PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔILAPLACE
Chương IV - 74 - Chương 4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong chương này, ta sẽ xét đáp ứng của hệ thống nhân quả tuyến tính bất biến khi tín hiệu tác động vào hệ thống ở thời điểm t = 0, các điều kiện đầu có thể bằng 0 hay khác 0. Công cụ dùng để xác định đáp ứng tần số của hệ thống là phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace là một công cụ rất tuyệt vời trong việc phân tích hệ thống liên tục vì nh ững lý do sau đây: - Nó thay thế phương trình vi phân bằng phương trình đại số, giúp cho việc giải phương trình vi phân được đơn giản đi nhiều. - Nó giúp tìm nghiệm tổng quát một cách trực tiếp, nghĩa là tìm được đáp ứng tổng quát chứa cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0. - Có thể dùng phép biến đổi Laplace cho các tín hiệu không có phổ (tức là các tín hiệu không có biến đổi Fourier) - Bi ến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến nhân quả là hàm truyền đạt của hệ. Hàm này rất hữu ích trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống. Chương này gồm hai nội dung chính: - Lý thuyết phép biến đổi Laplace, gồm các công thức tính biến đổi Laplace thuận và ngược, các tính chất, cách tính. - Ưng dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán phân tích hệ thống. Bài toán phân tích hệ thống ở đây là bài toán tìm tín hiệu ra hệ thống theo một tín hiệu vào cụ thể. Bài toán có thể thực hiện dựa vào giải phương trình vi phân hoặc là dựa vào một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là hàm truyền đạt. 4.1 GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Phần này sẽ trình bày về phép biến đổi Laplace tổng quát - đó là phép biến đổi Laplace hai phía và biến đổi Laplace ngược tương ứng. Sau đó ta sẽ xem xét phép biến đổi Laplace một phía- đó là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía. Phần này cũng sẽ bàn về điều kiện tồn tại và các tính chất của phép biến đổi Laplace một phía. 4.1.1 Phép biến đổi Laplace hai phía 1. Định nghĩa biến đổi Laplace hai phía Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )t(xe tσ− (trong đó σ là một hằng số thực): {} dte)t(xdte)t(xe)t(xeFT t)j(tjtt ∫∫ ∞ ∞− ω+σ− ∞ ∞− ω−σ−σ− == Ta có thể chọn hằng số σ sao cho )t(xe tσ− thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối: ∞< ∫ ∞ ∞− σ− dt)t(xe t Chương IV - 75 - Ta thấy rằng có thể có các tín hiệu x(t) không thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối nhưng nhờ nhân với t e σ− mà trở thành )t(xe tσ− khả tích tuyệt đối. Như vậy, biến đổi Fourier của )t(xe tσ− luôn tồn tại nếu ta chọn σ thích hợp. Ta đặt: ω + σ ≡ js Biến s là một biến phức. Ta có thể vẽ các giá trị của biến phức s trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng s (s-plane). Mặt phẳng s có trục hoành là Re[s] và trục tung là Im[s]. Ta định nghĩa phép biến đổi Laplace bằng cách dùng biến phức s. Biến đổi Laplace hai phía (double-sided Laplace Transform) của tín hiệu x(t) là: {} {} )s(Xdte)t(x)t(xeFT)t(xLT st sj t ≡== ∫ ∞ ∞− − =ω+σ σ− Như vậy biến đổi Laplace hai phía của tín hiệu x(t) chính là biến đổi Fourier của tín hiệu )t(xe tσ− được viết dưới dạng một hàm theo biến phức ω + σ ≡ js . Như nói trên, ta có thể chọn σ sao cho biến đổi Laplace của x(t) tồn tại. Ưng với một giá trị của σ , ta xác định được một đường thẳng song song với trục tung trong mặt phẳng s. Tập các đường thẳng này tạo thành một phần mặt phẳng và được gọi là miền hội tụ (region of convergence) của phép biến đổi Laplace hai phía của x(t). 2. Biểu thức tính biến đổi Laplace hai phía ngược Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách dùng biến đổi Laplace ngược. 1 σ Im(s) s = 4+j2 Đường tích phân cho LT -1 2 4 Re(s) Mặt phẳng s Chương IV - 76 - {} ∫ ∞+σ ∞−σ − ≡ π = j j 1st 1 1 )s(XLTdse)s(X j2 1 )t(x Để tính biến đổi Laplace ngược, ta phải lấy tích phân của hàm biến phức X(s)e st dọc theo đường thẳng ω+σ≡ js 1 trong mặt phẳng s. Ta phải chọn 1 σ sao cho đường thẳng ω+σ≡ js 1 nằm trong miền hội tụ của X(s). Có nhiều trường hợp các tín hiệu khác nhau có cùng hàm biến đổi Laplace hai phía, chỉ khác nhau ở miền hội tụ. Vậy biến đổi Laplace hai phía phụ thuộc vào hàm biến đổi X(s) và miền hội tụ. 4.1.2 Phép biến đổi Laplace một phía 1. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía Phép biến đổi Laplace hiệu quả nhất trong việc tính đáp ứng của hệ nhân quả đối với tín hiệu vào bắt đầu ở thời điểm 0t ≥ . Trong trường hợp này, cả tín hiệu và đáp ứng xung đều bằng 0 với t < 0 và biến đổi Laplace hai phía trở thành biến đổi Laplace một phía (single-sided Laplace transform): ∫ ∞ − − = 0 st dte)t(x)s(X Cận dưới của tích phân trên là 0 - ý là bao hàm cả gốc thời gian trong tích phân, ở đây là bao gồm cả các điểm gián đoạn và xung tại gốc thời gian. Sau đây, ta viết cận dưới là 0 thay cho 0 - cho đơn giản. Biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) cũng chính là biến đổi Laplace một phía của tín hiệu x(t)u(t). 2. Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía Nếu x(t) khả tích tuyệt đối trong khoảng Tt0 <≤ − với T > 0 bất kỳ và nếu có thể chọn các số thực c và K sao cho K)t(xe ct ≤ − với Tt ≥ thì tích phân biến đổi Laplace một phía hội tụ tuyệt đối và duy nhất với mọi s thỏa Re(s) > c. Giá trị c nhỏ nhất gọi là hoành độ của hội tụ tuyệt đối (abscissa of absolute convergence). Từ định lý này ta thấy: nếu biến đổi Laplace một phía tồn tại thì miền hội tụ là miền bên phải của đường thẳng ω+= jcs. Miền hội tụ được biểu diễn minh họa bằng vùng có gạch chéo trên hình vẽ sau: - 2 c = 2 4 Chương IV - 77 - 3. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía ngược Biến đổi Laplace một phía ngược được tính tương tự như Laplace hai phía ngược, nhưng kết quả chỉ có nghĩa với 0t ≥ . Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía cho thấy chỉ có một miền hội tụ duy nhất đối với một tín hiệu. Tín hiệu đó bằng 0 khi t < 0. Do đó, kết quả tính biến đổi Laplace một phía ngược chỉ có duy nhất một tín hiệu. Tính duy nhất này làm cho phép biến đổi Laplace một phía trở thành một công cụ rất hiệu quả trong phân tích hệ thống. Từ đây trở đi, ta tập trung xét phép biến đổi Laplace một phía. Tóm lại, sự chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian t và miền biến phức s được thực hiện nhờ cặp biến đổi Laplace thuận và ngược và được ký hiệu ngắn gọn như sau: )s(X)t(x L ⎯→← 4.1.3 Tính phép biến đổi Laplace 1. Ví dụ 1 Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ue)t(x tα− = và miền hội tụ 2. Ví dụ 2 Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t()t(x δ = và miền hội tụ 3. Ví dụ 3 Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(tu)t(x = và miền hội tụ Chương IV - 78 - 4.2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Các tính chất của phép biến đổi Laplace giúp cho việc tính biến đổi Laplace thuận và ngược trở nên dễ dàng hơn. Sau đây nêu một vài tính chất thông dụng. 4.2.1 Tính tuyến tính Nếu )s(X)t(x L ⎯→← và )s(Y)t(y L ⎯→← Thì )s(bY)s(aX)t(by)t(ax L +⎯→←+ Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(u)tsin()t(x 0 ω = 4.2.2 Thay đổi thang thời gian Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì 0m m s X m 1 )mt(x L > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎯→← Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t3(r)t(x = 4.2.3 Trễ thời gian Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì 0te)s(X)tt(x 0 st L 0 0 >⎯→←− − Chương IV - 79 - Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ giữ mẫu bậc 0 (ZOH), biết thời gian giữ mẫu là T. 4.2.4 Dịch s Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì )as(X)t(xe L at +⎯→← − Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của tín hiệu sin suy giảm )t(u)tsin(e)t(x 0 at ω= − 4.2.5 Nhân với t Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì n n n L n L ds )s(Xd )1()t(xt ds )s(dX )t(tx −⎯→← −⎯→← Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ute)t(x at− = Chương IV - 80 - 4.2.6 Đạo hàm x(t) Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì − = − = −− ∑ −⎯→← 0t 1n 0i i i i1nn L n n dt )t(xd s)s(Xs dt )t(xd 4.2.7 Tích phân x(t) Nếu )s(X)t(x L ⎯→← Thì s )0(y s )s(X )0(yd)(x)t(y L t 0 − − +⎯→←+λλ= ∫ − Chương IV - 81 - 4.2.8 Tính chất chập Nếu )s(X)t(x L ⎯→← và )s(Y)t(y L ⎯→← Thì )s(Y).s(X)t(y)t(x L ⎯→←∗ 4.3 TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC Ta có thể tính x(t) từ biến đổi Laplace một phía X(s) bằng cách tính tích phân: {} ∫ ∞+σ ∞−σ − ≡ π = j j 1st 1 1 )s(XLTdse)s(X j2 1 )t(x với 0t ≥ dọc theo đường thẳng ω+σ= js 1 trong mặt phẳng s. Việc tính tích phân này liên quan đến lý thuyết về biến phức và khá phức tạp. Trong phần này, ta sẽ tính biến đổi Laplace ngược không bằng cách tính tích phân trên. Các tính toán ở đây dựa vào các cặp biến đổi Laplace đã biết và các tính chất của phép biến đổi Laplace đã xét trên. Trước khi đi vào tính biến đổi Laplace ngược, ta xét qua khái niệm về điểm cực và điểm không. 4.3.1 Điểm cực và điểm không Thực tế có nhiều tín hiệu và đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến có biến đổi Laplace dạng hữu tỷ: )s(Q )s(P qsqsqsq pspspsp )s(X 01 1n 1n n n 01 1m 1m m m ≡ ++++ ++++ = − − − − L L Vì các tín hiệu và đáp ứng xung ta xét là thực nên các hệ số trong phân thức trên là thực. Ta có thể phân tích đa thức tử số và mẫu số trên thành tích các thừa số, tử số thành tích m thừa số và mẫu số thành tích n thừa số: Chương IV - 82 - )s) (s)(s(q )s) (s)(s(p )s(X n21n m21m α−α−α− β − β − β − = Tử số của X(s) bằng 0 khi: i s β = với m,1i = Ta gọi các s này là điểm không (zero) của X(s). Mẫu số của X(s) bằng 0 khi: i s α = với n,1i = Các giá trị s này làm cho ∞ =)s(X và ta gọi đó là điểm cực (pole) của X(s). Số lượng điểm cực trùng nhau được gọi là bậc (order) của điểm cực, tương tự, số lượng điểm không trùng nhau được gọi là bậc của điểm không. Các điểm cực và điểm không có thể thực hoặc phức. Khi chúng là số phức, chúng phải xuất hiện thành cặp liên hợp phức. Cụ thể là: Nếu có một điểm không là jba k + = α thì sẽ có một điểm không nữa là jba * kl −=α=α để đảm bảo tích của hai thừa số: )ba(as2s)jbas)(jbas()s)(s( 222 lk ++−=+−−−=α−α− có các hệ số thực. Ta thường biểu diễn các điểm cực và không trong mặt phẳng s (ký hiệu điểm không là O, ký hiệu điểm cực là X) và gọi là giản đồ điểm cực-không (pole-zero diagram). Ví dụ: Tìm điểm cực-không và biểu diễn trong mặt phẳng s: (a) 5s2s 12s3 )s(X 2 ++ + = (b) 18s42s31s8s 20s4s )s(Y 234 2 ++++ +− = Chương IV - 83 - 4.3.2 Tính biến đổi Laplace ngược Về nguyên tắc, ta có thể tính biến đổi Laplace ngược không theo con đường tính tích phân Laplace ngược bằng cách: Ta phân tích hàm hữu tỷ X(s) thành tổng của các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn mà ta đã biết biến đổi Laplace ngược. Theo tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace ngược của hàm X(s) chính là tổng của các biến đổi Laplace ngược của các hàm có bậc thấp hơn này. Để phân tích hàm hữu tỷ X(s), trước hết ta xem nó có phải là phân thức thật sự (proper) chưa. Phân thức thật sự là phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu. Nếu X(s) chưa phải là phân thức thật sự, tức là bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu, ta chia tử cho mẫu để được một tổng gồm hai số hạng. Số hạng thứ nhất là một đa thức theo s và số hạng thứ hai là phầ n dư của phép chia- đó là một phân thức thật sự. Ta khai triển phân thức thật sự (hàm X(s) hay phần dư) thành tổng các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn bằng phương pháp khai triển riêng phần (partial-fraction expansion) Giả sử X(s) là một phân thức thật sự có dạng: 2n 2 1n 1 )s()s( )s(P )s(X α−α− = Bậc của mẫu là n1+n2 = n. X(s) có hai điểm cực là 1 α bậc n1 và 2 α bậc n2. Khai triển riêng phần của X(s) là: ∑∑ == α− + α− ≡ α−α− 2n 1i i 2 i2 1n 1i i 1 i1 2n 2 1n 1 )s( A )s( A )s()s( )s(P Ta có thể tìm n1 hệ số A i1 và n2 hệ số A 2i (n1+n2 = n) theo cách sau: Quy đồng mẫu số vế phải, sau đó đồng nhất tử số bên vế phải với tử số bên vế trái, ta được hệ n phương trình. Giải hệ n phương trình đó, ta tìm được n nghiệm- đó chính là n hệ số A i1 và A 2i . 4.3.3 Các ví dụ tính biến đổi Laplace ngược 1. Ví dụ 1 Tính biến đổi Laplace ngược của: 3 23 )1s)(2s( 3s11s8s2 )s(X ++ +++ = [...]... biến đổi Laplace có điểm cực bội sẽ bị chặn nếu γ > 0 , tức là các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s - 88 - Chương IV 4.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi Laplace là giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với t ≥ 0 Phương trình này đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến 4.4.1 Các bước giải phương trình vi phân tuyến tính hệ. .. (transformed circuit diagram) Ta sử dụng sơ đồ mạch biến đổi, biến đổi Laplace của tín hiệu vào, các điều kiện đầu và kỹ thuật phân tích mạch để có được biến đổi Laplace của tín hiệu ra, rồi tính biến đổi Laplace ngược, ta sẽ có được tín hiệu ra 4.5.1 Sơ đồ mạch biến đổi Để tạo ra sơ đồ mạch biến đổi, ta thay từng thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace của nó Trong phần này ta xét các thành phần mạch... nghĩa hàm truyền đạt Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến là Y(t) = x(t) * h(t) ở đây x(t) là tín hiệu vào và h(t) là đáp ứng xung Nếu hệ nhân quả và tín hiệu x(t) đưa vào hệ thống ở thời điểm t ≥ 0 thì ta có thể áp dụng tính chất chập của phép biến đổi Laplace để có: Y(s) = X(s).H(s) Vậy, biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là tích của biến đổi Laplace của tín hiệu vào và đáp ứng xung... ĐIỆN DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong ví dụ 2 ở mục 4.4.2, ta giải tìm tín hiệu ra của mạch điện bằng cách viết phương trình vi tích phân biểu diễn vào-ra, rồi áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình đó Ngoài cách trên, ta có thể tìm tín hiệu trong mạch điện mà không cần viết phương trình vi tích phân nếu ta biểu diễn tín hiệu và các thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace (Laplace. .. nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s Khi được nhân với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng Do đó, hàm truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung Vì đáp ứng xung đặc trưng cho hệ trong miền thời gian nên... đương Laplace của một tín hiệu chính là biến đổi Laplace của tín hiệu đó Tương đương Laplace của một thành phần trong mạch điện là biến đổi Laplace của mô hình toán học của nó, nói cách khác là ta thay biểu diễn trong miền thời gian t thành biểu diễn trong miền biến s Ta gọi sơ đồ mạch tạo ra từ các tương đương Laplace là sơ đồ mạch biến đổi (transformed circuit diagram) Ta sử dụng sơ đồ mạch biến đổi, ... giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace 1 Tính biến đổi Laplace cho hai vế của phương trình, sử dụng các tính chất tuyến tính và đạo hàm, ta được một phương trình đại số có nghiệm là Y(s) 2 Giải phương trình đại số để tìm nghiệm Y(s) 3 Tính biến đổi Laplace ngược của Y(s) để tìm ra y(t) với t ≥ 0 Khi tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình, các điều kiện ban... đáp ứng tần số của hệ thống Đôi khi ta có thể phân tích và thiết kế hệ thống trực tiếp từ hàm truyền đạt mà không cần phải đưa một tín hiệu cụ thể vào hệ thống Ví dụ như, việc hiệu chỉnh hệ thống điều khiển thường được thực hiện bằng cách đưa thêm các thành phần vào trong hệ thống để làm thay đổi vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt Do đó ta tạo ra được sự thay đổi mong muốn trong... cho hệ trong miền s Ta có thể viết: H(s) = Y(s)/X(s) Vậy, hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách: Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace ngược 4.6.2 Tính hàm truyền đạt Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace. .. điều kiện ban đầu sẽ tự động có mặt Do đó, kết quả ta sẽ có được đáp ứng của hệ thống gồm cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0 với t ≥ 0 4.4.2 Ví dụ giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace 1 Ví dụ 1 Hệ thống định vị bậc 2 của một thiết bị cơ khí được đặc trưng bởi phương trình vi phân: dy( t ) d 2 y( t ) +5 + 6 y( t ) = x ( t ) 2 dt dt ở đây x(t) là vị trí