Bài toán tối ưu

Bài tốn tối ưu TỐN RỜI RẠC NỘI DUNG Giới thiệu  Kỹ thuật nhánh cận  Kỹ thuật nhánh cận giải toán người bán hàng  GIỚI THIỆU  Bài tốn tối ưu: Là tốn tìm tổ hợp tốt tổ hợp tạo ra, thỏa mãn yêu cầu cho trước  Tối ưu tổ hợp có nhiều ứng dụng thực tế MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU  Xếp ba lơ (1): có ba lơ, mang khơng q trọng lượng b Có n đồ vật với trọng lượng: a1, …, an giá trị c1, …, cn tương ứng Hỏi ta xếp vào ba lô vật để mang giá trị lớn nhất?  Xếp ba lô (2): tương tự loại đồ vật mang theo từ 0->m lần MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƯU  Bài tốn người bán hàng:  người bán hàng cần giao hàng đến n điểm: T1, …, Tn  Đường đi: Xuất phát từ địa điểm Ti, qua tất điểm lại, nơi qua lần quay trở lại vị trí xuất phát  Biết Cij chi phí từ địa điểm Ti đến Tj  Yêu cầu: Hãy tìm hành trình thỏa mãn u cầu có tổng chi phí nhỏ MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU  Bài tốn phân cơng: Có n cơng việc n thợ Cij chi phí để trả cho thợ i làm cơng việc j Hãy tìm cách th thợ cho tổng chi phí nhỏ Lưu ý: thợ làm việc việc làm thợ MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU  Bài toán trả tiền ATM: Khách hàng yêu cầu rút số tiền n Trong ATM có loại tiền với mệnh giá: a1, …, am Tính xem phải trả tiền để số tờ tiền nhất? BÀI TỐN Dạng tổng qt toán tối ưu:  Cho tập hữu hạn phần tử D  Hàm mục tiêu f(X) xác định D  Mỗi phần tử X ∈ D có dạng X = (x1, x2, …, xn) gọi phương án  Yêu cầu: Tìm phương án X0 cho f(X0) đạt cực đại (cực tiểu) D Phương án X0 gọi phương án tối ưu VÍ DỤ Bài tốn xếp ba lơ (mỗi đồ vật chọn không lần):  Tập phương án (D): Tập n phần tử (x1, …, xn) xi = khơng chọn vật thứ i = chọn  Hàm mục tiêu (f) : Tổng giá trị đồ vật xếp được: f 𝑥 = σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑐𝑖  Điều kiện: Tổng khối lượng không b: σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑎𝑖 ≤ 𝑏  Yêu cầu: Tìm phương án thỏa mãn điều kiện làm hàm mục tiêu đạt cực đại KỸ THUẬT NHÁNH CẬN KT NHÁNH CẬN GIẢI BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG  Tập tất phương án (S0) chia thành tập rời S1, S2, …  Tập có cận nhỏ lựa chọn để phân chia tiếp  Khi tập có phương án => tính chi phí phương án  Sử dụng kết tính để đối chiếu, cập nhật cho giá trị kỷ lục  Tập có cận lớn kỷ lục bị loại XÁC ĐỊNH CẬN DƯỚI    Trên ma trận chi phí, hàng, cột có giá trị chọn Nếu bớt tất phần tử hàng (cột) giá trị a chi phí tất đường giảm a Rút gọn ma trận chi phí 𝑐′𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 − 𝛼𝑖 − 𝛽𝑗 Sao cho: hàng cột có giá trị => Đường có chi phí (cận dưới) không nhỏ tổng giá trị mà ta trừ tất hàng cột 𝑛 𝑛 𝛾 𝑆 = ෍ 𝛼𝑖 + ෍ 𝛽𝑗 𝑖=1 𝑗=1 XÁC ĐỊNH CẬN DƯỚI  Ví dụ: Ma trận chi phí ∞ 93 13 33 ∞ 77 42 21 45 17 ∞ 36 39 90 80 28 46 s[j]  Ma trận rút gọn r[i] ∞ 75 30 16 ∞ 58 30 17 12 16 28 16 29 ∞ 12 12 ∞ 56 7 32 83 58 ∞ 49 88 33 ∞ 25 25 21 48 ∞ 88 18 46 92 ∞ 85 35 89 ∞ 15 0 Cận = + + 16 + + 25 + + 15 + = 81 QUY TẮC PHÂN NHÁNH  Giả sử cần phân nhánh tập Sp ⊂ S0  Cách phân nhánh: chia thành tập Sp1 chứa cạnh (r,s) Sp2 không chứa cạnh (r,s)  Cạnh (r,s) chọn cho: Sp1 có khả chứa phương án tối ưu => chọn (r,s) | hiệu cận Sp1 Sp2 max QUY TẮC PHÂN NHÁNH  Ma trận chi phí: C = [cij] – rút gọn  Ta xét tập hợp tương ứng S0, S1, S2   S1 tập đường chứa cạnh (r, s), S2 không chứa (r, s) Ta thấy:  Với S1, cấu trúc tốn khơng thay đổi; ma trận C bớt hàng r, cột s Ma trận thỏa mãn dạng rút gọn => hàm cận tăng thêm: 𝛾 𝑆1 = 𝑐𝑟𝑠  Với S2, xrs = => ∃𝑥𝑟𝑗 , 𝑥𝑖𝑠 = 𝑗 ≠ 𝑠, 𝑖 ≠ 𝑟 => hàm cận tăng thêm:  S   crj  xis js ir QUY TẮC PHÂN NHÁNH  Nếu chọn cạnh (r,s) có chi phí crs > 0: Trên hàng r cột s chắn tồn phần tử => γ(S2) = < crs => loại  Nếu chọn cạnh (r,s) có chi phí = Hiệu chênh lệch γ(S1) γ(S2) γ(S2) Để giá trị lớn nhất: ta tìm cặp (r, s): max crj  xis  ir r ,s  j  s  * => Với tập đường đi, ta chọn cạnh (r, s) thoả mãn (*) để phân thành tập con: tập đường chứa cạnh (r, s) tập không chứa cạnh (r, s) NGĂN CẤM TẠO CHU TRÌNH CON  Sau lựa chọn ta cần thực số thay đổi bắt buộc trước tính lại cận dưới:  Nếu 𝑥𝑢𝑗 = ∀ 𝑗 = 1, 𝑛 \ 𝑣 ⇒ 𝑥𝑢𝑣 =  Nếu 𝑥𝑗𝑣 = ∀ 𝑗 = 1, 𝑛 \ 𝑢 ⇒ 𝑥𝑢𝑣 =  Nếu khơng chọn cạnh (r, s) crs = ∞  Nếu chọn cạnh (r, s) csr = ∞  Trong cạnh chọn thêm cạnh để tạo thành chu trình phải đặt chi phí cạnh ∞ Ví dụ: Nếu chọn cạnh (1, 2) (2, 5) => phải đặt giá trị cạnh (5,2) C52 = ∞ VÍ DỤ - CHỌN CẠNH PHÂN NHÁNH 6 ∞ 75 30 ∞ 03 75 30 ∞ 58 30 17 12 012 ∞ 58 30 17 12 29 ∞ 12 12 29 ∞ 12 018 12 32 83 58 ∞ 49 32 83 58 ∞ 49 032 21 48 ∞ 21 48 02 ∞ 00 85 35 89 ∞ 00 85 048 35 89 ∞ VÍ DỤ - CHỌN CẠNH PHÂN NHÁNH 6 ∞ 75 30 ∞ 03 75 30 ∞ 58 30 17 12 012 ∞ 58 30 17 12 29 ∞ 12 12 29 ∞ 12 018 12 32 83 58 ∞ 49 32 83 58 ∞ 49 032 21 48 ∞ 21 48 02 ∞ 00 85 35 89 ∞ 00 85 048 35 89 ∞ Chọn cạnh (6, 3) để phân nhánh VÍ DỤ - CHỌN CẠNH PHÂN NHÁNH 6 ∞ 30 ∞ 03 75 30 ∞ 30 17 12 012 ∞ 58 30 17 12 29 12 ∞ 29 ∞ 12 018 12 32 83 ∞ 49 32 83 58 ∞ 49 032 21 ∞ 21 48 02 ∞ 00 85 ∞ 35 89 ∞ S1: xóa hàng 6, cột 3, đặt c36 = ∞ S2: đặt c63 = ∞ VÍ DỤ - CHỌN CẠNH PHÂN NHÁNH 6 ∞ 03 30 ∞ 03 75 30 015 ∞ 30 17 12 012 ∞ 58 30 17 12 29 12 018 ∞ 29 ∞ 12 018 12 32 83 ∞ 49 032 32 83 58 ∞ 49 032 21 02 ∞ 00 21 48 02 ∞ 00 00 85 ∞ 35 89 ∞ S1: xóa hàng 6, cột 3, đặt c36 = ∞ Cận mới: 81 S2: đặt c63 = ∞ Cận mới: 81 + 48 = 129 VÍ DỤ ∞ 03 30 015 ∞ 30 17 12 29 12 018 ∞ 83 ∞ 49 032 32 21 02 ∞ ∞ 03 30 020 ∞ 30 17 29 ∞ 018 21 05 ∞ Có cạnh (4, 6) (6, 3) => phải đặt cạnh (3, 4) = ∞ Cận mới: 81 ∞ 03 30 015 ∞ 30 17 12 29 12 018 ∞ 32 83 ∞ 49 ∞ 21 02 ∞ 06 00 Cận mới: 81 + 32 = 113 VÍ DỤ ∞ 03 30 020 ∞ 30 17 ∞ 018 29 21 … 05 ∞ ∞ 30 ∞ 21 ∞ Chọn cạnh (2, 1) => đặt cạnh (1, 2) = ∞ Rút gọn lại ma trận Cận mới: 81 + + = 84 ∞ 03 30 ∞ ∞ 30 17 29 ∞ 018 21 05 ∞ ∞ 028 28 020 ∞ 028 20 020 ∞ Cận mới: 81 + 20 = 101 VÍ DỤ  Kết quả: đường (1, 4, 6, 3, 5, 2, 1) chi phí: 104 TT NHÁNH CẬN GIẢI BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG  Thủ tục rút gọn ma trận, tính cận (tr 126)  Thủ tục chọn cạnh phân nhánh (tr 128)  Thuật toán (tr 134)