Chứng minh rằng 0.5 điểm 6 trong các số lấy ra có ít nhất hai số nguyên tố cùng nhau.. Mà hai số thuộc cùng một cặp là hai số 0.25 nguyên tố cùng nhau nên ta được đpcm.[r]
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (chun) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Đáp án Câu Thang điểm ỉ x +2 x +1 2- x ữ ữ P =ỗ + ỗ ữ ỗ ỗ x- ữ x + x + x , với x > 0, x ¹ è ø Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P 2.0 điểm b) Tính giá trị biểu thức P x = 46- - 3( - 1) ổ ữ ỗ ữ x + 2 x x +1 ỗ ữ P =ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ( x - 1)( x +1) ữ x ỗ ữ ỗ ố x +1 ø a ( ( = = ) x + 2)( ) ( x )( ( x - 1)( x +1) x - + 2- 2 x ( ) x +1 )( x- ) x +1 ( x +1 x ) x = 46- - - = = (3 x- 0.25 x +1 x 0.25+0.25 ) - - 3( - 1) = - 1- + = P= =2 2- Do Câu Cho phương trình x - 2mx + m2 - 4m - = (m tham số) Tìm m để 2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức T = x1 + x2 - x1x2 đạt giá trị nhỏ 0 4m 0 m Phương trình cho có nghiệm b 0.25 0.25 0.25+0.25 0.25 1.0 điểm 0.25 x1 x2 2m x x m 4m Theo định lý Viet: 2 T = x12 + x22 - x1x2 = ( x1 + x2 ) - 3x1x2 = m +12m + = ( m + 6) - 27 21 m + 6³ T³ nên Suy 16 Do m , T đạt giá trị nhỏ 16 Vậy 0.25 0.125 0.125 m Câu 4( x2 +1) = 2x2 - 7x + +14x (1) a) Giải phương trình: éx ³ ê 2x - 7x + ³ Û ê êx £ ê ë ĐK: (1) Û 4x2 - 14x + 4- 2x2 - 7x + = Û 2(2x2 - 7x + 3) - 2x2 - 7x + - = Đặt t = 2x - 7x + (t ³ 0) Phương trình trở thành: ét = ê 2t - 3t - = Û ê êt = - (l ) ê ë 0.25 1.0 điểm 0.125 0.125 0.25 0.125+0.125 2 Với t = Þ 2x - 7x + = Û 2x - 7x - 1= ± 57 Û x= (thỏa mãn) 0.125 ± 57 Kết luận: Chú ý Thí sinh khơng đối chiếu điều kiện trừ tồn 0.125đ ìï xy - y = 3y - 1- x + 2y - (1) ï í ï b) Giải hệ phương trình: ïỵ x y - 4xy + 7xy - 5x - y + = (2) ìï ïï y ³ í ïï ĐK: ïỵ x + 2y ³ 1 3y - + x + 2y - = Û x = y = Xét Thay vào (2) không thỏa mãn 0.125 x= 1.0 điểm 0.125 0.25 Xét é êx ¹ ê 3y - + x + 2y - ¹ Û ê ê êy ¹ ê ë (1) Û y ( x - y ) = 0.25 y- x 3y - + x + 2y - éx = y ê æ Û ê 1ử ờy + =0 ỗ VN y ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 3 y + x + y ê ë Với x = y, thay vào (2) ta được: x - 4x + 7x2 - 6x + = Û ( x - 1)2 ( x2 - 2x + 2) = Û x = Khi y =1 Vậy nghiệm hệ (1; 1) Chú ý Thí sinh khơng xét trường hợp x=y= 0.125 0.25 trừ toàn 0.25đ Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường trịn (O) Tiếp Câu tuyến A (O) cắt đường thẳng BC T Gọi (T) đường tròn tâm T bán kính TA Đường trịn (T) cắt đoạn thẳng BC K · a) Chứng minh TA = TB.TC AK tia phân giác góc BAC b) Lấy điểm P cung nhỏ AK đường tròn (T) Chứng minh TP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC c) Gọi S, E, F giao điểm thứ hai AP, BP, CP với (O) Chứng minh SO ^ EF 3.0 điểm a) Chứng minh TA = TB.TC 1.0 điểm Xét hai tam giác TAB TCA có: · · góc T chung TAB = TCA (cùng chắn cung AB) TA TB = Þ TA2 = TB.TC Do D TAB : D TCA Suy TC TA (đpcm) ·BAC Chứng minh AK tia phân giác góc · · · Ta có BAK + TAB = TKA (tam giác TAK cân T) · · · Mà TKA = KCA + KAC (góc ngồi tam giác KAC) · · · · · · Suy BAK + TAB = KCA + KAC Hơn TAB = KCA (cmt) · · · Do BAK = KAC hay AK tia phân giác góc BAC b) Chứng minh TP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC 2 » Ta có TA = TP (do P Ỵ AK ), mà TA = TB.TC nên TP = TB.TC TP TC = Suy TB TP Xét hai tam giác TPB TCP có: TP TC = Góc T chung TB TP nên VTPB : VTCP · · Suy TPB = TCP Do TP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC c) Chứng minh SO ^ EF · · · · · Vì TPB = TCP (cmt) TCP = BCF = BEF (tứ giác BCEF nội tiếp) · · = BEF nên TPB Do TP P EF (1) 0.25+0.25 0.25+0.25 0.5 điểm 0.125 0.125 0.25 1.0 điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 điểm 0.25 Chú ý tam giác TAP cân T tam giác OAS cân O Gọi R giao điểm SO TP 0.25 o · · · · · · · Ta có PSR + RPS = OAP + APT = OAP + PAT = 90 Þ PRS = 90 Do SO ^ TP (2) Từ (1) (2) suy SO ^ EF Câu Cho biểu thức Q = a + 2a - 16a2 - 2a +15 Tìm tất các giá trị nguyên a để Q chia hết cho 16 Q = a + 2a - 16a - 2a +15 = (a + 2a - 2a - 1) - (16a - 16) = (a - 1)(a +1)3 - 16(a2 - 1) Với a lẻ, a = 2k + 1, k ẻ Â 3 Khi đó: (a - 1)(a + 1) = 2k (2k + 2) = 16k (k + 1) M16 Mà 16(a - 1) M16 nên Q chia hết cho 16 Vi a chn, a = 2k , k ẻ Â 1.0 điểm 0.25 0.25 0.25 3 Khi đó: (a - 1)(a +1) = (2k - 1)(2k +1) số lẻ nên khơng chia hết cho 16 Do Q không chia hết cho 16 0.25 Kết luận: a số ngun lẻ Chú ý Thí sinh dự đốn a lẻ chứng minh sai tồn 0.25đ Câu a) Từ 2016 số: 1, 2, 3, , 2016 ta lấy 1009 số Chứng minh 0.5 điểm số lấy có hai số ngun tố Chia số cho thành 1008 cặp sau: 0.25 (1; 2), (3; 4), , (2015; 2016) Chọn 1009 số từ 1008 cặp nên theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số thuộc cặp Mà hai số thuộc cặp hai số 0.25 nguyên tố nên ta đpcm b) Cho hai số thực a, b lớn Chứng minh rằng: 11 0.5 điểm + 3ab + ³ a b - 1+b a - Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: b - 1+1 b ab b - 1£ = Þ a b - 1£ 2 0.125+0.125 6 ab ³ b a - 1£ , nên a b - + b a - ab Dấu “=” xảy Tương tự: a = b = 6 18 S= + 3ab + ³ + 3ab + = + 3ab + ab 3ab a b - 1+ b a - Đặt t = 3ab + Þ 3ab = t - Khi đó: 18 18 S= +t = + (t - 2) + (t + 2) + t - (t - 2)(t + 2) 4 31 11 S ³ 33 18 +1= 44 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số ta được: Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy t = hay a = b = 0.125+0.125 LƯU Ý: Học sinh giải theo cách khác đúng, khoa học theo yêu cầu toán, giám khảo cân nhắc cho điểm tối đa phần ... sai tồn 0.25đ Câu a) Từ 2016 số: 1, 2, 3, , 2016 ta lấy 1009 số Chứng minh 0.5 điểm số lấy có hai số ngun tố Chia số cho thành 1008 cặp sau: 0.25 (1; 2), (3; 4), , (2015; 2016) Chọn 1009 số từ