Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Tổng và tích hai số tự nhiên Phép cộng (kí hiệu “+”) hai số tự nhiên bất kì cho ta một s[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Tổng tích hai số tự nhiên Phép cộng (kí hiệu “+”) hai số tự nhiên cho ta số tự nhiên gọi tổng chúng – Phép nhân (kí hiệu “x” hai số tự nhiên cho ta số tự nhiên gọi tích chúng Tính chất phép cộng phép nhân a) Tính chất giao hốn phép cộng, phép nhân : a + b = b + a;a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chỗ thừa số tích tích khơng đổi b) Tính chất kết hợp phép cộng, phép nhân : (a + b) + c = a + (b + c) ; (a.b).c = a.(b.c) Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba, ta cộng số thứ với tổng số thứ hai số thứ ba Muốn nhân tích hai số với số thứ ba, ta nhân số thứ với tích số thứ hai số thứ ba c) Tính chất phân phối phép nhân phép cộng : a(b + c) = ab + ac Muốn nhân số với tổng, ta nhân số với số hạng tổng, cộng kết lại d) Cộng với số 0: a + = + a = a Tổng số với số e) Nhân với số 1: a.1 = 1.a = a Tích số với số Chú ý : Tích số với ln Nếu tích hai thừa số mà thừa số II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: THỰC HÀNH PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN Phương pháp giải – Cộng nhân số theo “hàng ngang” theo “cột dọc”; – Sử dụng máy tính bỏ túi (đối với phép dùng) Ví dụ 1. (Bài 26 trang 16 SGK) Cho số liệu quãng đường : Hà Nội – Vĩnh Yên : 54 km, Vĩnh Yên – Việt Trì : 19 km, Việt Trì – Yên Bái : 82 km W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tính qụãng đuờng tơ từ Hà Nội lên Yên Bái qua Vĩnh Yên Việt Trì Giải Quãng đường ô tô từ Hà Nội lên Yên Bái qua Vĩnh Yên Việt Trì : 54 + 19 + 82 = 155 (km) Ví dụ 2. (Bài 28 trang 16 SGK) Trên hình 12, đồng hồ 18 phút, hai kim đồng hồ chia mặt đồng hồ thành hai phần phần có sáu số Tính tổng số phần, em có nhận xét ? Giải Tổng số phần : 10 + 11 + 12 + + + = 39 ; Tổng số phần là: 9+ 8+ + 6 + + = 39 Nhận xét: Tổng số hai phần (đều 39) Ví dụ 3. (Bài 29 trang 17 SGK) Điền vào chỗ trống bảng toán sau : Giải Số tiền mua 35 loại :2000 35 = 70 000 (đ); Số tiền mua 42 loại :1500 42 = 63 000 (đ); Số tiền mua 38 loại :1200 38 = 45 600 (đ); Tổng số tiền mua ba loại : 70 000 + 63 000 + 45 600 = 178 600 (đ) Điền vào bảng toán sau: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ví dụ 4. (Bài 39 trang 20 SGK) Đố : Số 142857 có tính chất đặc biệt Hãy nhân với số 2, 3, 4, 5, em tìm tính chất đặc biệt Giải 142 857 = 285 714 ; 142 857 = 428 571 ; 142 857 = 571 428 ; 142 857 = 714 285 ; 142 857 = 857 142 Nhận xét : số 142 857 nhân với 2, 3, 4, 5, tích số gồm sáu chữ số viết theo thứ tự khác Chú ý : Máy tính SHARP TK – 340 số máy tính bỏ túi thơng dụng khác cho cách nhân với số nhiều lần (thừa số lặp lại đặt trước) Ví dụ 5. (Bài 33 trang 17 SGK) Cho dãy số sau : , , , , , , Trong dãy số trên, số (kể từ số thứ ba) tổng hai số liền trước Hãy viết tiếp bốn số dãy số Giải Số thứ bảy dãy : + = 13 ; Số thứ tám dãy : + 13 = 21; Số thứ chín dãy : 13 + 21 = 34 ; Số thứ mười dãy : 21 + 34 = 55 Vậy ta có dãy số: 1, , , , , , 13 , 21 , 34 , 55 , … Ghi : Dãy số nói gọi dãy Phi-bơ-na-xi mang tên nhà tốn học Italia kỉ XIII Ví dụ (Bài 34 trang 17 SGK) Dùng máy tính bỏ túi tính tổng : 1364 + 4578 ; 6453 + 1469 ; W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 5421 + 1469 ; 3124 + 1469 ; 1534 + 217 + 217 + 217 Giải Chú ý : Khi cộng với số nhiều lần (số hạng lặp lại đặt sau) ta nên áp dụng cách bấm cho nhanh chóng Ví dụ 7. (Bài 38 trang 20 SGK) Dùng máy tính bỏ túi để tính : 375 376 ; 624 625 ; 13 81 215 Giải Dạng ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN ĐỂ TÍNH NHANH Phương pháp giải – Quan sát, phát đặc điểm số hạng, thừa số; – Từ đó, xét xem nên áp dụng tính chất (giao hốn, kết hợp, -phân phối) để tính cách nhanh chóng Ví dụ 8. (Bài 27 trang 16 SGK) Áp dụng tính chất phép cộng phép nhân để tính nhanh : a) 86 + 357 + 14 ; b) 72 + 69 + 128 ; c) 5.4.27.2 ; d) 28.64 + 28.36 Giải a) 86 + 357 + 14 = (86 + 14) + 357 = 100 + 357 = 457 b) 72 + 69 + 128 = (72 + 128) + 69 = 200 + 69 = 269 c) 25.4.27 = (25.4).(5.2).27 = 100.10.27 = 27 000 d) 64 + 28.36 = 28.(64 + 36) = 28.100 = 2800 Ví dụ 9. (Bài 31 trang 17 SGK) Tính nhanh : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) 135 + 360 + 65 + 40 ; b) 463 + 318 + 127 + 22 ; c) 20 + 21 + 22 + … + 29 + 30 Giải a) 135 + 360 + 65 + 40 = (135 + 65) + (360 + 40) = 200 + 400 = 600 b) 463 + 318 + 127 + 22 = (463 + 127)+(318 + 22) = 590+340 = 930 c) 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 = = (20 + 30) + (21 + 29) + (22 + 28) + (23 + 27) + (24 + 26) + 25 = 50.5 + 25 = 250 + 25 = 275 Ví dụ 10. (Bài 32 trang 17 SGK) Có thể tính nhanh tổng 97 + 19 cách áp dụng tính chất kết hợp phép cộng : 97 + 19 = 97 + (3 + 16) = 07 + 3) + 16 = 100 + 16 = 116 Hãy tính nhanh tổng sau cách làm tương tự : a) 996 + 45 ; b) 37 + 198 Giải a) 996 + 45 = 996 + (4 + 41) = (996 + 4) + 41 = 1000 + 41 = 1041 b) 37 + 198 = (35 + 2) + 198 = 35 + (2 + 198) = 35 + 200 = 235 Ví dụ 11. (Bài 35, trang 19 SGK) Tìm tích mà khơng cần tính kết tích : 15.2.6 ; 4.4.9 ; 5.3.12 ; 8.18 ; 15.3.4 ; 8.2.9 Giải 15.2.6 = 15.(2.6) = 15.12 ; 5.3.12 = (5.3) 12 = 15.12 ; 15.3.4 = 15.(3.4) = 15.12 Vậy: 15.2.6 = 5.3.12 = 15.3.4 Ta có : 4.4.9 = (4.4),9 = 16.9 ; 8.2.9 = (8.2).9 = 16.9 Suy ra: 4.4.9 = 8.2.9 (1) Ta lại có : 8.2.9 = 8.(2.9) = 8.18 (2) Từ (1) (2) suy : 4.4.9 = 8.18 = 8.2.9 Ví dụ 12. (Bài 36 trang 19 SGK) Hãy tính nhẩm cách áp dụng tính chất kết hợp phép nhân: 15.4 ; 25.12 ; 125.16 Hãy tính nhẩm cách áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng : 25.12 ; 34.11 ; 47.101 Giải a) 15.4 = 15.(2.2) = (15.2).2 = 30.2 = 60 ; = 25.(4.3) = (25.4).3 = 100.3 = 300 ; = 125.(8.2) = (125.8).2 = 1000.2 = 2000 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) 25.12 = 25.(10 + 2) = 25.10 + 25.2 = 250 + 50 = 300 ; 34.11 = 34 (10 + 1) = 34.10 + 34.1 = 340 + 34 = 374 ; 47.101 = 47 (100 + 1) = 47.100 + 47.1 = 4700 + 47 = 4747 Ví dụ 13. (Bài 37 trang 20 SGK) Áp dụng tính chất a (b – c) = ab – ac để tính nhẩm : 16.19 ; 46.99 ; 35.98 Giải 16.19 = 16.(20 – 1) = 16.20 – 16.1 = 320 – 16 = 304 46.99 = 46.(100 – 1) = 46.100 – 46.1 = 4600 – 46 = 4554 35.98 = 35.(100 – 2) = 35.100 – 35.2 = 3500 – 70 = 3430 Dạng TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Để tìm số chưa biết phép tính, ta cần nắm vững quan hệ số phép tính Chẳng hạn : số bị trừ hiệu cộng với số trừ, số hạng tổng hai số trừ số hạng … Đặc biệt cần ý : với a ∈ N ta có a.o = , a.1 = a Ví dụ 14 (Bài 30 trang 17 SGK) Tìm x, biết : a) (x – 34).15 = ; b) 18.(x – 16) = 18 Giải Vì (x – 34) 15 = mà 15 ≠ nên x – 34 = Suy x = 34 (x – 16) = 18 nên x – 16 = Suy x = + 16 = 17 Ví dụ 15 Tìm y, biết : a) (y – 12) : = ; b) (20 – y).5 = 15 Giải a) (y -12) : = y – 12 = 2.5 (số bị chia thương nhân với số chia) y = 10 + 12 (số bị trừ hiệu cộng với số trừ) y = 22 (20 – y).5 = 15 b) 20 – y = 15 : (một thừa số tích chia cho thừa số kia) y = 20 – (số trừ số bị trừ trừ hiệu) y = 17 Dạng VIẾT MỘT SỐ DƯỚI DẠNG MỘT TỔNG HOẶC MỘT TÍCH Phương pháp giải Căn theo yêu cầu đề bài, ta viết số tự nhiên cho dạng tổng W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai hai hay nhiều số hạng dạng tích hai hay nhiều thừa số Ví dụ 16 Số có hai chữ số có thể viết sau : = 10a + b (a chữ số hàng chục, b chữ số hàng đơn vị) Theo cách đó, viết số có ba chữ số số có bốn chữ số Giải Trong số , a chữ số hàng trăm, b chữ số hàng chục, c chữ số hàng đơn vị Do đó, ta viết: Tương tự trên, ta có : = 100a + 10b + c = 1000a + 100b + 10c + d Ví dụ 17. Viết số 10 dạng : a) Tổng hai số tự nhiên ; b) Tổng hai số tự nhiên khác Giải a) 10 = + ; b) 10 = + 10 = l + = + = + = + = 10 + = + l =8 + = 7+ = + Ví dụ 18. Viết số 16 dạng : a) Tích hai số tự nhiên ; b) Tích hai số tự nhiên khác Giải a) 16 = 4.4 ; b) 16 = 1.16 = = 2.8 = 8.2 Ví dụ 19. Tìm hai số tự nhiên a b biết a.b = 36 a > Giải Số 36 viết dạng tích hai số tự nhiên sau : 36 = 1.36 = 2.18 = 3.12 = 4.9 = 6.6 = 36.1 = 18.2 = 12.3 = 9.4 Vì a > nên a ; ; 12 ; 18 ; 36 Ta có bảng giá trị b sau : Dạng 5: TÌM CHỮ SỐ CHƯA BIẾT TRONG PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN Phương pháp giải Tính theo cột từ phải sang trái Chú ý trường hợp có “nhớ” Làm tính nhân từ phải sang trái, vào hiểu biết tính chất số tự nhiên phép tính, suy luận bước để tìm số chưa biết Ví dụ 20. Thay dấu * chữ số thích hợp: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải Ở cột hàng đơn vị, ta có * + * số tận cột hàng chục + tận 0, nghĩa phép cộng hàng đơn vị khơng có nhớ, * = * = Ở cột hàng chục + = 10 viết nhớ sang cột hàng trăm Do đó, cột hàng trăm : * + + (nhớ) tận Vậy * = Ở cột hàng nghìn * + số có hai chữ số nên * = Vậy ta có phép cộng sau : Ví dụ 21 Thay dấu * chữ số thích hợp: Giải Gọi số nhân là Ta có phép nhân : Lần lượt tìm b a Ta có : 624.b = * * * b = 624.a = * * * nên a = (Vì 624.3 < * * * < 624.5) Từ đó, ta có phép nhân sau : Dạng SO SÁNH HAI TỔNG HOẶC HAI TÍCH MÀ KHƠNG TÍNH CỤ THỂ GIÁ TRỊ CỦA CHÚNG Phương pháp giải W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Nhận xét, phát sử dụng đặc điểm số hạng thừạ số tổng tích Từ dựa vào tính chất phép cộng phép nhân để rút kết luận Ví dụ 22. So sánh hai tổng 1367 + 5472 5377 + 1462 mà khơng tính cụ thể giá trị chúng Giải Ta có : 1367 + 5472 = (1060 + 307) + (5070 + 402) = = (307 + 5070) + (1060 + 402) = 5377 + 1462 Vậy: 1367 + 5472 = 5377 + 1462 Ví dụ 23. So sánh hai tích 2003.2003 2002.2004 mà khơng tính cụ thể giá trị chúng Giải Nhận xét: 2003.2003 = 2003.(2002 + 1) = 2003.2002 + 2003 2002.2004 = 2002.(2003 + 1) = 2002.2003 + 2002 So sánh (1) (2) ta thấy 2003.2003 lớn 2002.2004 đơn vị Dạng TÌM SỐ TỰ NHIÊN CĨ NHIỀU CHỮ SỐ KHI BIẾT ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ TRONG SỐ ĐÓ Phương pháp giải Dựa vào điều kiện xác định chữ số số tự nhiên cần tìm để tìm chữ số có mặt số tự nhiên Ví du 24. Bình Ngơ đại cáo đời năm ? Năm Nguyễn Trãi viết Bình Ngơ đại cáo tổng kết thắng lợi kháng chiến Lê Lợi lãnh đạo chống quân Minh Biết ab tổng số ngày hai tuần lễ, cịn cd gấp đơi Tính xem năm năm ? Giải Theo đề thì = 7.2 = 14 và = ab = 2.14 = 28 Vậy Bình Ngơ đại cáo đời năm W: www.hoc247.net = 1428 F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10