BÀI TOÁN STURM LIOUVILLE Bài giảng điện tử BÀI TOÁN STURM LIOUVILLE BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email ytkadai@hcmut ed[.]
BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 NỘI DUNG HỆ STURM-LIOUVILLE Sự tách biến Hệ Sturm-Liouville đầy đủ Hệ Sturm-Liouville tuần hoàn Bài tập TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG Hàm trực giao Sự biểu diễn hàm thành chuỗi hàm riêng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Sự tách biến Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai dạng chuẩn tắc a(x, y)uxx + c(x, y)uyy +d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u = (1) Giả sử nghiệm (1) tìm dạng tách biến (2) u(x, y) = X (x)Y (y) 6= Thay nghiệm u(x, y) (2) vào phương trình (1), ta aX 00 Y + cXY 00 + dX Y + eXY + fXY = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 (3) / 45 Hệ Sturm-Liouville Sự tách biến Giả sử tồn hàm p(x, y), cho chia phương trình (3) cho p(x, y), ta a1 (x)X 00 Y + b1 (y)XY 00 + a2 (x)X Y + b2 (y)XY +[a3 (x) + b3 (y)]XY = (4) Tiếp tục chia phương trình (4) cho XY , ta c ả ả X 00 X0 Y 00 Y0 a1 + a2 + a3 = − b1 + b2 + b3 (5) X X Y Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Sự tách biến Vế trái phương trình (5) hàm phụ thuộc vào x, vế phải phương trình (5) phụ thuộc vào y Do đó, lấy đạo hàm phương trình (5) theo biến x, ta c ả X 00 X0 d a1 + a2 + a3 = dx X X (6) Lấy tích phân phương trình (6), ta X 00 X0 a1 + a2 + a3 = λ = const X X 00 Y Y0 b1 + b2 + b3 = −λ Y Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE (7) (8) TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Sự tách biến Phương trình (7) (8) viết lại sau: a1 X 00 + a2 X + (a3 − λ)X = (9) b1 Y 00 + b2 Y + (b3 + λ)Y = (10) Do đó, u(x, y) nghiệm phương trình (1) X (x) Y (y) tương ứng nghiệm phương trình vi phân (9) (10) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Hệ Sturm-Liouville đầy đủ Bằng phương pháp tách biến, chuyển phương trình đạo hàm riêng cấp hai thành phương trình vi phân (9) (10) có dạng sau: dy d2y a1 + a2 + (a3 + λ)y = dx dx (11) Nếu ta thay x Z a2 (t) a3 (x) p(x) p(x) = exp dt , q(x) = p(x), s(x) = , a1 (t) a1 (x) a1 (x) x0 (12) vào phương trình (11), ta TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Hệ Sturm-Liouville đầy đủ µ ¶ dy d p + (q + λs)y = 0, dx dx (13) Phương trình gọi phương trình Sturm-Liouville Tốn tử Sturm-Liouville xác định sau: ả d d p + q (14) L := dx dx Khi đó, phương trình (13) viết lại sau: L[y] + λsy = (15) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Hệ Sturm-Liouville đầy đủ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Phương trình Sturm-Liouville gọi đầy đủ đoạn [a, b] hàm p(x) > s(x) > đoạn [a, b] ĐỊNH NGHĨA 1.2 Phương trình Sturm-Liouville đầy đủ L[y] + λsy = 0, a É x É b, với điều kiện biên a1 y(a) + a2 y (a) = 0, b1 y(b) + b2 y (b) = 0, (16) gọi hệ Sturm-Liouville đầy đủ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 / 45 Hệ Sturm-Liouville Hệ Sturm-Liouville đầy đủ ĐỊNH NGHĨA 1.3 Những giá trị λ để hệ Sturm-Liouville có nghiệm không tầm thường gọi trị riêng, nghiệm tương ứng gọi hàm riêng VÍ DỤ 1.1 Xét hệ Sturm-Liouville đầy đủ y 00 + λy = 0, É x É π, y(0) = 0, y (π) = Tìm trị riêng hàm riêng tương ứng hệ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE TP HCM — 2016 10 / 45