Slide 1 4 3 Phương pháp toán tử Laplace Phép biến đổi Laplace Định luật Ohm và Kirchhoff dạng toán tử Phân tích mạch dùng toán tử Laplace Phương pháp Toán tử Laplace f(t) là hàm (có thể phức)[.]
4.3 Phương pháp toán tử Laplace Phương pháp Toán tử Laplace Phép biến đổi Laplace Định luật Ohm Kirchhoff dạng tốn tử Phân tích mạch dùng toán tử Laplace 4.3.1 Biến đổi Laplace Định nghĩa f(t) hàm (có thể phức) biến số thực t (t ≥ 0) cho tích phân hội tụ với số phức s = a + jb Biến đổi thuận: +∞ = F ( s ) L= { f (t )} ∫ f (t )e − st d t 0− Biến đổi ngược f (t ) L= = {F ( s)} −1 a + j∞ 2π j a −∫j∞ F ( s )e st d s F(s) : ảnh Laplace f(t) : gốc Bài giảng Giải tích Mạch 2014 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng f(t) u (t ) δ (t ) e − at cos(at ) sin(at ) t n F(s) Miền hội tụ s 1 s+a s s2 + a2 a s2 + a2 n! s n +1 Re {s} > Re {s} > −a Re {s} > Re {s} > Re {s} > Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) Tuyến tính a1 f1 (t ) + a2 f (t ) a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ) Dời theo s e − at f (t ) F ( s + a) Dời theo t f (t − t0 ).u (t − t0 ) e − st0 F ( s ) f (at ) s F a a Đổi thang Bài giảng Giải tích Mạch 2014 Bảng tính chất phép biến đổi Laplace f(t) F(s) f ( n ) (t ) s n F ( s ) − s n−1 f (0− ) − − f ( n−1) (0− ) Tính chất Đạo hàm theo t Tích phân theo t ∫ t F (s) s f (t )dt n Nhân cho t t f (t ) Chia cho t f (t ) t Bài giảng Giải tích Mạch 2014 n d (−1) n n F ( s ) ds ∫ ∞ s F ( s )ds Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất Hàm tuần hồn f(t) f (= t ) f (t + T ) Giá trị đầu f (0+ ) Giá trị cuối f (+∞) Tích chập miền t Tích chập miền s F(s) ∫ Bài giảng Giải tích Mạch 2014 f (t )e − st dt − e − sT lim sF ( s ) s →+∞ lim sF ( s ) s →0+ f (t ) ∗ g (t ) f (t ) g (t ) T F ( s )G ( s ) 2π j F (s) ∗ G (s) Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) u (t ) δ (t ) δ '(t ) δ ( n ) (t ) e − at tn cos(ωt ) sin(ωt ) F(s) s s sn s+a n! s n+1 s s2 + ω ω s2 + ω Bài giảng Giải tích Mạch 2014 s>0 s>0 s>0 s > −a s>0 s>0 s>0 Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) − at n e t e − at cos(ωt ) e − at sin(ωt ) t.cos(ωt ) t.sin(ωt ) cosh(ωt ) sinh(ωt ) F(s) n! ( s + a ) n +1 s+a ( s + a)2 + ω ω ( s + a)2 + ω s2 − ω (s + ω )2 2ω s (s + ω )2 s s2 − ω ω s2 − ω Bài giảng Giải tích Mạch 2014 s > −a s > −a s > −a s>0 s>0 s> a s> a 4.3.2 Các trở kháng toán tử Điện trở i(t) R u(t) L {u (t )} = L {Ri (t )} I(s) U(s) u (t ) = Ri (t ) R U ( s ) = RI ( s ) Bài giảng Giải tích Mạch 2014 4.3.2 Các trở kháng toán tử i(t) Điện cảm u(t) I(s) U(s) sL L d u (t ) = L i (t ) dt − = U ( s ) sLI ( s ) − Li (0 ) − Li (0 ) I(s) − U(s) sL i (0 ) s − U ( s ) i (0 ) I (s) = + sL s Bài giảng Giải tích Mạch 2014 10 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace U (s) = 24 + 8s ( s + 1) Heaviside: = U (s) K1 ( s + 1) K2 + s +1 K1 = (24 + 8s ) s = −1 = 16 d K = (24 + 8s ) =8 ds s = −1 Vậy: = u (t ) ( (16t + 8)e ) 1(t ) [V] −t Bài giảng Giải tích Mạch 2014 20