De dap an Toan chuyen HVT Hoa Binh 1213

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O). Tìm giá trị lớn nhất của tích bốn số đó.. 3) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống CD thì khoảng c[r]

SỞ GD & ĐT HỊA BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ

Đề thức ĐỀ THI MƠN TỐN CHUYÊN Ngày thi: 30 tháng năm 2012

Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)

Bài 1(2 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A =

2

2

1

4 12

a a

a a

   

   

   

   

2) Chứng minh x0 =

4 - nghiệm phương trình x3 = – 3x – 3x2 Bài 2(3 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2

3 12 23

2

x y xy

x y

   

 

  



2) Giải phương trình

3x 1 9x 3x  1 27x 1 3) Cho hình thang vng ABCD có:  

AB90 , AD = AB = 20cm; BC = 10cm Gọi I trung điểm AB, tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CD

Bài 3(2 điểm) Phần nguyên số x số nguyên lớn không vượt x, kí hiệu [x]

1) Tính 2012 2012 2012

5

     

 

     

     

2) Biết n, a số nguyên dương thỏa mãn: n n 1

a a

    

 

        chứng minh n chia hết cho a

Bài 4(2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), lấy điểm M đường trịn (O) Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng với điểm M qua BC, AC, AB Chứng minh rằng:

1) AB’ = AC’

2) A’, B’, C’ thẳng hàng Bài 5(1 điểm)

ĐÁP ÁN Bài 1(2 điểm)

1) Điều kiện: a0

Đặt 2 2

2

1 1

2

t a t a t a

a a a

          Khi đó:

A =  

2

2

2 2 2

2

1 1

2 12 16 ( 4)

t t t t t t a a a

a a a

   

                   

   

2) Ta có: 3 3

3 – – 3 3 ( 1) 4

              

x x x x x x x x x

Do

x   nghiệm phương trình cho Bài 2(3 điểm)

1) Ta có:

2 2 2

2 2 2

3 12 23 16 24 46 17 24

2 23 23 46

                               

x y xy x y xy x xy y

x y x y x y

(2 )(172 ) 2 2

2              

x y x y x y

x y x y 2

7 17         y x x y

TH1: 2 2 2

1                  

x y x y x

y

x y y

1        x y TH2: 2 7 17 13 17 289 17 169 13                             y

y x x

x y y x y 13 17 13            x y

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:

7 17 17

( ; ) (1;1); ( 1; 1); ; ; ; 13 13 13 13

     

      

   

 

x y

2) Giải phương trình:

3x 1 9x 3x  1 27x 1 (1) Điều kiện:

2

3x

9x 3x

  



   

Khi đó, ta có:

(1) 2

3 (3 1)(9 1)

 x  x  x   x x  x

2

3 1(1 1) 2(1 1)

 x  x  x   x  x 

2

( 2)(1 1)

2      

     

x

x x

TH1: 3x 1 23x 1 4x1 (thỏa mãn điều kiện)

TH2: 2

0

9 1 1 (3 1) 1

3   

          

  

x

x x x x x x

x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình cho có nghiệm là: x=0; x=1; x=1

3

3) Gọi H chân đường vng góc hạ từ I xuống CD khoảng cách từ I đến CD độ dài đoạn IH

- Kẻ CE // AB, EAD ABCE hình chữ nhật 

CE = AB= 20 cm; AE = BC = 10 cm; ED = AD – AE = 10 cm - Vì tam giác CED vng E, nên ta có:

2 2

CD EC ED  20 10 10 cm - Ta có:

ICD ABCD IAD IBC

2

S S S S

1 1

(AD BC).AB IA.AD IB.BC

2 2

150 (cm )

     

    

Mặt khác, ta có:

ICD ICD

2.S

1 2.150

S IH.CD IH (cm)

2 CD 10



     

Vậy khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CD (cm)

Bài 3(2 điểm)

1) Ta có: 2012 2012 2012

5

     

 

     

     = 402 + 335 + 287 = 1024

2) Vì n, a số ngun dương nên ta ln giả sử naqr q r( , ,0 r a) Nếu 1 r a       

     



 aq r   

n r

q q

a a a (vì 0 1

r a )  1  1  1

     

 

 

 aq r   

n r

q q

a a a (

1 0 r 1

a ) Suy ra:     1

   



 

n n

a a , mâu thuẫn với điều kiện đề Từ suy r = 0, n chia hết cho a

E

H I

C

D A

Bài 4(2 điểm)

 Gọi E, I, F chân đường vng góc hạ từ M xuống cạnh AB, BC, AC 1) Theo tính chất phép đối xứng qua đường thẳng, dễ thấy:

AEC' AEM(c.g.c) AC' AM

AB' AC'

AFB' AFM(c.g.c) AB' AM

   

 

  

 

   

 

2) Chứng minh: A’, B’, C’ thẳng hàng

Giả sử MBC, với MAB hay M AC ta chứng minh tương tự

 Trước tiên ta chứng minh rằng: E, I, F thẳng hàng Thật vậy, ta có:

o MIE MBE (vì tứ giác MIBE nội tiếp) o MIF 180  0MCF (vì tứ giác MIFC nội tiếp)



0

180 MCA

 

 MBA

 (vì tứ giác MBAC nội tiếp)

Do đó:    

MIEMIFMBEMBA180

 E, I, F thẳng hàng (p/s: đường thẳng Simpson)

 Chứng minh: A’, B’, C’ thẳng hàng Thật vậy, ta có:

o ME MI C'A '/ /EI

MC' MA ' 2  (theo định lý Ta-lét đảo) (p/s: sử dụng t/c đường TB)

o ME MF C'B'/ /EF

MC' MB' 2  (theo định lý Ta-lét đảo) (p/s: sử dụng t/c đường TB) Mà EI EF, nên từ ta có: C'A '/ /EF

C'B'/ /EF

  

C'A 'C'B'A’, B’, C’ thẳng hàng

(p/s: Tiên đề Euclid “ Từ điểm A nằm đường thẳng b, kẻ đường thẳng a qua A song song với đường thẳng b”)

I

F

E

B'

C'

A' O A

B C

Bài 5(1 điểm)

C1: Giả sử số nguyên dương: 0 a b c d, thỏa mãn: a  b c d2013; abcd đạt giá trị lớn d a

Khi ta xét số sau: a1  a 1; b1b; c1 c; d1 d 1

Ta có: a b c d1 1 1 abcd(a 1)bc(d 1)  abcd[abcdbc(d a 1)] abcd bc(d a 1)0

1 1

a b c d abcd

  (mâu thuẫn cách chọn số {a, b, c, d}) Từ suy ra: d a d a

 Xét TH: d  a d a b c a, nên ta có: 4a 2013 a 2013

   (loại)

 Xét TH: d  a d a 1; 0 a b c d, nên ta có trường hợp số có dạng sau:

o TH1: a; a; a; a 1  4a 2013   a 503, ta số: 503, 503, 503, 504 o TH2: a; a; a 1; a 1   4a 2013 a 2011

4

    (loại)

o TH3: a; a 1; a 1; a 1   4a 2013 a 1005

    (loại)

Vậy GTLN tích bốn số

503 504, số { 503; 503; 503; 504}

C2: Phát biểu lại toán: Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn:

a  b c d2013 Tìm giá trị lớn P = abcd

- Nếu GTLN P đạt số a , b ,c ,d0 0 0 0thì | xy | 1; với x, y {a , b , c ,d } 0 0 0 0

Đơn giản x, ythì: xyxyxy (x 1)(y 1), x     y2

- Khơng tính tổng qt ta giả sử a0 b0 c0 d0, từ nhận xét ta có | da | 1

Từ suy ra: da d a

- GTLN P xảy có n số a 4n số a 1 (với nN, 0n4) Do có phương trình: na(4n)(a 1) 20134an 2009

Suy có n = a = 503 thỏa mãn Vậy GTLN P