ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGU[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TỐN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TỐN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết làm hướng dẫn PGS.TS Các kết quảtrong luận án viết chung với thầy hướng dẫn trí thầy hướng dẫn đưa vào luận án Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng 03 năm 2023 Nghiên cứu sinh: LỜI CẢM ƠN Luận án thực hồn thành khoa Tốn thuộc trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, hướng dẫn PGS TS oạn Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học tác giả học viên cao học Ngoài dẫn mặt khoa học động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực giúp tác giả tin tưởng say mê nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy người truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học định hướng cho tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời thú vị ý nghĩa Tác giả vô biết ơn thầy, cô giáo anh chị em nghiên cứu sinh seminar Bộ mơn Giải tích khoa Tốn - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Phịng Giải tích - Viện Toán học cổ vũ động viên truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội, anh chị em Bộ mơn Tốn, khoa Khoa học Đại cương, trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn quỹ NAFOSTED tài trợ cho tác giả suốt trình học nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn TS , Đại học Hoa Lư-Ninh Bình, người giúp đỡ đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số quy ước kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 19 Toán tử ∆γ -Laplace 19 1.1.1 Toán tử ∆γ -Laplace 19 1.1.2 Ví dụ 21 Một số không gian hàm định lý nhúng 22 1.2.1 Không gian kiểu Sobolev miền bị chặn định lý nhúng 22 1.2.2 Không gian kiểu Sobolev tồn khơng gian định lý nhúng 24 1.3 Một số kết lý thuyết điểm tới hạn 25 1.4 Tập hút tồn cục tính chất 27 1.4.1 Một số định nghĩa 27 1.4.2 Một số mệnh đề phụ trợ 30 Nghiệm tốn biên phương trình elliptic suy biến cấp bốn 2.1 32 Đồng thức kiểu Pohozaev định lý không tồn nghiệm mạnh không tầm thường 33 2.2 Một số kết tồn nghiệm yếu phương trình elliptic suy biến cấp bốn 39 Dáng điệu thời gian lớn nghiệm phương trình hyperbolic suy biến mạnh 3.1 57 Sự tồn nghiệm tích phân 58 3.1.1 Đặt tốn khơng gian hàm 58 3.1.2 Sự tồn nghiệm tích phân 63 3.1.3 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu 72 3.2 3.3 Sự tồn tập hút toàn cục compact S21 (RN ) × L2 (RN ) 73 Phương pháp hệ gradient cấu trúc tập hút toàn cục compact 88 Kết luận kiến nghị 91 Kết luận 91 Kiến nghị nghiên cứu 91 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 93 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU RN khơng gian vectơ thực N chiều |x| chuẩn Euclid phần tử x không gian RN C k (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k miền Ω Lp (Ω) không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue miền Ω B′ khơng gian đối ngẫu không gian Banach B (·, ·)H tích vơ hướng khơng gian Hilbert H ⟨·, ·⟩ cặp đối ngẫu H H ′ Id ánh xạ đồng ⇀ hội tụ yếu ,→ phép nhúng liên tục ,→,→ phép nhúng compact Vol(Ω) độ đo Lebesgue tập Ω khơng gian RN ∆γ tốn tử elliptic suy biến N P ∂xj (γj2 ∂xj ) j=1 ∆x toán tử Laplace N P i=1 ν = (ν1 , , νN ) ∂2 ∂x2i pháp tuyến đơn vị biên ∂Ω νγ = (γ1 ν1 , , γN νN ) pháp tuyến liên quan đến toán tử ∆γ MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xuất nhiều trình vật lý, hoá học sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt, q trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hố học, mơ hình quần thể sinh học, v.v Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Các toán phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt mơ hình giải tích nhiều tượng vật lý Cho đến tận năm 20 kỷ thứ 20 nghiệm tốn phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng hiểu chung nghiệm cổ điển, nghiệm địi hỏi khả vi theo nghĩa thơng thường đến cấp phương trình, điều gây nhiều khó khăn cho việc chứng minh cho tính đặt tốn này, đặc biệt tính trơn nghiệm cịn phụ thuộc vào cấu trúc hình học miền xét Vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng đưa lý khác Việc đưa khái niệm nghiệm suy rộng bước ngoặt trung tâm mặt phương pháp việc nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng toán biến phân chúng Trước tiên, chúng tơi trình bày tổng quan nghiên cứu tính chất nghiệm số tốn cho phương trình elliptic hyperbolic tuyến tính cấp hai chứa tốn tử elliptic suy biến Cho đến lý thuyết phương trình elliptic tuyến tính phát triển tương đối hồn thiện Tính giải tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính miền bị chặn thiết lập, xong lý thuyết thực tiễn, xuất phương trình elliptic phi tuyến suy biến [12, 22, 25, 26, 49] Loại phương trình phi tuyến đơn giản phương trình tuyến tính, phương trình tuyến tính đạo hàm riêng cấp cao Các phương trình elliptic phi tuyến đòi hỏi phương pháp nghiên cứu cơng cụ tiếp cận mới, giải tích hàm phi tuyến Các toán biên cổ điển miền bị chặn tiếp tục đặt phương trình elliptic phi tuyến [1, 11, 13, 18–20, 24, 27–34, 43, 58, 60] Các nhà toán học đưa vào xét số lớp phương trình elliptic suy biến tuyến tính [23–29] phát rằng: số trường hợp cấu trúc hình học miền có ảnh hưởng quan trọng đến tính giải toán biên ([37]) Nhiều kết sâu sắc tính giải tích, độ trơn nghiệm phương trình elliptic, hệ phương trình elliptic thiết lập Lý thuyết tốn biên, bao gồm tính nhất, tính giải được, tính nhiều nghiệm, cho phương trình, hệ phương trình elliptic phát triển vơ mạnh mẽ Tiếp theo tổng quan số nghiên cứu cho tính giải tốn Dirichlet phương trình elliptic, elliptic suy biến cấp hai cấp bốn nửa tuyến tính miền bị chặn Ω ⊂ RN Như biết, toán tử elliptic nghiên cứu nhiều tốn tử Laplace khơng gian RN : ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + ∂x21 ∂x22 ∂x2N