PPT Chuong 3(web) [Compatibility Mode] CCChhhưưươơơnnnggg IIIIIIIII NNNOOOÄÄÄIII SSSUUUYYY 111))) NNNoooäääiii sssuuuyyy ñññaaa ttthhhöööùùùccc 222))) NNNoooäääiii sssuuuyyy SSSpppllliiinnneee bbbaaaä[.]
Chương III : NỘI SUY 1) Nội suy đa thức 2) Nội suy Spline bậc 3) Phương pháp bình phương tối thiểu Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 1.1) Nội suy đa thức theo Lagrange a) Nội dung : Biết giá trị yi = f ( xi ) hàm y = f ( x) điểm x i theo bảng Tìm hàm lại hàm f ( x) Lời giải : Vô số hàm Tìm f ( x) = P( x) đa thức bậc n thỏa P ( xi ) = yi Lời giải Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính Các bước tìm đa thức P (x) Bước : Thiết lập đa thức sở Lagrange n ( x − xk ) L i ( x) = ∏ k = , k ≠ i ( xi − x k ) Ví dụ : L0 ( x) = ( x − x1) (x − xi −1)(x − xi ) (x − xn ) = ( x0 − x1) (x0 − xi −1)(x0 − xi ) (x0 − xn ) Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính Bước : Công thức tính P(x) n P ( x ) = ∑ yi L i ( x ) = i=0 y L ( x ) + y1 L ( x ) + + y n L n ( x ) b) Sai soá : f ( x) − P( x) ≤ M ( n +1) ≤ ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x n ) ( n + 1)! Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính c) Nhận xét : *) Số mốc nội suy lớn sai số nhỏ , nhiên bậc đa thức lớn, tính toán dài ( n + ) *)Sai số phụ thuộc vào M , thực tế hàm f ( x) chưa biết *)Đa thức nội suy P (x) Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính Ví du ï : Tìm đa thức nội suy P(x) từ bảng số liệu x0 = − , x1 = , x2 = 1 y0 = , y1 = , y2 = 3 Tính gần giá trị bảng x = 0.7 Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính Giải : Ta tìm đa thức Lagrange ( x − 0)( x − 1) x − x L0 ( x) = = (−1 − 0)(−1 − 1) [ x − (−1)](x − 1) x − L1( x) = = [0 − (−1)](0 − 1) −1 x +x [ x − (−1)]( x − 0) L2 ( x) = = [1 − (−1)](1 − 0) 2 x + 4x + P( x) = L0 ( x) + 1L1( x) + L2 ( x) = 3 2.(0.7) + 4.(0.7) + P ( ) = = 2.26 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính d) Tỷ sai phân Tỷ sai phân bậc f x0 : f [ x0 ] = f ( x0 ) Tyû sai phân bậc f x0 , x1 : f [ x ] − f [ x0 ] f [ x0 , x ] = x − x0 Tỷ sai phân bậc f x , x , x f [ x 1, x ] − f [ x0 , x ] f [ x0 , x 1, x2 ] = x − x0 Tương tự cho tỷ sai phân bậc cao Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính e) Bảng tỷ sai phân Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính f) Nội suy Newton tiến theo bảng tỷ sai phân Đa thức P (x) tìm dạng P( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1) + + an ( x − x0 )( x − x1) ( x − xn −1) Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 10 P ( x ) = + 2( x − 1) + ( x − 1)( x − 0) 2 = x + x +1 Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 13 2) Nội suy Spline bậc a) Nội dung : Cho bảng số liệu Tìm hàm S (x) thỏa điều kiện : S (x) : Đi qua điểm cho bảng S (x) đa thức bậc đoạn nhỏ [ x j , x j +1] ( đa thức có hệ số khác nhau) Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 14 Gọi S j (x) đa thức đoạn nhỏ [ x j , x j +1] S j (x) thỏa điều kiện : a) S j ( x j ) = y j S j ( x j + 1) = y j +1 b) S /j ( x j + 1) = S / ( x j + 1) j +1 // // c) S j ( x j + 1) = S j +1( x j + 1) d) S0/ / ( x0 ) = Sn/ /−1 ( xn ) điều kiện biên tự nhiên Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 15 h j = x j +1 − x j a j = yj (c j + − c j ) dj = 3h j ( a j + − a j ) h j (c j + + 2c j ) bj = − hj Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 16 Để tìm c j ta giải từ hệ Ax = b 1 h 0 A= 0 0 0 ( h0 + h 1) h1 0 c0 c1 x= c n −1 c n h1 ( h + h2 ) 0 h2 hn − 0 ( hn − + hn −1 ) hn −1 0 0 3 (a2 − a 1) − (a − a0 ) h1 h0 B = ( a n − a n −1 ) − ( a n −1 − a n − ) hn − hn −1 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 17 Ví dụ : Nội suy Spline bậc bảng x0 = y0 = x1 = y1 = x2 = y2 = x3 = y3 = a0 = y0 = a1 = y1 = a2 = y2 = a3 = y = Các hệ số ci tính theo hệ phương trình 1 0 0 c0 c0 c 1 0 c 1 = 1 = c2 0 1 c2 − 21 c 0 0 1 c 3 3 b0 = b1 = b2 = d0 = d1 = −3 d2 = Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 0 3 − 6 0 18 Ta có hàm : S ( x) = 1( x − 0)3 1 + 3( x − 1) + 3( x − 1) − 3( x − 1) −6( x − 2) + 2( x − 2) 4 Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 2≤ x ≤3 19 Spline với điều kiện biên ràng buộc d ) S 0/ ( x0 ) = f '( x0 ) , S n/ −1 ( xn ) = f '( xn ) f ' ( x0 ) , f ' ( xn ) đại lượng cho trước 2h0 h0 0 0 h1 h0 2(h0 + h 1) h1 2(h1 + h2 ) h2 A= 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1 0 2hn−1 hn−1 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 20