PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆTHỐNG
Chương III - 43 - Chương 3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Trong chương trước, ta đã dùng hàm theo biến thời gian để làm mô hình toán học mô tả tín hiệu. Mô hình này cho biết các đặc điểm của tín hiệu bằng cách chỉ ra sự thay đổi của tín hiệu theo thời gian. Mô hình này được gọi là biểu diễn thời gian của tín hiệu. Biểu diễn thời gian của các tín hiệu vào-ra và bên trong một hệ thống cũng chỉ ra các đặc điểm của hệ thống đó. Tuy nhiên, các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn thay đổi theo cả tần số, nói cách khác các đặc điểm này cũng là hàm theo tần số. Ta gọi các hàm theo tần số này là biểu diễn tần số (frequency-domain representation). Cả biểu diễn thời gian và biểu diễn tần số đều cần thiết cho bài toán phân tích tín hiệu và hệ thống. Có những trường hợp, biểu diễn thời gian không chỉ ra được các thông tin cần thiết, nhưng cũng có lúc, có những thông tin cần thiết không thể rút ra được từ biểu diễn tần số. Chương này trình bày về biểu diễn tần số của tín hiệu và hệ thống. Từ biểu diễn tần số này, ta có thể phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống. Nội dung chính gồm ba phần: 1. Lý thuyết chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Đây là cơ sở lý thuyết của việc biểu diễn tần số cho tín hiệu và hệ thống. 2. Phân tích tần số cho tín hiệu. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số. Phần này gồm: - Định nghĩa phổ tín hiệu. - Các đặc điểm của phổ - Các đặc trưng của tín hiệu trong miền tần số. 3. Phân tích tần số cho hệ thống. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn hệ thống trong miền tần số- đó là đáp ứng tần số. Phần này gồm: - Định nghĩa đáp ứng tần số. - Các đặc trưng của hệ thống trong miền tần số. - Cách xác định đáp ứng tần số. 3.1 BIỂU DIỄN CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU Trong mục 2.3.2, ta đã xét cách biểu diễn tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t 1 < t < t 2 dưới dạng chuỗi Fourier tổng quát. Ta thấy, việc biểu diễn này yêu cầu ta trước hết phải chọn các tín hiệu cơ sở là các hàm trực giao (thực hoặc phức), sau đó tính hệ số A n sao cho tích phân bình phương sai số xấp xỉ là nhỏ nhất. 3.1.1 Chọn tín hiệu cơ sở Ta xét tập tín hiệu sau: K,2,1,0n,e)t( t)nf(2j n 1 ±±==φ π với f 1 = 1/T 1 . Các tín hiệu này là tín hiệu phức và trực giao nhau trong khoảng thời gian T 1 . Chứng minh: Chương III - 44 - ∫ + ⎩ ⎨ ⎧ ≠ =λ =φφ 11 1 Tt t n * mn mn0 mn dt)t()t( 1 Tt t tnf2j Tt t tnf2j n Tdtdtee 11 1 1 11 1 1 ===λ ∫∫ + π− + π Như vậy, tập tín hiệu )t( n φ vừa xét trên đủ điều kiện để làm tín hiệu cơ sở để khai triển Fourier cho tín hiệu x(t) trong khoảng thời gian T 1 : t 1 < t < t 1 + T 1 (gọi là khoảng khai triển) 3.1.2 Khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu trong khoảng thời gian T 1 Theo mục 2.3.2, ta có tín hiệu xấp xỉ của tín hiệu x(t) trong khoảng t 1 < t < t 1 + T 1 là: ∑ ∞ −∞= π ∧ = n tnf2j n 1 eA)t(x Hệ số A n là: ∫∫ + π− =φ λ = 11 1 1 2 1 Tt t tnf2j 1 t t * n n n dte)t(x T 1 dt)t()t(x 1 A Theo Fourier, nếu tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn trong khoảng t 1 < t < t 1 + T 1 thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) trong khoảng đó tồn tại. Cũng theo Fourier, nếu x(t) thỏa điều kiện Dirichlet thì )t(x ∧ sẽ tiến gần đến x(t) trong khoảng t 1 < t < t 1 + T 1 : 111 n tnf2j n TttteA)t(x)t(x 1 +<<== ∑ ∞ −∞= π ∧ Điều kiện Dirichlet (do P. L. Dirichlet đề xuất): 1. ∫ + ∞< 11 1 Tt t dt|)t(x| 2. Tín hiệu x(t) có số điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng khai triển là hữu hạn. 3. Tín hiệu x(t) có số điểm gián đoạn trong khoảng khai triển là hữu hạn. Chương III - 45 - 3.1.3 Các đặc điểm của chuỗi Fourier hàm mũ phức 1. Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier Trong chuỗi Fourier hàm mũ phức, ta thấy: - Tín hiệu cơ sở )t( n φ tuần hoàn với chu kỳ là 1/|n|f 1 = T 1 /|n|, tần số là |n|f 1 và tạo ra 1/|n| chu kỳ trong khoảng khai triển. Khi |n| = 1 thì tần số là f 1 và chỉ có 1 chu kỳ trong khoảng khai triển. Ta gọi f 1 là tần số cơ bản (fundamental frequency) của )t(x ∧ . Tần số |n|f 1 được gọi là tần số hài của )t(x ∧ . - Vì trong khoảng khai triển có )t( 0 φ = 1 là hằng số và ta có số chu kỳ của )t( n φ là số nguyên với mọi |n| > 0 nên tất cả các )t( n φ lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển. Vậy, )t(x ∧ được lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T 1 . Tóm lại, )t(x ∧ = x(t) ở trong khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T 1 ở bên ngoài khoảng khai triển. Như vậy chuỗi Fourier hội tụ về một tín hiệu tuần hoàn là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển. Hình vẽ sau minh họa cho điều này: Vậy, nếu ta có tín hiệu x(t) tuần hoàn và thỏa điều kiện Dirichlet thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) là: dte)t(x T 1 A teA)t(x 01 1 0 0 Tt t tnf2j 0 n n tnf2j n ∫ ∑ + π− ∞ −∞= π = ∀= ở đây T 0 = 1/f 0 là chu kỳ của tín hiệu. Ví dụ: Một bộ tạo tín hiệu trong phòng thí nghiệm tạo ra xung vuông như hình vẽ. Tìm chuỗi Fourier hàm mũ phức hội tụ về x(t) với mọi t. Tín hiệu Chuỗi Fourier Khoảng khai triển Chương III - 46 - 2 τ τ -A 2A Chương III - 47 - 2. Tính chất của hệ số Fourier X n - Khi n = 0, hệ số Fourier là: Đây chính là giá trị trung bình của x(t) trong khoảng khai triển - Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực thì biên độ của các hệ số Fourier là hàm chẵn theo n và pha là hàm lẻ theo n: nn nn AA AA −∠=∠ = − − ∫ + = 11 1 Tt t 1 0 dt)t(x T 1 A Chương III - 48 - 3.1.4 Chuỗi Fourier dạng cosin Trường hợp tín hiệu khai triển là tín hiệu thực, ta có thể chuyển chuỗi Fourier hàm mũ phức về chuỗi Fourier dạng cosin: )Atnf2(osc|A|2A)t(x n1 1n n0 ∠+π+= ∑ ∞ = ∧ Tín hiệu tuần hoàn có thể xem là tổng của vô số hàm cosin, biên độ là 2|A n |, pha là n A ∠ , tần số là hài của tần số cơ bản nf 1 . Ngoài cách biểu diễn tín hiệu tuần hoàn là hàm theo thời gian, ta còn có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thông qua cặp thông số |A n | và n A∠ . Ta gọi cách biểu diễn này là biểu diễn tần số hay là biểu diễn theo phương pháp phổ (spectrum). 3.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Như trên ta thấy chuỗi Fourier là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển và không giống tín hiệu không tuần hoàn. Như vậy, ta chỉ có thể dùng chuỗi Fourier để biểu diễn tần số cho tín hiệu tuần hoàn chứ không dùng được cho tín hiệu không tuần hoàn. Với tín hiệu không tuần hoàn, ta dùng một phương pháp khác- đó là chuỗi Fourier. 3.2.1 Xây dựng công thức tính biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn Ta xét tín hiệu không tuần hoàn x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Như vậy, có thể khai triển Fourier cho x(t) trong một khoảng –T/2 < t < T/2 bất kỳ, nghĩa là: dte)t(x T 1 A 2/Tt2/T),t(xeA)t(x tnf2j 2/T 2/T n n tnf2j n 0 0 π− − ∞ −∞= π ∧ ∫ ∑ = <<−== ở đây f 0 = 1/T. Bên ngoài khoảng –T/2 < t < T/2, )t(x ∧ lặp lại tuần hoàn với chu kỳ T. Như vậy, ta có thể suy ra biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn từ biểu diễn tần số của tín hiệu tuần hoàn bằng cách cho ∞→T . Khi ∞→T , các vạch phổ sẽ tiến đến rất gần nhau, khoảng cách giữa hai vạch phổ sẽ vô cùng bé, phổ rời rạc trở thành phổ liên tục. Lúc đó ta có các giới hạn sau: Chương III - 49 - df T 1 f 0 →= , fnf 0 → , )f(AA n → Áp dụng các giới hạn này vào công thức khai triển Fourier của tín hiệu tuần hoàn, ta được: dfdte)t(xdte)t(x T 1 limAlim)f(A ft2j tnf2j 2/T 2/T T n T 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ === ∫∫ ∞ ∞− π− π− − ∞→∞→ Tích phân trong ngoặc vuông tồn tại do x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Tích phân này là một hàm phụ thuộc vào biến tần số f. Ta đặt: ∫ ∞ ∞− π− = dte)t(x)f(X ft2j Hàm X(f) này chính là biểu diễn tần số của x(t) hay là phổ của x(t). X(f) còn được gọi là phép biến đổi Fourier (Fourier transform) của x(t). Phổ X(f) hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu x(t) nên ta có thể tìm được x(t) từ X(f) qua một phép biến đổi gọi là biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform) Để tìm biểu thức tính biến đổi Fourier ngược, ta cũng thực hiện tương tự như tìm biểu thức tính biến đổi Fourier. Ta tìm biến đổi Fourier ngược của X(f) từ biểu thức khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn )t(x ∧ với giới hạn ∞ →T như sau: ∫ ∑ ∞ ∞− π ∞ −∞= π ∞→ ∧ ∞→ === dfe)f(XeAlim)t(xlim)t(x ft2j n tnf2j n TT 0 Tóm lại, cặp công thức tính biến đổi Fourier và Fourier ngược là: {} {} )f(XFTdfe)f(X)t(x )t(xFTdte)t(x)f(X 1ft2j ft2j − ∞ ∞− π ∞ ∞− π− ≡= ≡= ∫ ∫ Cặp công thức này giúp chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian và miền tần số, ta ký hiệu ngắn gọn như sau: )f(X)t(x F ⎯→← Ta cũng có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier là hàm theo f2 π = ω . 3.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier Các tính chất của biến đổi Fourier rất hiệu quả trong việc tính biến đổi Fourier của các tín hiệu phức tạp. Sau đây ta xét một số tính chất thông dụng. 1. Tính tuyến tính Nếu )f(X)t(x F ⎯→← và )f(Y)t(y F ⎯→← Thì )f(bY)f(aX)t(by)t(ax F +⎯→←+ Chương III - 50 - Ta hay dùng tính chất này để tính biến đổi Fourier của các tín hiệu mà có thể phân tích được thành tổng của các tín hiệu đơn giản. 2. Thay đổi thang thời gian Nếu )f(X)t(x F ⎯→← Thì ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎯→← a 1 X |a| 1 )at(x F Chương III - 51 - 3. Đảo thời gian Nếu )f(X)t(x F ⎯→← Thì )f(X)t(x F −⎯→←− 4. Dịch thời gian Nếu )f(X)t(x F ⎯→← Thì 0 ft2j F 0 e)f(X)tt(x π− ⎯→←− 5. Tính tương hỗ Nếu )f(X)t(x F ⎯→← Thì )f(x)t(X F −⎯→← Chương III - 52 - 5. Điều chế Nếu )f(X)t(x F ⎯→← Thì )ff(X 2 1 )ff(X 2 1 )tf2cos()t(x 00 F 0 ++−⎯→←π 6. Chập Nếu )f(X)t(x F ⎯→← và )f(Y)t(y F ⎯→← Thì )f(Y).f(X)t(y)t(x F ⎯→←∗ [...]... đáp ứng tần số từ phasor của tín hiệu vào và ra Ta biết đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến đối với một tín hiệu vào dạng sin sẽ là một tín hiệu có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ khác về biên độ và pha Điều này gợi ý cho ta một cách tính đáp ứng tần số của hệ thống dựa vào đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào dạng sin có tần số f nào đó Bài toán liên quan đến hệ tuyến tính và tín hiệu vào dạng... III 3.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG LIÊN TỤC Trong phần này, ta chỉ xét hệ tuyến tính bất biến có các điều kiện đầu bằng 0 Việc phân tích hệ thống sẽ cho phép ta xác định được phổ của đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống từ các đặc điểm của hệ thống và phổ của tín hiệu vào Nó giúp cho ta quan sát được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu thông qua xem xét các đặc trưng của hệ thống là hàm theo tần số 3.4.1... trong miền tần số, vì chỉ cần làm phép nhân phổ tín hiệu vào với đáp ứng tần số Ví dụ: Cho hệ thống có đáp ứng tần số là: ⎧1− | f | / 5 | f |< 5 H (f ) = ⎨ f≠ ⎩0 Tìm phổ Y(f) của tín hiệu ra và tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là: x ( t ) = 3 cos(4πt ) + 4 cos(6πt ) - 62 - Chương III Trường hợp tín hiệu vào là tín hiệu sin, tín hiệu ra sẽ có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ có biên độ và pha là khác... 3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số Đáp ứng tần số (frequency response) là khái niệm cơ bản trong phân tích tần số cho hệ thống, vì nó xác định các đặc điểm của hệ thống là hàm theo tần số Ta ký hiệu đáp ứng tần số là H(f) và định nghĩa như sau: Đáp ứng tần số của hệ thống tuyến tính bất biến là hàm theo tần số Nó tạo ra phổ của đáp ứng trạng thái 0 khi được nhân với phổ của tín hiệu vào Theo định nghĩa ta... cắt gọt phổ tín hiệu sẽ gây ra hiện tượng Gibbs (gợn sóng) - 58 - Chương III 3.3.3 Các đặc trưng của tín hiệu theo tần số Phổ là hàm biểu diễn tín hiệu theo tần số, do đó phổ hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu trong miền tần số Từ phổ tín hiệu, ta có thể xác định được các đặc trưng cho tín hiệu như băng thông, năng lượng và công suất của tín hiệu 1 Băng thông của tín hiệu Băng thông của tín hiệu (signal... thức tính hệ số Fourier dã xét Ngoài ra, ta còn cách khác để tính An như sau: An = 1 X(nf 0 ) T0 Ví dụ: ∧ Tìm phổ của tín hiệu đồng hồ máy tính x ( t ) sau đây: 4V -0.04 0 0.04 - 54 - 0.08 t (µs) Chương III - 55 - Chương III 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU LIÊN TỤC Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số 3.3.1 Giới thiệu về phổ tần số Như... xét tín hiệu: x m ( t ) = m( t ) cos(2πf c t ) ở đây m(t) là tín hiệu thông dải, tần số thấp, nằm trong khoảng 0 ≤ f ≤ f1 < f c Ta gọi tín hiệu xm(t) là tín hiệu điều biên, m(t) là tín hiệu mang tin và cos(2πf c t ) là sóng mang Tần số của sóng mang là fc Khi truyền tín hiệu điều biên qua hệ thống, thì tín hiệu này sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian nào đó Do tín hiệu điều biên có chứa một nhóm tần số. .. {h(t)} Đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung 3.4.2 Các đặc trưng của hệ thống theo tần số Nếu ta biết đáp ứng tần số của hệ thống, ta hoàn toàn có thể xác định được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu khi tín hiệu truyền qua hệ thống Việc xét ảnh hưởng này được thực hiện dựa vào các đặc trưng của hệ thống theo tần số, như là đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, băng thông của hệ thống, trễ... Trễ pha của hệ thống Đáp ứng tần số cung cấp cho ta thông tin rất hữu ích cho việc xác định thời gian trễ của tín hiệu truyền qua hệ thống Lý do là vì thời gian trễ của một tín hiệu sin phụ thuộc vào độ dịch pha của hệ thống như vừa xét trên Trễ pha của hệ thống được định nghĩa như sau: Trễ pha của hệ thống (system phase delay) là thời gian một tín hiệu đơn tần phải trải qua khi nó đi qua hệ thống Để... dải tần số mà phổ chiếm trên trục tần số Ta có thể xác định băng thông tín hiệu dựa vào phổ biên độ Ví dụ phổ biên độ của một tín hiệu nằm trong dải tần số từ 10 Hz đến 20 Hz, ta nói băng thông của tín hiệu đó là: B = 20 – 10 = 10 (Hz) Khi thiết kế hệ thống ta phải quan tâm đến băng thông của các tín hiệu truyền qua hệ thống hay là có mặt trong hệ thống để đảm bảo không có thông tin nào trong tín hiệu