2  (m  1) MỈt kh¸c x12  x2 ( x1  x2 )  x1 x2 2m  6 0.25 VËy GTNN cña x12  x2 b»ng m=0 Ta có (a  2)2  (b  a)2  2(b  a)  0  (a  2)  (b  a 1) 0 V× (a  2)2 0, (b  a 1) 0a, b  R Suy a=2 , b= , pt (1) có dạng: x m2  0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 2 VËy pt (1) cã hai nghiƯm ®èi nhau: x1  m  , x2  m  2 0.25 (Hoặc coi giả thiết pt bËc Èn b, cã  '  (a  2) , ) Gäi sè ch÷ sè cã thể viết thoả mÃn điều kiện đầu n( n  * ) , ta cã 16.10n2  81 k ( k  * )(1) DÔ thÊy k phải lẻ, đặt k 2a 1( a ) Tõ (1) ta cã 2n4.5n2 (a  4)(a  5)(2) Vì a 4, a không tính chẵn lẻ a a nªn tõ  a  1 (*)  n 4 n 2 a   (2) suy có hai khả sau:  n 4  a  2 (**)  a  5n2  Ta thÊy hÖ (*) v« nghiƯm Tõ (**) suy 5n2  2n4 9 (3) +Víi n=0, (3) tho¶ m·n + Víi n>0 ta cã 5n2 25.5n  25.2n 16.2n  9.2n  16.2n nên (3) không thoả mÃn Vậy ta viết thêm chữ số để số mi tạo thành số phơng - Từ xy 2  x  x 0  y 2x x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 - Thay vào pt đầu, đợc x  (  x ) 0 x  ( x  2)2 0  x 2  x  NÕu x   y 2 ; x   y  2 0.25 0.25 0.25 Câu (1.5 đ) Vậy nghiƯm cđa hƯ pt lµ (x,y)= ( 2, 2);( 2,  2) Theo C« si: ( x  y  z )3 (3 xyz )3 27 xyz (1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 27 xyz 12( x  y  z )  16 (2) (1), (2)  P 12 P  16  ( P  4)( P  2) 0 (3) V× P   P    (3)  P 4 VËy P 4  x  y z  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài (2.5 điểm).iểm).m) a) 1.5 điểm: Kí hiệu SX diện tích X + Có S BDM  S ABD (1) , S BDN  S BDC  S BMDN  S ABCD (3) + Tương tự có S AMCN  S ABCD (4) +Từ (3)&(4)  S BMDN  S AMCN  S ABCD Từ (1)&(2)  S BMDN  S AMCN  S ABCD 0 + Suy S MENF  S DEC  S AFB b)1.0 điểm: AF S BF S (2) 0.50 0.25 0.25 0  S MNEF S DEC  S AFB (đpcm) CE S DE S ABM (5) ,  BAN (6) ,  CDN (7) ,  DMC (8) Có: FN  S FM S MAN EM S MDN EN S NMC NBM 1 Do S MAN S MDN  S ADN S NBM S NCM  S BMC nên từ (5),(6),(7),(8) có: S  S AF BF CE DE S BAN  S CDN S ABM  S DMC      2 BMC  ADN  1 FN FM EM EN  S ADN S BMC  (theo phần a)) S ADN S BMC 2 S  S AF BF CE DE Do 2 S BMC  S ADN  4 suy FN  FM  EM  EN 4 (đpcm) BMC   ADN Bài (1.0 điểm).i (1.0 điểm).iểm).m) Chứng minh an 2n  (theo qui nạp) Dễ thấy công thức cần chứng minh với cho n m n m  Khi có: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 n 1, Giả sử công thức  7a m2 1  8a m a m 1   7(2 m 1  1)  8(2 m  1)( m 1  1)       (2 m  1)  (2 m 1  1)    a m  a m 1    3.22 m2  2m2   m 2      2m2  am2 Vậy công thức  m m m   3.2  1  3.2    3.2  cần chứng minh với m  Theo nguyên lí quy nạp suy đpcm 0.50 0.25 0.25