Mục đích nghiên cứu đề tài là nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán. Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.
SỞ GD &ĐT VINH PHUC ̃ ́ TRƯƠNG THPT NGUYÊN THAI HOC ̀ ̃ ́ ̣ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ Tac gia: ́ ̉ Hoang Thi Hiên ̀ ̣ ̀ Ma môn: ̃ 52 Năm học 2019 2020 SỞ GD &ĐT VINH PHUC ̃ ́ TRƯƠNG THPT NGUYÊN THAI HOC ̀ ̃ ́ ̣ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ Tac gia: ́ ̉ Hoang Thi Hiên ̀ ̣ ̀ Ma môn: ̃ 52 Năm học 2019 2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trinh toan phô thông, d ̀ ́ ̉ ạng bài tốn: Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sơ ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu ́ gia tri tut đơi là m ́ ̣ ̣ ́ ột trong các dạng bài tốn địi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học. Nhằm giúp các em học sinh năm v ́ ưng ph ̃ ương phap xac đinh va tính ́ ́ ̣ ̀ cực tri cua ham sơ ̣ ̉ ̀ ́ chưa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ́ ̣ ̣ ́ vân dung kiên th ̣ ̣ ́ ưc đo vao giai bai toan. Giup hoc sinh phát tri ́ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải. Đông th ̀ ơi gop phân nâng cao hiêu qua ̀ ́ ̀ ̣ ̉ giao duc va gop phân nâng ́ ̣ ̀ ́ ̀ cao chât l ́ ượng giang day môn toan ̉ ̣ ́ ở trương trung hoc phô thông ̀ ̣ ̉ tôi chon đê tai: ̣ ̀ ̀ “Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́” 2. Tên sáng kiến: “Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́” 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên tac gia: Hoang Thi Hiên ́ ̉ ̀ ̣ ̀ Địa chỉ tác giả: Trương THPT Nguyên Thai Hoc ̀ ̃ ́ ̣ Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sang kiên co thê ap dung vao giang day cho hoc sinh l ́ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̣ ̣ ơṕ 12 THPT 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Thang 10 năm 2019 ́ 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: CHƯƠNG I: CƠ SỞ LY LUÂN VA TH ́ ̣ ̀ ỰC TIÊN ̃ BAI TOAN C ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ CH ̣ ̉ ̀ ́ ƯA DÂU GIA TRI TUYÊT ĐÔI ́ ́ ́ ̣ ̣ ́ Phân I. C ̀ Ơ SỞ LY THUYÊT ́ ́ 1.Cac phép bi ́ ến đổi đô thi ̀ ̣ a.Cac phép tinh tiên đô thi ́ ̣ ́ ̀ ̣ Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có: Hàm sốcó đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy lên trên a đơn vị Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy xuống dưới a đơn vị Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua trái a đơn vị Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua phaỉ a đơn vị b. Cac phep bi ́ ́ ến đổi đơ thi khác ̀ ̣ Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có: Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải truc Oy (ca nh ̣ ̉ ưng điêm năm ̃ ̉ ̀ trên truc Oy) ̣ Bỏ phần đô thi cua ̀ ̣ ̉ nằm bên trái truc ̣ Oy Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua truc Oy ̣ Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách: Giữ ngun phần đồ thị (C) nằm phía trên truc Ox (ca nh ̣ ̉ ưng điêm năm ̃ ̉ ̀ trên Ox) Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phia d ́ ưới truc Ox qua tr ̣ ục Ox Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox 2. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0 D + x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho (a;b) D và + x0 là điểm cực đai c ̣ ủa hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho (a;b) D và PHÂN II : NÔI DUNG ̀ ̣ DANG 1: CAC BAI TOAN C ̣ ́ ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ ̣ ̉ ̀ ́ Đê giai quyêt cac bai toan c ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ực tri cua ham sô ta co dung môt trong ba cach sau: ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ Cach 1: ́ Lâp bang biên thiên cua ham sô ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ Cach 2: ́ Sử dung phep biên đôi đô thi ̣ ́ ́ ̉ ̀ ̣ Ta có Tư đơ thi suy ra đơ thi băng cach: ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ + Giư nguyên phân đô thi cua (C) ̃ ̀ ̀ ̣ ̉ ở phia trên truc hoanh (kê ca nh ́ ̣ ̀ ̉ ̉ ững điêm năm phia trên truc hoanh) ̉ ̀ ́ ̣ ̀ + Lây đôi x ́ ́ ứng phân đô thi cua (C) ̀ ̀ ̣ ̉ ở phia d ́ ưới truc hoanh qua truc ̣ ̀ ̣ hoanh ̀ + Bo phân đô thi cua (C) phia d ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ươi truc hoanh. ́ ̣ ̀ Cach 3: S ́ ử dụng kết quả của nhân xet sau: ̣ ́ Nhân xet 1: ̣ ́ Goi k la sô điêm c ̣ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x); h la sô nghiêm đ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh ̀ f(x) = 0; e la sô nghiêm bôi le cua ph ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ương trinh f(x) = 0, ̀ thi sô điêm c ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng k + h + e ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh bổ đề: + Ta có + Theo giả thiết, là điểm tới hạn của hàm số nên xác định và khơng xác định +) Ta có . Vì xác định nên xác định. Vậy xác định. (*) + Ta có Vì khơng xác định nênkhơng xác định. Vậy khơng xác định.(**) Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh nhận xét 1 Thât vây ̣ ̣ + Theo giả thiết, y = f(x) co k điêm c ́ ̉ ực tri co m nghiêm đ ̣ ́ ̣ ơn, n nghiêm bôi le và t đi ̣ ̣ ̉ ểm tới hạn ma m + n + t = k. (*) ̀ + Theo giả thiết, h la sô nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh ; e la sô nghiêm bôi le cua ph ̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ương trinh (**) ̀ + ; Theo (*), (**) ta co sô điêm c ́ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng k + h + e ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Nhân xet 2: Sô điêm c ̣ ́ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x) ̣ ̉ ̀ ́ Thật vậy +) Theo giả thiết y = f(x) co k điêm c ́ ̉ ực tri co m nghiêm đ ̣ ́ ̣ ơn, n nghiêm bôi le và t đi ̣ ̣ ̉ ểm tới hạn ma m + n + t = k. Gia s ̀ ̉ ử cac nghiêm đo la ́ ̣ ́ ̀ +) co;co k giá tr ́ ́ ị (gồm nghiêm đ ̣ ơn, nghiệm bôi le, đi ̣ ̉ ểm tới hạn). Vây co k điêm c ̣ ́ ̉ ực tri.̣ Hay sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô băng sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x) ̣ ̉ ̀ ́ 1.1.Bai toan c ̀ ́ ơ ban: “ ̉ Cho hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số ” Bai 1: ̀ Cho ham sô co đô thi (C) nh ̀ ́ ́ ̀ ̣ ư hinh ve. Tim sô ̀ ̃ ̀ ́ điểm cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ Lơi giai ̀ ̉ Cach 1: ́ Từ đô thi (C) ta suy ra đô thi (C’) cua ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ham sô (theo phep suy ra đô thi ) ̀ ́ ́ ̀ ̣ Nhin đô thi (C’), ta thây ham sô co 5 điêm c ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̉ ực trị Cach 2: ́ + Ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 3 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 2 + 3 + 0 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ = 5 Bai 2 ̀ : Cho ham sô co đô thi (C) nh ̀ ́ ́ ̀ ̣ ư hinh ve ̀ ̃ Tim sô điêm c ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ Lơi giai ̀ ̉ Cach 1 ́ : Tư đô thi (C) ta suy ra đô thi (C’) cua ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ Nhin đô thi (C’) , ta thây ham sô ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ co 5 điêm ́ ̉ cực tri.̣ Cach 2 ́ : + Ham sô y = f(x) co 3 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri. ̣ Phương trinh f(x) = 0 co 2 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 3 + 2 + 0 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ = 5 Bai 3: ̀ x Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. y’ Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y 1 + + Lơi giai ̀ ̉ + Đô thi ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 1 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô 2 + 1 + 0 = 3 ̣ ̉ ̀ ́ Bai 4: ̀ Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? x 1 y’ y + + Lơi giai ̀ ̉ + Đô thi ham sô y = f(x) co 3 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn (Phương trinh f(x) = 0 co 2 nghiêm bôi chăn) ̀ ́ ̣ ̣ ̃ + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô la 3 + 0 + 0 = 3 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Bai 5: ̀ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Lơi giai ̀ ̉ Xet co ́ ́ + x y’ y + 1 1 + Ham sô co 3 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 4 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Suy ra số điểm cực trị của hàm số la 3 + 4 + 0 = 7 ̀ Bai 6: ̀ Tinh t ́ ổng các giá trị cực đại của hàm số Lơi giai ̀ ̉ Xet co ́ ́ x y’ y 6 + 2 6 + Ham sô co 3 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 2 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Suy ra, số điểm cực trị của hàm số la 5 ̀ Cac điêm c ́ ̉ ực đai cua đô thi ham sô la A(;6), B(;6). ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ Tổng các giá trị cực đại của hàm số la 12. ̀ Bai 7: ̀ Biết đồ thị hàm số căt truc hoanh tai đung 2 điêm. ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ Ham sô co bao nhiêu điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ + Vi ̀đồ thị hàm số căt truc hoanh tai đung 2 điêm ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ nên căn cứ vào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị + Mặt khác . Do đó phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 2 + 1 = 3 Bai 8: ̀ Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hồnh. Số điểm cực trị của hàm sơ ́ Lơi giai ̀ ̉ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hồnh nên co 3 nghiêm ́ ̣ đơn Vây s ̣ ố điểm cực trị của hàm sô la 3 + 2 =5 ́ ̀ Bai 9: ̀ Cho hàm số vơi ́ Hàm sốcó bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Theo giả thiết ta có đê ̉ Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình co 4 nghiêm phân biêt. Do đó, hàm s ́ ̣ ̣ ố phải có 3 điểm cực trị. Vì vậy, hàm số co 4 + 3 = 7 điêm c ́ ̉ ực trị y = x3 − 3x − x − + Bai 10: ̀ Tinh t ́ ổng các giá trị của tham số m để hàm số cực trị Lời giải m có 5 điểm f ( x ) = x3 − 3x − x − Vẽ đồ thị hàm số Ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị nên cũng có 2 điểm cực trị ￛ u cầu bài tốn số giao điểm của đồ thị với trục hồnh là 3. Để số giao điểm của đồ thị với trục hồnh là 3 ta cần tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên trên mơt đoan co đơ dai nh ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 32 đơn vị Vi nên . Vây t ̀ ̣ ổng các giá trị của tham số m là 2016. Bai 11: (HSG Vinh Phuc 20182019). ̀ ̃ ́ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có đúng năm điểm cực trị Lơi giai ̀ ̉ Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số x y’ y 0 m2 m6 Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt Vậy với thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị Bai 12: (Câu 43 đê minh hoa 2018 cua Bơ GD&ĐT) ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 7 điểm cực trị? Lời giải Xét hàm số có Lập BBT của đồ thị hàm số ta có x 1 y’ y + m m5 + m32 Để đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị phương trình f(x) = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt: Vì Vậy có 4 giá trị ngun của m thỏa mãn u cầu bài tốn Bai 13: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm sốcó đúng 3 điểm cực trị Lời giải Xét Tinh đ ́ ược Bảng biến thiên của hàm số g(x) x a g’ + + g g(1) g(a) m g( x ) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị. Suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi Cách 2: Xét Bảng biến thiên của hàm số g(x) x a g’ g g(a) + g(1) + m g( x ) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị. Suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hồn tồn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) 1.2.Bai toan m ̀ ́ ở rơng 1: “ ̣ Cho hàm số . Hỏi sơ đi ́ ểm cực trị của hàm số ” Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số co bao nhiêu điêm ́ ̉ cực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ Cach 1 ́ : Tư đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ Tư đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ Nhin đô thi ham sô ta thây,hàm s ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ố co 7 điêm c ́ ̉ ực tri?̣ 10 Tịnh tiến đơ th ̀ ị hàm số theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được Lấy đối xứng phần phía dưới truc Ox c ̣ ủa đồ thị hàm số qua truc Ox ta đ ̣ ược Dựa vào đồ thị hàm số suy ra t ọa độ các điểm cực trị là (1 ;0), (0 ;4), (2 ;0). Vây t ̣ ổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4 Bai 3: ̀ Cho hàm số xác định, liên tục trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? x 1 y’ y + ￛ và có bảng biến thiên như hinh ve. H ̀ ̃ ỏi đồ thị + 2018 2018 Lời giải f ( x) Đồ thị hàm số có được từ đồ thị lên trên 2018 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của bằng cách tịnh tiến đồ thị sang phải 2017 đơn vị và 12 x u’ 2016 + u 2020 + 4036 + Ham sô y = u(x) co 2 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 1 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 2 + 1 + 0 = 3 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Bai 4: ̀ Cho hàm số xác định trên và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tinh ́ tổng tung độ các điểm cực trị cua đô thi ̉ ̀ ̣ ham sô ̀ ́ x 1 y’ y || || + 1 Lơi giai ̀ ̉ Bảng biến thiên cua ham sơ ̉ ̀ ́ như hình vẽ 13 x 1 g’ g || + || 4 + Đô thi ham sô co 1 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri A(3;4) nên đô thi ham sô co 1 điêm c ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri la A’(3;4) ̣ ̀ Phương trinh co 3 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn nên đô thi ham sô co 3 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri đêu co tung đô la 0. ̣ ̀ ́ ̣ ̀ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sơ băng 1+ 3 + 0 = 4 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Suy ra tung đợ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4 Bai 5: ̀ Cho hàm số thỏa mãn và có đạo hàm . Hàm số co bao nhiêu điêm c ́ ̉ ực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ + ;. x y’ 2 + y 0 y(0) + + Bang biên thiên ̉ ́ 14 + Hàm số co 3 điêm c ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 0 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Vây hàm s ̣ ố co 3 + 0 + 0 = 3 đi ́ ểm cực trị. Bai 6: ̀ Cho hàm số biết va . Tim s ̀ ̀ ố điểm cực trị của đồ thị hàm số . Lời giải Cach 1: ́ Đặt + Từ giả thiết đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị. + Ta có phương trinh có nghi ̀ ệm thuộc khoảng có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng phương). Vây hàm s ̣ ố có 7 điểm cực trị. Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau: Chọn Vẽ phác họa đồ thị ham sơ, ta th ̀ ́ ấy đơ thi hàm s ̀ ̣ ố có 7 điểm cực trị. m Bai 7 ̀ : Cho hàm số với là tham số thực. Tim sơ điêm c ̀ ́ ̉ ực trị của đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: Ta có: Suy ra ; + có 3 nghiệm đơn phân biệt vì với mọi m (hay ham sơ co 3 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri)̣ + vơ nghiệm. Vậy hàm số có cực trị Cách 2: (Trong bai trăc nghiêm đê tim nhanh kêt qua ta nên đăc biêt hoa bai toan) ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̀ ́ Ta cho m = 0, ta được hàm sô . Ta đi tim sô đi ́ ̀ ́ ểm cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ x=0 � x= f ( x ) − = x − x + 16 � g ( x ) = x3 − x g ( x ) = � x3 − 8x = Đặt ; Bang biên thiên ̉ ́ x g’ + x=− + 15 g 16 12 12 Do đồ thị hàm số nằm hồn tồn bên trên trục hồnh nên đồ thị hàm số cũng chính là đồ thị của hàm số . Khi đó số điểm cực trị của hàm số là y = f ( x) Bai 8: ̀ Cho hàm số giá trị thực của tham số m có đồ thị như hình vẽ. Tim t ̀ ất cả các để hàm số có 5 điểm cực trị Lơi giai ̀ ̉ Vi hàm đã cho có 2 đi ̀ ểm cực trị nên cũng có 2 điểm cực trị Đê hàm s ̉ ố có 5 điểm cực trị số giao điểm của đơ th ̀ ị với trục hồnh là 3 Để số giao điểm của đồ thị với trục hồnh là 3, co 2 tr ́ ương h ̀ ợp xay ra ̉ Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy xuống phia d ́ ưới môt đoan co đô dai nh ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 1 đơn vị Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên trên môt đoan co đô dai nh ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 3 đơn vị Vây ̣ Bai 9: ̀ Cho hàm số thoả mãn Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải Xet , ta co ́ ́ Do đó đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt và suy ra hàm số có hai điểm cực trị Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 + 3 = 5 BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN DANG 1 ̣ ̣ Câu 1: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số là: A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 3: Cho hàm số xác định trên và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. 16 Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 4: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ Số cực trị của đồ thị hàm số là: A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 5: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ. Số cực trị của đồ thị hàm số là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 Câu6: Cho hàm số bậc ba với , biết , và . Tim s ̀ ố điểm cực trị của đồ thị hàm số A. 1 B. 5 C. 3 D. 7 Câu 7: Cho hàm số với, và. Số cực trị của hàm số là: A. 1 B. 5 C. 3 D. 7 Câu 8: Cho hàm số , với m là tham số. Tim s ̀ ố cực trị của hàm số A. 2 B. 5 C. 4 D. 7 Câu 9: Có bao nhiêu số ngun đê ham sơ co đung 5 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ́ ̉ ực trị A. 12 B. 15 C.16 D. 17 DANG 2: CAC BAI TOAN C ̣ ́ ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ ̣ ̉ ̀ ́ Đê giai quyêt cac bai toan ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ ta dung môt trong ba cach sau: ̀ ̣ ́ Cach 1: ́ Lâp bang biên thiên cua ham sô ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ Cach 2 ́ : Sử dung phep biên đôi đô thi ̣ ́ ́ ̉ ̀ ̣: Tư đô thi suy ra đô thi ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ Cach 3 ́ : Đê giai quyêt cac bai toan trên ta vân dung nhân xet sau ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ́ : Nhân xet: Goi k la sô điêm c ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ực tri d ̣ ương cua ham sô thi sô điêm c ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng ̣ ̉ ̀ ́ ̀ 2k + 1 17 Thât vây ̣ ̣ + Theo gia thiêt k la sô điêm c ̉ ́ ̀ ́ ̉ ực tri d ̣ ương cua ham sô co k nghiêm d ̉ ̀ ́ ́ ̣ ương + Vi đô thi va ̀ ̀ ̣ ̀ đô thi đôi x ̀ ̣ ́ ứng nhau qua Oy co k nghiêm âm ́ ̣ + Vi đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́va đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ đôi x ́ ưng nhau qua truc Oy nên f’(x) đôi dâu khi qua ́ ̣ ̉ ́ điêm x = 0 ̉ Vây sô điêm c ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ băng 2k + 1 ̀ 2.1 Bai toan c ̀ ́ ơ ban ̉ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sơ đi ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Ham s ̀ ố có bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Cach 1: ́ + Tư đơ thi hàm s ̀ ̀ ̣ ố ta suy ra đồ thị ham s ̀ ố Dựa vào đồ thị hàm số có 7 cực trị Cach 2: ́ + Hàm số co 3 điêm c ́ ̉ ực tri d ̣ ương + Vậy hàm số có 3.2 + 1 = 7 điêm ̉ cực trị Bai 2: ̀ Cho hàm số xác định và liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số x 2 18 y’ + y f(2) + f(4) f(1) Lơi giai ̀ ̉ Ham sô co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri d ̣ ương, suy ra sơ ́điểm cực trị của hàm số la 2.2 + 1 = 5 ̀ Bai 3 ̀ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với Tìm số điểm cực trị của hàm số Lơi giai ̀ ̉ Ta có Vi co 2 nghiêm bôi le (x = 3 va x = 2) nên ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ực tri. ̣ Ham sô y = f(x) co 1 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri d ̣ ương nên co 2.1 + 1 = 3 điêm c ́ ̉ ực tri.̣ Bai 4 ̀ : Có bao nhiêu số ngun đê ham sơ có đúng 5 đi ̉ ̀ ́ ểm cực trị Lời giải Ham sơ có đúng 5 đi ̀ ́ ểm cực trị. có hai điểm cực trị dương có hai nghiệm dương có hai nghiệm dương. (vì ) 2.2 Bai toan m ̀ ́ ở rơng 1 ̣ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sơ đi ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số co bao nhiêu đi ́ ểm cực trị? Lơi giai ̀ ̉ Cach 1: ́ + Tư ̀đồ thị của hàm số suy ra đô thi hàm s ̀ ̣ ố . Nhin đô thi ta thây,hàm s ̀ ̀ ̣ ́ ố co 7 đi ́ ểm cực trị Cách 2: Bảng xét dấu g’(x) 19 x y’ a+1 1 + + || + a+1 + Vậy đồ thị hàm số đã cho có 7 điểm cực trị Bai 4: ̀ Cho hàm số đa thức bậc bốn co 3 điêm c ́ ̉ ực tri . Có bao nhiêu s ̣ ố nguyên để hàm số có 7 điểm cực trị Lời giải Hàm số có 7 cực trịco 3 đi ́ ểm cực trị lớn hơn m Các điểm cực trị của hàm số là Vậy ta có điều kiện là 2.3 Bai toan m ̀ ́ ở rơng 2 ̣ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sơ đi ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? Lời giải Cach 1: ́ + Tư đơ thi ham sơ suy ra đơ thi ham sơ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ + Từ đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ Nhin đô thi ham sô ta thây: Đ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ồ thị hàm số có 5 điểm cực trị Cach 2 ́ : Dựa vao nhân xet 2: T ̀ ̣ ́ ừ đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị dương nên hàm số có 5 điểm cực trị Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến khơng làm thay đổi cực trị) 20 Bai 2: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? Lời giải Tư đô thi suy ra đô thi băng cach: ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ + Giư nguyên phân đô thi ham sô ̃ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ở bên phai truc ̉ ̣ tung (kê ca nh ̉ ̉ ưng điêm năm trên truc tung) ̃ ̉ ̀ ̣ + Bo phân đô thi ham sô ̉ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ở bên trai truc tung. ́ ̣ + Lây đôi x ́ ́ ứng phân đô thi ̀ ̀ ̣ ham sô ̀ ́ ở bên phai truc tung qua truc ̉ ̣ ̣ tung Tư đô thi suy ra đô thi băng cach: ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ Tinh tiên đô thi ham sô ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ theo phương truc Ox sang phai 2 đ ̣ ̉ ơn vi.̣ Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 5 điểm cực trị Bai 3: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? Lời giải Cach 1: ́ Xét hàm số Ta có Ta co g’(x) không xác đ ́ ịnh tại x g’ g + || + 2 3 3 Bảng biến thiên 21 Dựa vào BBT của hàm số ta thây hàm s ́ ố có 3 điêm c ̉ ực trị Bai 4 : ̀ Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ: x f’ + f f(0) + f(2) Hàm số co bao nhiêu đi ́ ểm cực trị? Lơi gi ̀ ải Bảng xét dấu g’(x) x g’ + || + + Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị 2.4. Bai toan m ̀ ́ ở rơng 3 ̣ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sơ đi ́ ểm cực trị của hàm số y = f ( x) Bài 1: Cho hàm số xác định, liên tục trên ￛ và có bảng biến thiên như hình vẽ g ( x) = f ( x ) Hỏi đồ thị hàm số Lời giải có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ? y = f ( x) Ta có đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại tối đa 2 điểm có hồnh độ dương. Khi đó f( x) Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tối đa 4 điểm f( x) Hàm số có 3 điểm cực trị g( x ) = f ( x ) Suy ra hàm số sẽ có tối đa 7 điểm cực trị Bai 2: ̀ Biết rằng phương trình có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 22 Lơi gi ̀ ải: Vì phương trình có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt nên đồ thị hàm số phải cắt tại đúng hai điểm có hồnh độ dương. Trong đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là một trong hai điểm đó Bằng phép suy đồ thị ta có đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên Dựa vào đồ thị ta có đồ thị hàm số có điểm cực trị Bai 3: ̀ Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và B(2; 1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số Lơi giai ̀ ̉ Hàm số có 1 điêm c ̉ ực tri d ̣ ương x = 2 nên đơ thi ham sơ co 3 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri. Đo la A(0;3), ̣ ́ ̀ B(2; 1) va C(2;1) ̀ (Điêm A ̉ ở trên truc hoanh, điêm B, C ̣ ̀ ̉ ở dưới truc hoanh) ̣ ̀ Suy ra ham sô co 7 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUN DANG 2 ̣ ̣ Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số là: A. 5 B. 7 C. 3 D. 1 y = f ( x) Câu 2: Cho hàm số h ( x ) = f ( x ) + 2018 A.2 có đồ thị hình bên Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? B.3 C.5 D.7 Câu 3: Số cực trị của hàm số là: A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 4: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 B. 5 C. 4 D. 1 f ( x ) = x ( x + 2) y = f ( x) Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm (x + 4) Số điểm cực trị của y= f ( x) hàm số là 23 A B . C D y = f ( x) Câu 6: Cho hàm số xác định và liên tục trên các khoảng bảng biến thiên như hình vẽ (− ;0 ) ( 0; + ) , và có Hàm số có bao nhiêu cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 7: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 5 cực trị? A. B. C. D. Câu 8: Cho hàm số x ￛ mọi cực trị? A.3 f y = f ( x) ( x ) = ( x + 1) có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (x + m2 − 3m − ) ( x + 3) với g ( x) = f ( x ) để hàm số có 3 điểm B.4. C.5 D.6 y = f ( x) Câu 9: Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào? A.3 B.4. C.5. D.6 Câu 10: Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm A(1;4) và B(3; 2) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số A.3 B.4. C.5. D.6 CHƯƠNG III: THỰC NGHIÊM S ̣ Ư PHAM ̣ 1. Muc đich, nơi dung va tơ ch ̣ ́ ̣ ̀ ̉ ức thực nghiêm ̣ Tô ch ̉ ưc th ́ ực nghiêm nhăm kiêm tra tinh kha thi, tinh hiêu qua cua viêc day hoc đa ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̉ ̣ ̣ ̣ ̃ được trinh bay ̀ ̀ ở chương II Đôi t ́ ượng la hai l ̀ ơp đai tra 12A4 va 12A5 cua Tr ́ ̣ ̀ ̀ ̉ ương THPT Nguyên Thai Hoc. L ̀ ̃ ́ ̣ ực hoc cua hoc sinh ̣ ̉ ̣ ở hai lơp la t ́ ̀ ương đương. Môi l ̃ ớp co 36 hoc sinh. Tôi chon l ́ ̣ ̣ ớp 12A5 là lơp th ́ ực nghiêm, 12A4 la l ̣ ̀ ớp đôi ch ́ ứng. Kêt qua th ́ ̉ ực nghiêm ̣ Tôi đa vân dung môt sô ph ̃ ̣ ̣ ̣ ́ ương phap day hoc tich c ́ ̣ ̣ ́ ực vào giảng dạy nội dung này ̣ Tôi nhận thấy hoc sinh co đu kha năng tiêp nhân, năm v ̣ ́ ̉ ̉ ́ ̣ ́ ững nôi dung kiên th ̣ ́ ức. Học sinh vân d ̣ ụng kiên th ́ ưc linh hoat, nhay ben. Hoc sinh h ́ ̣ ̣ ́ ̣ ưng thu, tích c ́ ́ ực, chủ động vân dung ̣ ̣ phương pháp trên vao gi ̀ ải bài tốn. Tơi đa nhân đ ̃ ̣ ược nhưng phan hôi t ̃ ̉ ̀ ừ hoc sinh răng: vân ̣ ̀ ̣ 24 dung ph ̣ ương phap trên, dê phat hiên ra h ́ ̃ ́ ̣ ương giai bai toan, l ́ ̉ ̀ ́ ơi giai ngăn gon, cac phep toan ̀ ̉ ́ ̣ ́ ́ ́ cung đ ̃ ơn gian h ̉ ơn so vơi giai băng cac ph ́ ̉ ̀ ́ ương phap khac ́ ́ Sau khi day day nôi dung nay, tôi đa cho hoc sinh lam bai kiêm tra ̣ ̣ ̣ ̀ ̃ ̣ ̀ ̀ ̉ Kêt qua kiêm tra ́ ̉ ̉ Điêm ̉ Lơṕ 12A4 4 10 12A5 10 6 10 Số baì 36 36 Nhân xet ̣ ́: Nhin vao bang ta thây hoc sinh ̀ ̀ ̉ ́ ̣ ở lơp 12A5 co kêt qua cao h ́ ́ ́ ̉ ơn. Trong baì kiêm tra hoc sinh ̉ ̣ ở lơp 12A5 trinh bay ngăn gon, lôgic h ́ ̀ ̀ ́ ̣ ơn bôc lô kha năng năm v ̣ ̣ ̉ ́ ững kiên ́ thưc cung nh ́ ̃ ư tinh sang tao cua t ́ ́ ̣ ̉ ư duy hơn hoc sinh l ̣ ơp 12A4. ́ KÊT LUÂN ́ ̣ Sang kiên kinh nghiêm cua tôi đa thu đ ́ ́ ̣ ̉ ̃ ược cac kêt qua nh ́ ́ ̉ ư sau: Tôi đã phân loai cac dang bai tâp, rut ra ph ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ương phap giai cho t ́ ̉ ưng loai. V ̀ ̣ ơi môi ́ ̃ dang bai tâp, tơi l ̣ ̀ ̣ ựa chon các bai tâp nh ̣ ̀ ̣ ằm rèn luyện cho học sinh lớp 12 THPT kỹ năng giải bài tốn. Lam ro đ ̀ ̃ ược tâm quan trong cua gi ̀ ̣ ̉ ải bài toán trong việc phát triển năng lực tư duy thuât giai, năng l ̣ ̉ ực tư duy sang tao cho hoc sinh ́ ̣ ̣ Phương pháp giải bài tốn tơi đưa ra đều viết dưới dạng các thuật tốn với các bước giải rõ ràng. Đăc biêt la dê nh ̣ ̣ ̀ ̃ ơ. V ́ ới cách đó có thể giúp cho học sinh định hướng tốt các bước giải và trình bày lời giải rõ ràng Trình bày lời giải một số bài tốn theo hai phương pháp đã giúp cho học sinh trở nên tự tin, linh hoạt trong việc định hướng, lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán. Tiên hanh th ́ ̀ ực nghiêm s ̣ ư pham đa b ̣ ̃ ước đâu cho thây tinh đung đăn, hiêu qua, kha thi ̀ ́ ́ ́ ́ ̣ ̉ ̉ cua bai viêt ̉ ̀ ́ 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Bai viêt co thê ap dung vao giang day cho hoc ̀ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̣ ̣ sinh lơp 12 ơn thi THQG. ́ 8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng có 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Hoc sinh năm v ̣ ́ ững li thut hàm s ́ ́ ố 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 25 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: +) Giup hoc sinh phat triên t ́ ̣ ́ ̉ ư duy lôgic, sang tao, thuât giai, Tao đ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ược tinh t ́ ự tin, niêm say ̀ mê hoc tâp ̣ ̣ +) Gop phân nâng cao chât l ́ ̀ ́ ượng giang day cua giao viên va kêt qua hoc tâp, ̉ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ va ren lun cua hoc sinh ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: Tôi đa nhân đ ̃ ̣ ược nhưng phan hôi t ̃ ̉ ̀ ừ hoc sinh răng: Vân dung ph ̣ ̀ ̣ ̣ ương phap trên, dê ́ ̃ phat hiên ra h ́ ̣ ương giai bai toan, l ́ ̉ ̀ ́ ơi giai ngăn gon, cac phep toan cung đ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ́ ́ ̃ ơn gian h ̉ ơn so với giai băng cac ph ̉ ̀ ́ ương phap khac ́ ́ 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lơp 12A4 ́ Trương THPT Nguyên ̀ ̃ Giang day cho hoc sinh ̉ ̣ ̣ Thai Hoc ́ ̣ lơp 12 THPT ́ Lơp 12A5 ́ Trương THPT Nguyên ̀ ̃ Trương THPT Nguyên ̀ ̃ Thai Hoc ́ ̣ Thai Hoc ́ ̣ Vinh Yên, ngày 25 tháng 02 năm 2020 ̃ Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Vinh n, ngày tháng 02 năm2020 ̃ Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Hoang Thi Hiên ̀ ̣ ̀ 26 ... 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng? ?sáng? ?kiến: Hoc sinh năm v ̣ ́ ững li thut hàm s ́ ́ ố 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự ? ?kiến? ?có thể thu được do áp dụng? ?sáng? ?kiến theo ý? ?kiến? ?của tác giả và theo ý? ?kiến? ?của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng? ?sáng. .. Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra? ?sáng? ?kiến? ? 5. Lĩnh vực áp dụng? ?sáng? ?kiến: Sang kiên co thê ap dung vao giang day cho hoc sinh l ́ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̣ ̣ ơṕ 12 THPT 6. Ngày? ?sáng? ?kiến? ?được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Thang 10 năm 2019... theo ý? ?kiến? ?của tác giả và theo ý? ?kiến? ?của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng? ?sáng kiến? ?lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 25 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự? ?kiến? ?có thể thu được do áp dụng? ?sáng? ?kiến? ? theo ý? ?kiến? ?của tác giả: