��I HÅC HU� TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M HÇ Sß CH×ÌNG KH�O S�T C�C T�NH CH�T, �� XU�T C�C TI�U CHU�N �AN RÈI V� ÙNG DÖNG CÕA MËT SÈ TR�NG TH�I PHI CÊ �I�N HAI V� BA MODE MÎI LU�N �N TI�N S� V�T LÞ Hu¸, 2022[.]
I HC HU TRìNG I HC Sì PHM Hầ Sò CH×ÌNG KHO ST CC TNH CHT, XUT CC TIU CHUN AN RÈI V ÙNG DÖNG CÕA MËT SÈ TRNG THI PHI CÊ IN HAI V BA MODE MỴI LUN N TIN S VT Lị Huá, 2022 I HC HU TRìNG I HC Sì PHM Hầ Sò CHìèNG KHO ST CC TNH CHT, XUT CC TIU CHUN AN RÈI V ÙNG DÖNG CÕA MËT SÈ TRNG THI PHI CÊ IN HAI V BA MODE MẻI Ngnh: Vêt lỵ lỵ thuyát v Vêt lỵ toĂn M số: 9440103 LUN N TIN S VT Lị Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS TRìèNG MINH C Huá, 2022 i LI CAM OAN Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi CĂc số liằu, kát quÊ nghiản cựu v ỗ th nảu luên Ăn l trung thỹc, ữủc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sỷ dửng v chữa tứng ữủc khĂc cổng bố bĐt ký mởt cổng trẳnh hay ti liằu no TĂc giÊ luên Ăn Hỗ S Chữỡng ii LI CM èN Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc v sỹ kẵnh trồng lợn lao ối vợi thƯy giĂo PGS.TS Trữỡng Minh ực, ngữới thƯy  tên tƠm ch dÔy, truyÃn cÊm hựng v am m¶ nghi¶n cùu khoa håc cho tỉi tø nhỳng ngy Ưu mợi gp trản giÊng ữớng trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Huá ThƯy  gõp phƯn rĐt lợn vo nh hữợng sỹ nghiằp cừa tổi, luổn giúp ù v ch bÊo tổi tứ sau tốt nghiằp Ôi hồc, quĂ trẳnh hồc v lm luên vôn ThÔc sắ v sau â l l m Nghi¶n cùu sinh v thüc hiằn Luên Ăn ny ThƯy khổng ch giúp ù tổi chuy¶n mỉn, cỉng vi»c nghi¶n cùu m c£ nhiÃu lắnh vỹc cừa cuởc sống Tổi xin ữủc tri Ơn ThƯy giĂo cừa mẳnh cụng nhữ cÊm tÔ gia ẳnh ThƯy  dnh trồn cho tổi niÃm yảu quỵ chƠn thnh Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn án quỵ thƯy giĂo, cổ giĂo khoa Vêt lỵ, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, Ôi hồc Huá  giÊng dÔy, giúp ù v tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi suốt thới gian tổi hồc têp v nghiản cựu tÔi nỡi Ơy Tổi cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn án quỵ thƯy cổ Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc Phỏng, Ban khĂc cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, Ôi hồc Huá  ữa nhỳng hữợng dăn tên tẳnh cụng nhữ tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho tỉi vi»c ho n th nh c¡c thõ tưc h nh ch½nh st thíi gian tỉi håc tªp Tỉi xin gûi lới cÊm ỡn án Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc ỗng Nai  cho php, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v gióp ï tỉi thíi gian tỉi håc tªp, nghiản cựu v cổng tĂc Xin trƠn trồng cÊm tÔ tợi quỵ thƯy, cổ v bÔn b l ỗng nghiằp cừa tổi tÔi trữớng Ôi hồc ỗng Nai  cõ nhỳng ởng viản, chia s lúc tổi khõ khôn cỉng vi»c, håc tªp v cỉng t¡c Tỉi xin c£m ỡn tợi anh ng Hỳu nh, ch Lả Th Hỗng Thanh v bÔn TrƯn Quang Ôt l cĂc ỗng mổn cừa tổi  chia s nhỳng khõ khôn, giúp ù iii tổi rĐt nhiÃu thới gian lm nghiản cựu sinh c biằt, tổi xin dnh tĐt cÊ niÃm yảu thữỡng v sỹ cÊm tÔ chƠn thnh án tĐt cÊ cĂc thnh viản Ôi gia ẳnh nởi, ngoÔi cừa mẳnh Xin cÊm ỡn bố, mà; cÊm ỡn cĂc anh, chà, em ¢ ln gióp ï, lo lng v ëng viản con, em, anh cừa mẳnh mồi hon cÊnh Xin cÊm tÔ án gia ẳnh nhọ õ cõ vủ v gĂi nhọ yảu quỵ cừa tổi  chàu nhi·u v§t v£ v hi sinh st thíi gian tổi lm nghiản cựu sinh v hon thnh luên Ăn ny Huá, thĂng nôm 2022 TĂc giÊ Hỗ S Chữỡng iv BNG CH VIT TT Viát tưt Tiáng Anh Tiáng Viằt GPAPCS Generalized photon-added TrÔng thĂi kát hủp c°p pair coherent states th¶m photon têng qu¡t PAASTMPCS Photon-added-and- TrÔng thĂi kát hủp cp PAPCS PCS SPAPCS SPAPSPCS subtracted two modes thảm v bợt photon pair coherent state hai mode Photon added pair TrÔng thĂi kát hủp cp coherent states thảm photon Pair coherent states TrÔng thĂi kát hủp cp Superposition of photon- TrÔng thĂi kát hủp cp added pair coherent state chỗng chĐt thảm photon Superposition of photon- TrÔng thĂi kát hủp cp added and photon- chỗng chĐt thảm photon subtracted pair coherent v bợt photon states STMPATCS TCS Superposition of three- TrÔng thĂi kát hủp bở ba mode photon-added trio chỗng chĐt thảm photon coherent states ba mode Trio coherent states TrÔng thĂi kát hủp bở ba v Danh s¡ch h¼nh v³ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 ỗ th sỹ phử thuởc cừa S v o |ξ| v α chån k = v h = Sü phư thc cõa S (ϕ) theo bi¸n |ξ|cõa PCS (k = l = 0) ùng vỵi c¡c tham sè h = q kh¡c Sü phư thc cõa S(ϕ) theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, h), â cè ành h = v k tông dƯn Sü phö thuëc cõa S(ϕ) theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, h), â cè ành k = v h t«ng d¦n ỗ th cừa hm Rab(u, v) thử thuëc v o bi¸n |ξ| v bë tham sè (u, v), vợi cĂc tham số k v h ữủc chồn cố nh l k = h = CĂc ỗ th cõa h m Rab(u, v) theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, h), chån u = v v = Hẳnh (a) l trữớng hủp ch thay ời mởt hai Ôi lữủng k hoc h Hẳnh (b) l tr÷íng hđp k + h khỉng êi ỗ th hm Rab(u, v) cõa PAASTMPCS v PCS phư thc v o bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, h), c¡c tham sè kh¡c ÷đc chån cè ành l q = 6, u = 8, v = ỗ th hm Wigner (W ) theo ph¦n thüc v ph¦n £o cõa αa vỵi |ξ| = 0.2, αb = 0.5, φ = 0, v h = k = vi 54 54 55 55 59 60 60 63 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 ỗ h m Wigner (W ) theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, h) vỵi |αa| = 0.29, |αb| = 0.20 v φa + φb − φ = π ỗ th hm Elin phử thuëc v o bi¸n |ξ| v c°p tham sè (k, h) Trong cĂc hẳnh (a), (b) v (c) ữớng nt liÃn (k, h) = (0, 8) l cõa PCS, c¡c ÷íng nt ựt l cừa PAASTMPCS Hẳnh (a) l trữớng hủp h = v k tông é hẳnh (b), cĂc ÷íng n²t ùt t÷ìng ùng k = v h giÊm (l tông) é hẳnh (c), cĂc ữớng nt ựt ựng vợi k tông v h giÊm (l tông), ỗng thíi hi»u k − l t«ng ỗ th hm rối cừa PAASTMPCS theo bián || v bë tham sè (k, h) vỵi q = Hẳnh (a) ựng vợi trữớng hủp h = v k tông dƯn Hẳnh (b) ựng vợi trữớng hủp k = v h giÊm dƯn (l tông dƯn) ỗ th hm nn S() phư thc v o c¡c bi¸n |ξ|, ϕ v bë tham sè (k, l) vỵi ε = 1, q = é hẳnh (a), hm S() phử thuởc vo cÊ bián |ξ| v ϕ vỵi (k, l) = (4, 2) Ð hẳnh (b), S() phử thuởc vo || vợi k = v l tông dƯn é hẳnh (c), S() phử thuởc vo || vợi l = v k tông dƯn ỗ th hm Wigner cừa SPAPCS vợi cĂc tham số ữủc chồn l q = 1, ε = 1, |β| = 0.3, φa = φb = φ = Trong (a), h m W phư thc v o ph¦n thüc v ph¦n £o cõa α vỵi ξ = v (k, l) = (3, 12) Trong (b), W phử thuởc vo bián || vợi || = 0.5 vii 63 65 67 69 71 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 ỗ th hm entropy tuyán tẵnh Elin phử thuởc vo bián || vợi = , = 1, q = Trong hẳnh (a) v (b) ữớng cong (0, 0) tữỡng ựng vợi PCS, cĂc ữớng cỏn lÔi ựng vợi SPAPCS é hẳnh (a), cĂc ữớng nt ựt ựng vợi trữớng hủp cố nh l = v k tông é hẳnh (b), cĂc ữớng nt ựt ựng vợi trữớng hủp cố nh k = v l tông C¡c ỗ th cừa hm S() phử thuởc vo bián || v c°p tham sè (k, l) vỵi ε = 1, = v q = Hẳnh (a) tữỡng ựng vợi trữớng hủp cÊ k v l Ãu tông Hẳnh (b) tữỡng ựng vợi trữớng hủp k tông l cè ành ỗ th cừa hm Rab(u, v) phử thuởc vo bián || vợi cĂc tham số ữủc cố nh l = 1, φ = v q = Ð h¼nh (a), c°p tham sè (u, v) thay êi k = l = Ð h¼nh (b), c°p tham sè (k, l) thay êi u = 10 v v = ỗ th hm Wigner (W ) cừa SPAPSPCS vợi = 1, q = 12 v φa = φa = = Hẳnh (a) l ỗ th hm W khỉng gian pha phư thc v o ph¦n thüc v phƯn Êo cừa a vợi = 8, |b | = 0.4 v k = l = H¼nh (b) l cĂc ỗ th hm W phử thuởc vo bián |ξ| v bë tham sè (k, l) |αa | = 0.5 v |αb | = 0.4 ỗ th cừa h m Elin phư thc v o bi¸n |ξ| v c°p tham sè (k, l) vỵi ε = 1, φ = π v q = ÷íng n²t li·n (0, 0) ð cÊ hai hẳnh (a) v (b) ựng vợi PCS, cĂc ữớng nt ựt l cừa SPAPSPCS é hẳnh (a), cĂc ữớng nt ựt tữỡng ựng vợi trữớng hủp l = q = v k tông é hẳnh (b), cĂc ữớng nt ựt tữỡng ựng vợi trữớng hủp k = q = l t«ng viii 73 75 78 80 83 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 ỗ th cừa hm Elin phử thuởc vo bián ξ v bë tham sè (k, l, q) vỵi ε = v φ = π H¼nh (a) l trữớng hủp k = l tông, q = Hẳnh (b) l trữớng hủp k = l = q tông ỗ th hm rối cừa SPAPSPCS phử thuëc theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, l), vỵi q = 8, ε = 1, φ = é cĂc hẳnh (a), (b), (c) v (d) ữớng cong (k, l) = (0, 0) ựng vợi PCS, cĂc ữớng cỏn lÔi l cừa SPAPSPCS vợi k v l tông dƯn Hẳnh (a) ựng vợi trữớng hủp k = l + 2, hẳnh (b) ựng vợi trữớng hủp l = k + 2, hẳnh (c) ựng vợi trữớng hủp k = l + 4, hẳnh (d) ựng vợi trữớng hủp l = k + ỗ h m rèi ℜ cõa SPAPSPCS phư thc theo bi¸n |ξ| v bë tham sè (k, l, q) vỵi ε = 1, = é hẳnh (a), ữớng cong (0, 0, 8) ựng vợi trÔng thĂi PCS, cĂc ữớng cỏn lÔi l cừa SPAPSPCS vợi q = k = l tông dƯn Hẳnh (b) l trữớng hủp k = l = q tông dƯn ỗ th hm SU (m) phử thuởc vo bián r v bë tham sè (h, k, l) vỵi p = q = v ε = λ = σ = Ð h¼nh (a) m = 1, ð h¼nh (b) m = v ð b¼nh (c) m = ỗ th hm SU (m) phư thc v o bi¸n r v bë tham sè (h, k, l) vỵi p = q = 0, ε = λ = σ = v m = Biu ỗ h m SU (m) phö thëc v o λ v σ p = q = 0, h = k = l, ε = 1, r = v m = ỗ th hm SV (m) phư thc v o bi¸n r v bë tham sè (h, k, l) p = q = v ε = λ = σ = ix 84 87 88 90 91 91 92 º c£i thi»n ở trung thỹc viạn tÊi lữủng tỷ vợi trÔng thĂi kát hủp cp [31] Nhỳng cÊi tián õ văn ữủc Ăp dửng vo quĂ trẳnh viạn tÊi lữủng tỷ vợi cĂc trÔng thĂi mợi chữỡng cuối luên Ăn ny cụng nhữ cĂc nghiản cựu cừa chúng tổi 1.4.3 Giao thực o tờng số hÔt v hiằu pha Náu giỳa Alice v Bob chia s nguỗn rối và số hÔt v pha thẳ Alice cõ th sỷ dửng giao thực o hiằu số hÔt v tờng pha [75] hoc tờng số hÔt v hiằu pha [76] Viằc sỷ dưng giao thùc n o cán tịy v o sü khâ kh«n viằc o cĂc thnh phƯn và số hÔt v pha cụng nhữ mực ở thnh cổng cừa quĂ trẳnh viạn tÊi Giao thực o tờng số hÔt v hiằu pha ữủc nghiản cựu nhiÃu [77],[78],[79] v phũ hủp vợi cĂc trÔng thĂi mợi ữủc à xuĐt chữỡng hai, â nâ ÷đc chóng tỉi lüa chån Giao thùc ny ữủc ữa Ưu tiản bi Yu v cĂc cëng sü [76] v sau â ÷đc ph¡t triºn bði Cochrane v cĂc cởng sỹ [77] Ưu tiản, Alice v Bob dũng kảnh lữủng tỷ cõ dÔng N |AB X |N − n⟩A |n⟩B , =√ N + n=0 (1.125) õ N l giĂ tr cên trản cừa số photon mởt trÔng thĂi Fock cừa P Alice cụng nhữ Bob TrÔng thĂi ữủc viạn tÊi cõ dÔng |T = m cm |mT , vợi cm l hằ số khai trin TrÔng thĂi vo cừa hằ tr th nh N |ψ⟩ABT ∞ XX √ = cm |N − n⟩A |n⟩B |m⟩T N + n=0 m=0 (1.126) Ti¸p theo, Alice thüc hi»n ph²p o têng sè hÔt photon trản hai mode A v T vợi kát qu£ l q v hi»u pha l ϕ− Ph²p o cừa Alice chẵnh l php chiáu =N A + N T trÔng thĂi cừa hằ |ABT lản trÔng thĂi riảng cừa toĂn tỷ Q i v i lƯn lữủt l toĂn tỷ số hÔt v toĂn tỷ pha cõa v ϕˆ− = ϕˆA − ϕˆT vỵi N 37 mode i (i = A, T ) Sau ph²p o, trÔng thĂi cừa Bob tr thnh X p e2inϕ cq−N +n |n⟩B , |ψ⟩B = P (q)(N + 1) n (1.127) õ n chÔy tứ max(0, N q) án N , P (q) l xĂc suĐt ph²p o v nâ ÷đc cho bði X |cq−N +n |2 P (q) = N +1 n (1.128) Gi¡ trà q v ϕ− ÷đc Alice gûi cho Bob bơng kảnh cờ in Sau õ Bob sỷ dửng toĂn tỷ e2i B N xoay pha ỗng thới bián ời số hÔt n thnh q N + n cho trÔng thĂi ữủc viạn tÊi mởt cĂch trung thỹc nhĐt, iÃu ny  ữủc chúng tổi · xu§t b i [31] X p |ψout ⟩B = cq−N +n |n + q − N ⟩B , P (q)(N + 1) n (1.129) ë trung thüc cõa quĂ trẳnh viạn tÊi ữủc cho bi F (q) = X |cq−N +n |2 = (N + 1)P (q) (1.130) n ở trung thỹc trung bẳnh ữủc nh nghắa l Fav = ∞ X F (q)P (q) = (N + 1) q=0 ∞ X [P (q)]2 (1.131) q=0 Giao thực ny  ữủc chúng tổi sỷ dửng viạn tÊi trÔng thĂi kát hủp vợi nguỗn rối ữủc sỷ dửng l trÔng thĂi kát hủp cp thảm v bợt photon hai mode chữỡng cuối 1.5 Kát luên Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt cĂch hằ thống cĂc cỡ s lỵ thuyát quan trồng ữủc Ăp dửng nghiản cựu cĂc vĐn à cừa luên Ăn 38 Trong õ, chúng tổi  trẳnh by khĂi quĂt cĂc trÔng thĂi cỡ bÊn cừa trữớng iằn tứ l trÔng thĂi kát hủp v trÔng thĂi Fock Mởt số trÔng thĂi phi cờ in m chúng tổi quan tƠm nghiản cựu tứ õ ữa cĂc trÔng thĂi mợi cụng nhữ nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt phi cờ in cừa chúng õ l trÔng thĂi kát hủp cp v cĂc trÔng thĂi kát hủp cp thảm hoc bợt photon, trÔng thĂi kát hủp bở ba v trÔng thĂi kát hủp bở ba chỗng chĐt thảm photon ỗng thới, chúng tổi  giợi thiằu mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc trÔng thĂi phi cờ in nhữ tẵnh chĐt nn, tẵnh chĐt phÊn kát chũm, tẵnh chĐt phi Gauss v tẵnh chĐt an rối CĂc giao thực viạn tÊi m chúng tổi sỷ dửng cho cĂc quĂ trẳnh viạn tÊi lữủng tỷ vợi nguỗn rối l cĂc trÔng thĂi phi cờ in mợi cụng ữủc giợi thiằu, õ l giao thực o c¡c th nh ph¦n trüc giao v giao thùc o tờng số hÔt v hiằu pha 39 Chữỡng CC TRNG THI PHI CÊ IN HAI MODE V TIU CHUN AN RẩI MẻI 2.1 M Ưu Phữỡng phĂp thảm hoc bợt cĂc photon lản hai mode cừa PCS tÔo trÔng thĂi mợi vợi cĂc tẵnh chĐt phi cờ in ữủc tông cữớng  ữủc nghiản cựu [32],[33],[34] Tuy nhiản, nhỳng nghiản cựu õ ch mợi dứng lÔi mởt số trữớng hủp c biằt v ỡn giÊn,  ữủc giợi thiằu tiu mửc 1.2.4 chữỡng mởt Viằc thảm, bợt photon cõ th ữủc phƠn thnh hai loÔi và mt toĂn hồc (v õ l và mt tÔo trÔng thĂi) Thự nhĐt l cĂch thảm, bợt nh xự cĂc photon lản n mode cừa trÔng thĂi gốc bơng Q Qn i kj toĂn tỷ dÔng m ˆ†k ˆj â k l c¡c sè nguy¶n khổng Ơm, i a i=1 j=m+1 a ch bêc cừa cĂc toĂn tỷ sinh (hừy), n l số nguyản dữỡng ch số mode cừa trÔng thĂi v số nguyản m thäa m¢n ≤ m ≤ n Thù hai l cĂch thảm, bợt khổng nh xự cĂc photon lản cĂc mode cừa trÔng thĂi gốc (nhữ l viằc chỗng chĐt cĂc trÔng thĂi thảm v bợt photon) bơng toĂn tỷ dÔng Pn ki i=1 i Ai , õ sè thüc d÷ìng εi l h» sè t¿ l», Ai l to¡n tû sinh ho°c hõy photon ð mode thù i Trong chữỡng ny, chúng tổi ữa hai trÔng thĂi phi cờ in mợi bơng phữỡng phĂp vứa thảm v bỵt c¡c photon ành xù v khỉng ành xù k2 lản hai mode cừa PCS bơng cĂc toĂn tỷ theo thự tỹ cõ dÔng a k v a ε1 a ˆ†k ˆk22 Ti¸p theo, chúng tổi xƠy dỹng mởt tiảu chuân an rối mợi + ε2 a cho h» hai mode düa v o cĂc toĂn tỷ hiằu pha cõ dÔng Hermite v toĂn tỷ hiằu số hÔt 40 2.2 CĂc trÔng thĂi phi cờ in hai mode mợi 2.2.1 TrÔng thĂi kát hủp cp thảm v bợt photon hai mode é tiu mửc ny, chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp thảm v bợt ỗng thới cĂc photon vo cÊ hai mode cừa PCS, ữủc cho (1.38), tÔo trÔng thĂi mợi gồi l trÔng thĂi kát hủp cp thảm v bợt photon hai mode (PAASTMPCS) CĂc tẵnh chĐt phi cờ in cừa trÔng thĂi mợi ny s ữủc nghiản cựu ch÷ìng Chóng tỉi cơng sû dưng PAASTMPCS nh÷ mët ti nguyản phi Gauss cho cĂc quĂ trẳnh viạn tÊi chữỡng TrÔng thĂi kát hủp cp |, qab  ữủc giợi thiằu tiu mửc 1.2.4 v cõ dÔng theo phữỡng trẳnh (1.38) Trong trữớng hủp q v hằ số chuân hõa ữủc viát dữợi dÔng khai trin thẳ |, qab cõ dÔng |, qab = X ∞ |ξ|2m m!(m + q)! m=0 −1/2 X ∞ ξn 1/2 n=0 [n!(n + q)!] |n, n + q⟩ab , (2.1) |n, n + qab l trÔng thĂi Fock hai mode Bơng cĂch tĂc dửng k lƯn toĂn tỷ sinh a ˆ† v o mode a v l l¦n to¡n tỷ hừy b, vợi (l q), lản mode b cõa PCS |ξ, q⟩ab chóng tỉi thu ÷đc PAASTMPCS nh÷ sau |Ψq;k,l ⟩ab = Bq;k,l (ξ)ˆ a†kˆbl |ξ, q⟩ab , (2.2) â k v l l c¡c sè nguy¶n khổng Ơm v hằ số chuân hõa Bq;k,l () ữủc x¡c ành bði −2 Bq;k,l (ξ) ∞ X |ξ|2m (m + k)! = (m!) (m + q − l)! m=0 (2.3) Theo cĂc phữỡng trẳnh (2.2) v (2.3), |Ψq;k,l ⟩ab khỉng phư thc rã r ng v o q ho°c v o l m phö thuëc v o hi»u giúa q v l Do â, chóng tỉi °t h = q − l, õ |q;k,l ab ữủc kỵ hiằu lÔi l |q;k,h ab v ữủc khai trin 41 theo cĂc trÔng th¡i Fock l |Ψq;k,h ⟩ab = ∞ X Cn;k,h (ξ)|n + k, n + h⟩ab , (2.4) n=0 â s (n + k)! , (n!)2 (n + h)! !−1/2 ∞ 2m X |ξ| (m + k)! (m!) (m + h)! m=0 Cn;k,h (ξ) = Bq;k,l (ξ) ξ n Bq;k,l (ξ) = (2.5) Khi k = v h = q ho°c k = l = 0, PAASTMPCS quy và PCS phữỡng trẳnh (1.40) Tứ hm trÔng thĂi |q;k,l ab cừa PAASTMPCS phữỡng trẳnh (2.4) v c¡c h» sè ð (2.5), chóng tỉi t½nh to¡n v thu ữủc mởt số Ôi lữủng quan trồng ữủc sỷ dửng nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt phi cờ in cừa trÔng thĂi ny Ưu tiản, toĂn tỷ mêt ở ρˆab ÷đc x¡c ành l ρˆab = |Ψq;k,h ⟩ab ⟨Ψq;k,h | = ∞ X ∗ Cn;k,h (ξ)Cm;k,h (ξ)|n + k, n + h⟩ab ⟨m + h, m + k| (2.6) n,m=0 Thự hai l cĂc tr trung bẳnh liản quan án toĂn tỷ số hÔt ữủc xĂc nh nhữ sau E P ∞ ˆ Na = |Cn;k,h (ξ)|2 (n + k) , D E n=0 ∞ ˆb = P |Cn;k,h (ξ)|2 (n + h) , N D E n=0P ∞ ˆa N ˆb = N |Cn;k,h (ξ)|2 (n + k) (n + h) , D En=0 P ∞ 2 2 ˆ ˆ Na + Nb = |Cn;k,h (ξ)| (n + k) + (n + h) D n=0 42 (2.7) 2.2.2 TrÔng thĂi kát hủp cp chỗng chĐt thảm photon v bợt photon é hai tiu mửc trản, ối vợi trÔng thĂi mợi PAASTMPCS chúng tổi dũng phữỡng phĂp thảm v bợt nh xự cĂc photon lản hai mode cừa PCS, v vợi SPAPCS chúng tổi chỗng chĐt thảm cĂc photon lản cÊ hai mode cừa PCS é Ơy, chúng tổi s giợi thiằu mởt trÔng thĂi mợi khĂc bơng cĂch chỗng chĐt thảm photon v bợt photon lản hai mode cừa PCS, ữủc gồi l trÔng thĂi kát hủp cp chỗng chĐt thảm photon v bỵt photon (SPAPSPCS) Cư thº, chóng tỉi t¡c dưng to¡n tû (ˆ a†k + εˆbl ) v o PCS v thu ữủc kát quÊ nhữ sau k l |q;k,l ⟩ab = Aq,kl (ξ) a ˆ + εb ∞ X n=0 = Aq,kl (ξ) ∞ X n=0 n ξn [n!(n + q)!]1/2 |n, n + q⟩ p ξ n (n + k)! p |n + k, n + q⟩ n! (n + q)! ! εξ +p |n, n + q − l⟩ , n!(n + q − l)! (2.8) â a ˆ†k , ˆbl v k l to¡n tû sinh bêc k ối vợi mode a v hừy bêc l èi vỵi mode b; k v l c¡c sè nguyản khổng Ơm; q v l ữủc chồn cho q ≥ l Aqkl l h» sè ÷đc x¡c ành tứ iÃu kiằn chuân hõa v cõ dÔng sau ∞ 2n X |ξ| ε (n + q)! (n + k)! k A−2 + + 2ε|ξ| cos(kφ)δk,l (2.9) q,kl (ξ) = n!(n + q)! n! (n + q − l)! n=0 º ìn gi£n cho vi»c tr¼nh by v tẵnh toĂn, chúng tổi t cĂc Ôi lữủng nh÷ sau C1,n √ (n+a1 )! = Aq,kl (ξ) √ , a1 = k, b1 = q, C2,n = Aq,kl (ξ) √ ξn n! (n+b1 )! εξ n , a2 (n+a2 )!(n+b2 )! 43 = 0, b2 = q − l, (2.10) â a1 , a2 , b1 , v b2 l cĂc số nguyản khổng Ơm SPAPSPCS ữủc viát lÔi dữợi dÔng ỡn giÊn sau Ơy |q;k,l ab = ∞ X X (2.11) Cs,n |n + as , n + bs n=0 s=1 Chú ỵ rơng k = l = tùc l a1 = v b2 = q th¼ SPAPSPCS ð (2.8) quy và trÔng thĂi gốc PCS ữủc cho phữỡng trẳnh (1.38) To¡n tû ma trªn mªt ë ρˆab cõa SPAPSPCS ÷đc x¡c ành nh÷ sau ρˆab = ∞ X X ∗ Cs,n Cr,m |n + as , n + bs ⟩ ⟨m + br , m + ar | (2.12) m,n=0 r,s=1 CĂc tr trung bẳnh liản quan án cĂc toĂn tỷ số hÔt cừa trÔng thĂi ny ữủc x¡c ành nh÷ sau D ˆa N E ∞ X = |Aq,kl (ξ)| n=0 2n ! 2n |ξ| (n + k)! (n + q) ε |ξ| (n + q − l) + , (n)!(n + q − l)! (n!)2 (n + q)! (2.13) D E ˆb = |Aq,kl (ξ)| N ∞ X n=0 ! |ξ|2n (n + k)! (n + k) ε2 |ξ|2n (n) , (2.14) + (n)!(n + q − l)! (n!)2 (n + q)! ∞ X |ξ|2n (n + k)! (n + k) (n + q) (n!)2 (n + q)! n=0 ! 2n ε |ξ| (n) (n + q − l) + , (2.15) (n)!(n + q − l)! 2n 2 ∞ D E X |ξ| (n + k)! (n + k) + (n + q) ˆa2 + N ˆb2 = |Aq,kl (ξ)|2 N (n!)2 (n + q)! n=0 2n 2 ε |ξ| n + (n + q − l) + (2.16) (n)!(n + q − l)! D E ˆa N ˆb = |Aq,kl (ξ)|2 N C¡c °c t½nh phi cê iºn cõa SPAPSPCS ữủc nghiản cựu v trẳnh by chữỡng ba Ngoi ra, trÔng thĂi ny ữủc Ăp dửng vo quĂ trẳnh viạn tÊi lữủng tỷ, kát quÊ ữủc trẳnh by chữỡng bốn 44 2.3 Tiảu chuân an rối mợi 2.3.1 ToĂn tỷ pha v toĂn tỷ số hÔt ToĂn tỷ pha lƯn Ưu tiản ữủc biu diạn bi Dirac [80] bơng cĂc toĂn tỷ sinh, hừy nhữ sau p , N a ˆ=e p ˆ e−iϕˆ , a ˆ† = N i (2.17) l toĂn tỷ số hÔt v ữủc giÊ thiát l toĂn tỷ pha Hermite â N Chóng thäa m¢n h» thùc giao ho¡n sau h i ˆ ˆ N , ϕ = i (2.18) Tứ õ, số hÔt v pha cõ th quan s¡t bê sung cho v â c¡c th«ng giĂng cừa cĂc Ôi lữủng ny thọa mÂn hằ thực bĐt nh N. 1/2 Tuy nhiản, xt yáu tố ma h i ⟨n | N , ϕ |n⟩ = iδn′ , n (2.19) (2.20) N¸u khai triºn v¸ tr¡i cõa (2.20) ta thu ÷đc (n′ − n)⟨n′ |ϕˆ |n⟩ = iδn, n Kát quÊ ny l vổ lỵ trữớng hủp n = n Nhữ vêy giÊ thiát tứ Ưu và tẵnh Hermite cừa toĂn tỷ l bĐt hủp lỵ v cƯn xem xt lÔi Nguyản nhƠn Ưu tiản l ei khổng phÊi l toĂn tû unita v¼ † −1/2 −1/2 iϕˆ iϕˆ ˆ ˆ e e = N a ˆ† a ˆ N = 1, (2.21) nh÷ng e iϕˆ e iϕˆ † −1/2 −1/2 ˆ ˆ =a ˆ N N a ˆ† ̸= (2.22) ˆ câ phê b chn dữợi, nõ khổng bao gỗm cĂc VĐn à thự hai l toĂn tỷ N số nguyản Ơm 45 Mët c¡ch º khc phưc v§n · ϕˆ khỉng Hermite l ữa cĂc số nguyản CĂc trÔng thĂi số Ơm tĐt nhiản l phi Ơm vo phờ tr riảng cừa toĂn tỷ N vêt lỵ, nhữ Barnett v Pegg  ch [81] l cõ th xƠy dỹng cĂc toĂn tỷ unita cõ dÔng P i e ≡ e |n⟩ ⟨n + 1| , n=−∞ ∞ P −iϕˆ = |n + 1⟩ ⟨n| = e i (2.23) n= Tứ õ dng thĐy ÷đc e iϕˆ iϕˆ e † = e i ei = (2.24) Tuy nhiản, trÔng thĂi số hÔt Ơm ch mang tẵnh hẳnh thực (khổng cõ ỵ nghắa vêt lỵ) ỗng thới náu sỷ dửng phữỡng trẳnh (2.23) thêt dng ch rơng văn quay lÔi mƠu thuăn nhữ biu thực (2.20) Nhỳng mổ hẳnh và toĂn tỷ pha nhơm khưc phửc khõ khôn và tẵnh Hermite cụng nhữ tẵnh unita  ữủc xem xt v nghiản cựu nhiÃu Trong õ Ăng ỵ l cĂc toĂn tỷ pha Susskind v Glogower · xu§t [82] C¡c to¡n tû Susskind-Glogower ành ngh¾a l ˆ + 1)−1/2 a Eˆ ≡ (N ˆ = (ˆ aa ˆ† )−1/2 a ˆ, ˆ + 1)−1/2 = a Eˆ † = a ˆ† (N ˆ† (ˆ aa ˆ† )−1/2 (2.25) C¡c to¡n tû n y cõ mởt số tẵnh chĐt sau E |n = ⇔ n = 0, Eˆ |n⟩ = |n − 1⟩ ⇔ n > 0, Eˆ † |n⟩ = |n + 1⟩ , (2.26) Eˆ Eˆ † = 1, Eˆ † Eˆ = − |0⟩ ⟨0| ˆ v Eˆ † cõ tẵnh unita, Ta thĐy rơng náu bọ qua trÔng thĂi chƠn khổng thẳ E E = E E = vẳ õ chúng cõ tẵnh chĐt E 46 Xt khổng gian trÔng thĂi pha ri¶ng |Φ⟩ = P∞ n=0 e inϕ |n⟩, ta câ Eˆ † |Φ⟩ = e−iϕ |Φ⟩ ⇔ n ̸= 0, Eˆ |Φ⟩ = eiϕ |Φ⟩ (2.27) ˆ v Eˆ † khỉng Hermite n¶n trà ri¶ng cõa chóng Tø (2.27) ta thĐy ró rng E khổng quan sĂt ữủc khưc phửc nhữủc im nảu trản, Carruthers v Nieto [83]  xt cĂc toĂn tỷ C v S nhữ sau † ˆ ˆ E + E = Cˆ † , † ˆ ˆ ˆ S ≡ 2i E − E = Sˆ† Cˆ ≡ ối vợi khổng gian cĂc trÔng thĂi pha cõ dÔng | = (2.28) P n=0 e in |n thẳ v E l phữỡng trẳnh hm riảng trà ri¶ng cõa E Cˆ |Φ⟩ = cos ϕ |Φ⟩ , Sˆ |Φ⟩ = sin ϕ |Φ⟩ (2.29) Tø (2.29) ta dng thĐy ữủc C v S l c¡c to¡n tû Hermite v thäa m¢n c¡c h» thùc giao ho¡n h i h i h i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C, S = i |0⟩ ⟨0| , C, N = iS , S, N = iC (2.30) Nhữ vêy, C v S giao hoĂn vợi tĐt cÊ cĂc trÔng thĂi trứ trÔng thĂi chƠn khổng Tứ phữỡng trẳnh (2.30) ta câ thº chùng minh c¡c to¡n tû Cˆ , S v N tuƠn theo cĂc hằ thực bĐt nh D ˆE