PHÙNG THỊ KIM YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2023 ( ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ————[.]
Toán tử ∆ γ -Laplace
Toán tử ∆ γ -Laplace
Trong không gian R N , N ≥ 2, ta định nghĩa toán tử (xem trong [29]):
Ta giả sử γ j (X) thỏa mãn các tính chất: i) γ 1(X) ≡ 1, γ j (X) = γ j (x 1 , x 2 , , x j−1) , j = 2, , N ; ii) Với mỗi X ∈ R N ta có γ j (X) = γ j (X ∗ ) , j = 1, 2, , N, trong đó
X ∗ = (|x 1| , , |x N |) nếu X = (x 1 , x 2 , , x N ); iii) Tồn tại hằng số ρ ≥ 0 sao cho: nếu γ j ∈ C 1 (R N ) thì
; iv) Tồn tại nửa nhóm {δ t } t>0 thỏa mãn: δ t : R N −→ R N (x 1 , , x N ) −→ δ t (x 1 , , x N ) = (t ε 1 x 1 , , t ε N x N ) với 1 = ε 1 ≤ ε 2 ≤ ã ã ã ≤ ε N , sao cho γ j là δ t -thuần nhất bậc ε j − 1, tức là γ j (δ t (X)) = t ε j −1 γ j (X) , ∀X ∈ R N , ∀t > 0, j = 1, , N (1.1) Khi đó toán tử ∆ γ là δ t -thuần nhất bậc hai, tức là
Ta định nghĩa N là số chiều thuần nhất của R N đối với nửa nhóm {δ t } t>0, tức là
Số chiều thuần nhất N˜ này đóng vai trò rất quan trọng không những trong các định lý nhúng của các không gian hàm liên quan đến toán tử
∆ γ mà còn tham gia vào các điều kiện đối với vế phải của phương trình. j j l
Ví dụ
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ về toán tử ∆ γ
Ví dụ 1.1 (Toán tử Grushin (xem [29]) Cho α ≥ 0 là một số thực, toán tử Grushin là toán tử có dạng
G α := ∆ x + |x| 2α ∆ y , α ≥ 0, (x, y) ∈ R N 1 × R N 2 , trong đó N 1 , N 2 ∈ N2 , |x| là chuẩn Euclide trong không gian R N 1 và γ = (γ 1 , , γ N ) xác định bởi γ i (x, y) = 1, i = 1, , N 1 , γ j (x, y) = |x| α , j = N 1 + 1, , N 1 + N 2
Nhóm co giãn {δ t } t>0 xác định bởi δ t (x, y) = (tx, t 1+α y).
Số chiều thuần nhất tương ứng với nhóm {δ t } t>0 là N˜ α = N 1 +N 2(1+ α).
Ví dụ 1.2 (Toán tử elliptic suy biến mạnh P α,β ) Cho α, β ≥ 0 là các số thực Xét toán tử
P α,β := ∆ x + ∆ y + |x| 2α |y| 2β ∆ z , (x, y, z) ∈ R N 1 × R N 2 × R N 3 , với N i ∈ N ∗ , i = 1, 2, 3, |x|, |y| tương ứng là chuẩn Euclide của x, y trong không gian R N 1 , R N 2 và γ = (γ (1) , γ (2) , γ (3) ) xác định bởi γ (1) (x, y, z) ≡ 1, j = 1, , N 1; γ (2) (x, y, z) ≡ 1, j = N 1 + 1, , N 1 + N 2; γ (3) (x, y, z) = |x| α |y| β , l = N 1 + N 2 + 1, , N 1 + N 2 + N 3
Nhóm co giãn {δ t } t>0 và số chiều thuần nhất tương ứng là
Khi β = 0 thì toán tử này trở thành toán tử suy biến P α được xét trong [46].
Ví dụ 1.3 Tổng quát hơn ta xét đa chỉ số α = (α 1 , , α k−1) với α i ≥ 0, i = 1, , k − 1 Ta định nghĩa toán tử
∆ γ = ∆ x (1) + |x (1) | 2α 1 ∆ x (1) + |x (2) | 2α 2 ∆ x (3) + + |x (k−1) | 2α k−1 ∆ x (k) với x = (x (1) , x (2) , , x (k) ) ∈ R N 1 × R N 2 × R N k , N i ∈ N ∗ , i = 1, , k. Khi đó hàm γ = (γ (1) , , γ (k)) xác định bởi γ (1) (x) ≡ 1, j = 1, , N 1 , γ (i) (x) = |x (i−1) | α i−1 , i = 2, , k, j = N 1+ +N i−1+1, , N 1+ +N i−1+N i và nhóm co giãn tương ứng là δ t (x (1) , x (2) , , x (k) ) = (t ε 1 x (1) , t ε 2 x (2) , , t ε k x (k) ) với ε 1 = 1, ε i = 1 + α i−1 ε i−1 với i = 2, , k Số chiều thuần nhất tương ứng là
Một số không gian hàm và định lý nhúng
Không gian kiểu Sobolev trong miền bị chặn và định lý nhúng
Giả sử các hàm số γ j (x), j = 1, , N đã được xác định trong
. γ Định nghĩa 1.1 ([34]) Giả sử Ω là miền bị chặn có biên trơn trong R N
Ta định nghĩa S 1,p (Ω) (1 ≤ p < +∞) là bao đóng của C ∞ (Ω) cùng với chuẩn γ,0
Ta định nghĩa không gian S 2,p (Ω) (1 ≤ p < +∞) là tập tất cả các hàm u ∈ L p (Ω) thỏa mãn γ j ∂ x u ∈ L p (Ω) và γ j ∂ x (γ i ∂ x u) ∈ L p (Ω) với mọi i, j = 1, , N Chuẩn được định nghĩa trên không gian
Nếu p = 2 khi đó tích vô hướng trên không gian S 2,2 (Ω) là
Giả sử C ∞ (Ω) ⊂ S 2,2 (Ω) Khi đó, không gian S 2,2 (Ω) được định nghĩa là bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong không gian S 2,2 (Ω).
:Sử dụng (1.18) trong [29], ta có: j=1
Mệnh đề 1.1 (Xem trong [34]) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian R N , N˜ > 4 Khi đó phép nhúng
2 là liên tục, tức là tồn tại C q > 0 thỏa mãn
Hơn nữa, phép nhúng sau:
Nhận xét 1.1 Từ [28], ta nhận thấy ∥u∥ S 2,2 (Ω) và
Ω là hai chuẩn tương đương.
Không gian kiểu Sobolev trong toàn không gian và định lý nhúng
Ký hiệu S 2 (R N ) là bao đóng của không gian C ∞ (R N ) cùng với chuẩn trong đó
∗ ∗ ˜ β)N 3 Vì vậy, L p (R N ) ‹→ S 2 (R N ) Hơn nữa, nếu 2 ≤ p <
Khi đó S 2 (R N ) là không gian Hilbert cùng với tính vô hướng
Từ Bổ đề 2.1 trong [3], ta có các khẳng định sau
1.3 Một số kết quả về lj thuyết điểm tới hạn
Mục này trình bày một số kết quả về điểm tới hạn và giá trị tới hạn để sau này áp dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm và vấn đề nhiều nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic suy biến. Định nghĩa 1.2 ([62, 63]) Cho B và B là các không gian Banach, O(u) là lân cận của điểm u.
(i) Ánh xạ Φ : O(u) ⊂ B → B được gọi là khả vi Gaˆteaux tại u ∈ O(u) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn T ∈ L (B, B) sao cho lim Φ( u + th ) − Φ( u ) = Th, ∀h ∈ B (1.2) t→0 t là hai đại lượng khác
(ii) Ánh xạ Φ : O(u) ⊂ B → B được gọi là khả vi Fréchet tại điểm u nếu sự hội tụ trong (1.2) là đều đối với h thoả mãn ∥h∥ B ≤ 1, nghĩa là
Nếu Φ khả vi Gaˆteaux (Fréchet) thì ánh xạ T được gọi là đạo hàm Gaˆteaux (Fréchet) của Φ tại u và ký hiệu là DΦ(u) Như vậy,
(iii) Nếu đạo hàm DΦ(u) liên tục tại một lân cận của u thì Φ được gọi là khả vi liên tục Gaˆteaux (Fréchet) tại u.
Nhận xét 1.3 Nếu Φ khả vi Gaˆteaux (Fréchet) trong một lân cận của u ∈ O(u) và ánh xạ biến phần tử u ∈ O(u) thành phần tử Φ u ∈ L (B,
B) liên tục tại u thì Φ được gọi là khả vi liên tục Gaˆteaux (Fréchet) tại u Người ta chứng minh được rằng, nếu Φ là khả vi liên tục Gaˆteaux tại u thì Φ khả vi liên tục Fréchet tại u và khi đó các đạo hàm Gaˆteaux và Fréchet thu được là trùng nhau. Định nghĩa 1.3 ([62, 63]) Giả sử Φ là ánh xạ khả vi Fréchet tại u từ không gian Banach B vào không gian Banach B Cho DΦ : B −→ B là đạo hàm Fréchet tại u của Φ Khi đó đạo hàm của Φ tại u theo hướng v ∈ B ký hiệu bởi ⟨v, DΦ(u)⟩ = DΦ(u)(v). Định nghĩa 1.4 ([62, 63]) Giả sử B là không gian Banach thực cùng với không gian đối ngẫu B ∗ và Φ ∈ C 1 (B, R) Với mỗi c ∈ R nói Φ thỏa mãn điều kiện (C) c nếu với mỗi dãy {x n } ∞ n=1 ⊂ B với Φ(x n ) → c và (1 + ∥x n ∥B) ∥Φ ′ (x n )∥B ∗ → 0, thì có một dãy con {x n k } ∞ k=1 hội tụ mạnh trong B.
Nếu Φ thỏa mãn điều kiện (C) c với mọi c > 0, ta nói Φ thỏa mãn điều kiện Cerami.
^ ^ Định lj 1.1 (Xem trong [62, 63]) Giả sử B là không gian Banach thực và giả sử Φ ∈ C 1 (B, R) thỏa mãn điều kiện Cerami và
(i) Tồn tại hằng số ρ, α > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α với mọi ∥u∥B = ρ;
(ii) Tồn tại u 1 ∈ B, ∥u 1∥B > ρ thỏa mãn Φ(u 1) ≤ 0.
Khi đó Φ có ít nhất một điểm tới hạn x 0 và giá trị tới hạn β tương ứng xác định như sau β = inf max Φ(λ(t)) ≥ α, λ∈Λ 0≤t≤1 ở đây Λ := {λ ∈ C([0, 1], B) : λ(0) = 0, λ(1) = u 1}. Định lj 1.2 (xem trong [64]) Giả sử B là không gian Banach vô hạn chiều, B = Y Z, trong đó Y là không gian hữu hạn chiều và giả sử Φ ∈ C 1 (B, R) thỏa mãn điều kiện Cerami, Φ(0) = 0, Φ(−u) = Φ(u) với mọi u ∈ B và
(i) Tồn tại hằng số ρ, α > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α với mọi u ∈ Z và
(ii) Với mỗi không gian con hữu hạn chiều B^ ⊂ B, tồn tại R R(B) > 0 thỏa mãn Φ(u) ≤ 0 trên B\B R , trong đó B R = {x ∈ B; ∥x∥B ≤
Khi đó Φ có một dãy các giá trị tới hạn không bị chặn.
1.4 Tập hút toàn cục và tính chất
1.4.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.5 ([39]) Giả sử B là một không gian Banach và
S(t) : B → B, với t ≥ 0 là một họ các ánh xạ thỏa mãn
2 i) S(0) = Id, với Id là phép đồng nhất; ii) S(t + s) = S(t)S(s), với mọi t, s ≥ 0; iii) Với mỗi t ≥ 0, S(t) ∈ C(B, B); iv) Với mỗi u ∈ B, t −→ S(t)u ∈ C((0, +∞), B).
Khi đó {S(t)} t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục trên B. Định nghĩa 1.6 ( [36]) Họ ánh xạ {S(t)} t≥0 được gọi là một nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh trên B (hoặc đơn giản là C 0 -nửa nhóm trên B) nếu S(t) : H → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn trên B với mọi t ≥ 0 và i) S(0) = Id, với Id là phép đồng nhất; ii) S(t + s) = S(t)S(s), với mọi t, s ≥ 0; iii) Với mỗi u ∈ B, t −→ S(t)u ∈ C([0, +∞), B). Định nghĩa 1.7 ([62, 63]) Giả sử {S(t)} t≥0 là một C 0-nửa nhóm trên
B Ta định nghĩa toán tử sinh A của nó như sau:
S ( t ) u − u t d + (S(t)u) dt t=0 , ∀u ∈ D(A). Định nghĩa 1.8 ([39]) Giả sử S(t) là một nửa nhóm trên B.
1 Hàm Φ ∈ C(B, R) được gọi là hàm Lyapunov nếu Φ(S(t)u) ≤ Φ(u), ∀t ≥ 0, ∀u ∈ B.
2 Hàm Lyapunov Φ được gọi là hàm Lyapunov ngặt nếu Φ(S(t)u) Φ(u) với mọi t ≥ 0, kéo theo u là điểm cân bằng, tức là S(t)u = u với mọi t ≥ 0.
3 Nửa nhóm S(t) được gọi là hệ gradient liên tục nếu nó có hàmLyapunov ngặt và nửa nhóm S(t) là nửa nhóm liên tục.
[ y t z Định nghĩa 1.9 ([55]) Một tập con khác rỗng ffi của B gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm (S(t)) t≥0 nếu:
1 ffi là một tập đóng và bị chặn;
2 ffi là tập bất biến, tức là S(t)ffi = ffi, với mọi t ≥ 0;
3 ffi là hút mọi tập bị chặn, tức là với mọi tập bị chặn B ⊂ B thì dist(S(t)B, ffi) → 0 khi t → +∞, ở đây dist(S(t)B, ffi) = sup inf d(a, b). a∈S(t)B b∈ffi Định nghĩa 1.10 ([55]) Giả sử B là không gian Banach, nửa nhóm
S(t) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn được dưới dạng
S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau
1 Với bất kỳ tập bị chặn B ⊂ B sup ||S (1) (t)y|| B → 0, khi t → +∞;
2 Với bất kỳ tập bị chặn B trong B tồn tại t 0 sao cho bao đóng của
S (2) (t)B t≥t 0 là compact trong B. Định nghĩa 1.11 ([62, 63]) Cho M là không gian metric đầy đủ. a) Quỹ đạo dương của x ∈ M là tập hợp γ + (x) = {S(t)x : t ≥ 0}. Nếu M ⊂ M , thì quỹ đạo dương của M là tập hợp γ + (M) = [
Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của
M bởi γ + (M) = γ + (S(τ )M). b) Phần tử u 0∈ M được gọi là điểm cân bằng nếu S(t)u 0 = u 0 với mọi t ≥ 0. c) Giả sử u 0 là điểm cân bằng khi đó tập
W u (u 0) = {y ∈ M : S(t)y → u 0 khi t → +∞} , được gọi là đa tạp không ổn định của u 0. d) Giả sử N ⊂ M , tập hợp ω(N) = , y ∈ H : tồn tại t n ≥ 0, y n ∈ N sao cho t n → +∞ và
, được gọi là tập ω-giới hạn của N.
1.4.2 Một số mệnh đề phụ trợ Định lj 1.3 ([39], Định lý 4.6) Giả sử S(t), t ≥ 0 là một hệ gradient compact tiệm cận, thỏa mãn với mỗi tập bị chặn B ⊂ B, với τ ≥ 0 ta có γ + (B) là bị chặn Khi đó, nếu tập các điểm cân bằng E bị chặn thì S(t) có một tập hút toàn cục compact ffi và ffi = W u (E), trong đó
W u (E) = S u ∈E W u (u 0) Hơn nữa, nếu B là không gian Banach thì ffi là liên thông.
Bổ đề 1.1 ([16], [45]) Giả sử B 0 , B, B 1 là các không gian Banach sao cho B 0 nhúng compact trong B, B nhúng liên tục trong B 1 và B 0 , B 1 là các không gian phản xạ Với 1 < p, q < ∞, đặt d u
Khi đó W nhúng compact trong L p (0, T ; B). Định lj 1.4 ([36], Định lý Stone) A là toán tử sinh của một C 0 -nhóm các toán tử unita trên không gian Hilbert H khi và chỉ khi iA là toán tử tự liên hợp. Định lj 1.5 ([36], Định lý 2.2) Giả sử A là toán tử sinh của một C 0 nửa nhóm và T (t) = e tA là một C 0 -nửa nhóm Khi đó tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 thỏa mãn
∥T (t)∥ L (H) ≤ Me ωt , ∀ t ∈ [0, ∞), trong đó L (H) là tập các toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert H vào H. γ
Nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic suy biến cấp bốn
Trong chương này, chúng tôi thay thế biến X ở Chương 1 bởi biến x và nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình cấp bốn chứa toán tử ∆ 2 như sau:
u = ∂ ν u = 0 trên ∂Ω, (2.1) trong đú Ω ⊂ R N là một miền trơn bị chặn, ν = (ν 1 , ã ã ã , ν N ) là vộc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên ∂Ω và ∆ 2 := ∆ γ (∆ γ ) Một số bài toán trong lý thuyết đàn hồi đưa tới việc xét bài toán này.
Kết quả đạt được là các định lý về sự không tồn tại của nghiệm mạnh không tầm thường và các định lý về sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường với một số điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến f (x, ξ) Chương này gồm hai phần:
- Phần thứ nhất: Thiết lập đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với ∆ 2 và định lý về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường Đây là
Ω Ω lần đầu tiên đồng nhất thức kiểu Pohozaev được đưa ra cho ∆ 2 Thậm chí nó cũng mới ngay cả cho trường hợp elliptic không suy biến ∆ 2 = ∆ 2
- Phần thứ hai: Trình bày một số định lý về sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường khi vế phải f (x, u) có độ tăng thích hợp đối với biến u.
Nội dung của chương này dựa trên Bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
2.1 Đồng nhất thfíc kiểu Pohozaev và định lj về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường
Trong mục này sẽ giả thiết thêm γ j (x) ∈ C 2 (R N ), j = 2, , N với
N˜ > 4 và đưa ra đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với toán tử cấp bốn
∆ 2 Trên cơ sở đó sẽ đưa ra kết quả về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường đối với trường hợp miền Ω là δ t -hình sao Đặt
Toán tử T cũng có thể được xem như là véc tơ T = (ε 1 x 1 ∂ x 1 , , ε N x N ∂ x N ). Kết quả chính đầu tiên trong phần này là mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1 Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) và ∆ 2 u ∈ L 1 (Ω) Khi đó h
3 trong đú T là trường vectơ được định nghĩa bởi (2.2), ⟨ã, ã⟩ là tớch vụ hướng, ν = (ν 1 , ã ã ã , ν N ) là vectơ phỏp tuyến ngoài đơn vị trờn
Nhận xét 2.1 Từ định nghĩa của bộ γ j (x) ta suy ra:
Do γ j (x) ∈ C 2 (R N ) nên các tích phân của (2.3) dều hội tụ.
Trước hết ta ước lượng tích phân I 2,2
Hàm γ j là δ t -thuần nhất bậc ε j − 1, vì vậy
Tγ 2 = 2γ j Tγ j = 2(ε j − 1)γ 2 , j = 1, , N (2.6) Để chứng minh (2.6) ta xuất phát từ đẳng thức (1.1), tức là γ j (t ε 1 x 1 , , t ε N x N ) = t ε j −1 γ j (x 1 , , x N ).
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên theo t, rồi cho t = 1 vào hai vế, từ (2.2) suy ra
Tγ j = (ε j − 1)γ j và nhận được (2.6) Điều này dẫn tới
Kết hợp các đánh giá (2.4)-(2.7) dẫn tới
+ Σ ∫ ε i x i γ 2 ∂ x u∂ 2 ∆ γ udx (2.8) Chứng minh tương tự i,j =1 Ω j j x i x j
Kết hợp (2.8) và (2.9) suy ra (2.3) Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1 (Xem trong [29, 50]) Miền Ω được gọi là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ nếu 0 ∈ Ω và ⟨T, ν⟩ ≥ 0 tại mỗi điểm trên ∂Ω. Định nghĩa 2.2 Hàm u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) được gọi là nghiệm mạnh của Bài toán (2.1) nếu ∆ 2 u = f (x, u) trong Ω và u = ∂ ν u 0 trên ∂Ω và f (x, u(x)) ∈ L 1 (Ω).
Nếu u ≡ 0 thì u được gọi là nghiệm tầm thường của Bài toán (2.1).
Mệnh đề 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ) và f (0) = 0 Giả sử u ∈
C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm mạnh của Bài toán (2.1) Khi đó hàm u thỏa
N˜F (u) − N˜ − 4 uf (u) dx 1 ∫ |∆ u| 2 ⟨T, ν⟩dS, (2.10) trong đó F (ξ) = ∫ ξ f (τ )dτ.
Chứng minh Do u = 0 trên ∂Ω nên
Mặt khác, do u = ∂∫ ν u = 0 trên ∂Ω, ta có uf (u)dx = −
∂Ω Điều này kết hợp với Mệnh đề 2.1 và (2.11) suy ra
Mệnh đề được chứng minh.
Từ Mệnh đề 2.2 ta có các định lý sau đây về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường. Định lj 2.1 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ), f (0) = 0 và Ω là δ t -hình sao
Khi đó Bài toán (2.1) không có nghiệm mạnh không tầm thường u ∈
Chứng minh Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm không tầm thường của Bài toán (2.1) Từ Mệnh đề 2.2 ta có
Mặt khác, do Ω là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ nên
2 vì vậy hai vế của đẳng thức trên luôn trái dấu nhau Điều này chỉ ra Bài toán (2.1) không có nghiệm không tầm thường. Định lj 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ |ξ| p−1 ξ và N với điểm gốc tọa độ và
Khi đó Bài toán (2.1) không có nghiệm mạnh không tầm thường u ∈
Chứng minh Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm không tầm thường của Bài toán (2.1) Từ Bổ đề 2.2 suy ra
Mặt khác, do Ω là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ, nên
Vì vậy vế trái đẳng thức (2.12) luôn âm còn vế phải của đẳng thức (2.12) không âm Chứng minh của định lý hoàn thành.
Ví dụ 2.1 Giả sử B 1(0) ⊂ R 3 là hình cầu bán kính 1 và tâm là gốc toạ độ Khi đó bài toán
u ∂ u = 0 trên ∂B 1(0) không có nghiệm mạnh không tầm thường, vì ở đây ta có γ 1 = 1, γ 2 γ 3 = x 2 , ε 1 = 1, ε 2 = ε 3 = 1 + 2 = 3,
11 , B 1(0) là δ t -hình sao và bậc tăng trưởng của vế phải bằng 4 lớn hơn
2.2 Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến cấp bốn
Trong mục này, chúng tôi sẽ giả thiết thêm γ j (x) ∈ C 1 (R N ), N˜ > 4 và trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính nhiều nghiệm của Bài toán (2.1) với điều kiện thích hợp của hàm phi tuyến f (x, ξ).
Dựa trên Mệnh đề 1.1 chúng tôi đưa ra định nghĩa nghiệm yếu như sau. Định nghĩa 2.3 Hàm u ∈ S 2,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(b) Với mọi φ ∈ S 2,2 (Ω) đẳng thức sau được thoả mãn
Ω Ω f (x, u(x)) φdx = 0. Để tìm nghiệm yếu của Bài toán (2.1), ta đi tìm điểm tới hạn của phiếm hàm Φ sau đây: Φ(u) = 1
Bổ đề 2.1 Giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory, tức là tồn tại p ∈ (2, 2 γ ), f 1 γ
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 với (x, ξ) ∈ Ω × R hầu khắp nơi, trong đó 2 γ
= N 2N ˜ −4 Khi đó Φ1(u) ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và Φ ′ 1(u)(v) Ω f (x, u)vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω), ở đây Φ1 (u) Ω
Chứng minh Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau.
Bước 1 Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux Thật vậy,cho u, v là hai hàm bất kỳ trong S 2,2 (Ω), với mọi x ∈ Ω, t ∈ R và
0 < t < 1 theo Định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại λ [0, 1] thỏa mãn
|v(x)|. Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder và Mệnh đề 1.1 ta có f 1(x)|v(x)|dx ≤ ||f 1|| L p 1 (Ω)
Nên theo Định lý giá trị trung bình và Định lý Lebesgue thì tồn tại đạo hàm Gâteaux của Φ1 tại u và γ
Bước 2 Ta chứng minh đạo hàm Gâteaux của Φ1 chính là đạo hàm Fréchet Tức là ta sẽ chỉ ra đạo hàm Gâteaux của Φ1 sẽ liên tục tại u trong S 2,2 (Ω) ∗ -topology Thật vậy, giả sử u n → u trong S 2,2 (Ω) theo Mệnh đề 1.1 thì dãy {u n } ∞ n=1 chứa một dãy con, để cho đơn giản ta vẫn ký hiệu là {u n } ∞ n=1 thỏa mãn
Vì f là ánh xạ Carathéodory, kết hợp với (2.15) và (2.16) ta có φ n (x) → φ(x) h.k.n trong Ω,
Với mọi hàm v ∈ S 2,2 (Ω) áp dụng bất đẳng thức H¨older và Mệnh đề 1.1 dẫn tới
Mặt khác theo (2.17) ta có
≤ C 1|φ n (x) − φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ + C 1|φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ γ hầu khắp nơi trong Ω Theo Bổ đề Fatou
Như vậy Φ1 khả vi Fréchet và
Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn:
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 hầu khắp nơi (x, ξ) ∈ Ω × R, trong đó 2 γ
(A4) Tồn tại cỏc hằng số à > 2 và r 1 > 0 sao cho àF (x, ξ) ≤ ξf (x, ξ) với mọi (x, ξ) ∈ Ω ì R, |ξ| ≥ r 1; f lim x, ( p
(A’4) Tồn tại các hằng số C 0 , r 2 > 0 và κ > max{1, N ˜ } sao cho
F (x, ξ) (A5) f (x, ξ) là một hàm lẻ với ξ.
= 2N ˜ và p < 2 γ nên từ điều kiện (A ) suy ra bậc
∗ N ˜ −4 ∗ 1 tăng trưởng của f (x, ξ) theo ξ là nhỏ hơn N +4 N −4
Nhận xét 2.3 Từ Bổ đề 2.1 và f thỏa mãn điều kiện (A1), phiếm hàm Φ là xác định trên S 2,2 (Ω) Hơn nữa, Φ ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và γ,0 Φ ′ (u)(v) Ω
Ω γ,0 f (x, u) vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω) Từ định nghĩa của nghiệm yếu và đạo hàm của Φ, suy ra điểm tới hạn của Φ cũng là nghiệm yếu của Bài toán (2.1).
Kết quả chính của chương này là hai định lý sau. Định lj 2.3 Giả sử f thỏa mãn (A1)-(A3) và (A4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. Định lj 2.4 Giả sử f thỏa mãn (A1)–(A3) và (A’4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. ˜ ˜ γ γ
Nhận xét 2.4 Từ Nhận xét 2.2 và các Định lý 2.2, 2.3, 2.4 ta suy ra
Tập hút toàn cục và tính chất
Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.5 ([39]) Giả sử B là một không gian Banach và
S(t) : B → B, với t ≥ 0 là một họ các ánh xạ thỏa mãn
2 i) S(0) = Id, với Id là phép đồng nhất; ii) S(t + s) = S(t)S(s), với mọi t, s ≥ 0; iii) Với mỗi t ≥ 0, S(t) ∈ C(B, B); iv) Với mỗi u ∈ B, t −→ S(t)u ∈ C((0, +∞), B).
Khi đó {S(t)} t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục trên B. Định nghĩa 1.6 ( [36]) Họ ánh xạ {S(t)} t≥0 được gọi là một nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh trên B (hoặc đơn giản là C 0 -nửa nhóm trên B) nếu S(t) : H → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn trên B với mọi t ≥ 0 và i) S(0) = Id, với Id là phép đồng nhất; ii) S(t + s) = S(t)S(s), với mọi t, s ≥ 0; iii) Với mỗi u ∈ B, t −→ S(t)u ∈ C([0, +∞), B). Định nghĩa 1.7 ([62, 63]) Giả sử {S(t)} t≥0 là một C 0-nửa nhóm trên
B Ta định nghĩa toán tử sinh A của nó như sau:
S ( t ) u − u t d + (S(t)u) dt t=0 , ∀u ∈ D(A). Định nghĩa 1.8 ([39]) Giả sử S(t) là một nửa nhóm trên B.
1 Hàm Φ ∈ C(B, R) được gọi là hàm Lyapunov nếu Φ(S(t)u) ≤ Φ(u), ∀t ≥ 0, ∀u ∈ B.
2 Hàm Lyapunov Φ được gọi là hàm Lyapunov ngặt nếu Φ(S(t)u) Φ(u) với mọi t ≥ 0, kéo theo u là điểm cân bằng, tức là S(t)u = u với mọi t ≥ 0.
3 Nửa nhóm S(t) được gọi là hệ gradient liên tục nếu nó có hàmLyapunov ngặt và nửa nhóm S(t) là nửa nhóm liên tục.
[ y t z Định nghĩa 1.9 ([55]) Một tập con khác rỗng ffi của B gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm (S(t)) t≥0 nếu:
1 ffi là một tập đóng và bị chặn;
2 ffi là tập bất biến, tức là S(t)ffi = ffi, với mọi t ≥ 0;
3 ffi là hút mọi tập bị chặn, tức là với mọi tập bị chặn B ⊂ B thì dist(S(t)B, ffi) → 0 khi t → +∞, ở đây dist(S(t)B, ffi) = sup inf d(a, b). a∈S(t)B b∈ffi Định nghĩa 1.10 ([55]) Giả sử B là không gian Banach, nửa nhóm
S(t) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn được dưới dạng
S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau
1 Với bất kỳ tập bị chặn B ⊂ B sup ||S (1) (t)y|| B → 0, khi t → +∞;
2 Với bất kỳ tập bị chặn B trong B tồn tại t 0 sao cho bao đóng của
S (2) (t)B t≥t 0 là compact trong B. Định nghĩa 1.11 ([62, 63]) Cho M là không gian metric đầy đủ. a) Quỹ đạo dương của x ∈ M là tập hợp γ + (x) = {S(t)x : t ≥ 0}. Nếu M ⊂ M , thì quỹ đạo dương của M là tập hợp γ + (M) = [
Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của
M bởi γ + (M) = γ + (S(τ )M). b) Phần tử u 0∈ M được gọi là điểm cân bằng nếu S(t)u 0 = u 0 với mọi t ≥ 0. c) Giả sử u 0 là điểm cân bằng khi đó tập
W u (u 0) = {y ∈ M : S(t)y → u 0 khi t → +∞} , được gọi là đa tạp không ổn định của u 0. d) Giả sử N ⊂ M , tập hợp ω(N) = , y ∈ H : tồn tại t n ≥ 0, y n ∈ N sao cho t n → +∞ và
, được gọi là tập ω-giới hạn của N.
Một số mệnh đề phụ trợ
Định lj 1.3 ([39], Định lý 4.6) Giả sử S(t), t ≥ 0 là một hệ gradient compact tiệm cận, thỏa mãn với mỗi tập bị chặn B ⊂ B, với τ ≥ 0 ta có γ + (B) là bị chặn Khi đó, nếu tập các điểm cân bằng E bị chặn thì S(t) có một tập hút toàn cục compact ffi và ffi = W u (E), trong đó
W u (E) = S u ∈E W u (u 0) Hơn nữa, nếu B là không gian Banach thì ffi là liên thông.
Bổ đề 1.1 ([16], [45]) Giả sử B 0 , B, B 1 là các không gian Banach sao cho B 0 nhúng compact trong B, B nhúng liên tục trong B 1 và B 0 , B 1 là các không gian phản xạ Với 1 < p, q < ∞, đặt d u
Khi đó W nhúng compact trong L p (0, T ; B). Định lj 1.4 ([36], Định lý Stone) A là toán tử sinh của một C 0 -nhóm các toán tử unita trên không gian Hilbert H khi và chỉ khi iA là toán tử tự liên hợp. Định lj 1.5 ([36], Định lý 2.2) Giả sử A là toán tử sinh của một C 0 nửa nhóm và T (t) = e tA là một C 0 -nửa nhóm Khi đó tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 thỏa mãn
∥T (t)∥ L (H) ≤ Me ωt , ∀ t ∈ [0, ∞), trong đó L (H) là tập các toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert H vào H. γ
Nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic suy biến cấp bốn
Trong chương này, chúng tôi thay thế biến X ở Chương 1 bởi biến x và nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình cấp bốn chứa toán tử ∆ 2 như sau:
u = ∂ ν u = 0 trên ∂Ω, (2.1) trong đú Ω ⊂ R N là một miền trơn bị chặn, ν = (ν 1 , ã ã ã , ν N ) là vộc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên ∂Ω và ∆ 2 := ∆ γ (∆ γ ) Một số bài toán trong lý thuyết đàn hồi đưa tới việc xét bài toán này.
Kết quả đạt được là các định lý về sự không tồn tại của nghiệm mạnh không tầm thường và các định lý về sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường với một số điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến f (x, ξ) Chương này gồm hai phần:
- Phần thứ nhất: Thiết lập đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với ∆ 2 và định lý về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường Đây là
Ω Ω lần đầu tiên đồng nhất thức kiểu Pohozaev được đưa ra cho ∆ 2 Thậm chí nó cũng mới ngay cả cho trường hợp elliptic không suy biến ∆ 2 = ∆ 2
- Phần thứ hai: Trình bày một số định lý về sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường khi vế phải f (x, u) có độ tăng thích hợp đối với biến u.
Nội dung của chương này dựa trên Bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
2.1 Đồng nhất thfíc kiểu Pohozaev và định lj về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường
Trong mục này sẽ giả thiết thêm γ j (x) ∈ C 2 (R N ), j = 2, , N với
N˜ > 4 và đưa ra đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với toán tử cấp bốn
∆ 2 Trên cơ sở đó sẽ đưa ra kết quả về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường đối với trường hợp miền Ω là δ t -hình sao Đặt
Toán tử T cũng có thể được xem như là véc tơ T = (ε 1 x 1 ∂ x 1 , , ε N x N ∂ x N ). Kết quả chính đầu tiên trong phần này là mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1 Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) và ∆ 2 u ∈ L 1 (Ω) Khi đó h
3 trong đú T là trường vectơ được định nghĩa bởi (2.2), ⟨ã, ã⟩ là tớch vụ hướng, ν = (ν 1 , ã ã ã , ν N ) là vectơ phỏp tuyến ngoài đơn vị trờn
Nhận xét 2.1 Từ định nghĩa của bộ γ j (x) ta suy ra:
Do γ j (x) ∈ C 2 (R N ) nên các tích phân của (2.3) dều hội tụ.
Trước hết ta ước lượng tích phân I 2,2
Hàm γ j là δ t -thuần nhất bậc ε j − 1, vì vậy
Tγ 2 = 2γ j Tγ j = 2(ε j − 1)γ 2 , j = 1, , N (2.6) Để chứng minh (2.6) ta xuất phát từ đẳng thức (1.1), tức là γ j (t ε 1 x 1 , , t ε N x N ) = t ε j −1 γ j (x 1 , , x N ).
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên theo t, rồi cho t = 1 vào hai vế, từ (2.2) suy ra
Tγ j = (ε j − 1)γ j và nhận được (2.6) Điều này dẫn tới
Kết hợp các đánh giá (2.4)-(2.7) dẫn tới
+ Σ ∫ ε i x i γ 2 ∂ x u∂ 2 ∆ γ udx (2.8) Chứng minh tương tự i,j =1 Ω j j x i x j
Kết hợp (2.8) và (2.9) suy ra (2.3) Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1 (Xem trong [29, 50]) Miền Ω được gọi là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ nếu 0 ∈ Ω và ⟨T, ν⟩ ≥ 0 tại mỗi điểm trên ∂Ω. Định nghĩa 2.2 Hàm u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) được gọi là nghiệm mạnh của Bài toán (2.1) nếu ∆ 2 u = f (x, u) trong Ω và u = ∂ ν u 0 trên ∂Ω và f (x, u(x)) ∈ L 1 (Ω).
Nếu u ≡ 0 thì u được gọi là nghiệm tầm thường của Bài toán (2.1).
Mệnh đề 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ) và f (0) = 0 Giả sử u ∈
C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm mạnh của Bài toán (2.1) Khi đó hàm u thỏa
N˜F (u) − N˜ − 4 uf (u) dx 1 ∫ |∆ u| 2 ⟨T, ν⟩dS, (2.10) trong đó F (ξ) = ∫ ξ f (τ )dτ.
Chứng minh Do u = 0 trên ∂Ω nên
Mặt khác, do u = ∂∫ ν u = 0 trên ∂Ω, ta có uf (u)dx = −
∂Ω Điều này kết hợp với Mệnh đề 2.1 và (2.11) suy ra
Mệnh đề được chứng minh.
Từ Mệnh đề 2.2 ta có các định lý sau đây về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường. Định lj 2.1 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ), f (0) = 0 và Ω là δ t -hình sao
Khi đó Bài toán (2.1) không có nghiệm mạnh không tầm thường u ∈
Chứng minh Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm không tầm thường của Bài toán (2.1) Từ Mệnh đề 2.2 ta có
Mặt khác, do Ω là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ nên
2 vì vậy hai vế của đẳng thức trên luôn trái dấu nhau Điều này chỉ ra Bài toán (2.1) không có nghiệm không tầm thường. Định lj 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ |ξ| p−1 ξ và N với điểm gốc tọa độ và
Khi đó Bài toán (2.1) không có nghiệm mạnh không tầm thường u ∈
Chứng minh Giả sử u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 3 (Ω) là nghiệm không tầm thường của Bài toán (2.1) Từ Bổ đề 2.2 suy ra
Mặt khác, do Ω là δ t -hình sao ứng với điểm gốc tọa độ, nên
Vì vậy vế trái đẳng thức (2.12) luôn âm còn vế phải của đẳng thức (2.12) không âm Chứng minh của định lý hoàn thành.
Ví dụ 2.1 Giả sử B 1(0) ⊂ R 3 là hình cầu bán kính 1 và tâm là gốc toạ độ Khi đó bài toán
u ∂ u = 0 trên ∂B 1(0) không có nghiệm mạnh không tầm thường, vì ở đây ta có γ 1 = 1, γ 2 γ 3 = x 2 , ε 1 = 1, ε 2 = ε 3 = 1 + 2 = 3,
11 , B 1(0) là δ t -hình sao và bậc tăng trưởng của vế phải bằng 4 lớn hơn
2.2 Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến cấp bốn
Trong mục này, chúng tôi sẽ giả thiết thêm γ j (x) ∈ C 1 (R N ), N˜ > 4 và trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính nhiều nghiệm của Bài toán (2.1) với điều kiện thích hợp của hàm phi tuyến f (x, ξ).
Dựa trên Mệnh đề 1.1 chúng tôi đưa ra định nghĩa nghiệm yếu như sau. Định nghĩa 2.3 Hàm u ∈ S 2,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(b) Với mọi φ ∈ S 2,2 (Ω) đẳng thức sau được thoả mãn
Ω Ω f (x, u(x)) φdx = 0. Để tìm nghiệm yếu của Bài toán (2.1), ta đi tìm điểm tới hạn của phiếm hàm Φ sau đây: Φ(u) = 1
Bổ đề 2.1 Giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory, tức là tồn tại p ∈ (2, 2 γ ), f 1 γ
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 với (x, ξ) ∈ Ω × R hầu khắp nơi, trong đó 2 γ
= N 2N ˜ −4 Khi đó Φ1(u) ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và Φ ′ 1(u)(v) Ω f (x, u)vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω), ở đây Φ1 (u) Ω
Chứng minh Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau.
Bước 1 Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux Thật vậy,cho u, v là hai hàm bất kỳ trong S 2,2 (Ω), với mọi x ∈ Ω, t ∈ R và
0 < t < 1 theo Định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại λ [0, 1] thỏa mãn
|v(x)|. Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder và Mệnh đề 1.1 ta có f 1(x)|v(x)|dx ≤ ||f 1|| L p 1 (Ω)
Nên theo Định lý giá trị trung bình và Định lý Lebesgue thì tồn tại đạo hàm Gâteaux của Φ1 tại u và γ
Bước 2 Ta chứng minh đạo hàm Gâteaux của Φ1 chính là đạo hàm Fréchet Tức là ta sẽ chỉ ra đạo hàm Gâteaux của Φ1 sẽ liên tục tại u trong S 2,2 (Ω) ∗ -topology Thật vậy, giả sử u n → u trong S 2,2 (Ω) theo Mệnh đề 1.1 thì dãy {u n } ∞ n=1 chứa một dãy con, để cho đơn giản ta vẫn ký hiệu là {u n } ∞ n=1 thỏa mãn
Vì f là ánh xạ Carathéodory, kết hợp với (2.15) và (2.16) ta có φ n (x) → φ(x) h.k.n trong Ω,
Với mọi hàm v ∈ S 2,2 (Ω) áp dụng bất đẳng thức H¨older và Mệnh đề 1.1 dẫn tới
Mặt khác theo (2.17) ta có
≤ C 1|φ n (x) − φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ + C 1|φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ γ hầu khắp nơi trong Ω Theo Bổ đề Fatou
Như vậy Φ1 khả vi Fréchet và
Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn:
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 hầu khắp nơi (x, ξ) ∈ Ω × R, trong đó 2 γ
(A4) Tồn tại cỏc hằng số à > 2 và r 1 > 0 sao cho àF (x, ξ) ≤ ξf (x, ξ) với mọi (x, ξ) ∈ Ω ì R, |ξ| ≥ r 1; f lim x, ( p
(A’4) Tồn tại các hằng số C 0 , r 2 > 0 và κ > max{1, N ˜ } sao cho
F (x, ξ) (A5) f (x, ξ) là một hàm lẻ với ξ.
= 2N ˜ và p < 2 γ nên từ điều kiện (A ) suy ra bậc
∗ N ˜ −4 ∗ 1 tăng trưởng của f (x, ξ) theo ξ là nhỏ hơn N +4 N −4
Nhận xét 2.3 Từ Bổ đề 2.1 và f thỏa mãn điều kiện (A1), phiếm hàm Φ là xác định trên S 2,2 (Ω) Hơn nữa, Φ ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và γ,0 Φ ′ (u)(v) Ω
Ω γ,0 f (x, u) vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω) Từ định nghĩa của nghiệm yếu và đạo hàm của Φ, suy ra điểm tới hạn của Φ cũng là nghiệm yếu của Bài toán (2.1).
Kết quả chính của chương này là hai định lý sau. Định lj 2.3 Giả sử f thỏa mãn (A1)-(A3) và (A4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. Định lj 2.4 Giả sử f thỏa mãn (A1)–(A3) và (A’4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. ˜ ˜ γ γ
Nhận xét 2.4 Từ Nhận xét 2.2 và các Định lý 2.2, 2.3, 2.4 ta suy ra
N −4 là giá trị tới hạn đối với bậc tăng trưởng của hàm f (x, u) cho sự Để chứng minh Định lý 2.3 và Định lý 2.4, ta sẽ sử dụng Định lý 1.1 và Định lý 1.2 Thật vậy, trước hết ta sẽ đi kiểm tra điều kiện Cerami của phiếm hàm Φ(u).
Bổ đề 2.2 Giả sử f thỏa mãn (A1), (A3) và (A4) Phiếm hàm Φ thỏa mãn điều kiện (C) c với mọi c ∈ R trên S 2,2 (Ω).
{u m } ∞ m=1 là một dãy trong không gian S 2,2 (Ω) thỏa mãn
Khi đó với m là đủ lớn
1 f (x, u à m )u m — F (x, u m tồn tại của nghiệm không tầm
Trước hết, ta chứng minh dãy {u m } ∞ m=1 là bị chặn trong S 2,2 (Ω) bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, có thể sai khác một dãy con nếu cần, giả sử với mỗi m thỏa mãn ∥u m ∥ S 2,2 (Ω) > 1 và
∥u m ∥ S 2,2 (Ω) khi đó ∥v m ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do đó, có một dãy con v m ⇀ v hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω), khi đó từ Mệnh đề 1.1 suy ra v m → v hội tụ mạnh trong
L q (Ω), 2 ≤ q < 2 γ và v m → v hầu khắp nơi trong Ω.
Từ (2.20) và (2.21), ta đạt được
Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp của v là v = 0 hoặc v ̸= 0.
Trường hợp 1: Nếu v ≡ 0, khi đó v m → 0 hội tụ mạnh trong
L q (Ω), 2 ≤ q < 2 γ , và v m → 0 hội tụ hầu khắp nơi trong Ω Từ điều kiện
Trường hợp 2: v ̸= 0 Đặt Ω ∗ = {x ∈ Ω : v(x) ̸= 0} khi đó meas(Ω ∗ ) > 0 Với mỗi x ∈ Ω ∗ thì m→∞lim u m (x) = lim m→∞∥u m ∥ S 2,2 (Ω) v m (x) = ∞.
Từ các điều kiện (A1), (A3), (2.19) và Bổ đề Fatou, ta có
Ω ∗ |u m | điều này là mâu thuẫn với (2.22) Do đó dãy {u m } ∞ m=1 bị chặn trong không gian S 2,2 (Ω) Không mất tính tổng quát, ta giả sử u m ⇀ u trong S 2,2 (Ω) khi m → ∞ u m → u trong L q (Ω) khi m → ∞, 2 ≤ q < 2 γ (2.24)
Do đó, dãy u m → u trong S 2,2 (Ω) Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3 Giả sử f thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3) và (A’4) Khi đó Φ thỏa mãn điều kiện (C) c với mọi c ∈ R trên S 2,2 (Ω).
{u m } ∞ m=1 là một dãy trong không gian S 2,2 (Ω) thỏa mãn
∥Φ ′ (u m )∥(S 2,2 (Ω)) ∗ → 0 và Φ(u m ) → c khi m → ∞, suy ra Φ ′ (u m )(u m ) → 0 và 1
Chúng ta chứng minh dãy {u m } ∞ m=1 là bị chặn trong không gian S 2,2(Ω) bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử dãy {u m } ∞ m=1 không bị chặn, khi đó không mất tính tổng quát với mỗi m thỏa mãn
∥u m ∥ S 2,2 (Ω) suy ra ∥v m ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do vậy v m v⇀ hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) khi m → ∞, v m
→ v hội tụ hầu khắp nơi trong Ω khi m → ∞. v m → v hội tụ mạnh trong L q (Ω) khi m → ∞, 2 ≤ q < 2 γ
Từ (2.27), khi đó m đủ lớn c + 1 ≥ Φ(u m ) 1 Φ ′ (u
Bây giờ ta xét hai trường hợp của v là v = 0 hoặc v ̸= 0.
Trường hợp 1: Nếu v = 0 khi đó v m → v trong L p (Ω), 2 ≤ p < 2 γ và v m → 0 hầu khắp nơi trong Ω Từ (2.27), ta có lim
→ 0 Đặt κ ′ = κ/(κ − 1), κ > max{1, N˜/2}, khi đó 2κ ′ ∈ [2, 2 γ ) Từ (A’4), (2.29) và (2.28)
Kết hợp (2.31) cùng với (2.32), khi đó
|u | 2 |v m | dx → 0, khi m → ∞, điều này mâu thuẫn với (2.30).
Trường hợp 2: v ̸= 0 Chứng minh tương tự như trường hợp 2 trong
Tương tự như Bổ đề 2.2 có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.4 Giả sử (A1) và (A2) là thỏa mãn Khi đó tồn tại α, ρ > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α, ∀u ∈ S γ,0 (Ω), ∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ.
Chứng minh Từ (A1) và (A2), với mỗi ε > 0, có hằng số C(ε) > 0 thỏa mãn
Bởi Mệnh đề 1.1, ta có
Do ε là đủ nhỏ và p > 2, chọn α, ρ > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α khi
∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.5 Giả sử (A1) và (A3) là thỏa mãn Khi đó, với mỗi không gian con hữu hạn chiều X^ ⊂ S 2,2 (Ω), có R = R(X^) > 0 thỏa mãn Φ(u) ≤ 0, ∀u ∈ X^ , ∥u∥ S 2,2 (Ω) ≥ R. γ γ γ γ γ γ
Chứng minh Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử có một dãy {u n } ∞ n=1 ⊂ X^ thỏa mãn ∥u n ∥ S 2,2 (Ω) → ∞, tức là có M > 0 sao cho Φ(u n ) ≥ −M với mọi n ∈ N Đặt u n v n (x) =
∥u n ∥ S 2,2 (Ω) Khi đó ∥v n ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Không mất tính tổng quát, ta có v n ⇀ v hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) khi n → ∞, v n → v hầu khắp nơi trong Ω khi n → ∞, v n → v hội tụ mạnh trong L q (Ω) khi n → ∞, 2 ≤ q < 2 γ
Do không gian X^ là hữu hạn chiều, khi đó v n → v hội tụ mạnh trong X^ khi n → ∞ và v ∈ X^ , ∥v∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do đó, từ (2.23) ta có
F ( x, u m ) m 2 γ,0 2,2 dx = −∞, mâu thuẫn Do vậy, tồn tại R = R(X) > 0 thỏa mãn Φ(u) ≤ 0 với u ∈ X và ∥u∥ S 2,2 (Ω) ≥ R.
{e j } ∞ j=1 là cơ sở trực giao trong không gian S 2,2 (Ω) và
L p 1 −1 γ u γ γ γ γ γ khi đó β k → 0 khi k → ∞ Thật vậy, giả sử điều này không xảy ra, khi đó có ε 0 > 0 và {u j } ∞ ⊂ S (Ω), ∥u j ∥ 2,2 = 1, cùng với u j ⊥Y k j , ∥u j ∥ L q
≥ ε 0 ở đây k j → ∞ khi j → ∞ Với mỗi v ∈ S γ,0 (Ω), ta xác định được w j ∈ Y k j sao cho w j → v khi j → ∞ Do đó
.(uj, v) S 2,2 (Ω) = (uj, wj − v) S 2,2 (Ω) ≤ ∥wj − v∥S 2,2 (Ω) khi j → ∞, tức là, u j ⇀ 0 hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) Suy ra u j → 0 trong
L q (Ω), mâu thuẫn Vì vậy β k → 0 khi k → ∞.
Bổ đề 2.6 Giả sử (A1) và (A3) là thỏa mãn Khi đó tồn tại các hằng số ρ, α, k > 0 sao cho Φ(u) ≥ α với mọi u ∈ Z k và ∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ.
Chứng minh Với mỗi u ∈Z k và ∥u∥ S 2,2 (Ω) > 0, sử dụng bất đẳng thức
Do (2.33), chọn k đủ lớn và ∥u∥ S 2,2 (Ω) = 2 thỏa mãn
∂ + x ∂ ˜ ˜ γ γ này ta có C 0 ∞ ⊂ S 2,2 (Ω) và bậc tăng trưởng của vế phải bằng 3 nhỏ
Chfíng minh Định lj 2.3 Từ các Bổ đề 2.2, 2.4 và 2.5, tất cả các điều kiện trong Định lý 1.1 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Nếu f (x, −ξ) = −f (x, ξ) khi đó ta chọn B ≡ S 2,2 (Ω), Y ≡ Y k , Z ≡
Z k Từ các Bổ đề 2.2, 2.5 và 2.6 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.2 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường.
Chfíng minh Định lj 2.4 Từ các Bổ đề 2.3, 2.4 và 2.5 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.1 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có nghiệm không tầm thường.
Từ các Bổ đề 2.3, 2.5 và 2.6 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.2 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường.
(2.34) có vô số nghiệm yếu không tầm thường Thật vậy, cũng như trong Ví dụ 2.1 ta có γ 1 = 1, γ 2 = γ 3 = x 2 , N˜ 7,
Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trong miền bị chặn của bài toán Dirichlet đối với phương trình cấp bốn chứa toán tử ∆ 2 Các kết quả đạt được bao gồm:
1 Thiết lập được đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với ∆ 2 từ đó suy
Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình
phương trình elliptic suy biến cấp bốn
Trong mục này, chúng tôi sẽ giả thiết thêm γ j (x) ∈ C 1 (R N ), N˜ > 4 và trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính nhiều nghiệm của Bài toán (2.1) với điều kiện thích hợp của hàm phi tuyến f (x, ξ).
Dựa trên Mệnh đề 1.1 chúng tôi đưa ra định nghĩa nghiệm yếu như sau. Định nghĩa 2.3 Hàm u ∈ S 2,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(b) Với mọi φ ∈ S 2,2 (Ω) đẳng thức sau được thoả mãn
Ω Ω f (x, u(x)) φdx = 0. Để tìm nghiệm yếu của Bài toán (2.1), ta đi tìm điểm tới hạn của phiếm hàm Φ sau đây: Φ(u) = 1
Bổ đề 2.1 Giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory, tức là tồn tại p ∈ (2, 2 γ ), f 1 γ
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 với (x, ξ) ∈ Ω × R hầu khắp nơi, trong đó 2 γ
= N 2N ˜ −4 Khi đó Φ1(u) ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và Φ ′ 1(u)(v) Ω f (x, u)vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω), ở đây Φ1 (u) Ω
Chứng minh Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau.
Bước 1 Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux Thật vậy,cho u, v là hai hàm bất kỳ trong S 2,2 (Ω), với mọi x ∈ Ω, t ∈ R và
0 < t < 1 theo Định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại λ [0, 1] thỏa mãn
|v(x)|. Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder và Mệnh đề 1.1 ta có f 1(x)|v(x)|dx ≤ ||f 1|| L p 1 (Ω)
Nên theo Định lý giá trị trung bình và Định lý Lebesgue thì tồn tại đạo hàm Gâteaux của Φ1 tại u và γ
Bước 2 Ta chứng minh đạo hàm Gâteaux của Φ1 chính là đạo hàm Fréchet Tức là ta sẽ chỉ ra đạo hàm Gâteaux của Φ1 sẽ liên tục tại u trong S 2,2 (Ω) ∗ -topology Thật vậy, giả sử u n → u trong S 2,2 (Ω) theo Mệnh đề 1.1 thì dãy {u n } ∞ n=1 chứa một dãy con, để cho đơn giản ta vẫn ký hiệu là {u n } ∞ n=1 thỏa mãn
Vì f là ánh xạ Carathéodory, kết hợp với (2.15) và (2.16) ta có φ n (x) → φ(x) h.k.n trong Ω,
Với mọi hàm v ∈ S 2,2 (Ω) áp dụng bất đẳng thức H¨older và Mệnh đề 1.1 dẫn tới
Mặt khác theo (2.17) ta có
≤ C 1|φ n (x) − φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ + C 1|φ(x)| p 2( p−1)+2 ∗ γ hầu khắp nơi trong Ω Theo Bổ đề Fatou
Như vậy Φ1 khả vi Fréchet và
Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta giả sử f : Ω × R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn:
|f (x, ξ)| ≤ f 1(x) + f 2(x) |ξ| p−1 hầu khắp nơi (x, ξ) ∈ Ω × R, trong đó 2 γ
(A4) Tồn tại cỏc hằng số à > 2 và r 1 > 0 sao cho àF (x, ξ) ≤ ξf (x, ξ) với mọi (x, ξ) ∈ Ω ì R, |ξ| ≥ r 1; f lim x, ( p
(A’4) Tồn tại các hằng số C 0 , r 2 > 0 và κ > max{1, N ˜ } sao cho
F (x, ξ) (A5) f (x, ξ) là một hàm lẻ với ξ.
= 2N ˜ và p < 2 γ nên từ điều kiện (A ) suy ra bậc
∗ N ˜ −4 ∗ 1 tăng trưởng của f (x, ξ) theo ξ là nhỏ hơn N +4 N −4
Nhận xét 2.3 Từ Bổ đề 2.1 và f thỏa mãn điều kiện (A1), phiếm hàm Φ là xác định trên S 2,2 (Ω) Hơn nữa, Φ ∈ C 1 (S 2,2 (Ω), R) và γ,0 Φ ′ (u)(v) Ω
Ω γ,0 f (x, u) vdx với mọi v ∈ S 2,2 (Ω) Từ định nghĩa của nghiệm yếu và đạo hàm của Φ, suy ra điểm tới hạn của Φ cũng là nghiệm yếu của Bài toán (2.1).
Kết quả chính của chương này là hai định lý sau. Định lj 2.3 Giả sử f thỏa mãn (A1)-(A3) và (A4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. Định lj 2.4 Giả sử f thỏa mãn (A1)–(A3) và (A’4) Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Hơn nữa, nếu điều kiện (A5) được thỏa mãn, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường. ˜ ˜ γ γ
Nhận xét 2.4 Từ Nhận xét 2.2 và các Định lý 2.2, 2.3, 2.4 ta suy ra
N −4 là giá trị tới hạn đối với bậc tăng trưởng của hàm f (x, u) cho sự Để chứng minh Định lý 2.3 và Định lý 2.4, ta sẽ sử dụng Định lý 1.1 và Định lý 1.2 Thật vậy, trước hết ta sẽ đi kiểm tra điều kiện Cerami của phiếm hàm Φ(u).
Bổ đề 2.2 Giả sử f thỏa mãn (A1), (A3) và (A4) Phiếm hàm Φ thỏa mãn điều kiện (C) c với mọi c ∈ R trên S 2,2 (Ω).
{u m } ∞ m=1 là một dãy trong không gian S 2,2 (Ω) thỏa mãn
Khi đó với m là đủ lớn
1 f (x, u à m )u m — F (x, u m tồn tại của nghiệm không tầm
Trước hết, ta chứng minh dãy {u m } ∞ m=1 là bị chặn trong S 2,2 (Ω) bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, có thể sai khác một dãy con nếu cần, giả sử với mỗi m thỏa mãn ∥u m ∥ S 2,2 (Ω) > 1 và
∥u m ∥ S 2,2 (Ω) khi đó ∥v m ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do đó, có một dãy con v m ⇀ v hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω), khi đó từ Mệnh đề 1.1 suy ra v m → v hội tụ mạnh trong
L q (Ω), 2 ≤ q < 2 γ và v m → v hầu khắp nơi trong Ω.
Từ (2.20) và (2.21), ta đạt được
Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp của v là v = 0 hoặc v ̸= 0.
Trường hợp 1: Nếu v ≡ 0, khi đó v m → 0 hội tụ mạnh trong
L q (Ω), 2 ≤ q < 2 γ , và v m → 0 hội tụ hầu khắp nơi trong Ω Từ điều kiện
Trường hợp 2: v ̸= 0 Đặt Ω ∗ = {x ∈ Ω : v(x) ̸= 0} khi đó meas(Ω ∗ ) > 0 Với mỗi x ∈ Ω ∗ thì m→∞lim u m (x) = lim m→∞∥u m ∥ S 2,2 (Ω) v m (x) = ∞.
Từ các điều kiện (A1), (A3), (2.19) và Bổ đề Fatou, ta có
Ω ∗ |u m | điều này là mâu thuẫn với (2.22) Do đó dãy {u m } ∞ m=1 bị chặn trong không gian S 2,2 (Ω) Không mất tính tổng quát, ta giả sử u m ⇀ u trong S 2,2 (Ω) khi m → ∞ u m → u trong L q (Ω) khi m → ∞, 2 ≤ q < 2 γ (2.24)
Do đó, dãy u m → u trong S 2,2 (Ω) Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3 Giả sử f thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3) và (A’4) Khi đó Φ thỏa mãn điều kiện (C) c với mọi c ∈ R trên S 2,2 (Ω).
{u m } ∞ m=1 là một dãy trong không gian S 2,2 (Ω) thỏa mãn
∥Φ ′ (u m )∥(S 2,2 (Ω)) ∗ → 0 và Φ(u m ) → c khi m → ∞, suy ra Φ ′ (u m )(u m ) → 0 và 1
Chúng ta chứng minh dãy {u m } ∞ m=1 là bị chặn trong không gian S 2,2(Ω) bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử dãy {u m } ∞ m=1 không bị chặn, khi đó không mất tính tổng quát với mỗi m thỏa mãn
∥u m ∥ S 2,2 (Ω) suy ra ∥v m ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do vậy v m v⇀ hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) khi m → ∞, v m
→ v hội tụ hầu khắp nơi trong Ω khi m → ∞. v m → v hội tụ mạnh trong L q (Ω) khi m → ∞, 2 ≤ q < 2 γ
Từ (2.27), khi đó m đủ lớn c + 1 ≥ Φ(u m ) 1 Φ ′ (u
Bây giờ ta xét hai trường hợp của v là v = 0 hoặc v ̸= 0.
Trường hợp 1: Nếu v = 0 khi đó v m → v trong L p (Ω), 2 ≤ p < 2 γ và v m → 0 hầu khắp nơi trong Ω Từ (2.27), ta có lim
→ 0 Đặt κ ′ = κ/(κ − 1), κ > max{1, N˜/2}, khi đó 2κ ′ ∈ [2, 2 γ ) Từ (A’4), (2.29) và (2.28)
Kết hợp (2.31) cùng với (2.32), khi đó
|u | 2 |v m | dx → 0, khi m → ∞, điều này mâu thuẫn với (2.30).
Trường hợp 2: v ̸= 0 Chứng minh tương tự như trường hợp 2 trong
Tương tự như Bổ đề 2.2 có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.4 Giả sử (A1) và (A2) là thỏa mãn Khi đó tồn tại α, ρ > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α, ∀u ∈ S γ,0 (Ω), ∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ.
Chứng minh Từ (A1) và (A2), với mỗi ε > 0, có hằng số C(ε) > 0 thỏa mãn
Bởi Mệnh đề 1.1, ta có
Do ε là đủ nhỏ và p > 2, chọn α, ρ > 0 thỏa mãn Φ(u) ≥ α khi
∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.5 Giả sử (A1) và (A3) là thỏa mãn Khi đó, với mỗi không gian con hữu hạn chiều X^ ⊂ S 2,2 (Ω), có R = R(X^) > 0 thỏa mãn Φ(u) ≤ 0, ∀u ∈ X^ , ∥u∥ S 2,2 (Ω) ≥ R. γ γ γ γ γ γ
Chứng minh Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử có một dãy {u n } ∞ n=1 ⊂ X^ thỏa mãn ∥u n ∥ S 2,2 (Ω) → ∞, tức là có M > 0 sao cho Φ(u n ) ≥ −M với mọi n ∈ N Đặt u n v n (x) =
∥u n ∥ S 2,2 (Ω) Khi đó ∥v n ∥ S 2,2 (Ω) = 1 Không mất tính tổng quát, ta có v n ⇀ v hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) khi n → ∞, v n → v hầu khắp nơi trong Ω khi n → ∞, v n → v hội tụ mạnh trong L q (Ω) khi n → ∞, 2 ≤ q < 2 γ
Do không gian X^ là hữu hạn chiều, khi đó v n → v hội tụ mạnh trong X^ khi n → ∞ và v ∈ X^ , ∥v∥ S 2,2 (Ω) = 1 Do đó, từ (2.23) ta có
F ( x, u m ) m 2 γ,0 2,2 dx = −∞, mâu thuẫn Do vậy, tồn tại R = R(X) > 0 thỏa mãn Φ(u) ≤ 0 với u ∈ X và ∥u∥ S 2,2 (Ω) ≥ R.
{e j } ∞ j=1 là cơ sở trực giao trong không gian S 2,2 (Ω) và
L p 1 −1 γ u γ γ γ γ γ khi đó β k → 0 khi k → ∞ Thật vậy, giả sử điều này không xảy ra, khi đó có ε 0 > 0 và {u j } ∞ ⊂ S (Ω), ∥u j ∥ 2,2 = 1, cùng với u j ⊥Y k j , ∥u j ∥ L q
≥ ε 0 ở đây k j → ∞ khi j → ∞ Với mỗi v ∈ S γ,0 (Ω), ta xác định được w j ∈ Y k j sao cho w j → v khi j → ∞ Do đó
.(uj, v) S 2,2 (Ω) = (uj, wj − v) S 2,2 (Ω) ≤ ∥wj − v∥S 2,2 (Ω) khi j → ∞, tức là, u j ⇀ 0 hội tụ yếu trong S 2,2 (Ω) Suy ra u j → 0 trong
L q (Ω), mâu thuẫn Vì vậy β k → 0 khi k → ∞.
Bổ đề 2.6 Giả sử (A1) và (A3) là thỏa mãn Khi đó tồn tại các hằng số ρ, α, k > 0 sao cho Φ(u) ≥ α với mọi u ∈ Z k và ∥u∥ S 2,2 (Ω) = ρ.
Chứng minh Với mỗi u ∈Z k và ∥u∥ S 2,2 (Ω) > 0, sử dụng bất đẳng thức
Do (2.33), chọn k đủ lớn và ∥u∥ S 2,2 (Ω) = 2 thỏa mãn
∂ + x ∂ ˜ ˜ γ γ này ta có C 0 ∞ ⊂ S 2,2 (Ω) và bậc tăng trưởng của vế phải bằng 3 nhỏ
Chfíng minh Định lj 2.3 Từ các Bổ đề 2.2, 2.4 và 2.5, tất cả các điều kiện trong Định lý 1.1 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường.
Nếu f (x, −ξ) = −f (x, ξ) khi đó ta chọn B ≡ S 2,2 (Ω), Y ≡ Y k , Z ≡
Z k Từ các Bổ đề 2.2, 2.5 và 2.6 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.2 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường.
Chfíng minh Định lj 2.4 Từ các Bổ đề 2.3, 2.4 và 2.5 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.1 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có nghiệm không tầm thường.
Từ các Bổ đề 2.3, 2.5 và 2.6 tất cả các điều kiện trong Định lý 1.2 là thỏa mãn Do đó, Bài toán (2.1) có vô số nghiệm yếu không tầm thường.
(2.34) có vô số nghiệm yếu không tầm thường Thật vậy, cũng như trong Ví dụ 2.1 ta có γ 1 = 1, γ 2 = γ 3 = x 2 , N˜ 7,
Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trong miền bị chặn của bài toán Dirichlet đối với phương trình cấp bốn chứa toán tử ∆ 2 Các kết quả đạt được bao gồm:
1 Thiết lập được đồng nhất thức kiểu Pohozaev đối với ∆ 2 từ đó suy
∂ γ ˜ ˜ ˜ γ γ ˜ ra điều kiện không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường của Bài toán (2.1) khi miền thoả mãn điều kiện hình học phù hợp, được nêu trong Bổ đề 2.2, Định lý 2.1 và Định lý 2.2 khi vế phải f (x, u) có bậc tăng theo u lớn hơn N +4
N −4 và miền Ω là δ t -hình sao;
2 Nhận được các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường và tính nhiều nghiệm của bài toán được nêu trong Định lý 2.3 và Định lý 2.4 khi vế phải f (x, u) có bậc tăng theo u nhỏ hơn
N ˜ −4 này là mới đối với trường hợp toán tử elliptic bậc bốn;
3 Đồng nhất thức Pohozaev trước đây chỉ được biết đến đối với trường hợp toán tử cấp hai ∆ γ Việc thiết lập đồng nhất thức Pohozaev cho toán tử cấp bốn ∆ 2 là một kết quả mới, kể cả khi ∆ 2 không suy biến Luận án đã chứng tỏ rằng giá trị N
N ˜ −4 là giá trị ngưỡng đối với bậc tăng trưởng của vế phải f (x, u) theo biến u cho tính giải được của bài toán Dirichlet (2.1).
Dáng điệu khi thời gian lớn của nghiệm phương trình hyperbolic suy biến mạnh
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình hyperbolic chứa toán tử elliptic suy biến mạnh trên toàn không gian, với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức Chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân toàn cục của bài toán Cauchy, sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian S 2 (R N ) × L 2 (R N ) Chương này gồm hai phần.
- Phần thứ nhất: Trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân toàn cục, từ đó sinh ra nửa nhóm của bài toán;
- Phần thứ hai: Trình bày sự tồn tại của tập hút toàn cục compact trong không gian S 2 (R N ) × L 2 (R N ).
Nội dung của chương này dựa trên Bài báo [1] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân
Đặt bài toán và các không gian hàm
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu bài toán sau: u tt + λu t + l(X)u
(3.1) u(X, 0) = u 0(X), u t (X, 0) = u 1(X), (3.2) trong đó λ là hằng số dương, u 0(X) ∈ S 2 (R N ), u 1(X) ∈ L 2 (R N ) và
|x| := N 1 i=1 α i , |y| : N 2 j=1 β j , α ≥ 0, β ≥ 0, trong đó N 1 ≥ 1, N 2 ≥ 1, N 3 ≥ 1 Số chiều thuần nhất
Nhận xét 3.1 So sánh với Bài toán (6) ở phần Mở đầu, trong phương trình (3.1) đã có sự thay đổi sau đây: a) Bổ sung số hạng l(X)u; b) Vế phải f (X, u) có thể phụ thuộc thêm biến X; c) Miền Ω là cả không gian R N
Giả sử l : R N −→ R và f (X, ξ) : R N × R −→ R thỏa mãn các điều kiện i) l : R N −→ R là hàm thỏa mãn tính chất sau: Σ x y
(i 1) Với mỗi θ ∈ (0, ∞) có hằng số C θ ∈ (0, ∞) sao cho với mọi u ∈ S 2 (R N ),
(i 2) Có hằng số λ 0 > 0 thỏa mãn với mọi u ∈ S 2 (R N ),
(X, ξ) ›→ f (X, ξ) là hàm thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức là với mỗi ξ ∈ R, ánh xạ
X ›→ f (X, ξ) là đo được Lebesgue và với hầu khắp X ∈ R N , ánh xạ ξ ›→ f (X, ξ) là liên tục.
Nguyên hàm của f theo biến ξ được định nghĩa bởi
0 và f thỏa mãn các tính chất sau:
(f 2) Tồn tại hằng số C 1 sao cho với mọi X ∈ R N và ξ 1 , ξ 2 ∈ R ta có
|f (X, ξ 1) − f (X, ξ 2)| ≤ C 1|ξ 1 − ξ 2| (g(X) + |ξ 1| + |ξ 2| ) (3.5) với 0 < ρ ≤ ˜ và g : R N → R là hàm đo được và thỏa mãn với mọi u ∈ S 2 (R N
N ở đây C 2 là hằng số dương.
(f 3) Tồn tại các hàm g 1 , g 2 ∈ L 1 (R N ) thỏa mãn f (X, ξ)ξ ≤ g 1(X) với hầu khắp X ∈ R N , ξ ∈ R, (3.7)
Nhận xét 3.2 Các điều kiện áp lên vế phải f (ξ) trong Bài toán
(6) của phần Mở đầu đã được thay đổi và mở rộng Cụ thể: a) Điều kiện (7) được thay thế bởi (f 2); b) Điều kiện (8) được thay thế bởi (f 1) và (f 3).
Ký hiệu L p (R N ) là tập tất cả các hàm đo được u : R N → R thỏa mãn
Bổ đề sau đây chỉ ra điều kiện đủ đối với hàm l để nó thỏa mãn điều kiện (i 1).
Bổ đề 3.1 Giả sử p > 1 và ϕ ∈ L p (R N ).
2 khi đó có hằng số C ∈ (0, ∞) thỏa mãn
2 khi đó với mỗi θ ∈ (0, ∞) có một hằng số
Chứng minh Với họ (Y j ) j∈N là các điểm trong R N thỏa mãn R N j S
B(Y j ) và tập B(Y j ), j ∈ N, là không giao nhau Ký hiệu B j B(Y j ), j ∈ N Giả sử p ′ = p/(p − 1) Do p ≥ N˜ α,β /2 ta có 2p ′ ≤ 2 ∗ α,β Giả sử C(2p ′ ) là hằng số tốt nhất trong phép nhúng S 2 (B) ‹→ L 2p ′ (B), ở đây B = B 1(0) Khi đó, bằng phép tịnh tiến C(2p ′ ) là hằng số tốt nhất của phép nhúng S 2 (B j (Y )) ‹→ L 2p ′ (B j (Y )) với mỗi Y ∈ R N Giả sử u ∈ S 2 (R N ) là tùy ý Khi đó
Suy ra khẳng định (i) là được chứng minh Nếu p > N α,β /2, chọn q thỏa mãn 2p ′ < q và q < 2 α ∗ ,β Sử dụng phép nội suy giữa 2 và q, với mỗi θ ∈ (0, ∞) tồn tại hằng số C θ ∈ (0, ∞) thỏa mãn với mọi j ∈ N, u ∈ S 2 (R N )
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.2 Giả sử l thỏa mãn điều kiện i) và 0 < κ < λ 0 , 0 < θ < 1. Khi đó với mọi u ∈ S 2 (R N )
L 2 (R N ) trong đó C^ 1 = min{(λ 0 − κ)(1 − θ)/2(λ 0 + θ + C θ ), (λ 0 − κ)/2}, C^ 2 max{1 + θ, θ + C θ } và θ, C θ được xác định trong (3.3).
Chứng minh Do l thoả mãn điều kiện i), sử dụng khái niệm chuẩn tương đương dễ dàng ta có điều phải chứng minh.
Từ Bổ đề 3.2, ta có
Bổ đề 3.3 Giả sử γ thỏa mãn điều kiện i) Với mỗi u, v ∈ S 2 (R N ) định nghĩa
Khi đú ((ã, ã))S 2 (R N ) là một tớch vụ hướng trờn S 2 (R N ) và chuẩn được định nghĩa bởi tích vô hướng trên là tương đương với chuẩn định nghĩa trên không gian S 2 (R N ), được xác định trong Mục 1.2.2.
Chứng minh Từ khái niệm của tích vô hướng và l thoả mãn điều kiện i), ta dễ dàng kiểm tra các điều kiện của tích vô hướng nên ta có điều phải chứng minh.
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân
Đặt H = S 2 (R N ) × L 2 (R N ), khi đó H là không gian Hilbert cùng với
1 tích vô hướng sau: Với p p 1 q , q 1
Ta xác định toán tử A : H −→ H như sau:
Miền xác định của toán tử A là D(A) ⊂ H xác định bởi
Bổ đề 3.4 Toán tử liên hợp của toán tử A là toán tử A ∗ : H −→ H xác định như sau: Miền xác định của A ∗ xác định bởi
Chứng minh Từ định nghĩa của toán tử liên hợp thì χ ψ !
1 Áp dụng công thức Gauss-Green
Do đó p = −ψ Mặt khác (3.10) đúng khi và chỉ khi P α,β χ − l(X)χ ∈
L 2 (R N ) và q = −P α,β χ + l(X)χ Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.3 Từ Bổ đề 3.4 ta suy ra toán tử iA là toán tử tự liên hợp, trong đó i là đơn vị ảo Theo Định lí Stone 1.4, toán tử A sinh ra một C 0-nửa nhóm e At trên H.
Ta ký hiệu H ∗ là không gian đối ngẫu của H Trên không gian H xác định ánh xạ f ∗ như sau: f ∗ : H −→ H p !
Bổ đề 3.5 Giả sử f (X, ξ) thỏa mãn các điều kiện ii) Khi đó những khẳng định sau đúng. a) Ánh xạ Nemytskii f^ : S 2 (R N ) −→ L 2 (R N ) u −→ f^(u)(X) := f (X, u(X)) là Lipschitz trên mọi tập bị chặn của S 2 (R N ). b) Ánh xạ f ∗ là Lipschitz trên mọi tập bị chặn của H.
Chứng minh a) Từ (3.5) ta có
Giả sử p, p1 ∈ S2(RN ), R > ∥p1∥ 2 0 và ∥p1∥ 2 N ≤ R, N ≤ R Khi
|p − p 1| |p 1| dX. Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder∫ g 2 (X)|p − p 1| 2 dX ≤ ∥g∥ 2 N ∥p − p 1∥ ∗ ,
Do không gian S 2 (R N ) nhúng liên tục vào L 2 α ∗ ,β (R N ) và 1 < 2(ρ+1) ≤
∥f (X, p) − f (X, p1)∥L 2 (R N ) ≤ C(R) ∥p − p1∥S 2 (R N ) b) Giả sử R > 0, ¨ p ! ¨ ≤ R và ¨ p 1 ! ¨ ≤ R Ta có ¨ q ¨
Ta có điều phải chứng minh ¨ q q 1 ¨
Bây giờ ta sẽ chuyển Bài toán (3.1)-(3.2) về bài toán Cauchy cho hệ phương trình cấp một Đặt v(X, t) = u t (X, t) và
U : [0, T ] −→ H t u(t) v(t) , ở đây u(t) = u(X, t), v(t) = v(X, t) Khi đó Bài toán (3.1)-(3.2) tương đương với bài toán sau đây cho hệ phương trình cấp một dU (t) dt
∗ trong đó A là toán tử tuyến tính với ma trận A = 0 I
I là toán tử đơn vị trên S 2 (R N ) và U 0
v 0(X) Định nghĩa 3.1 (xem [41]) Giả sử T > 0, T ∈ R Một ánh xạ liên tục
U : [0, T ) → H được gọi là nghiệm tích phân của Bài toán (3.11)-(3.12) nếu nó là nghiệm của phương trình tích phân
0 e (t−s)A f ∗ (U (X, s))ds, t ∈ [0, T ), trong đó e tA là C 0-nửa nhóm trong H được nói đến trong Nhận xét 3.3. Nếu U khả vi hầu khắp nơi trên [0, T ) cùng với U t và AU thuộc không gian L 1 ([0, T ), H) và thỏa mãn phương trình vi phân dU dt = AU + f (U ), hầu khắp nơi trên (0, T ) và U (0) = U 0 , khi đó U được gọi là nghiệm mạnh của Bài toán (3.11)-(3.12).
Sử dụng Bổ đề 3.5 và chứng minh tương tự như Định lý 46.1 (p 235), Định lý 46.2 (p 236) trong [41] ta nhận được mệnh đề sau
Mệnh đề 3.1 Giả sử các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn Khi đó với mỗi R > 0 tồn tại T = T (R) > 0 đủ nhỏ sao cho với U 0 ∈ H, ∥U 0∥ H
≤ R, Bài toán (3.11)-(3.12) tồn tại duy nhất một nghiệm tích phân thỏa mãn
0 e A(t−s) f ∗ (U (X, s))ds, t ∈ [0, T ), trên khoảng thời gian [0, T ) Nghiệm có thể thác triển trên [0, τ ) và ta có hoặc τ = + hoặc lim t→τ − ∥U (., t)∥ H = +∞.
Từ điều kiện ii), có ước lượng
Bổ đề 3.6 Giả sử các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn Khi đó nghiệm u(t) của Bài toán (3.1)-(3.2) thỏa mãn
∥u∥S 2 (R N ) + ∥ut∥L 2 (R N ) ≤ M, ∀t ≥ 0, (3.14) trong đó M là hằng số chỉ phụ thuộc vào các dữ liệu l(X), g(X), g 1(X), g2(X) và R khi u0 2 N
Chứng minh Giả sử U (t) là nghiệm của Bài toán (3.11)-(3.12) với dữ kiện ban đầu U 0 Định nghĩa
Các hằng số κ, θ trong Bổ đề 3.2 là cố định, với mỗi t ≥ 0
Lấy tích vô hướng của (3.1) với u t (X, t) trong L 2 (R N ) và lấy tích phân trên [0, t] đối với biến thời gian thì
Nhận xét 3.4 Giả sử B là tập bị chặn trong H, theo Bổ đề 3.6, tồn tại hằng số C 8 = C 8(B) sao cho với mỗi U = (u(t), u t (t)) cùng với dữ kiện ban đầu (u 0 , u 1) ∈ B, ta có
Từ Mệnh đề 3.1 tồn tại hằng số T ∗ (C˜) (độc lập với ≥ n) sao cho Bài toán
2 n Định lj 3.1 Giả sử i), ii) được thỏa mãn và U 0 ∈ H Khi đó Bài toán
(3.11)-(3.12) ta có nghiệm tích phân toàn cục duy nhất U ∈ C([0, ∞); H). Hơn nữa, với mỗi t cố định ánh xạ U 0 ›→ S(t)U 0 := U (t) là liên tục trên H.
Chứng minh Giả sử nghiệm U (t) được xác định trên khoảng cực đại
Hơn nữa theo (3.14) nghiệm U (t) tồn tại trên [0, T max) và thỏa mãn Φ(U (0)) ≥ Φ(U (t)) ≥ 1
Suy ra với mọi t thuộc [0, T max)
Từ (3.14) có T max = +∞ Thật vậy, giả sử ngược lại T max < +∞. ¨ 1 ¨ 2 ˜ 1
(3.11)-(3.12) có nghiệm duy nhất trên h
+ T ∗ (C˜) , max tức là U (t) là nghiệm của bài toán trên h
Khi đó từ (3.14) ta tính cực đại của
+ T ∗ (C˜) > T max Điều này mâu thuẫn với 7
Như vậy với U 0 ∈ H thì bài toán Bài toán (3.11)-(3.12) có nghiệm duy nhất U ∈ C([0, ∞); H).
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu
Giả sử U, V là hai nghiệm tích phân của Bài toán (3.1)-(3.2) với điều kiện ban đầu tương ứng U 0 , V 0 ∈ H Đặt W = U − V , W 0 = U 0 − V 0 ta có
0 Áp dụng Định lí 1.5 ta nhận được
Sử dụng tính chất Lipschitz của ánh xạ f ∗ và bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân chúng ta suy ra sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tích phân và điều kiện ban đầu.
Sự tồn tại tập hút toàn cục compact trong S 2 (R N ) × L 2 (R N ) 73
Từ Định lý 3.1, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : H → H như sau
S(t)U 0 := U (t), trong đó U (t) là nghiệm tích phân toàn cục duy nhất của Bài toán (3.11)- (3.12) với điều kiện ban đầu U 0.
Từ Bổ đề 3.6, với mỗi tập bị chặn B trong H, tồn tại tập con B bị chặn trong H chỉ phụ thuộc vào B sao cho
Bổ đề 3.7 Giả sử i), ii) được thỏa mãn và B là một tập bị chặn nói trên trong H Khi đó mỗi nghiệm U (t) = (u(X, t), u t (X, t)) của Bài toán (3.11)-(3.12) cùng với dữ kiện ban đầu U 0 ∈ B thỏa mãn lim 1 ∫ T ∫ |u(X, t)| + |u t (X, t)| + |∇ α,β u(X, t)| dXdt
Chứng minh Chọn hàm trơn ϑ thỏa mãn 0 ≤ ϑ(s) ≤ 1 với s ∈ R + và ϑ(s) = 0, 0 ≤ s ≤ 1; ϑ(s) = 1, s ≥ 2.
Từ định nghĩa của hàm ϑ, tồn tại hằng số C ϑ > 0, sao cho |ϑ ′ (s)| ≤ C ϑ khi s ∈ R + và nếu |X| 2(1+α+β) ≤ R 2(1+α+β) khi đó
Nhân hai vế của phương trình (3.1) với ϑ 2 2(1+α+β) α,β
R 2(1+α+β) u, lấy tích phân theo biến X trên R N và tích phân [0, T ] theo t, khi đó
Từ Bổ đề 3.6 và (3.17), ta đạt được
8 Áp dụng Bất đẳng thức Ho¨lder và Bất đẳng thức Sobolev ta suy ra
R 2(1+α+β) |∇ α,β u| dX + R 2 (3.29) Áp dụng (3.27), (3.28) và (3.29) dẫn tới
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.8 Giả sử các điều kiện i), ii) được thỏa mãn và U n ⇀ U trong
H Khi đó với mỗi t ≥ 0 ta có
Chứng minh Do U n U ⇀ trong H, nên dãy {U n } là bị chặn trong không gian H Khi đó theo Bổ đề 3.7 ta có dãy {S(t)U n } bị chặn trong không gian L ∞ (0, T ; H) với mọi T > 0 Mà f (X, u) thỏa mãn điều kiện
{f ∗ (S(t)U n )} cũng bị chặn trong không gian L ∞ (0, T ; H) Mặt khác, do
S(t)U n là nghiệm của Bài toán (3.11)-(3.12) với U n đóng vai trò của
U 0 nên { d S(t)U n } bị chặn trong không gian L ∞ (0, T ; H ∗ ) Do đó có một dãy con {n m } thỏa mãn
Ta cần chứng minh χ∗ = f (ã, θ 1(t)) Lý luận như ở [59] ta thu được lim sup a→0 n m
(3.34) Giả sử ϕ ∈ C 1 ([0, +∞)) là hàm thỏa mãn
Với mỗi n m và κ ≥ 1, ta định nghĩa
Khi đó ta có với mọi κ ≥ 1, dãy {ω n m ,κ } n m ≤1 bị chặn trong không gian
L 2 (0, T ; S 2,2 (Ω2κ )) ∩ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω2κ )) với mọi T > 0 Hơn nữa, ta có lim sup a→0 n m
Mặt khác từ (3.34) ta có với mọi κ ≥
Thêm nữa, do Ω2κ là tập bị chặn nên không gian S 2,2 (Ω2κ ) nhúng compact vào không gian L 2 (Ω2κ ) Khi đó, do Bổ đề 1.1, ta có {ω n là compact tương đối trong L 2 (0, T ; L 2 (Ω2κ )) ,κ } n m ≥1
Vì ω n m ,κ (X, t) = S 1(t)U n m (X, t) với mọi X ∈ Ω κ , ta có với mọi κ ≥ 1
2 2 dãy {S 1(t)U n m |Ω κ } là tiền compact trong L (0, T ; L (Ω κ )) Do đó tồn tại n m một dãy con của dãy {S(t)U n m } ký hiệu là {S(t)U } n ≥1 thỏa mãn
Do f (ã, ã) là liờn tục nờn f (X, S 1(t)U n m ) → f (X, θ) hầu khắp nơi trong
Ω κ × (0, +∞) Mà dãy {f (X, S 1(t)U n m )} bị chặn trong L 2 (Ω κ × (0, T )) nên f (X, S 1(t)U n m ) ⇀ f (X, θ 1) trong L 2 (0, T ; L 2 (Ω κ )).
Từ tính duy nhất của giới hạn ta có χ∗ = f (ã, θ 1(t)) hầu khắp nơi trong Ω κ ì (0, T ), ∀T > 0, ∀κ ≥ 1.
Vì ∞ κ=1Ω k = R N , do vậy χ∗ = f (ã, θ 1(t)) hầu khắp nơi trong R N ì (0, +∞).
∥ − ∥ d m m Θ(t) = e At U e A(t−τ) f ∗ (Θ)dτ. Điều này dẫn tới f ∗ (S(t)U n ) ⇀ f ∗ (Θ) trong L 2 (0, T ; H).
Sử dụng tính duy nhất của giới hạn, nên
Tính duy nhất của nghiệm kéo theo Θ = S(t)U Do mỗi dãy con của dãy
, S(t)U } có một dãy con hội tụ trong không gian L 2 (0, T ; H ×
H ∗ ) và giới hạn của mỗi dãy con này đều là (S(t)U, d
S(t)U ) Ta suy d dtd ra rằng dãy {S(t)U n , dtS(t)U n } hội tụ yếu đến (S(t)U, dtS(t)U ) trong
L 2 (0, T ; H × H ∗ ) Từ đây với mỗi t ∈ [0, T ], ta có S(t)U n S⇀ (t)U trong
H ∗ Mặt khác với mỗi t ∈ [0, T ], dãy {S(t)U n } là bị chặn trong H.
Vì thế S(t)U n ⇀ S(t)U trong H Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.9 Giả sử các điều kiện i), ii) được thỏa mãn và dãy {U n } ∞ n=1 hội tụ yếu tới U trong H Khi đó lim T
Chứng minh Giả sử S(t)U n = (u n (t), u nt (t)) là nghiệm của Bài toán (3.11)-(3.12) cùng với điều kiện ban đầu U n = (u n (0), u nt (0)) và S(t)U 0 (u(t), u t (t)) là nghiệm với điều kiện ban đầu U 0 = (u(0), u t (0)) Theo Bổ đề 3.6 t≥0,n≥0sup ∥S(t)U n ∥ H ≤ C 16 (3.36) n n
Nhân hai vế của phương trình (3.1) với u t + λ u, lấy tích phân trên R N với biến X và tích phân theo biến t trên đoạn [0, T ], ta có λ T
Nhân phương trình (3.1) với u t và lấy tích phân trên [t, T ] × R N , thì
Từ (3.38) và (3.40), ta thu được
Kết hợp (3.39) và (3.40) dẫn đến
Do đó với mỗi ϵ > 0 tuỳ ý, tồn tại hằng số T 0 thoả mãn lim supE(u n (T ), u nt (T )) E(u(T ), u t (T )) + ϵ, n→+∞
Theo Bổ đề 3.2 và Bổ đề 3.8, suy ra với mọi T ≥ T 0 (3.43)
(3.44) Kết hợp (3.43) và (3.44) ta thu được điều phải chứng minh.
Ta đưa ra kết quả chính của chương này như sau. Định lj 3.2 Giả sử các điều kiện i) và ii) được thoả mãn Khi đó
{S(t)} t≥0 là compact tiệm cận trong H, nghĩa là, với mọi dãy bị chặn
{U n } ∞ n=1 trong H và mọi dãy không âm {t n } ∞ n=1 thỏa mãn t n → +∞ khi n → +∞, thì từ {S(t n )U n } ∞ n=1 trích ra được một dãy con hội tụ trong H.
Chứng minh Theo (3.19), tồn tại một tập bị chặn B trong H thỏa mãn
S(t n )U n ⊂ B với mọi n ∈ N Do đó tồn tại U ∈ H và một dãy con
Bây giờ, ta sẽ chứng minh tồn tại một dãy con của dãy S(t n k )U n k hội tụ mạnh tới U trong H bằng cách xây dựng dãy con S(t n k )U n k của
Thật vậy, từ Bổ đề 3.9, với mỗi l > 0, tồn tại T 0 = T 0(l, B) sao cho với mỗi {φ i } ⊂ B, φ i ⇀ φ trong H, thì
Vì vậy có U T 0 và một dãy con {n k j(l) } j ∞
Sử dụng Bổ đề 3.8, suy ra
S(t n kj(l) )U n kj(l) = S(T 0)S(t n kj(l) − T 0)U n kj(l) ⇀ S(T 0)U T 0 trong H.
Do tính duy nhất của giới hạn nên U = S(T 0)U T 0 Lấy φ k j(l) S(t n kj(l) − T 0)U n kj(l) trong (3.46), ta có
Suy ra, lim sup S(T 0 j(l)→∞ )S(t n kj(l) — T 0)U n kj(l) ¨
Với l = 1, từ (3.48), tồn tại j 1(1) thỏa mãn
Với l = 2, từ (3.48), tồn tại j 2(2) thỏa mãn n k j < n k j (2) và
Tương tự, với l = m, từ (3.48), tồn tại j m (m) thỏa mãn n k j < n k jm(m) và m−1
Cứ làm như vậy ta thu được dãy {n k ji } ∞ i=1 là dãy con của dãy {n k } ∞ k=1 và thỏa mãn lim sup S(t n k )U n k U H i→∞ Định lý được chứng minh. Định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm S(t) trong H. Định lj 3.3 Giả sử các điều kiện i) và ii) được thoả mãn Khi đó nửa nhóm S(t) sinh bởi Bài toán (3.11)-(3.12) có một tập hút toàn cục compact tiệm cận A H trong H.
, ở đây M là hằng số trong (3.14) Khi đó B là tập hấp thụ của S(t) trong
H Hơn nữa, S(t) là compact tiệm cận trong H do Định lý 3.2 Điều này k
F (X, ξ) chỉ ra sự tồn tại tập hút toàn cục compact tiệm cận A H của S(t) trong
Ví dụ 3.1 Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại tập hút toàn cục của bài toán Cauchy sau
u(X, 0) = u 0(X), (X, 0) = u (X), X R 3 , trong đú u 0(ã) ∈ S 2 (R 3 ), u∂t 1(ã) ∈ L 2 (R 3 ), λ là hằng số dương,
Ta có f (X, ξ) thoả mãn các điều kiện (f 1) − (f 3) với N 1 , 1 = 4, ρ 2 2
|X| 8 + 1 Áp dụng Định lý 3.3, Bài toán (3.49) có một tập hút toàn cục compact tiệm cận A S 2 (R 3 )×L 2 (R 3 ) trong S 2 (R 3 ) × L 2 (R 3 ) đối với nửa nhóm S(t) sinh
Phương pháp hệ gradient và cấu trúc của tập hút toàn cục compact 88 Kết luận và kiến nghị 91 Kết luận
Trong mục này chúng tôi sẽ áp dụng một phương pháp khác, được gọi là phương pháp hệ gradient, mà đã được phát triển trong [17] để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục đối với hệ động lực (H, S(t)) đã được xét trong Mục 3.2, đồng thời mô tả cấu trúc của tập hút toàn cục này Khái niệm hệ gradient được nêu trong Định nghĩa 1.8.
Ta xét hệ động lực (H, S(t)) mà đã được mô tả trong Mục 3.2 Ký hiệu N0 là tập hợp các điểm dừng của hệ này, tức là
N0 = {(u, 0) ∈ H : −P α,β u + l(X)u = f (X, u), X ∈ R N } Đa tạp không ổn định của hệ động lực này được xác định bởi
Dưới đây là định lý về sự tồn tại của tập hút toàn cục compact và liên thông cùng với việc mô tả cấu trúc của nó. Định lj 3.4 Giả sử các điều kiện i) và ii) được thoả mãn Khi đó hệ động lực (H, S(t)) liên kết với Bài toán (3.1)-(3.2) là hệ gradient và compact tiệm cận, đồng thời có một tập hút toàn cục commpact liên thông ffi Hơn nữa, ffi = W u (N0) và là đa tạp không ổn định của hệ động lực này.
Chứng minh Để chứng minh định lý ta sẽ kiểm tra các điều kiện của
L Định lý 1.3, trước tiên ta định nghĩa một hàm Φ trên H như sau Φ(U ) = 1
Khi đó từ (3.1), ta đạt được d Φ(S(t)U ) = d h1
), ∀U 0 ∈ H, và nếu Φ(S(t)U 0) = Φ(U 0) với mọi t > 0 và với một số U 0, nó kéo theo λ ∥u τ
) dτ = 0, ∀t ≥ 0. Điều này có chỉ khi S(t)U = (u 0 , 0) là một điểm tới hạn Do đó Φ là một hàm Lyapunov nghiêm ngặt Dễ dàng chỉ ra rằng với bất kỳ U ∈ H Φ(U ) ≥
Vì thế Φ(U ) là tập bị chặn trên bất kỳ tập bị chặn của H và tập Φ R = {U : Φ(U ) ≤ R} là bị chặn với bất kỳ R Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra rằng N0 là bị chặn trong H Lấy tích vô hướng của phương trình
Từ Định lý 1.3, ta nhận được kết quả.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán hyperbolic chứa toán tử elliptic suy biến mạnh P α,β trên toàn không gian R N Ngoài việc phương trình chứa thêm số hạng tuyến tính, số hạng phi tuyến được giả thiết tăng trưởng kiểu đa thức theo ẩn hàm u và có thể phụ thuộc biến không gian Các kết quả đạt được bao gồm:
1) Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân toàn cục của bài toán (Định lý 3.1).
2) Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục compact của bài toán bằng các phương pháp của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều (Định lý 3.3).
3) Chứng minh được tập hút toàn cục compact là liên thông bằng phương pháp hệ gradient, đồng thời mô tả cấu trúc của nó (Định lý 3.4).
4) Điểm mới của chương này là: Đã đưa ra một lớp hàm phi tuyến,chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân và xem xét dáng điệu tiệm cận của bài toán trong toàn không gian Các kết quả đối với lớp hàm này là mới khi toán tử P α,β là toán tử elliptic. ˜ ˜ γ ˜ ˜
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận
Các kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm:
1 Đối với phương trình ∆ 2 -Laplace nửa tuyến tính cấp bốn đưa ra được đẳng thức tích phân kiểu Pohozaev của bài toán Dirichlet, từ đó chứng minh sự không tồn tại nghiệm không tầm thường trong miền δ t -hình sao khi vế phải có độ tăng trưởng theo u lớn hơn N+4 ; đồng thời chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu, tính nhiều nghiệm của bài toán với điều kiện số hạng phi tuyến có bậc tăng N −4 trưởng theo u là nhỏ hơn ˜ N +4
N˜ là số chiều thuần nhất Qua đó đã chứng tỏ giá trị vế phải theo u.
N ˜ −4 là giá trị tới hạn của bậc tăng trưởng của
2 Đối với bài toán Cauchy trên toàn không gian R N cho phương trình hyperbolic chứa toán tử elliptic suy biến mạnh P α,β Đưa ra các điều kiện đủ đối với các thành phần tuyến tính và phi tuyến của phương trình để đảm bảo sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân toàn cục, sự tồn tại của tập hút toàn cục compact liên thông trong không gian S 2 (R N ) × L 2 (R N ), đồng thời mô tả cấu trúc của nó.
Kiến nghị một số vấn đề nghiên cfíu tiếp theo
Liên quan tới chủ đề luận án, những vấn đề sau là mở và theo chúng tôi là đáng quan tâm:
1 Điều kiện tồn tại nghiệm của các bài toán biên nói trên trong miền không bị chặn.
2 Nghiên cứu các tính chất của tập hút toàn cục như: số chiều, sự phụ thuộc liên tục vào các tham số, tính trơn,
3 Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình hyperbolic suy biến với các điều kiện biên khác nhau, chẳng hạn điều kiện biên không thuần nhất, điều kiện biên Neumann, điều kiện biên hỗn hợp, điều kiện biên phi tuyến, Để làm được điều này cần xây dựng được không gian có trọng tương ứng, định lý nhúng kiểu Sobolev.
4 Nghiên cứu sự tồn tại tập hút khi hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian như tập hút lùi, tập hút đều.
5 Các mô hình ứng dụng thực tế.
Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án
[1] D T Luyen and P T K Yen (2021), “Long time behavior of solutions to semilinear hyperbolic equations involving strongly degenerate elliptic differential operators”, J Korean Math Soc 58
[2] D.T Luyen H.T Ngoan and P.T.K Yen (2022), “Existence and non- existence of solutions for semilinear bi-∆ γ -Laplace equation” Bull.
Malays Math Sci Soc 45, no 2, 819-838.
[1] Adimurthi, F Pacella and S L Yadava, (1995), “Characterization of concentration points and L ∞ -estimates for solutions of a semilinear Neumann problem involving critical Sobolev exponent”, Differential and Integral Equations, 8, 41-68.
[2] C T Anh (2010), “Pullback attractors for non-autonomous parabolic equations involving Grushin operator”, Electron J. Differ Equ, 11, 1-14.
[3] C T Anh (2014), “Global attractor for a semilinear strongly degen- erate parabolic equation on R N ”, Nonlinear Differ Equ.
[4] C T Anh, P Q Hung, T D Ke and T T Phong (2008), “Global attractor for a semilinear parabolic equation involving the Grushin operator”, Electron J Differ Equ, 32, 1-11.
[5] C T Anh and T D Ke (2009), “Existence and continuity of global attractors for a degenerate semilinear parabolic equation”, Electron.
[6] C T Anh and B K My (2016), “Existence of solutions to ∆ λ - Laplace equations without the Ambrosetti-Rabinowitz condition”,
Complex Var Elliptic Equ., 61, No.1, 137-150.
[7] C T Anh and B K My (2017), “Liouville-type theorems for elliptic inequalities involving the ∆ λ -Laplace operator”, Complex
[8] C T Anh and V M Toi (2016), “Null controllability in large time of a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential”, Nonlinear Differential Equations and
[9] F V Atkinson, H Brezis and L Peletier (1990), “Nodal solutions of elliptic equations with critical Sobolev exponents”, J.
[10] A V Babin and M I Vishik (1992), Attractors of Evolution Equations, Nauka, Moscow, English translation, North-Holland, pp 532.
[11] T Bieske (2002), “Viscosity solutions on Grushin type planes”,
[12] H Brezis and L Nirenberg (1983), “Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents”, Comm Pure
[13] C Budd, M C Knaap and L A Pelrtier (1991), “Asymptotic behaviour of solutions of Elliptic equations with critical exponents and Neumann boundary conditions”, Proceeding of the Royal Society of Edinburgh, 117A, 225-250.
[14] A Carvalho, J A Langa and J C Robinson (2013), Attractors for Infinite Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems,
Appl Math Sci., 182 Berlin: Springer, pp 409.
[15] V V Chepyzhov and M I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49,
Amer Math Soc., Providence, RI pp 363.
[16] I D Chueshov (2002), Introduction to the Theory of Infinite-
Dimensional Dissipative Systems, ACTA Scientific Publishing
[17] L D Chueshov and L Ladieska (2008), Long-time Behavier of Second Order Evolution Equations with Nonlinear Damping, Mem.
Amer Math Soc., pp 195, No 912.
[18] N M Chuong, T D Ke , N V Thanh and N M Tri (1999), “Non- existence theorem for boundary value problem for some classes of semilinear degenerate elliplic operators”, Proceeding of the confer- ence on PDEs and their applications, Hanoi Dec, 185-190.
[19] N M Chuong and T D Ke (2004), “Existence of Solutions for a nonlinear degenerate elliptic system”, Electron J Differ Equ,
[20] N M Chuong and T D Ke (2005), “Existence results for a semilin- ear parametric problem with Grushin type operator”, Electron J.
[21] Fall Djiby (2005), Longtime Dynamics of Hyperbolic Evolution- ary Equations in Ubounded Domains and Lattice Systems, Grad- uate Theses and Dissertations, University of South Florida, pp 67 http://scholarcommons.usf.edu/etd/2875.
[22] Friedman (1958), “On the regularity of the solutions of nonlinear elliptic and parabolic systems of partial differential equations”, J.
[23] V V Grushin (1970), “A certain class of hypoelliptic operators”,
[24] V V Grushin (1971), “A certain class of elliptic pseudo differential operators that are degenerated on a submanifold”, Mat Sb, vol 84
[25] B Helffer and J Nourrigat (1985), Hypoellipticite Maximal pour des Operateurs Polynomes de Champ de Vecteur, Birkhauser, pp.
[26] L Ho¨rmander (1966), “Psedo-differential operators and nonelliptic boundary problems”, Ann Math., 83, 129-209.
[27] L Ho¨rmander (1967), “Hypoelliptic second order differential equa- tion”, Acta Math, 119, 147-171.
[28] L P Rothschild and E M Stein, “Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups,” Acta Math, 137 (1976), no 3-4, 247-320.
[29] A E Kogoj and E Lanconelli (2012), “On semilinear ∆ λ -Laplace equation”, Nonlinear Analysis, 75, 4637-4649.
[30] A E Kogoj and S Sonner (2013), “Attractors for a class of semi- linear degenerate parabolic equations”, J Evol Equ., 13, 675–691.
[31] A E Kogoj and S Sonner (2016), “Hardy type inequalities for ∆ λ -Laplacians”, Complex Var Elliptic Equ., Volume 61, Issue 3, 422 -442.
[32] A E Kogoj and S Sonner (2014), “Attractors met X-elliptic op- erators”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 420, 407-434.
[33] E Lanconelli and A E Kogoj (2000), “ X-elliptic operators and X- control distances”, Contributions in honor of the memory of Ennio
De Giorgi, Ric Mat 49, suppl., 223–243.
[34] D T Luyen and N M Tri (2015), “Existence of solutions to boundary value problems for semilinear ∆ γ differential equations”,
[35] A Miranville and S Zelik (2008), “Attractors for disspative partial differential equations in bounded and unbounded domains”, Hand- book of differential equations: Evolutionary equations Vol IV.
Am- sterdam: Elsevier/ North-Holland Handbook of Differential Equa- tions, 103-200.
[36] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Appl Math Sci., Vol.44 ,
[37] S I Pohozaev (1965), “Eigenfunctions for the equation ∆u+λf (u)
= 0” Russian Dokl Akad Nauk SSSR, (165), 33-36.
[38] D T Quyet, L T Thuy and N X Tu (2017), “Semilinear strongly degenerate parabolic equation with a new class of nonlinearities”,
[39] G Raugel (2002), “Global attractors in partial differential equa- tions", In Handbook of dynamical systems, Vol 2, 885-892, North-Holland, Amsterdam.
[40] J C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, pp 461.
[41] G R Sell and Y You (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer, New York, pp 670.
[42] N M Stavrakakis and N B Zographopoulos (1999), “Existence results for quasilinear Elliptic systems in R n ”, Electron J Differ.
[43] D Tartakoff and L Zanghirati (2005), “Local real analiticity of solutions for sums of squares of nonlinear vector fields”, J Diff.
[44] R Temam (1988), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Me- chanics and Physics, Springer-Verlag, New York, pp 500.
[45] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Func- tional Analysis, 2nd edition, Philadelphia, pp 141.
[46] N T C Thuy and N M Tri (2002), “Some existence and non- existence results for boundary value problem (BVP) for semilinear elliptic degenerate operators”, Russ J Math Phys,
[47] P T Thuy and N M Tri (2012), “Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations”, Nonlinear Diff Equ Appl., 19, 279-298.
[48] P T Thuy and N M Tri (2013), “Long time behavior of solutions to semilinear parabolic equations involving strongly degenerate elliptic differential operators”, Nonlinear Diff Equ Appl., 20, No 3,1213- 1224.
[49] F Treves (1999), “Symplectic geometry and analytic hypoellipticity of differential equations”, La Pietra 1996, Proceed.
[50] N M Tri (1998), “On the Grushin equation”, Math Notes (63), 84-93.
[51] N M Tri (1998), “Critical Sobolev exponent for hypoelliptic oper- ators”, Acta Mathematica Vietnamica, 23, N1, 83-94.
[52] N M Tri (1999), “Semilinear perturbation of powers of the Mizo- hata operators” Comm Partial Differential Equations, 24, no 1-2, 325–354.
[53] N M Tri (2008), “Semilinear hypoelliptic differential operators with multiple characteristics” Trans Amer Math Soc 360, no 7, 3875–3907.
[54] N M Tri (2010), Semilinear Degenerate Elliptic Differential Equa- tions, Local and global theories, Lambert Academic Publishing, pp 271.
[55] N M Tri (2014), Recent Progress in the Theory of Semilinear Equa- tions Involving Degenerate Elliptic Differential Operators,
Publish- ing House for Science and Technology of the Vietnam Academy of Science and Technology, pp 380.
[56] W.Zhang, J Zhang (2017) and Zh Luo, (2017), “Multiple solutions for the fourth-order elliptic equation with vanishing potential”,
[57] B Wang (1999), “Attractors for reaction-diffusion equation in un- bounded domains”, Physica D, 128, 41-52.
[58] C J Xu (1992), “Regularity for quasilinear second-order subelliptic equations”, Comm Pure Appl Math., 45, 77-96.
[59] R Rosa (1998), “The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains”, Nonlinear Anal 32, 71-85.
[60] D Jerison and J M Lee (1987), “The Yamabe problem on CR manifolds” J Differential Geom, 25, no.2, 167-197.
[61] T T Khanh and N M Tri (2010), “On the analyticity of solutions to semilinear differential equations degenerated on a submanifold,”
[62] G Cerami (1978), “An existence criterion for the critical points on unbounded manifolds”, Istit Lombardo Accad Sci Lett Rend A,
[63] G Cerami (1980), “On the existence of eigenvlues for a nonlinear boundary value problem”, Ann Mat Pura Appl, 124, 161-179 (in Italian).
[64] P H Rabinowitz (1986) Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations, CBMS Regional Confer- ence Series in Mathematics, 65 Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI viii+100 pp.