BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Cho f(x, y) = ex 2+2y Tính A = 3f ′x + 5f ′y, tại (x, y) = (1,−2) 2 Cho f(x, y) = e2x 2−4y Tính B = f ′′xx − f ′′yy + 2f ′′xy tại (x, y) = (0, 0) 3 Cho f(x, y) = (x2 + y)[.]
BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH Cho f (x, y) = ex +2y Cho f (x, y) = e2x Tính A = 3f x + 5f y , (x, y) = (1, −2) −4y Tính B = f 00 xx − f 00 yy + 2f 00 xy (x, y) = (0, 0) Cho f (x, y) = (x2 + y) ln(xy + 1) Tính vi phân df (1, 0) Cho f (x, y) = x ln(xy + 1) Tính vi phân cấp d2 f (1, 0) x Cho f (x, y) = arctan Tính vi phân cấp f (1, 1) y Cho hàm f (x, y, z) = ln(ex + ez ) − ln(ex + ey ) Tính A = 5f x − 2f y + f z , (x, y, z) = (0, 0, 0) Cho hàm f (x, y) = ln(ex + 1) − ln(ex + ey ) Tính B = 2f 00 xx − f 00 yy (x, y) = (0, 0, 0) Cho hàm f (x, y, z) = sin(x2 + y + z ) − cos(x + y + z) Tính A = f x + 3f y + 4f z (x, y, z) = (0, 0, 0) Cho hàm f (x, y) = sin(x2 +y )−2 cos(x+y) Tính B = 2f 00 xx +3f 00 yy −5f 00 zz (x, y, z) = (0, 0, 0) 10 Cho hàm f (x, y) = arcsin(x + y) Tính A = 3f 00 yy − 2f 00 xy (x, y) = (0, π) yz Tính B = f 00 xx − 2f 00 yy + 3f 00 zz (x, y, z) = (1, 2, 0) x p 12 Cho hàm f (x, y, z) = x2 − 2yz + y + xz − z Tính A = 4f x + 2f y − 3f z (x, y, z) = (3, −4, 0) 11 Cho hàm f (x, y, z) = √ x2 − xy 13 Cho hàm f (x, y) = Tính A = 2f 00 xx − f 00 yy + 3f 00 xy (x, y) = (1, 2) y + 2xy 14 Cho hàm f (x, y) = arctan √ x + ln(x2 + y ) Tính A = f 00 xx − 2f 00 yy + 3f 00 xy (x, y) = ( 3, 1) y y 15 Cho hàm f (x, y, z) = tan(πx + π ) Tính A = f 00 xx − f 00 yy + f 00 xy (x, y) = ( , 1) 2 16 Cho f (x, y) = xexy+2 Tính đạo hàm f theo hướng u = (1, 1) M (1, −1) x 17 Cho f (x, y) = arctan Tính đạo hàm f theo hướng u = (1, 1) M (1, −1) y 18 Cho f (x, y) = (x + 2xy) ln(x + y) Tính đạo hàm f theo hướng u = (1, 2) M (1, 0) 19 Cho f (x, y) = ln(y + sin x) Tính đạo hàm f theo hướng u = (1, −1) M (e, 0) R 20 Tính (x − y)dl với C x2 + y = 2x, y ≥ C 21 Tính R y dl với C y = ex , x C 22 Tính R 3xdl với C y = x2 + 1, y C R 23 Tính (x + 2y)dl với C x2 + y = 2y, x ≥ C 24 Tính R 2ydl với C x2 + y = 4y, y ≥ C R 25 Tính (2x − 3y)dl với C x2 + y = 4x, x ≤ C 26 Tính R 2ydx + xdy với C x = y từ A(0, 0) đến B(1, 1) C 27 Tính R ydx − 2xdy với C x2 + y = từ A(1, 0) đến B(0, −1) ngược chiều kim đồng hồ C 28 Tính R y dx − x2 dy với C x2 + y = π từ A(π, 0) đến B(0, π) chiều kim đồng hồ C 29 Tính R ydx + x2 dy với C y = − x2 từ A(2, 0) đến B(0, 4) C R x2 y + = từ A(0, −3) đến B(−2, 0) ngược chiều kim đồng 30 Tính (y + 1)dx + (x − 2)dy với C C hồ R 31 Tính (xy + 2x)dx + (x2 − 2y)dy với C x2 + y = 4x + 2y − từ A(3, 1) đến B(2, 2) theo C chiều kim đồng hồ R 32 Tính (y − 2x)dx + (x2 + 2y)dy với C x = 2y + y từ O(0, 0) đến A(3, 1) C R 33 Tính (x2 + 2y )dl với C y = − |1 − x| phần ứng với ≤ x ≤ C R 34 Tính (x2 − y + 3xy)dl với C y = x − |2 − 3x| phần ứng với ≤ x ≤ C 35 Tính độ dài đường cong C với C : y = |x2 − 2x|, −1 ≤ x ≤ 36 Tính độ dài đường cong C với C : x = |y − 4y|, ≤ y ≤ 37 Tính độ dài đường cong C với C : y = ln x, ≤ x ≤ 38 Tính độ dài đường cong C với C : y = x2 + |x2 − x|, −1 ≤ x ≤ R x2 y + = x từ A(2, 3) đến B(2, −3) theo ngược chiều 39 Tính (x + y)dx + (2x − y)dy với C C kim đồng hồ R x2 y 40 Tính (2x + 3y)dx + (3x − 4y)dy với C + = y từ A(−3, 2) đến B(3, 2) theo chiều C kim đồng hồ R 41 Tính (xy + 3y )dx + (3x2 − 4xy)dy với C x2 + y = 4x từ A(0, 0) đến B(2, 2) theo C chiều kim đồng hồ R x2 y 42 Tính (2xy − 3y + 1)dl với C + = phần ứng với x ≥ C R 43 Tính (2x − 5y + 3z)dl với C z = x2 + y , z = 2x C ( x = + 2t 44 Tính (2x + 3y)dx + (3x − 4y)dy với C : y = sin t C R 45 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y − 6xy + , t : → 2π 46 Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x2 − 2y )ex−y 47 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3y − 2lnx + 3lny − 1 48 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x4 + y − 2x2 − y 49 Tìm cực trị hàm f (x, y) = xy + + x y 50 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + y − 3xy − 3y + 3x + 3y + 51 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y − 6xy + 52 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 3xy − 39x − 36y + 53 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y + xy − 4lnx − 10lny 54 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y − 32lnxy x 55 Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y )e 56 Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x3 + xy + 5x2 + y 57 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3xy − 8lnx − 6lny + 58 Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x3 + y − 3y − x + 59 Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y + 2y)e2x 60 Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x2 y + y − 18x − 30y 61 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 − 2xy − 48y − 15x + y với điều kiện x − 2y = 62 Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2xy − 3x2 y + 5y − 4xy với điều kiện 2x + 3y = RR 63 Tính f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y D : y = lnx, y = −1, x = e2 D 64 Tính RR 65 Tính RR f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy D : x2 + y ≤ 2x, x2 + y ≤ 2y, y ≥ D f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + y D : ≤ x2 + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ D 66 Tính RR 67 Tính RR f (x, y)dxdy với f (x, y) = D x2 √ √ D : x2 + y ≤ 2x, − 3y ≤ x ≤ 3y +y f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − 2y D : x2 + y − 2x − 4y ≤ 0, x ≥ D 68 Tính RR 69 Tính RR D f (x, y)dxdy với f (x, y) = √ 1 2 D : ≤ x + y ≤ e , ≤ y ≤ 3x x2 + y e2 f (x, y)dxdy với f (x, y) = D : D 70 Tính RR f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − y D : xy = 6, x + y = D 71 Tính RR f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x D : y = ex , x = −2, y = e2 D 72 Tính RR 73 Tính RR D 4x f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2y D : x2 + y ≤ 4, x2 + y ≤ √ f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y − D : x2 + y − 2x − 4y ≤ 0, y ≥ D 74 Tính RR 75 Tính RR f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy D : D x2 y + ≤ 1, y ≤ f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x D : y = 2x2 − 3x, y = x2 + 2x − D f (x, y)dxdy với f (x, y) = p D : x2 + y ≤ 2x, −x ≤ y ≤ x − y2 x D √ √ RR 77 Tính f (x, y)dxdy với f (x, y) = x D : 2y ≤ x2 + y 4y, − 3y ≤ x ≤ 3y 76 Tính RR D 78 Tính diện tích miền D : y = x2 , y = − x2 79 Tính diện tích miền D : x2 + y = 2x, x2 + y = 4x, y ≤ x √ 80 Tính diện tích miền D : y = x2 , y = x 81 Tính diện tích miền D : y = x2 , x = − 2y 82 Tính diện tích miền D : y = x2 ,y = x 83 Tính diện tích miền D : y = x, y = 0, x + y = 84 Tính diện tích mặt S : z = π p x2 + y giới hạn mặt x2 + y + z = 85 Tính diện tích mặt S : x + y + z = giới hạn mặt y = 0, x + 2y = 2, 2x + y = √ 86 Tính diện tích mặt S : x2 + y + z = giới hạn mặt y = x, y = 3x, x ≥ 0, y ≥ 87 Tính diện tích mặt S : x2 + y + z = giới hạn mặt z = 1, z ≥ 88 Tính diện tích mặt S : x2 + y = giới hạn mặt x2 + y + z = 89 Tính diện tích mặt S : x2 + y + z = giới hạn mặt x2 + y ≥ 90 Tính diện tích mặt S : z = − x2 − y giới hạn mặt z = 91 Tính diện tích mặt S : y = x2 giới hạn mặt z = 0, z = 1, y = RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z V : x = 0, y = 0, x + y + z = 1, x + y − z = 92 Tính V 93 Tính RRR (z + 1)dxdydz với V : y = 0, 2x + y = 1, x + 2y = 1, x + 2y = 2, x + y + z = V 94 Tính RRR 95 Tính RRR 96 Tính RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x V : z = p p x2 + y , z = − x2 − y V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z V : x2 + y = 1, z = 0, x + 2y + 3z = V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y V : z = x2 + y , z = 0, x + y + z = V 97 Tính RRR 98 Tính RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z V : x2 + y ≤ 1, z ≤ x2 + y V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = y V : x2 + y + z ≤ 2z, x ≥ V 99 Tính RRR 100 Tính RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z V : y = x2 , y = 4, z = 0, x + z = V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x2 + y V : x2 + y + z ≤ 2z, x2 + y ≤ z V 101 Tính RRR 102 Tính RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = V : x2 + y ≤ 1, x ≥ 0, ≤ z ≤ x2 + y + V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z V : x2 + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ V p p p dxdydz với V : − − x2 − y ≥ z ≥ x2 + y x2 + y + z V p p RRR 104 Tính f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x V : z = x2 + y , z = − x2 − y 103 Tính RRR 105 Tính RRR V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x − 2z V : z = p p x2 + y , z = − x2 − y V 106 Tính RRR 107 Tính RRR 108 Tính RRR 109 Tính RRR f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x + y V : y = x2 , y = 0, x = 2, x + y + z = 1, z = V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = p x2 + y V : x2 + y ≤ 1, z ≤ x2 + y V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y V : y = − x2 , x + z = 0, z = 0, y = V f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = V : x + y = 0, x − y = 0, 2x + z = 2, z = V 110 Tính RR 111 Tính RR 112 Tính RR 113 Tính RR 114 Tính RR (x + 2y + 3z)dxdy với S phía mặt nón z = p x2 + y , z ≤ S xdydz + y dzdx + (x + y + z )dxdy với S phía ngồi mặt trụ x2 + y = 1, −1 ≤ z ≤ S x2 dxdy + 2y dzdx − 3z dxdy với S phía mặt cầu x2 + y + z = 1, z ≥ S x2 dydz − 3y dzdx + dxdy với S phía mặt nón z = p x2 + y , z ≤ S (x2 + y )ds với S mặt cầu x2 + y + z = S 115 Tính p RR p x2 + y ds với S phần mặt nón z = x2 + y nằm mặt phẳng z = 116 Tính RR p S x2 + y ds với S mặt xung quanh vật thể giới hạn mặt z = x2 + y , z = 0, z = S 117 Tính RR (x + y + z)ds S mặt xung quanh hình lập phương ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, ≤ z ≤ S 118 Tính RR x(1 + y )ds S phần mặt trụ y = 4(4 − z) bị chắn mặt x = 0, x = 1, z = S 119 Tính RR 120 Tính RR xdydz + ydzdx + zdxdy S phía mặt cầu x2 + y + z = phần ứng với z ≥ S ydydz − xdzdx + dxdy, S phiá mặt cầu x2 + y + z = 1; x, y, z ≥ S 121 Tính RR S ds S mặt phẳng x + y + z = phần bị chặn mặt x = 0, y = 0, z = (1 + x + y)2 x ds S phần mặt cầu x2 + y + z = góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ + y2 x S p RR 123 Tính (xy +yz +zx)ds S phần mặt nón z = x2 + y bị cắt mặt trụ x2 +y = 2y 122 Tính RR 124 Tính RR S 2dxdy + ydxdz − x2 zdydz S phía ngồi mặt 4x2 + y + 4z = 4; x, y, z ≥ S 125 Tính RR (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy S phía ngồi phần mặt nón S z2 = x + y2, ≥ z ≥ RR 126 Tính z dydz + xdxdz − 3zdxdy S phía mặt trụ z = − y giới hạn S x = 0, x = 1, z = RR 127 Tính xdydz + ydzdx + zdxdy S phía mặt cầu x2 + y + z = 4; x, y, z ≥ S 128 Tính RR 129 Tính R z dxdy S mặt ngồi ellipsoid x2 + S y2 z2 + =1 2ydx + zdy + 3ydz, C : x2 + y + z = 6z, z = − x ngược chiều kđh nhìn từ (+)Oz C 130 Tính R 2ydx − xdy + xdz, C : x2 + y = 1, z = y + chiều kđh nhìn từ phía âm Oz C