PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC Bài giảng điện tử PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC BÀI GIẢNG ĐIỆN[.]
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT PHƯƠNG TRÌNH L APLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình PHƯƠNG TRÌNH DAO NG CA MNG CH NHT 2 ả ∂ u ∂ u ∂ u = a + , 2 ∂t ∂x ∂y É x É L1 , É y É L2 , t > u(0, y, t) = 0, u(L1 , y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, L2 , t) = u(x, y, 0) = f (x, y), ∂u(x, y, 0) = g(x, y) ∂t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình Theo phương pháp tách biến, giả sử nghiệm có dạng u = u(x, y, t) = X (x)Y (y)T (t) Thay vào phương trình dao động ta X 00 (x) Y 00 (y) T 00 (t) = + = λ1 , a2 T (t) X (x) Y (y) λ1 số tách biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình Từ ta suy phương trình sau T 00 (t) − a2 λ1 T (t) = X 00 (x) Y 00 (y) + = λ1 X (x) Y (y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình Tách biến cho phương trình thứ hai Y 00 (y) X 00 (x) = λ1 − = λ2 X (x) Y (y) ( X 00 − λ2 X (x) = 0, X (0) = X (L1 ) = Y 00 (y) − (λ1 − λ2 )Y (y) = 0, Y (0) = Y (L2 ) = Đặt λ2 = −ω21, λ1 − λ2 = −ω22 giải phương trình nπ nπx ta ω1 = , X (x) = Xn(x) = sin , L1 mπ mπx ω2 = , Y (y) = Ym (y) = sin L2 L2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) L1 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trỡnh ả2 n , L ả2 m − λ2 = −ω22 = − , suy L # "à ả ả m n λ1 = − + = −λ2mn L1 L2 Phương trình hàm t có dạng T 00 (t) + a2 λ2mn T (t) = có nghiệm Từ λ2 = −ω21 = − µ T (t) = Tmn (t) = Amn cos aλmn t + Bmn sin aλmn t, Amn, Bmn số tùy ý TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình Vậy, ta có nghiệm riêng toán umn (x, y, t) = Tmn (t)Xn (x)Ym (y) mπy nπx sin = (Amn cos aλmn t+Bmn sin aλmn t) sin L1 L2 Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, ta có nghiệm tổng quát u(x, y, t) = ∞ X ∞ X umn = m=1 n=1 = ∞ X ∞ X Tmn (t)Xn (x)Ym (y) m=1 n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình Điều kiện ban đầu toán cho phép ta xác định Amn Bmn u(x, y, 0) = ∞ X ∞ X m=1 n=1 Amn sin mπy nπx sin = f (x, y) L1 L2 ∞ X ∞ mπy ∂u(x, y, 0) X nπx = sin = aλmn Bmn sin ∂t L1 L2 m=1 n=1 = g(x, y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM TRÌNH — 2016.LAPLACE / 34TRO Phương trình dao động màng chữ nhật Phương trình , Ym > = ||Xn ||2 ||Ym ||2 Z L1 Z L2 nπξ mπη = f (ξ, η) sin sin dξdη L1 L2 0 L1 L2 , Ym > Bmn = = ||Xn ||2 ||Ym ||2 Z L1 Z L mπη nπξ = g(ξ, η) sin sin dξdη L1 L2 aλmn 0 L1 L2 Amn = ξ, η biến lấy tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM — TRÌNH 2016 LAPLACE 10 / 34TRO Phương trình Laplace hệ tọa độ cực Bài tốn Laplace bên hình trịn GHW #5 BÀI TẬP 2.1 Giải phương trình Laplace với điều kiện biên Dirichlet sau ∇2 u = 0, É r < 3, u|r=3 = ϕ2 (0 É ϕ < 2π) Đáp số ¶ µ ∞ ³ r ´n π P u(r, ϕ) = π + cos nϕ − sin nϕ n2 n n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG TP HCM — TRÌNH 2016 LAPLACE 20 / 34TRO