6 cực trị hàm nhiều biến p2

Slide 1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét 2 bài toán Cực đại đạt tại (0,0), z = 1 Bài 1 Tìm cực trị Bài 2 Tìm cực trị Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 x + y – 1 = 0 Cực đại đạt tại (1/2, 1/2[.]

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét tốn: Bài 1: Tìm cực trị z  1 x  y z  1 x2  y 2 Cực đại đạt (0,0), z=1 Bài 2: Tìm cực trị z   x  y Thỏa điều kiện x + y – = z  1 x  y Bài 2: Tìm cực trị z   x  y Thỏa điều kiện x + y – = z  1 x  y z 1 / x+y–1=0 Cực đại đạt (1/2, 1/2), Định nghĩa: Hàm số z = f(x, y) thỏa điều kiện (x, y) = đạt cực đại M0 tồn lân cận V M0 cho f(M)  f(M0), MV (M) = Tương tự cho định nghĩa cực tiểu có điều kiện Điều kiện cần cực trị có điều kiện Giả sử f,  khả vi lân cận M0(x0, y0) 2  x (M0 )   y (M0 ) 0, Nếu f đạt cực trị M0 với điều kiện  = tồn   R cho fx (M0 )   x (M0 ) 0 ( )  fy (M0 )   y (M0 ) 0   (M0 ) 0  : nhân tử Lagrange fx (M0 )   x (M0 ) 0  fy (M0 )   y (M0 ) 0   (M0 ) 0 ( ) 1.M0 thỏa hệ () gọi điểm dừng toán cực trị có điều kiện, gọi điểm dừng hàm Lagrange L(x,y) = f(x, y) + (x, y) d(M0) = ( dx dy liên kết với theo hệ thức này) Điều kiện đủ cực trị có điều kiện Giả sử f,  có đhr đến cấp liên tục lân cận M0(x0, y0) M0 điểm dừng L(x,y), 2    d L(M0 ) Lxx (M0 )dx  2Lxy (M0 )dxdy  Lyy (M0 )dy 1.Nếu d2L(M0) xác định dương f đạt cực tiểu có điều kiện M0 2.Nếu d2L(M0) xác định âm f đạt cực đại có điều kiện M0 Các bước tìm cực trị có điều kiện hàm biến Loại 1: điều kiện bậc theo x, y( tìm đường thẳng) (x, y) = ax + by + c =  đưa cực trị hàm biến thay y theo x f Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử Lagrange L(x,y) = f(x,y) + (x,y) Lx (M0 ) 0  B1: tìm điểm dừng L(x, y) : Ly (M0 ) 0   (M0 ) 0 B2: xét dấu d2L M0 có kèm đk d(M0) = •Xác định dương: cực tiểu •Xác định âm: cực đại 2/ Tìm cực trị thỏa điều kiện z xy 2 x y  ( x , y )    0 z  xy  x2 y  L( x , y ) xy      1   Điểm dừng L n0 hệ:  x Lx ( x , y ) y   0  Ly ( x , y ) x   y 0  2 x y    0    2,( x , y ) (2,  1) hay ( x , y ) (  2,1)     2,( x , y ) (2,1) hay ( x , y ) (  2,  1)  x   , Lxy  1, Lyy   , d ( x , y )  dx  ydy Lxx 4 Tại P1(2, -1),  = d 2L(P ) 1 dx  2dy  2dxdy   d (P1 ) 1 dx  dy 0  d 2L(P1 ) 8dy    dx 2dy Vậy f đạt cực tiểu có đk P1, f(P1) = -2 Tương tự P2(-2, 1)  x   , Lxy  1, Lyy   , d ( x , y )  dx  ydy Lxx 4 Tại P3(2, 1),  = - d 2L(P )  dx  2dy  2dxdy   d (P1 ) 1 dx  dy 0  d 2L(P1 )  8dy    dx  2dy Vậy f đạt cực đại có đk P3, f(P3) = Tương tự P4(-2, -1) 3/ Tìm cực trị z f ( x , y )   x  y thỏa điều kiện x + y – = x+y–1=0y=1–x  z  2x  2x Bài tốn trở thành tìm cực trị z với x (0, 1)  2x z( x )  2x  2x z’ đổi dấu từ + sang – qua x = 1/2 , nên z đạt cđại x = 1/2 fcd 1 / Vậy f đạt cđại có điều kiện (x,y) = (1/2, 1/2) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT Định lý: f liên tục tập compact D f đạt min, max D Nhắc lại: tập compact tập đóng (lấy tất biên) bị chận (có thể bao hình trịn)