I Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 1 Khái niệm Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng[.]
I Giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Khái niệm - Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói Phương pháp a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A ≥ k với k số + Chỉ dấu “=” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A ≤ k với k số + Chỉ dấu “=” xảy với giá trị biến Kí hiệu: A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A II Các dạng tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất I Dạng 1: Tam thức bậc hai Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức cho dạng bình phương tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) số tự Tổng quát: d - (a ± b)2 ≤ d Ta tìm giá trị lớn (a ± b)2± c ≥ ± c Ta tìm giá trị nhỏ Ví dụ 1: a, Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 - 8x + b, Tìm giá trị lớn B = -5x2 - 4x + Gợi ý đáp án a, A = 2(x2 - 4x + 4) - = 2(x - 2)2 - ≥ -7 A = -7 x = b, max Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c a, Tìm P a > b, Tìm max P a < Gợi ý đáp án Ta có Đặt Do nên: a, Nếu a > P ≥ k ⇒ P = k b, Nếu a < P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ Bài tập vận dụng Bài tập: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đây: a, A = -x + x + b, B = x + 3x + c, C = x - 11x + 30 d, D = x - 2x + e, E = 3x - 6x + f, F = -3x - 12x - 25 II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp: Có hai cách để giải tốn này: Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ Ta biến đổi biểu thức A cho dạng A ≥ a (với a số biết) để suy giá trị nhỏ A a biến đổi dạng A ≤ b (với b số biết) từ suy giá trị lớn A b Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử hai biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Ta sử dụng tính chất: ∀x, y ∈ ta có: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a A = (3x - 1)2 - 4|3x - 1| + b B = |x - 2| + |x - 3| Gợi ý đáp án a, Đặt A = b, Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| Hướng dẫn giải Ta có: C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| ≥ |x2 - x + + + x - x2| = MinC = ⇔ (x2 - x + 1)(2 + x - x2) ≥ ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ T = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| Hướng dẫn giải Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - + - x| = (1) Và |x - 2| + |x - 3| ≥ |x - +3 - x| = 1(2) Vậy T ≥ + = Từ (1) suy dấu xảy ≤ x ≤ Từ (2) suy dấu xảy ≤ x ≤ Vậy T có giá trị nhỏ ≤ x ≤ Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đây: A = |x - 2004| + |x - 2005| B = |x - 2| + |x - 9| + 1945 C = -|x - 7| - |y + 13| + 1945 III Dạng 3: Đa thức bậc cao Dạng phân thức Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Các phân thức có dạng khác Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) b B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + c C = x2 + xy + y2 - 3x - Gợi ý đáp án a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) Đặt y = x2 - 7x + A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 Min b, B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + = (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + c, C = x2 + xy + y2 - 3x - = x2 - 2x + y2 - 2y + xy - x - y Ta có Đặt Vậy Min(C + 3) = hay C = -3⇔ a = b = ⇔ x = y = Bài tập vận dụng Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a, b, c, d, Bài tập 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: